Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.7 / 174 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du beim Ausklammern und Ausmultiplizieren vorgehst.

    Tipps

    Das Ausmultiplizieren ist die Umkehrung des Ausklammerns. Dabei wird eine Summe oder Differenz mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert.

    Das Volumen eines Quaders berechnen wir, indem wir die Grundfläche mit der Höhe multiplizieren. Bei einem Würfel sind alle drei Seiten gleich lang, also insbesondere die beiden der Grundfläche und die der Höhe.

    Lösung

    Beim Ausklammern entspricht der Faktor vor der Klammer dem größten gemeinsamen Faktor der Summanden oder des Minuenden und der Subtrahenden. Dabei handelt es sich also um den Faktor, der in allen Gliedern des gegebenen Terms vorkommt. Innerhalb der Klammern schreibt man dann die Summanden oder den Minuenden und die Subtrahenden, die mit diesem Faktor multipliziert wieder den alten Term ergeben würden.

    In unserem Beispiel ist der größte gemeinsame Faktor die Grundfläche der Quader, also $a^2$. Diesen klammern wir aus und erhalten:

    $a^3 +a^2\cdot b = a^2\cdot a+a^2\cdot b= a^2\cdot(a+b)$

    Das Ausmultiplizieren ist die Umkehrung des Ausklammerns. Dabei wird eine Summe oder Differenz mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert, indem man jeden einzelnen Summanden oder den Minuenden und die Subtrahenden innerhalb der Klammer mit dem Faktor außerhalb der Klammer multipliziert.

  • Schildere den Ablauf beim Ausklammern des jeweiligen Terms.

    Tipps

    Wir schauen uns üblicherweise zunächst die Zahlen und dann die Potenzen an.

    Die Primfaktorzerlegung für $33$ sieht zum Beispiel so aus $33= 3\cdot 11$

    Lösung

    Wir betrachten nun folgenden Term:

    • $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2$
    Terme wie diesen können wir wie folgt ausklammern. Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $10$ und $15$ die Primfaktorzerlegungen an:
    • $10=2\cdot 5$
    • $15=3\cdot 5$
    Damit erhalten wir:
    • $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = 2\cdot \color{#669900}{5}\cdot x^3 \cdot y^5 - 3\cdot \color{#669900}{5} \cdot x^5 \cdot y^2$
    Wir erkennen, dass die $5$ in beiden Faktoren enthalten ist. Weiter geht es mit den Variablen. Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:
    • $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$
    Wir suchen für Potenzen mit gleicher Basis jeweils die Potenz mit dem kleinsten Exponenten und zerlegen die jeweils andere Potenz entsprechend obigem Gesetz. Für die Basis $x$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $x^3$. Die Potenz $x^5$ können wir dann wie folgt zerlegen:
    • $x^5=x^{3+2}=x^3 \cdot x^2$
    Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y^2$ sowohl im Minuenden als auch im Subtrahenden vorkommt und zerlegen $y^5$ wie folgt:
    • $y^5=y^{2+3}=y^2 \cdot y^3$
    Damit erhalten wir insgesamt:
    • $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = \color{#669900}{5 \cdot x^3 \cdot y^2 } \cdot (2\cdot y^3 - 3\cdot x^2)$

  • Entscheide, welche Terme durch Ausklammern oder Ausmultiplizieren ineinander überführt werden können.

    Tipps

    Bei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen.

    Für $15a+21b$ gilt zum Beispiel:

    • $15=3\cdot 5$
    • $ 21=3\cdot 7$
    Wir können nun den gemeinsamen Faktor $3$ ausklammern, also:

    $15a+21b=3\cdot(5a+7b)$

    Bei den Potenzen ist es hilfreich, sie mit diesem Potenzgesetz zunächst sinnvoll umzuformen.

    Zum Beispiel kannst du bei $x^3y+x^2z$ schreiben:

    $x^3y+x^2z=x^{2+1}y+x^2z=x^2\cdot xy+x^2z$

    Damit siehst du, dass du $x^2$ ausklammern kannst.

    $x^3y+x^2z=x^2\cdot(xy+z)$

    Lösung

    Die folgenden Terme müssen ausgeklammert werden:

    Term 1: $~4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8$

    Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $4=2\cdot 2$ und $8=2\cdot 2\cdot 2$ und $32= 2^5$ die Primfaktorzerlegungen an, damit ist $2 \cdot 2 =4$ in jedem Summanden enthalten und wir können $4$ wie folgt ausklammern:

    • $4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = 4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)$
    Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:
    • $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$
    Wir suchen für Potenzen gleicher Basis jeweils die Potenz mit dem kleinsten Exponenten und zerlegen die jeweils andere Potenz entsprechend. Für die Basis $x$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $x^2$. Den zweiten Summanden können wir dann mit $x^3=x^{2+1}=x^2 \cdot x$ und den dritten mit $x^5=x^{2+3}=x^2 \cdot x^3$ umschreiben:
    • $4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)=4(x^2y + 2x^2xy^2 + 16x^2x^3 y^8)=4x^2(y + 2xy^2 + 16x^3 y^8)$
    Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y$ in allen drei Summanden vorkommt und wir es daher ausklammern können. Es ergibt sich:
    • $4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = \color{#99CC00}{4x^2y} (1+2xy+8x^3y^7)$

    Term 2: $~3x^5z^2y-7zy^6x^5$

    Auch bei Differenzen können wir auf diese Art und Weise vorgehen:

    • $3x^5z^2y-7zy^6x^5= 3 \cdot x^5 \cdot y \cdot z \cdot z - 7 \cdot x^5 \cdot y \cdot y^5 \cdot z = \color{#99CC00}{x^5yz (3z-7y^5)}$
    Die folgenden Terme müssen ausmultipliziert werden:


    Term 3: $~4x^2y^5(3x^3+6yz)$

    Dazu wird jeder Summand in der Klammer einzeln mit dem Faktor multipliziert:

    • $4x^2y^5(3x^3+6yz)= 4x^2y^5\cdot 3x^3+6yz\cdot 3x^3 = \color{#99CC00}{12x^5y^5+24x^2y^6z}$

    Term 4: $~(x-1)y^2z$

    Das Gleiche gilt auch bei Differenzen innerhalb der Klammer. Also:

    • $(x-1)y^2z= x\cdot y^2z-1\cdot y^2z = \color{#99CC00}{xy^2z-y^2z}$

  • Prüfe, an welcher Stelle der Rechnung zum ersten Mal ein Fehler auftritt.

    Tipps

    Gehe Zeile für Zeile vor. Überprüfe zunächst die Primfaktorzerlegung der Zahlen und dann, ob die Potenzgesetze korrekt angewendet wurden.

    Lösung

    Term 1: $~15x^2y+45xyz $

    Hier wurde beim Ausklammern die $3$ vergessen. Die Primfaktorzerlegung der Zahlen $15$ und $45$ lautet wie folgt:

    • $15=3\cdot 5$
    • $45=3\cdot 3 \cdot 5$
    Wir können also $15$ ausklammern. Der Faktor $3$ bleibt aber bestehen. Es folgt dann:
    • $15(x^2y+\color{#669900}{3}xyz)=15xy(x+\color{#669900}{3}z)$
    Aufgabentyp: Ausklammern

    Term 2: $~(17xy+2x^2a-3az)\cdot (-3x^5y^2)$

    Der Faktor außerhalb der Klammer ist negativ, damit ändert sich für jeden Summanden (oder Subtrahenden und Minuenden) das Vorzeichen. Wir erhalten also:

    • $-17xy \cdot 3x^5y^2\color{#669900}{- 2x^2a \cdot 3x^5y^2}+ 3az \cdot 3x^5y^2$
    Im nächsten Schritt wurde das Potenzgesetz $u^v \cdot u^w = u^{v+w}$ nicht beachtet. Es gilt nämlich:
    • $\color{#669900}{-51x^6y^3} + 6x^7ay^2+ 9azx^5y^2$
    Aufgabentyp: Ausmultiplizieren

    Term 3: $~33x^3y-45x^8y^3z-3x^2x^2y^2$

    Man klammert zunächst die $3$ aus:

    • $3(11x^3y - 15x^8y^3z - x^2x^2y^2)$
    Hier könnte zunächst in der Klammer $x^2x^2$ zu $x^4$ zusammengefasst und dann $x^3y$ ausgeklammert werden:
    • $= 3x^3y (11-15x^5y^2z-\color{#669900}{xy})$
    Also ist der Fehler im letzten Teil gemacht worden.

    Aufgabentyp: Ausklammern

  • Bestimme, welche Faktoren du bei den gegebenen Termen ausklammern kannst.

    Tipps

    Bei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen.

    Für $14a+35b$ gilt zum Beispiel:

    • $14=2\cdot 7$
    • $ 35=5\cdot 7$
    Wir können nun den gemeinsamen Faktor $7$ ausklammern, also:

    $14a+35b=7\cdot(2a+5b)$

    Dieses Potenzgesetz hilft dir zu erkennen, welche Potenzen du ausklammern kannst.

    Achte beim Ausklammern von Potenzen mit gleichen Basen darauf, dass vor der Klammer die Potenz mit dem kleinsten Exponenten steht und in der Klammer nur noch Potenzen, die um den kleinsten Exponenten vermindert wurden.

    Zum Beispiel: $3\cdot x^2+7\cdot x^4=x^2 \cdot (3+7x^2)$

    Lösung

    Wir schauen uns die Terme nacheinander an:

    Erster Term: $a^2\cdot a+a^2\cdot b$

    • Hier können wir leicht erkennen, dass in beiden Summanden $a^2$ vorkommt, also:
    $\color{#99CC00}{a^2}\color{black}{~\cdot ~a+~}\color{#99CC00}{a^2}\color{black}{~\cdot ~b=~}\color{#99CC00}{a^2}\color{black}{~\cdot ~(a+b)}$

    $~$

    Zweiter Term: $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2$

    • Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $10=2\cdot 5$ und $15=3\cdot 5$ die Primfaktorzerlegungen an:
    $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = 2\cdot \color{#99CC00}{5}\color{black}{~\cdot ~x^3 \cdot y^5 - 3~\cdot~} \color{#99CC00}{5} \color{black}{~\cdot ~x^5 \cdot y^2}$

    Dabei erkennen wir, dass die $5$ in beiden Faktoren enthalten ist.

    • Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:
    $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$

    • Wir suchen für Potenzen gleicher Basis, jeweils die mit dem kleinsten Exponenten und schreiben dann unsere Summanden so um, dass dieser in jedem auftaucht. Für die Basis $y$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $y^2$, für $x$ ist es $x^3$. Den Minuend können wir dann mit $y^5 = y^{3+2} = y^3 \cdot y^2$, den Subtrahend mit $x^5=x^{3+2}=x^3 \cdot x^2$ umschreiben:
    $2\cdot 5 \cdot x^3 \cdot y^5 - 3\cdot 5 \cdot x^5 \cdot y^2 = 2\cdot 5\cdot \color{#99CC00}{x^3} \color{black}{~\cdot ~y^3 ~\cdot~} \color{#99CC00}{y^2} \color{black}{~- ~3 ~\cdot~} \color{#99CC00}{x^3} \color{black}{~\cdot ~x^2 ~\cdot~} \color{#99CC00}{y^2}$

    • Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y^2$ sowohl im Minuend als auch im Subtrahend vorkommt und wir es daher ausklammern können. Es ergibt sich:
    $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = \color{#99CC00}{5 \cdot x^3 \cdot y^2 } \color{black}{~\cdot ~(2\cdot y^3 - 3\cdot x^2)}$

    $~$

    Dritter Term: $4\cdot m^2 \cdot n^3 + 8\cdot m^2\cdot n^4$

    $4\cdot m^2 \cdot n^3 + 8\cdot m^2\cdot n^4 = \color{#99CC00}{4\cdot m^2 \cdot n^3} \color{black}{~\cdot~ (1+2n)}$

  • Entscheide, ob die Termumformungen korrekt sind.

    Tipps

    Beachte die Potenzgesetze:

    • $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$
    • $u^{-1}=\frac 1 u$
    Lösung

    Term 1: $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3} = 4+5y^2x^{-3}$ $\checkmark$

    $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3}$

    • $y^0=1$ können wir weglassen. Ausmultiplizieren ergibt:
    $4x^3\cdot x^{-3}+5y^2\cdot x^{-3}$

    • Mit $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ können wir vereinfachen:
    $4x^{3+(-3)}+5y^2 x^{-3} = 4x^0+5y^2 x^{-3}= 4+5y^2x^{-3}$

    $~$

    Term 2: $x^b+6y^2x^{b+3}+7x^{b-1}za^a= x^{b-1}(x^1+6y^2x^{4}+7za^a)$ $\checkmark$

    • Die einzige Basis, die in allen Summanden zu finden ist, ist $x$. Vorausgesetzt $b$ ist positiv, so ist der kleinste zu findende Exponent bei $x$ das $b-1$. Da wir $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ anwenden können, gilt:
    $x^b = x^{b-1+1} = x^{b-1} \cdot x^1 = x^{b-1} \cdot x$

    $x^{b+3} = x^{b-1+1+3} = x^{b-1} \cdot x^{4}$

    • Benutzen wir diese Umstellungen für $x^b$ und $x^{b+3}$, so können wir den Term wie folgt umstellen:
    $x^b+6y^2x^{b+3}+7x^{b-1}za^a = x^{b-1}x+6y^2x^{b-1}x^4+7x^{b-1}za^a$

    • Nun können wir $x^{b-1}$ als Faktor vor die Klammer schreiben und in die Klammer alle Summanden, die um diesen Faktor verringert wurden.

    Term 3: $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3} = 5y^2x^{-3}$ Falsch, siehe Term 1.

    $~$

    Term 4: $(9x^ay^{m-n}+5x^2)\cdot 3y^{n}x^{-3} = 15 x^{-1} \cdot y^n + 27x^{a-3}y^m$ $\surd$

    • Zunächst wird ausmultipliziert:
    $(9x^ay^{m-n}+5x^2)\cdot 3y^{n}x^{-3} = 9x^ay^{m-n}\cdot 3y^{n}x^{-3} +5x^2\cdot 3y^{n}x^{-3}$

    • Mit $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ können wir vereinfachen:
    $9x^ay^{m-n}\cdot 3y^{n}x^{-3} +5x^2\cdot 3y^{n}x^{-3}= 27x^{a-3}y^{m-n+n}+15x^{2-3}y^n = 15x^{-1}y^n + 27x^{a-3}y^{m}$
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

7.316

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.912

Lernvideos

37.087

Übungen

34.304

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden