Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen
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Grundlagen zum Thema Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Terme mit Potenzen mit Hilfe des Distributivgesetzes umzuformen.
Zunächst lernst du, wie du dir das Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Hilfe von Quadervolumina vorstellen kannst. Anschließend lernst du, wie du kompliziertere Terme mit Hilfe von Potenzgesetzen umformst und ausklammerst. Abschließend betrachtest du den umgekehrten Weg: Das Ausmultiplizieren von Termen mit Potenzen.
Lerne etwas über die Anwendung des Distributivgesetzes in der Schrottentsorgung im Weltraum.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Ausklammern und Ausmultiplizieren, Potenz und Potenzgesetz.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein Term ist und wie du Terme mit Hilfe des Distributivgesetzes umformen kannst.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, noch schwierigere Termumformungen, bspw. mit den binomischen Formeln, zu lernen.
Transkript Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen
Manni, der Space-Trucker arbeitet in der Schrottentsorgungs-Branche und zwar in ganz großem Stil: Mit seinem Schwerlast-Raumschiff transportiert er die Schrotthaufen ganzer Planeten zu den interstellaren Entsorgungszentren.Während wir Manni bei seinen Fahrten begleiten, können wir uns das Ausklammern und Ausmultiplizieren in Termen mit Potenzen anschauen. Der ganze Schrott wird in verschieden hohen Behältern gesammelt. Aber immer von derselben Schrottpresse zusammengepresst. Diese Schrottpresse hat eine quadratische Platte. Daher haben auch alle gepressten Schrotthaufen dieselbe quadratische Grundfläche. Ihren Flächeninhalt können wir also mit 'a Quadrat' angeben. Die Höhe der zusammengepressten Schrotthaufen ist aber unterschiedlich. Der erste ist würfelförmig, er hat also auch die HÖHE 'a' und damit das Volumen 'a hoch 3'. Der zweite hat eine andere Höhe, nennen wir sie 'b', und damit das Volumen 'a Quadrat mal b'. Zusammen haben sie also das Volumen 'a hoch 3' plus 'a Quadrat mal b'. Aber Manni möchte heute mal etwas ausprobieren: Er will beide Schrotthaufen durch Kippen so zusammenschieben. Dann hat er nämlich nur einen Quader und muss nur eine Tour machen. a Quadrat' können wir wieder als Grundfläche wählen und als Höhe 'a plus b'. Also ist sein Volumen a Quadrat mal 'in Klammern' a plus b. Das ist aber genauso groß wie das Volumen der beiden einzelnen Schrotthaufen, also a hoch 3 plus a Quadrat mal b. Schauen wir uns das noch einmal genauer an: Berechnen wir das Volumen der einzelnen Schrotthaufen, so rechnen wir bei beiden: Grundfläche mal Höhe. Schieben wir beide Schrotthaufen zusammen, dann ist es so, als ob wir die Grundfläche so vor die Summe der beiden Höhen ziehen. Weil wir die Summe der beiden Höhen dann in Klammern schreiben müssen, nennt man diese Termumformung ausklammern. Das dürfen wir mit beliebigen Termen machen, in denen die einzelnen Summanden gleiche Faktoren haben. Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: 10 mal x hoch 3 mal y hoch 5 minus 15 mal x hoch 5 mal y Quadrat'. Differenzieren können wir genauso ausklammern wie Summen. Bei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen: 10 ist '2 mal 5' und 15 '3 mal 5'. In x hoch 5 ist auch x hoch 3 enthalten und in y hoch 5 auch y Quadrat. Nach den Potenzgesetzen werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Wenden wir dieses Gesetz umgekehrt an, können wir die Potenz 'x hoch 5' ist gleich x hoch '3 plus 2' zu 'x hoch 3' mal 'x hoch 2' umformen. Genauso können wir 'y hoch 5' zu 'y hoch 3' mal 'y hoch 2' umformen. Wir sehen: diese Faktoren kommen in beiden Summanden vor. Wir können sie also so ausklammern. Achte beim Ausklammern von Potenzen mit gleichen Basen darauf, dass vor der Klammer die Potenz mit dem kleinsten Exponenten auftaucht. In der Klammer findest du nur noch Potenzen, die um den kleinsten Exponenten vermindert sind. In dem Summanden, wo zuvor der kleinste Exponent gestanden hatte, taucht die Potenz IN der Klammer gar nicht mehr auf. Schauen wir uns noch ein Beispiel an: 32 mal 'x Quadrat' mal 'y hoch 3' plus 128 mal 'x Quadrat' mal 'y hoch 4'. 32 ist ein Teiler von 128, denn 128 ist 4 mal 32. Die Potenzen dürfen wir wieder mit dem Potenzgesetz umformen. Mh. Aber nun sind ja alle Faktoren des linken Summanden auch im rechten Summanden enthalten. Dann multiplizieren wir hier mit 1, denn das verändert den Summanden nicht. Nun können wir den ganzen Summanden so ausklammern, wobei in der Klammer hier die 1 übrigbleibt. Weil für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt, können wir die Faktoren vor die Klammer ziehen, aber auch hinter die Klammer. Manni hat die beiden Schrottberge zu einem zusammengebunden. Mal sehen, ob das funktioniert. Ah! Leider nicht! Dann muss er sie wohl doch einzeln fortschaffen. Der zusammengesetzte Schrotthaufen hatte ein Volumen von Grundfläche mal die Summe der beiden Höhen. Fliegen die Schrotthaufen wieder auseinander, dann ist das so, als ob man die Grundfläche wieder mit jeder der beiden Höhen einzeln verrechnet. Und wir erhalten wieder für beide: Grundfläche mal Höhe. Diese Termumformung nennt man ausmultiplizieren. Schauen wir uns dazu noch ein Beispiel an: 3 mal 'x Quadrat' mal 'y' mal 'in Klammern' '2 mal y' plus '1' plus '3 mal x Quadrat'. Wir können diesen Term ausmultiplizieren, indem wir den Faktor vor der Klammer mit allen Summanden in der Klammer multiplizieren. Das sieht dann so aus. Die Faktoren in den einzelnen Summanden können wir noch ein bisschen umsortieren. Zahlen können wir vor die Variablen ziehen und ausrechnen. Potenzen können wir nach ihren Basen sortieren. Durch Anwendung des Potenzgesetzes können wir die Potenzen mit gleichen Basen so zusammenfassen. Und Manni? Der hat sich versehentlich selbst entsorgt. Oh! Hier landet der ganze Schrott also.
Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen Übung
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Beschreibe, wie du beim Ausklammern und Ausmultiplizieren vorgehst.
TippsDas Ausmultiplizieren ist die Umkehrung des Ausklammerns. Dabei wird eine Summe oder Differenz mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert.
Das Volumen eines Quaders berechnen wir, indem wir die Grundfläche mit der Höhe multiplizieren. Bei einem Würfel sind alle drei Seiten gleich lang, also insbesondere die beiden der Grundfläche und die der Höhe.
LösungBeim Ausklammern entspricht der Faktor vor der Klammer dem größten gemeinsamen Faktor der Summanden oder des Minuenden und der Subtrahenden. Dabei handelt es sich also um den Faktor, der in allen Gliedern des gegebenen Terms vorkommt. Innerhalb der Klammern schreibt man dann die Summanden oder den Minuenden und die Subtrahenden, die mit diesem Faktor multipliziert wieder den alten Term ergeben würden.
In unserem Beispiel ist der größte gemeinsame Faktor die Grundfläche der Quader, also $a^2$. Diesen klammern wir aus und erhalten:
$a^3 +a^2\cdot b = a^2\cdot a+a^2\cdot b= a^2\cdot(a+b)$
Das Ausmultiplizieren ist die Umkehrung des Ausklammerns. Dabei wird eine Summe oder Differenz mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert, indem man jeden einzelnen Summanden oder den Minuenden und die Subtrahenden innerhalb der Klammer mit dem Faktor außerhalb der Klammer multipliziert.
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Schildere den Ablauf beim Ausklammern des jeweiligen Terms.
TippsWir schauen uns üblicherweise zunächst die Zahlen und dann die Potenzen an.
Die Primfaktorzerlegung für $33$ sieht zum Beispiel so aus $33= 3\cdot 11$
LösungWir betrachten nun folgenden Term:
- $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2$
- $10=2\cdot 5$
- $15=3\cdot 5$
- $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = 2\cdot \color{#669900}{5}\cdot x^3 \cdot y^5 - 3\cdot \color{#669900}{5} \cdot x^5 \cdot y^2$
- $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$
- $x^5=x^{3+2}=x^3 \cdot x^2$
- $y^5=y^{2+3}=y^2 \cdot y^3$
- $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2 = \color{#669900}{5 \cdot x^3 \cdot y^2 } \cdot (2\cdot y^3 - 3\cdot x^2)$
-
Entscheide, welche Terme durch Ausklammern oder Ausmultiplizieren ineinander überführt werden können.
TippsBei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen.
Für $15a+21b$ gilt zum Beispiel:
- $15=3\cdot 5$
- $ 21=3\cdot 7$
$15a+21b=3\cdot(5a+7b)$
Bei den Potenzen ist es hilfreich, sie mit diesem Potenzgesetz zunächst sinnvoll umzuformen.
Zum Beispiel kannst du bei $x^3y+x^2z$ schreiben:
$x^3y+x^2z=x^{2+1}y+x^2z=x^2\cdot xy+x^2z$
Damit siehst du, dass du $x^2$ ausklammern kannst.
$x^3y+x^2z=x^2\cdot(xy+z)$
LösungDie folgenden Terme müssen ausgeklammert werden:
Term 1: $~4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8$
Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $4=2\cdot 2$ und $8=2\cdot 2\cdot 2$ und $32= 2^5$ die Primfaktorzerlegungen an, damit ist $2 \cdot 2 =4$ in jedem Summanden enthalten und wir können $4$ wie folgt ausklammern:
- $4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = 4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)$
- $u^v \cdot u^w= u^{v+w}$
- $4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)=4(x^2y + 2x^2xy^2 + 16x^2x^3 y^8)=4x^2(y + 2xy^2 + 16x^3 y^8)$
- $4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = \color{#99CC00}{4x^2y} (1+2xy+8x^3y^7)$
Term 2: $~3x^5z^2y-7zy^6x^5$
Auch bei Differenzen können wir auf diese Art und Weise vorgehen:
- $3x^5z^2y-7zy^6x^5= 3 \cdot x^5 \cdot y \cdot z \cdot z - 7 \cdot x^5 \cdot y \cdot y^5 \cdot z = \color{#99CC00}{x^5yz (3z-7y^5)}$
Term 3: $~4x^2y^5(3x^3+6yz)$
Dazu wird jeder Summand in der Klammer einzeln mit dem Faktor multipliziert:
- $4x^2y^5(3x^3+6yz)= 4x^2y^5\cdot 3x^3+6yz\cdot 3x^3 = \color{#99CC00}{12x^5y^5+24x^2y^6z}$
Term 4: $~(x-1)y^2z$
Das Gleiche gilt auch bei Differenzen innerhalb der Klammer. Also:
- $(x-1)y^2z= x\cdot y^2z-1\cdot y^2z = \color{#99CC00}{xy^2z-y^2z}$
-
Prüfe, an welcher Stelle der Rechnung zum ersten Mal ein Fehler auftritt.
TippsGehe Zeile für Zeile vor. Überprüfe zunächst die Primfaktorzerlegung der Zahlen und dann, ob die Potenzgesetze korrekt angewendet wurden.
LösungTerm 1: $~15x^2y+45xyz $
Hier wurde beim Ausklammern die $3$ vergessen. Die Primfaktorzerlegung der Zahlen $15$ und $45$ lautet wie folgt:
- $15=3\cdot 5$
- $45=3\cdot 3 \cdot 5$
- $15(x^2y+\color{#669900}{3}xyz)=15xy(x+\color{#669900}{3}z)$
Term 2: $~(17xy+2x^2a-3az)\cdot (-3x^5y^2)$
Der Faktor außerhalb der Klammer ist negativ, damit ändert sich für jeden Summanden (oder Subtrahenden und Minuenden) das Vorzeichen. Wir erhalten also:
- $-17xy \cdot 3x^5y^2\color{#669900}{- 2x^2a \cdot 3x^5y^2}+ 3az \cdot 3x^5y^2$
- $\color{#669900}{-51x^6y^3} + 6x^7ay^2+ 9azx^5y^2$
Term 3: $~33x^3y-45x^8y^3z-3x^2x^2y^2$
Man klammert zunächst die $3$ aus:
- $3(11x^3y - 15x^8y^3z - x^2x^2y^2)$
- $= 3x^3y (11-15x^5y^2z-\color{#669900}{xy})$
Aufgabentyp: Ausklammern
-
Bestimme, welche Faktoren du bei den gegebenen Termen ausklammern kannst.
TippsBei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen.
Für $14a+35b$ gilt zum Beispiel:
- $14=2\cdot 7$
- $ 35=5\cdot 7$
$14a+35b=7\cdot(2a+5b)$
Dieses Potenzgesetz hilft dir zu erkennen, welche Potenzen du ausklammern kannst.
Achte beim Ausklammern von Potenzen mit gleichen Basen darauf, dass vor der Klammer die Potenz mit dem kleinsten Exponenten steht und in der Klammer nur noch Potenzen, die um den kleinsten Exponenten vermindert wurden.
Zum Beispiel: $3\cdot x^2+7\cdot x^4=x^2 \cdot (3+7x^2)$
LösungWir schauen uns die Terme nacheinander an:
Erster Term: $a^2\cdot a+a^2\cdot b$
- Hier können wir leicht erkennen, dass in beiden Summanden $a^2$ vorkommt, also:
$~$
Zweiter Term: $10\cdot x^3 \cdot y^5 - 15 \cdot x^5 \cdot y^2$
- Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $10=2\cdot 5$ und $15=3\cdot 5$ die Primfaktorzerlegungen an:
Dabei erkennen wir, dass die $5$ in beiden Faktoren enthalten ist.
- Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz:
- Wir suchen für Potenzen gleicher Basis, jeweils die mit dem kleinsten Exponenten und schreiben dann unsere Summanden so um, dass dieser in jedem auftaucht. Für die Basis $y$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $y^2$, für $x$ ist es $x^3$. Den Minuend können wir dann mit $y^5 = y^{3+2} = y^3 \cdot y^2$, den Subtrahend mit $x^5=x^{3+2}=x^3 \cdot x^2$ umschreiben:
- Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y^2$ sowohl im Minuend als auch im Subtrahend vorkommt und wir es daher ausklammern können. Es ergibt sich:
$~$
Dritter Term: $4\cdot m^2 \cdot n^3 + 8\cdot m^2\cdot n^4$
$4\cdot m^2 \cdot n^3 + 8\cdot m^2\cdot n^4 = \color{#99CC00}{4\cdot m^2 \cdot n^3} \color{black}{~\cdot~ (1+2n)}$
-
Entscheide, ob die Termumformungen korrekt sind.
TippsBeachte die Potenzgesetze:
- $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$
- $u^{-1}=\frac 1 u$
LösungTerm 1: $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3} = 4+5y^2x^{-3}$ $\checkmark$
$(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3}$
- $y^0=1$ können wir weglassen. Ausmultiplizieren ergibt:
- Mit $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ können wir vereinfachen:
$~$
Term 2: $x^b+6y^2x^{b+3}+7x^{b-1}za^a= x^{b-1}(x^1+6y^2x^{4}+7za^a)$ $\checkmark$
- Die einzige Basis, die in allen Summanden zu finden ist, ist $x$. Vorausgesetzt $b$ ist positiv, so ist der kleinste zu findende Exponent bei $x$ das $b-1$. Da wir $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ anwenden können, gilt:
$x^{b+3} = x^{b-1+1+3} = x^{b-1} \cdot x^{4}$
- Benutzen wir diese Umstellungen für $x^b$ und $x^{b+3}$, so können wir den Term wie folgt umstellen:
- Nun können wir $x^{b-1}$ als Faktor vor die Klammer schreiben und in die Klammer alle Summanden, die um diesen Faktor verringert wurden.
Term 3: $(4x^3y^0+5y^2)\cdot x^{-3} = 5y^2x^{-3}$ Falsch, siehe Term 1.
$~$
Term 4: $(9x^ay^{m-n}+5x^2)\cdot 3y^{n}x^{-3} = 15 x^{-1} \cdot y^n + 27x^{a-3}y^m$ $\surd$
- Zunächst wird ausmultipliziert:
- Mit $u^v\cdot u^w=u^{v+w}$ können wir vereinfachen:
Was ist Ausklammern?
Ausklammern ganzer Summanden
Terme ausklammern und ausmultiplizieren
Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen
Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen
Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers
Ausklammern bei Differenzen und Quotienten
Ausmultiplizieren mehrerer Summen
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