30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen 07:51 min

Textversion des Videos

Transkript Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen

Manni, der Space-Trucker arbeitet in der Schrottentsorgungs-Branche und zwar in ganz großem Stil: Mit seinem Schwerlast-Raumschiff transportiert er die Schrotthaufen ganzer Planeten zu den interstellaren Entsorgungszentren.Während wir Manni bei seinen Fahrten begleiten, können wir uns das Ausklammern und Ausmultiplizieren in Termen mit Potenzen anschauen. Der ganze Schrott wird in verschieden hohen Behältern gesammelt. Aber immer von derselben Schrottpresse zusammengepresst. Diese Schrottpresse hat eine quadratische Platte. Daher haben auch alle gepressten Schrotthaufen dieselbe quadratische Grundfläche. Ihren Flächeninhalt können wir also mit 'a Quadrat' angeben. Die Höhe der zusammengepressten Schrotthaufen ist aber unterschiedlich. Der erste ist würfelförmig, er hat also auch die HÖHE 'a' und damit das Volumen 'a hoch 3'. Der zweite hat eine andere Höhe, nennen wir sie 'b', und damit das Volumen 'a Quadrat mal b'. Zusammen haben sie also das Volumen 'a hoch 3' plus 'a Quadrat mal b'. Aber Manni möchte heute mal etwas ausprobieren: Er will beide Schrotthaufen durch Kippen so zusammenschieben. Dann hat er nämlich nur einen Quader und muss nur eine Tour machen. a Quadrat' können wir wieder als Grundfläche wählen und als Höhe 'a plus b'. Also ist sein Volumen a Quadrat mal 'in Klammern' a plus b. Das ist aber genauso groß wie das Volumen der beiden einzelnen Schrotthaufen, also a hoch 3 plus a Quadrat mal b. Schauen wir uns das noch einmal genauer an: Berechnen wir das Volumen der einzelnen Schrotthaufen, so rechnen wir bei beiden: Grundfläche mal Höhe. Schieben wir beide Schrotthaufen zusammen, dann ist es so, als ob wir die Grundfläche so vor die Summe der beiden Höhen ziehen. Weil wir die Summe der beiden Höhen dann in Klammern schreiben müssen, nennt man diese Termumformung ausklammern. Das dürfen wir mit beliebigen Termen machen, in denen die einzelnen Summanden gleiche Faktoren haben. Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: 10 mal x hoch 3 mal y hoch 5 minus 15 mal x hoch 5 mal y Quadrat'. Differenzieren können wir genauso ausklammern wie Summen. Bei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen: 10 ist '2 mal 5' und 15 '3 mal 5'. In x hoch 5 ist auch x hoch 3 enthalten und in y hoch 5 auch y Quadrat. Nach den Potenzgesetzen werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Wenden wir dieses Gesetz umgekehrt an, können wir die Potenz 'x hoch 5' ist gleich x hoch '3 plus 2' zu 'x hoch 3' mal 'x hoch 2' umformen. Genauso können wir 'y hoch 5' zu 'y hoch 3' mal 'y hoch 2' umformen. Wir sehen: diese Faktoren kommen in beiden Summanden vor. Wir können sie also so ausklammern. Achte beim Ausklammern von Potenzen mit gleichen Basen darauf, dass vor der Klammer die Potenz mit dem kleinsten Exponenten auftaucht. In der Klammer findest du nur noch Potenzen, die um den kleinsten Exponenten vermindert sind. In dem Summanden, wo zuvor der kleinste Exponent gestanden hatte, taucht die Potenz IN der Klammer gar nicht mehr auf. Schauen wir uns noch ein Beispiel an: 32 mal 'x Quadrat' mal 'y hoch 3' plus 128 mal 'x Quadrat' mal 'y hoch 4'. 32 ist ein Teiler von 128, denn 128 ist 4 mal 32. Die Potenzen dürfen wir wieder mit dem Potenzgesetz umformen. Mh. Aber nun sind ja alle Faktoren des linken Summanden auch im rechten Summanden enthalten. Dann multiplizieren wir hier mit 1, denn das verändert den Summanden nicht. Nun können wir den ganzen Summanden so ausklammern, wobei in der Klammer hier die 1 übrigbleibt. Weil für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt, können wir die Faktoren vor die Klammer ziehen, aber auch hinter die Klammer. Manni hat die beiden Schrottberge zu einem zusammengebunden. Mal sehen, ob das funktioniert. Ah! Leider nicht! Dann muss er sie wohl doch einzeln fortschaffen. Der zusammengesetzte Schrotthaufen hatte ein Volumen von Grundfläche mal die Summe der beiden Höhen. Fliegen die Schrotthaufen wieder auseinander, dann ist das so, als ob man die Grundfläche wieder mit jeder der beiden Höhen einzeln verrechnet. Und wir erhalten wieder für beide: Grundfläche mal Höhe. Diese Termumformung nennt man ausmultiplizieren. Schauen wir uns dazu noch ein Beispiel an: 3 mal 'x Quadrat' mal 'y' mal 'in Klammern' '2 mal y' plus '1' plus '3 mal x Quadrat'. Wir können diesen Term ausmultiplizieren, indem wir den Faktor vor der Klammer mit allen Summanden in der Klammer multiplizieren. Das sieht dann so aus. Die Faktoren in den einzelnen Summanden können wir noch ein bisschen umsortieren. Zahlen können wir vor die Variablen ziehen und ausrechnen. Potenzen können wir nach ihren Basen sortieren. Durch Anwendung des Potenzgesetzes können wir die Potenzen mit gleichen Basen so zusammenfassen. Und Manni? Der hat sich versehentlich selbst entsorgt. Oh! Hier landet der ganze Schrott also.

3 Kommentare
  1. Hallo Chiaram, kannst Du genauer beschreiben, was Du zu schwierig fandest? Ich hoffe, dass wir Dir weiterhelfen können. Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor 3 Monaten
  2. Aber ein bisschen überfordernd😰😰😰😰😰

    Von Chiaram2006, vor 3 Monaten
  3. Cooooooooles Videoooooooooooo👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻

    Von Chiaram2006, vor 3 Monaten

Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme, welche Faktoren du bei den gegebenen Termen ausklammern kannst.

    Tipps

    Bei den Zahlen ist es nützlich sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen.

    Für $14a+35b$ gilt zum Beispiel:

    • $14=2\cdot 7$
    • $ 35=5\cdot 7$
    Wir können nun den gemeinsamen Faktor $7$ ausklammern, also:

    $14a+35b=7\cdot(2a+5b)$

    Dieses Potenzgesetz hilft dir zu erkennen, welche Potenzen du ausklammern kannst.

    Achte beim Ausklammern von Potenzen mit gleichen Basen darauf, dass vor der Klammer die Potenz mit dem kleinsten Exponenten steht und in der Klammer nur noch Potenzen, die um den kleinsten Exponenten vermindert wurden.

    Zum Beispiel: $3\cdot x^2+7\cdot x^4=x^2 \cdot (3+7x^2)$

    Lösung

    Wir schauen uns die Terme nacheinander an:

    $\bullet$ Wir beginnen mit $a^2\cdot a+a^2\cdot b$:

    • Hier können wir leicht erkennen, dass in beiden Summanden $a^2$ vorkommt, also:
    $\color{#669900}{a^2}\cdot a+\color{#669900}{a^2}\cdot b=\color{#669900}{a^2}\cdot (a+b)$

    $~$

    $\bullet$ Auch bei Differenzen wie $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2$ können wir so vorgehen:

    • Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $10=2\cdot 5$ und $15=3\cdot 5$ die Primfaktorzerlegungen an:
    $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = 2\cdot \color{#669900}{5}\cdot x^3 \cdot y^5 - 3\cdot \color{#669900}{5} \cdot x^5 \cdot y^2$

    Dabei erkennen wir, dass die $5$ in beiden Faktoren enthalten ist.

    • Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:
    $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$

    • Wir suchen für Potenzen gleicher Basis, jeweils die mit dem kleinsten Exponenten und schreiben dann unsere Summanden so um, dass dieser in jedem auftaucht. Für die Basis $x$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponent zum Beispiel $x^3$. Den Subtrahend können wir dann mit $x^5=x^{3+2}=x^3 \cdot x^2$ umschreiben:
    $2\cdot \color{#669900}{5}\cdot x^3 \cdot y^5 - 3\cdot 5 \cdot \color{#669900}{x^5} \cdot y^2 = 2\cdot 5\cdot x^3 \cdot y^5 - 3\cdot \color{#669900}{x^3 \cdot x^2} \cdot y^2$

    • Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y^2$ sowohl im Minuend als auch im Subtrahend vorkommt und wir es daher ausklammern können. Es ergibt sich:
    $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = \color{#669900}{5 \cdot x^3 \cdot y^2 } \cdot (2\cdot y^3 - 3\cdot x^2)$

    $~$

    $\bullet$ Für $4\cdot m^2 \cdot n^3 + 8\cdot m^2\cdot n^4$ gilt:

    $4\cdot m^2 \cdot n^3 + 8\cdot m^2\cdot n^4 = \color{#669900}{4\cdot m^2 \cdot n^3} \cdot (1+2n)$

  • Beschreibe, wie du beim Ausklammern und Ausmultiplizieren vorgehst.

    Tipps

    Das Ausmultiplizieren ist die Umkehrung des Ausklammerns. Dabei wird eine Summe oder Differenz mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert.

    Das Volumen eines Quaders berechnen wir, indem wir die Grundfläche mit der Höhe multiplizieren. Bei einem Würfel sind alle drei Seiten gleich lang, also insbesondere die beiden der Grundfläche und die der Höhe.

    Lösung

    Beim Ausklammern entspricht der Faktor vor der Klammer dem größten gemeinsamen Faktor der Summanden oder des Minuenden und der Subtrahenden. Dabei handelt es sich also um den Faktor, der in allen Gliedern des gegebenen Terms vorkommt. Innerhalb der Klammern schreibt man dann die Summanden oder den Minuenden und die Subtrahenden, die mit diesem Faktor multipliziert wieder den alten Term ergeben würden.

    In unserem Beispiel ist der größte gemeinsame Faktor die Grundfläche der Quader, also $a^2$. Diesen klammern wir aus und erhalten:

    $a^3 +a^2\cdot b = a^2\cdot a+a^2\cdot b= a^2\cdot(a+b)$

    Das Ausmultiplizieren ist die Umkehrung des Ausklammerns. Dabei wird eine Summe oder Differenz mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert, indem man jeden einzelnen Summanden oder den Minuenden und die Subtrahenden innerhalb der Klammer mit dem Faktor außerhalb der Klammer multipliziert.

  • Schildere den Ablauf beim Ausklammern des jeweiligen Terms.

    Tipps

    Wir schauen uns üblicherweise zunächst die Zahlen und dann die Potenzen an.

    Die Primfaktorzerlegung für $33$ sieht zum Beispiel so aus $33= 3\cdot 11$

    Lösung

    Wir betrachten nun folgenden Term:

    • $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2$
    Terme wie diesen können wir wie folgt ausklammern. Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $10$ und $15$ die Primfaktorzerlegungen an:
    • $10=2\cdot 5$
    • $15=3\cdot 5$
    Damit erhalten wir:
    • $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = 2\cdot \color{#669900}{5}\cdot x^3 \cdot y^5 - 3\cdot \color{#669900}{5} \cdot x^5 \cdot y^2$
    Wir erkennen, dass die $5$ in beiden Faktoren enthalten ist. Weiter geht es mit den Variablen. Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:
    • $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$
    Wir suchen für Potenzen mit gleicher Basis jeweils die Potenz mit dem kleinsten Exponenten und zerlegen die jeweils andere Potenz entsprechend obigem Gesetz. Für die Basis $x$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $x^3$. Die Potenz $x^5$ können wir dann wie folgt zerlegen:
    • $x^5=x^{3+2}=x^3 \cdot x^2$
    Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y^2$ sowohl im Minuenden als auch im Subtrahenden vorkommt und zerlegen $y^5$ wie folgt:
    • $y^5=y^{2+3}=y^2 \cdot y^3$
    Damit erhalten wir insgesamt:
    • $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = \color{#669900}{5 \cdot x^3 \cdot y^2 } \cdot (2\cdot y^3 - 3\cdot x^2)$

  • Entscheide, ob die Termumformungen korrekt sind.

    Tipps

    Beachte die Potenzgesetze:

    • $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$
    • $u^{-1}=\frac 1 u$
    Lösung

    Term 1: $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3} = 4+5y^2x^{-3}$ $\checkmark$

    $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3}$

    • $y^0=1$ können wir weglassen. Ausmultiplizieren ergibt:
    $4x^3\cdot x^{-3}+5y^2\cdot x^{-3}$

    • Mit $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ können wir vereinfachen:
    $4x^{3+(-3)}+5y^2 x^{-3} = 4x^0+5y^2 x^{-3}= 4+5y^2x^{-3}$

    $~$

    Term 2: $x^b+6y^2x^{b+3}+7x^{b-1}za^a= x^{b-1}(x^1+6y^2x^{4}+7za^a)$ $\checkmark$

    • Die einzige Basis, die in allen Summanden zu finden ist, ist $x$. Vorausgesetzt $b$ ist positiv, so ist der kleinste zu findende Exponent bei $x$ das $b-1$. Da wir $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ anwenden können, gilt:
    $x^b = x^{b-1+1} = x^{b-1} \cdot x^1 = x^{b-1} \cdot x$

    $x^{b+3} = x^{b-1+1+3} = x^{b-1} \cdot x^{4}$

    • Benutzen wir diese Umstellungen für $x^b$ und $x^{b+3}$, so können wir den Term wie folgt umstellen:
    $x^b+6y^2x^{b+3}+7x^{b-1}za^a = x^{b-1}x+6y^2x^{b-1}x^4+7x^{b-1}za^a$

    • Nun können wir $x^{b-1}$ als Faktor vor die Klammer schreiben und in die Klammer alle Summanden, die um diesen Faktor verringert wurden.

    Term 3: $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3} = 5y^2x^{-3}$ Falsch, siehe Term 1.

    $~$

    Term 4: $(9x^ay^{m-n}+5x^2)\cdot 3y^{n}x^{-3} = 15 x^{-1} \cdot y^n + 27x^{a-3}y^m$ $\surd$

    • Zunächst wird ausmultipliziert:
    $(9x^ay^{m-n}+5x^2)\cdot 3y^{n}x^{-3} = 9x^ay^{m-n}\cdot 3y^{n}x^{-3} +5x^2\cdot 3y^{n}x^{-3}$

    • Mit $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ können wir vereinfachen:
    $9x^ay^{m-n}\cdot 3y^{n}x^{-3} +5x^2\cdot 3y^{n}x^{-3}= 27x^{a-3}y^{m-n+n}+15x^{2-3}y^n = 15x^{-1}y^n + 27x^{a-3}y^{m}$
  • Entscheide, welche Terme durch Ausklammern oder Ausmultiplizieren ineinander überführt werden können.

    Tipps

    Bei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen.

    Für $15a+21b$ gilt zum Beispiel:

    • $15=3\cdot 5$
    • $ 21=3\cdot 7$
    Wir können nun den gemeinsamen Faktor $3$ ausklammern, also:

    $15a+21b=3\cdot(5a+7b)$

    Bei den Potenzen ist es hilfreich, sie mit diesem Potenzgesetz zunächst sinnvoll umzuformen.

    Zum Beispiel kannst du bei $x^3y+x^2z$ schreiben:

    $x^3y+x^2z=x^{2+1}y+x^2z=x^2\cdot xy+x^2z$

    Damit siehst du, dass du $x^2$ ausklammern kannst.

    $x^3y+x^2z=x^2\cdot(xy+z)$

    Lösung

    Die folgenden Terme müssen ausgeklammert werden:

    Term 1: $~4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8$

    Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $4=2\cdot 2$ und $8=2\cdot 2\cdot 2$ und $32= 2^5$ die Primfaktorzerlegungen an, damit ist $2 \cdot 2 =4$ in jedem Summanden enthalten und wir können $4$ wie folgt ausklammern:

    • $4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = 4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)$
    Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:
    • $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$
    Wir suchen für Potenzen gleicher Basis jeweils die Potenz mit dem kleinsten Exponenten und zerlegen die jeweils andere Potenz entsprechend. Für die Basis $x$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $x^2$. Den zweiten Summanden können wir dann mit $x^3=x^{2+1}=x^2 \cdot x$ und den dritten mit $x^5=x^{2+3}=x^2 \cdot x^3$ umschreiben:
    • $4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)=4(x^2y + 2x^2xy^2 + 16x^2x^3 y^8)=4x^2(y + 2xy^2 + 16x^3 y^8)$
    Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y$ in allen drei Summanden vorkommt und wir es daher ausklammern können. Es ergibt sich:
    • $4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = \color{#669900}{4x^2y} (1+2xy+8x^3y^7)$
    Term 2: $~3x^5z^2y-7zy^6x^5$

    Auch bei Differenzen können wir auf diese Art und Weise vorgehen:

    • $3x^5z^2y-7zy^6x^5= 3\color{#669900}{x^5yz}z-7\color{#669900}{x^5y}y^5\color{#669900}{z}=\color{#669900}{x^5yz}(3z-7y^5)$
    Die folgenden Terme müssen ausmultipliziert werden:

    Term 3: $~4x^2y^5(3x^3+6yz)$

    Dazu wird jeder Summand in der Klammer einzeln mit dem Faktor multipliziert:

    • $4x^2y^5(3x^3+6yz)= 4x^2y^5\cdot 3x^3+6yz\cdot 3x^3 = 12x^5y^5+24x^2y^6z$
    Term 4: $~(x-1)y^2z$

    Das Gleiche gilt auch bei Differenzen innerhalb der Klammer. Also:

    • $(x-1)y^2z= x\cdot y^2z-1\cdot y^2z = xy^2z-y^2z$

  • Prüfe, an welcher Stelle der Rechnung zum ersten Mal ein Fehler auftritt.

    Tipps

    Gehe Zeile für Zeile vor. Überprüfe zunächst die Primfaktorzerlegung der Zahlen und dann, ob die Potenzgesetze korrekt angewendet wurden.

    Lösung

    Term 1: $~15x^2y+45xyz $

    Hier wurde beim Ausklammern die $3$ vergessen. Die Primfaktorzerlegung der Zahlen $15$ und $45$ lautet wie folgt:

    • $15=3\cdot 5$
    • $45=3\cdot 3 \cdot 5$
    Wir können also $15$ ausklammern. Der Faktor $3$ bleibt aber bestehen. Es folgt dann:
    • $15(x^2y+\color{#669900}{3}xyz)=15xy(x+\color{#669900}{3}z)$
    Aufgabentyp: Ausklammern

    Term 2: $~(17xy+2x^2a-3az)\cdot (-3x^5y^2)$

    Der Faktor außerhalb der Klammer ist negativ, damit ändert sich für jeden Summanden (oder Subtrahenden und Minuenden) das Vorzeichen. Wir erhalten also:

    • $-17xy \cdot 3x^5y^2\color{#669900}{- 2x^2a \cdot 3x^5y^2}+ 3az \cdot 3x^5y^2$
    Im nächsten Schritt wurde das Potenzgesetz $u^v \cdot u^w = u^{v+w}$ nicht beachtet. Es gilt nämlich:
    • $\color{#669900}{-51x^6y^3} + 6x^7ay^2+ 9azx^5y^2$
    Aufgabentyp: Ausmultiplizieren

    Term 3: $~33x^3y-45x^8y^3z-3x^2x^2y^2$

    Man klammert zunächst die $3$ aus:

    • $3(11x^3y - 15x^8y^3z - x^2x^2y^2)$
    Hier könnte zunächst in der Klammer $x^2x^2$ zu $x^4$ zusammengefasst und dann $x^3y$ ausgeklammert werden:
    • $= 3x^3y (11-15x^5y^2z-\color{#669900}{xy})$
    Also ist der Fehler im letzten Teil gemacht worden.

    Aufgabentyp: Ausklammern