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Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen

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Team Digital
Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mehrere Differenzen miteinander zu multiplizieren.

Zunächst lernst du, wie man zwei Differenzen miteinander multipliziert. Anschließend betrachten wir die geometrische Darstellung dieser Multiplikation. Abschließend lernst du, wie man mehrere Differenzen miteinander multipliziert.

Lerne etwas über Wilma die Weberin, die ihr Netz mithilfe der Multiplikation zweier Differenzen webt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Differenzen, Multiplizieren, Multiplikation, Faktor, Faktoren, Minuend, Subtrahend, Klammern, Ausmultiplizieren.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was Differenzen und Produkte sind und wie man das Distributivgesetz richtig anwendet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mehrere Differenzen miteinander zu multiplizieren und dies auch auf die binomischen Formeln anzuwenden

Transkript Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen

Wilma, die Weberin, benötigt einen Sichtschutz. Also webt sie sich einen blickdichten Vorhang. Sie hat aber zu lange Fäden hergestellt. Daher hat sie zwei Möglichkeiten: Entweder kürzt sie die Fäden vor dem Weben. Oder sie schneidet den fertigen Stoff nach dem Weben zurecht. Beide Varianten führen zum selben Ziel – einem Vorhang in der richtigen Größe. Auch Terme haben oft verschiedene Varianten. Obwohl sie unterschiedlich aussehen, bedeuten sie dasselbe. Du kannst verschiedene Varianten eines Terms mit Termumformungen ineinander überführen. Das ausmultiplizieren ist so eine Termumformung. In diesem Video geht es um das Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen. Wilma kann zuerst die Fäden abschneiden und dann weben. Genauso kannst du in so einem Term erst die Differenzen ausführen und dann die Produkte. Wilma kann aber auch erst weben und dann den fertigen Stoff kürzen. Genauso kannst Du zuerst die Produkte ausführen und dann – auf die richtige Weise – die Differenzen. Bevor wir aber zu dieser Termumformung kommen, sehen wir uns ein Produkt aus einer Summe und einer Differenz an: Du kannst es ausmultiplizieren, indem du den ersten Summanden mit dem Minuenden und dem Subtrahenden verrechnest. Mit dem zweiten Summanden machst du es genauso. Achtung mit den Vorzeichen! Weil hier ein Minus steht, tauchen im Ergebnis hier negative Vorzeichen auf. Aber was passiert, wenn beide Faktoren Differenzen sind? Wir rechnen ganz genauso: Der Minuend der ersten Klammer wird mit Minuend und Subtrahend der zweiten Klammer verrechnet. Mit dem Subtrahenden der ersten Klammern machen wir es genauso. Wie sieht es hier mit den Vorzeichen aus? Die beiden Minuenden haben positive Vorzeichen. Also ist auch das Vorzeichen des ersten Ergebnisgliedes positiv. Die beiden Subtrahenden haben negative Vorzeichen. Weil Minus mal Minus aber Plus ergibt, erhält das letzte Ergebnisglied auch ein positives Vorzeichen. Verrechnet man aber einen Minuenden mit einem Subtrahenden, gibt es jeweils nur ein negatives Vorzeichen. Daher haben die anderen Ergebnisglieder negative Vorzeichen. Aber ein wenig wundert sich Wilma dann doch. Wenn überall subtrahiert wird, warum wird dann hier auf einmal addiert? Das können wir uns klarmachen, indem wir diese Termumformung in die Geometrie übertragen. Wilma hat Fäden der Länge 'a' und 'c'. Wenn sie die zuerst um die Längen 'b' bzw. 'd' kürzt und aus den gekürzten Fäden einen Vorhang webt, hat dieser den Flächeninhalt 'a minus b' mal 'c minus d'. Kürzt sie die Fäden aber nicht, erhält sie Stoff mit dem Flächeninhalt 'a mal c'. Dann muss sie vom fertigen Stoff diese Fläche abschneiden. Die können wir zusammensetzen aus diesem Rechteck mit der Fläche 'a mal d' und diesem Rechteck mit der Fläche 'b mal c'. Aber Moment! Diesen Bereich mit der Fläche 'b mal d' haben wir dann zweimal gezählt. Wir müssen ihn also noch einmal abziehen. Dieses Minus müssen wir mit den Vorzeichen in der Klammer verrechnen. Auch so erhalten wir also die bereits bekannte Termumformung. Wenden wir das doch einmal an: Wir können dieses Produkt aus zwei Differenzen ausmultiplizieren, indem wir zunächst beide Minuenden miteinander verrechnen. Dabei entsteht ein positives Vorzeichen. Multiplizieren wir die zwei Subtrahenden, entsteht auch ein positives Vorzeichen. Bei den gemischten Termen entstehen negative Vorzeichen. Den entstandenen Term können wir noch vereinfachen. Die Zahlen in den Produkten können wir direkt ausrechnen. Gleiche Variablen in einem Produkt können wir zu Potenzen umschreiben. Gleichartige Glieder dürfen wir zusammenfassen. So erhalten wir das Ergebnis, das wir nicht weiter vereinfachen können. Und wie ist das mit einem Produkt aus drei Differenzen? Da wählen wir uns zunächst zwei Klammern und multiplizieren diese aus. Das sieht dann so aus. Was dabei herauskommt, müssen wir aber wieder in Klammern schreiben. Das können wir genauso ausmultiplizieren: Den Minuenden der ersten Klammer multiplizieren wir mit jedem Glied der zweiten Klammer. Mit dem Subtrahenden der ersten Klammer verfahren wir genauso. Wir erhalten acht Glieder. Zwei sind gleichartig, sie heben sich hier sogar genau auf. So kommen wir auf das Ergebnis, das wir nicht noch weiter vereinfachen können. Fassen wir das noch einmal zusammen: Haben wir ein Produkt aus zwei Differenzen gegeben, können wir das ausmultiplizieren, indem wir den Minuenden der ersten Klammer mit Minuend und Subtrahend der zweiten Klammer verrechnen. Mit dem Subtrahenden der ersten Klammer verfahren wir genauso. Das sieht dann so aus. Dabei müssen wir auf das richtige Verrechnen der Vorzeichen achten. Haben wir ein Produkt aus mehreren Differenzen gegeben, multiplizieren wir zunächst zwei davon aus. Was dabei herauskommt können wir mit der nächsten Klammer verrechnen. So kann man den Term schrittweise umformen, wobei man auch hier auf das richtige Verrechnen der Vorzeichen achten muss. Wilmas Vorhang ist endlich fertig. Aber, wofür braucht sie den eigentlich? Igitt! Menschen! Die will sie natürlich nicht so gerne sehen.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Cooler Sound!

    Von Debora S., vor 6 Monaten
  2. Mega gut erklärt und gut dargestellt! DANKE

    Von Henning Enseroth, vor mehr als einem Jahr

Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Flächeninhalt.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen.

    Multipliziere das Produkt $(a-b) \cdot (c-d)$ termweise aus.

    Beachte die Regel:

    Minus mal minus ergibt plus.

    Lösung

    Wilma webt ein rechteckiges Tuch der Seitenlängen $(a-b)$ und $(c-d)$. Der Flächeninhalt dieses Tuches ist das Produkt der Seitenlängen. Du kannst eine algebraische Formel für den Flächeninhalt berechnen, indem du das Produkt $(a-b) \cdot (c-d)$ ausmultiplizierst:

    $(a-b) \cdot (c-d) = ac -ad +ab +bd$

    Hierbei musst du beachten, dass $(-b) \cdot (-d) = bd$ gilt.

    Andererseits kannst du den Flächeninhalt auch geometrisch ausrechnen, indem du von dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $c$ die überflüssigen Teile abziehst. Diese überflüssigen Teile sind überdeckt durch die beiden Rechtecke mit den Seiten $b$ und $c$ (rechts) sowie $a$ und $d$ (unten). Ziehst du die Flächeninhalte $bc$ sowie $ad$ von dem Flächeninhalt $ac$ des großen Rechtecks ab, so erhältst du weniger als den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks mit den Seiten $(a-b)$ und $(c-d)$. Denn nun hast du den Bereich, in dem sich die abgezogenen Rechtecke überlagern, von dem Flächeninhalt $ac$ doppelt abgezogen. Du musst also noch den Flächeninhalt $bd$ dieses sich überlappenden Bereiches wieder addieren. So erhältst du wie zuvor die Formel:

    $(a-b) \cdot (c-d) = ac -ad +ab +bd$

  • Berechne die Terme.

    Tipps

    Beachte beim Ausmultiplizieren der Terme die Vorzeichen.

    Du kannst die Klammer $a \cdot (b+c)$ auflösen, indem du den Faktor $a$ mit jedem Summanden in der Klammer multiplizierst und diese Produkte addierst:

    $a \cdot (b+c) = a\cdot b + a \cdot c$

    Fasse beim Ausmultiplizieren Terme der Form $x \cdot x$ zu $x^2$ zusammen und beachte, dass $x \cdot y = y \cdot x$ gilt.

    Lösung

    Du kannst Produkte von Summen oder Differenzen berechnen, indem du jeden Minuend und Subtrahend der linken Klammer jeweils mit Minuend und Subtrahend der rechten Klammer multiplizierst. Beachte dabei die Vorzeichen der Terme und bei der Multiplikation die Regel:

    Minus mal minus ergibt plus.

    So ist z.B. $a \cdot (b+c) = ab + ac$ und $-a \cdot (b-c) = -ab + ac$.

    Unter Berücksichtigung dieser Regeln erhältst du folgende Gleichungen:

    • $(a+b) \cdot (c-d) = a \cdot c - a \cdot d + b \cdot c - b \cdot d$
    • $(a-b) \cdot (c-d) = a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d$
    • $(4 \cdot x - 6 \cdot y) \cdot (8 \cdot x - 2 \cdot y) = 32x^2 + 12 y^2 - 56xy$
    • $(a-b) \cdot (a-c) \cdot (b-c) = a^2b-a^2c-ab^2+ac^2+b^2c-bc^2$
  • Prüfe die Gleichungen.

    Tipps

    Fasse nach dem Ausmultiplizieren gleichartige Terme zusammen und lasse Terme weg, die einander aufheben.

    Lösung

    Bei der Multiplikation von Summen und Differenzen können leicht Vorzeichenfehler auftauchen. Wenn du keine solchen Fehler gemacht hast, findest du heraus, dass folgende Rechnungen korrekt sind:

    • $(2a^2+5a) \cdot (b-3b^2) = 2a^2b - 6a^2b^2 +5ab-15ab^2$
    Dies findest du direkt durch Ausmultiplizieren heraus.
    • $(4a+3b)^2 - (-3b+4a)^2 = 48ab$
    Der Term kann auch wie folgt umgestellt werden: $(4a+3b)^2 - (4a-3b)^2 $

    Da es sich um zwei Binome handelt, können die erste und die zweite binomische Formel zur Hilfe gezogen werden. Da die Summanden der Binome gleich sind, können sie nach dem Auflösen der Klammern leicht miteinander verknüpft werden:

    $(4a+3b)^2 = 16a^2 +24 ab +9b^2$

    $(4a-3b)^2 = 16a^2 - 24ab +9b^2$

    Subtrahiert man nun den zweiten Term vom ersten, so erhält man: $16a^2 +24 ab +9b^2 - (16a^2 - 24ab +9b^2) = 24ab+24ab = 48 ab$

    Diese Rechnungen dagegen sind falsch:

    • $(4c^2-3a) \cdot (2b-3d) =8c^2b+12c^2a-6ab+9ad$
    Direktes Ausmultiplizieren, bei dem du jedes Glied in der einen Klammer mit jedem Glied aus der anderen Klammer multiplizierst, ergibt hier: $(4c^2-3a) \cdot (2b-3d) =8c^2b-12c^2d-6ab+9ad$.

    • $(2x-4y) \cdot (5y+3x) \cdot (-y+x) =9x^3-23xy^2-6x^2y+20y^3$
    Richtig wäre hier:

    $ \begin{align*} (2x-4y) \cdot (3x-5y) \cdot (x-y) &=(2x \cdot 3x + 2x \cdot (-5y) -4y \cdot 3x - 4y \cdot (-5y)) \cdot (x-y) \\ &=(6x^2 - 10xy - 12xy + 20y^2) \cdot (x-y) \\ &=(x-y) \cdot (6x^2 -22xy +20y^2) \\ &=x \cdot 6x^2 + x \cdot (-22xy) + x \cdot 20y^2 \\ &\qquad -y \cdot 6x^2 - y \cdot (-22xy) -y \cdot 20y^2 \\ &=6x^3 - 22x^2y +20xy^2 \\ &\qquad -6x^2y + 22xy^2 -20y^3 \\ &=6x^3-28xy^2+42x^2y-20y^3 \\ \end{align*} $

  • Erschließe die Terme.

    Tipps

    Du kannst bei einem Produkt immer die Reihenfolge der Faktoren vertauschen. Es sind aber immer die Vorzeichen zu beachten.

    $(a-b) \cdot (c-d) \cdot (e-f) = (a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d) \cdot (e-f) $
    $= (e-f) \cdot (a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d) = e \cdot a \cdot c - e \cdot a \cdot d ...$

    Lösung

    Um zwei Klammern auszumultiplizieren, multiplizierst du jedes Glied in der Klammer mit jedem Glied in der anderen Klammer und addierst deine Produkte. Danach kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.

    Du erhältst hier die folgenden Rechnungen:

    $ \begin{align*} (3x+5y) \cdot (2x-y) &=3x \cdot 2x - 3x \cdot y + 5y \cdot 2x - 5y \cdot y \\ &=6xx- 3xy + 10xy - 5yy \\ &= 6 x^2 +7xy - 5y^2\\ \end{align*} $

    $ \begin{align*} (4x-8y) \cdot (6x-2y) &=4x \cdot 6x - 4x \cdot 2y - 8y \cdot 6x + 8y \cdot 2y \\ &=24xx- 8xy - 48xy + 16yy \\ &= 24 x^2 -56xy + 16y^2\\ \end{align*} $

    Du kannst die Produkte ausrechnen, indem du zunächst zwei Klammern ausmultiplizierst und dieses Ergebnis dann mit der dritten Klammer multiplizierst. Die Wahl der Reihenfolge kann die Rechnung etwas abkürzen.

    $ \begin{align*} (7a-4b) \cdot (b-3a) \cdot (2b-2a) &=(7a \cdot b +7a \cdot (-3a) - 4b \cdot b - 4b \cdot (-3a)) \cdot (2b-2a) \\ &=(7ab -21aa - 4bb + 12ba) \cdot (2b-2a)\\ &=(2b-2a)\cdot (-21a^2 +19ab - 4b^2)\\ &=2b \cdot (-21a^2) +2b \cdot 19 ab +2b \cdot (-4b^2) \\ &\qquad -2a \cdot (-21a^2) -2a \cdot 19 ab -2a \cdot (-4b^2) \\ &= 42a^3 -38a^2b +8ab^2-42a^2b+38ab^2-8b^3 \\ &=42a^3 - 80a^2b +46ab^2-8b^3 \end{align*} $

  • Berechne die Produkte.

    Tipps

    Um einen Term der Form $x \cdot (y-z)$ zu berechnen, musst du den Faktor $x$ jeweils mit dem Minuenden und Subtrahenden in der Klammer multiplizieren und diese Produkte summieren.

    Es gilt $x \cdot (-z) = (-x) \cdot z = -(x \cdot z)$.

    Die Multiplikation ist kommutativ, d.h. $y \cdot x = x \cdot y$.

    Lösung

    Beim Ausmultiplizieren der Klammern musst du genau auf die Vorzeichen achten. Das Produkt zweier Faktoren mit gleichen Vorzeichen bekommt das Vorzeichen $+$, das Produkt zweier Faktoren mit verschiedenen Vorzeichen bekommt das Vorzeichen $-$.

    Damit erhältst du folgende Gleichungen:

    • $a \cdot (b+c) = ab + ac$
    • $(a+b) \cdot c = ac + bc$
    • $a \cdot (b-c) = ab - ac$
    • $(-a+b) \cdot c = -ac +bc = bc -ac$
    Zu den Termen $ac -bd$ und $bc -ad$ ist in der Aufgabe keine passende Multiplikation angegeben.

  • Beschreibe die Berechnung des Produktes.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner Länge und Breite. Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner Länge, Breite und Höhe.

    Beachte beim Ausmultiplizieren die Vorzeichen und die Regel minus mal minus ergibt plus.

    Für die Multiplikation gilt das Kommutativ- und Assoziativgesetz, d.h., bei der Multiplikation dreier Terme kannst du die Reihenfolge der Produkte beliebig vertauschen.

    Lösung

    Felix' Nest hat die Form eines Quaders. Ein Quader ist das dreidimensionale Analogon eines Rechtecks. Seine sechs Kanten bestehen aus drei Paaren zueinander paralleler Kanten. An jeder Ecke des Quaders stoßen drei Kanten senkrecht aufeinander. Das Volumen des Quaders ist das Produkt der Maße dieser drei Kanten, ganz analog zum Flächeninhalt eines Rechtecks als Produkt der beiden senkrechten Kanten.

    Felix flechtet sein Nest aus Stöckchen der Maße $2a \text{ cm}$, $4b \text{ cm}$ und $3c \text{ cm}$. Da diese Maße nicht zu dem Bauplan seines Nestes passen, muss er sie verkürzen bzw. verlängern. Das fertige Nest soll die Höhe $2a+4b$ haben. Dazu muss Felix die Stöckchen der Maße $2a \text{ cm}$ und $4b \text{ cm}$ hintereinander legen. In der Breite stehen die Stöckchen vom Maß $4b \text{ cm}$ noch um $3 \text{ cm}$ über. Die Breite des Nestes beträgt demnach $4b-3$. Die Stöckchen des Maßes $3c$ muss er um $a \text{ cm}$ kürzen, um auf die gewünschte Längen $3c-a$ zu kommen.

    Nun rechnet Felix das Volumen seines Nestes aus. Das Volumen eines Quaders ist das Produkt aus Höhe, Breite und Länge. Die Formel für das Volumen von Felix' Nest lautet daher:

    $V =(2a +4b)\cdot (4b-3) \cdot (3c-a)$.

    Um das Volumen auszurechnen, kannst du die Klammern ausmultiplizieren. Dabei musst du immer die Vorzeichen beachten. Das Produkt von Faktoren mit denselben Vorzeichen erhält das Vorzeichen $+$, das Produkt von Faktoren verschiedener Vorzeichen erhält das Vorzeichen $-$.

    Ob Felix zuerst die beiden vorderen Klammern ausmultipliziert oder zuerst die beiden hinteren, macht für das Ergebnis gar keinen Unterschied. Denn für die Multiplikation gilt das Assoziativgesetz. Ebenso spielt nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren Höhe, Breite und Länge keine Rolle für den Wert des Volumens.

    Berechnen wir also zuerst das Produkt der Höhe und Breite:

    $(2a +4b)\cdot (4b-3) = 8ab -6a +16b^2 - 12b $

    Beide Seiten der Gleichung müssen wir nun noch mit der Länge $(3c-a)$ multiplizieren, um das Volumen zu erhalten:

    $V = 24abc- 18ac +48b^2c - 36bc- 8a^2b +6 a^2 -16ab^2 +12ab$

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