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Klammern auflösen – Übung

Inhaltsverzeichnis zum Thema Klammern auflösen – Übung
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Klammern auflösen – Übung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Klammern auflösen – Übung

Klammern: Erklärung

In der Mathematik sind Klammern Symbole, die eine Hierarchie innerhalb von Termen erzeugen. Ergänzend zu den üblichen Rechengesetzen geben Klammern an, welcher Teil eines Terms zuerst berechnet wird. Ausdrücke in Klammern werden stets zuerst berechnet. Dabei werden im Normalfall die Symbole „$($“ für das Öffnen einer Klammer und „$)$“ für das Schließen einer Klammer verwendet. Zur Übersichtlichkeit gibt es jedoch auch die Möglichkeit, eckige Klammern, also „$[$“ und „$]$“, zu verwenden.

  • Zum Beispiel geht Punkt vor Strich: $2+3\cdot 4=2+12=14$
  • Klammern gehen vor Punktrechnung: $(2+3)\cdot 4=5\cdot 4=20$. Zunächst wird der Wert des Terms in der Klammer berechnet $2+3=5$ und dann wird dieser Wert mit $4$ multipliziert.

Klammern auflösen bedeutet, dass ein gegebener Term ohne Klammern geschrieben wird. Unter der Beachtung bestimmter Regeln ist es so möglich, jeden Term auch ohne Klammern zu schreiben. Wie kann man solche Klammern auflösen?

Klammern auflösen: Übungen

Plus vor einer Klammer Der Term $+(3+4)$ steht für $(+1)\cdot (3+4)$. Die Multiplikation mit $1$ ändert den Wert eines Termes nicht. Das bedeutet, dass $+(3+4)=3+4$ ist. Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, so kann die Klammer weggelassen werden.

Beispiele

  • $+(3+x)=3+x$
  • $+(x-8)=x-8$

Minus vor einer Klammer Der Term $-(3+4)$ steht für $(-1)\cdot (3+4)$. Das Minuszeichen vor einer Klammer entspricht somit dem Produkt der Zahl $-1$ mit dem Term in Klammern.

Ein Faktor vor einer Klammer Steht ein Faktor vor einer Klammer, dann muss jeder Term in der Klammer mit dem Faktor multipliziert werden. Dies wird als Distributivgesetz oder auch Verteilungsgesetz bezeichnet.

Allgemein wird dies so formuliert: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. Dies gilt auch, wenn der Faktor hinter der Klammer steht, da die Multiplikation vertauschbar oder auch kommutativ ist.

Beispiele

  • $3\cdot (2+4)=3\cdot 2+3\cdot 4$
  • $(-2)\cdot (x+4)=(-2)\cdot x+(-2)\cdot 4=-2x-8$
  • $(-1)\cdot (3+4)=(-1)\cdot 3+(-1)\cdot 4=-3-4=-7$

Das letzte Beispiel führt zu der folgenden Merkregel für ein Minus vor einer Klammer: Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, so werden die Vorzeichen der Terme in der Klammer umgedreht.

Beispiele

  • $-(3+x)=-3-x$
  • $-(4-y)=-4+y$
  • $-(-x+2)=x-2$
  • $-(-y-4)=y+4$

Das Produkt zweier Terme in Klammern Schließlich können auch zwei Klammerterme miteinander multipliziert werden. Auch hierfür wird das Distributivgesetz verwendet:

$\begin{array}{rcl} (3+5)\cdot (4+2)&=&(3+5)\cdot 4+(3+5)\cdot 2\\ &=&4\cdot (3+5)+2\cdot (3+5)\\ &=&4\cdot 3+4\cdot 5+2\cdot 3+2\cdot 5 \end{array} $

Es wird also jeder Term in der linken Klammer mit jedem Term in der rechten multipliziert.

Beispiele

$\begin{array}{rcl} (x+4)\cdot (y+3)&=&(x+4)\cdot y+(x+4)\cdot 3\\ &=&y\cdot (x+4)+3\cdot (x+4)\\ &=&y\cdot x+y\cdot 4+3\cdot x+3\cdot 4\\ &=&x\cdot y+4\cdot y+3\cdot x+12 \end{array} $

$\begin{array}{rcl} (x-y)\cdot (3t-7)&=&(x-y)\cdot 3t+(x-y)\cdot (-7)\\ &=&3\cdot (x-y)+(-7)\cdot (x-y)\\ &=&3\cdot x+3\cdot (-y)+(-7)\cdot x+(-7)\cdot (-y)\\ &=&3\cdot x-3\cdot y-7\cdot x+7\cdot y \end{array} $

Verwendung – binomische Formeln

Ein Spezialfall des Produktes zweier Klammern sind die binomischen Formeln. 1. binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

Transkript Klammern auflösen – Übung

Klammern sind extrem nützlich! Sie halten zusammen, was zusammen gehört! Aber man muss manchmal auch loslassen können. In diesem Video schauen wir uns nochmal an, wie das funktioniert, das "Auflösen von Klammern". Wer Klammern auflösen möchte, der sollte das Distributivgesetz kennen. Denn das sagt uns, wie wir mit so einem Term hier umgehen können. Wir lösen die Klammer auf, indem wir den Faktor VOR der Klammer mit beiden Summanden IN der Klammer multiplizieren. Diesen Vorgang nennen wir auch "Ausmultiplizieren". Dann legen wir mal los. Hier haben wir eine erste Aufgabe. Um die Vorgehensweise zu verinnerlichen, können wir uns die Variablen der Formel auch als leere Kästen vorstellen, in die wir die Zahlen der Aufgabe dann einfach einsetzen können. Wir rechnen also einfach "drei mal fünf" plus "drei mal sieben". Und erhalten so schließlich sechsunddreißig als Ergebnis. Also das Ergebnis, das wir genauso auch erhalten hätten, wenn wir erst die Klammer ausgerechnet und dann multipliziert hätten. Okay, das Prinzip sollte klar sein. Hier siehst du ein paar weitere, etwas kompliziertere Übungsaufgaben. Am besten pausierst du das Video kurz und rechnest erstmal selber. Dann gibt es die Lösungen mit Erklärung. Ich mein's ernst, gib dir 'nen Ruck! Fertig? Super, dann schauen wir uns die erste Aufgabe an. Hier gibt es eine kleine Besonderheit und zwar das Minuszeichen hier. Wenn wir die Klammer ausmultiplizieren möchten, können wir uns die Aufgabe ganz ausführlich auch SO aufschreiben und haben dann wieder die bekannte Struktur, bei der wir einfach nach "Schema F" vorgehen können. Wir rechnen also "zwei mal acht" plus "zwei mal minus drei". Das ist gleich "sechzehn minus sechs", also zehn. Bei DIESER Aufgabe haben wir negative Zahlen, wir rechnen dieses Mal auch mit VARIABLEN und haben insgesamt DREI Terme in der Klammer. An der grundlegenden Vorgehensweise ändert das nichts. Durch Ausmultiplizieren erhalten wir "minus vier mal eins" plus "minus vier mal x" plus "minus vier mal minus fünf y". Das ist gleich "minus vier" "minus vier x" und beim letzten Summanden müssen wir darauf achten, dass "minus mal minus" plus ergibt. Mehr können wir nicht zusammenfassen, fertig! Zum Schluss haben wir noch eine Aufgabe, bei der wir gleich zwei Klammern auflösen sollen. Wir machen das Schritt für Schritt und gehen zunächst so vor, wie wir es gewohnt sind. Wir betrachten die vordere Klammer also als Vorfaktor und lösen die hintere Klammer auf. So erhalten wir DIESEN Term. Als nächstes hilft uns hier das Kommutativgesetz weiter, mit dem wir DIESE beiden Faktoren jeweils nach vorne ziehen dürfen. Und jetzt können wir das Distributivgesetz gleich zweimal anwenden. Bei der ersten Klammer müssen wir darauf achten, Brüche und Variablen richtig zu multiplizieren und bei der zweiten Klammer das Minus nicht vergessen! Dann sind alle Klammern aufgelöst. Wir können die Brüche noch kürzen. Job erledigt! Lass uns nochmal schnell zusammenfassen, worauf du beim Ausmultiplizieren achten solltest. Wenn du das Distributivgesetz anwenden möchtest, um Klammern aufzulösen, werden dir immer wieder auch negative Zahlen über den Weg laufen. Du solltest also gut verinnerlicht haben, wie du negative Zahlen multiplizierst. Das grundlegende Vorgehen bleibt aber immer das gleiche! Egal, ob wir einfach mit Zahlen oder auch mit Variablen rechnen und ob wir eine oder mehrere Klammern haben. Nur nicht den Überblick verlieren, dann sollte nichts schief gehen! Und wir kriegen auch die fiesesten Klammern gelöst!

7 Kommentare
7 Kommentare
  1. Ich finde es auch cool als Erklärung ich hatte es aber schon davor verstanden 😛😚☺️

    Von Anna, vor 5 Tagen
  2. Es hat mir aber auch voll viel geholfen so habe ich meine HA verstanden.
    DANKE!
    Sofatutor Team.

    Von Layana, vor 12 Tagen
  3. War nur Wiederholung

    Von Sofatutorstern, vor etwa einem Monat
  4. Sehr gutes Video

    Von Carl, vor 3 Monaten
  5. team digital nicht zu toppen

    Von Kerem✌️, vor 5 Monaten
Mehr Kommentare

Klammern auflösen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Klammern auflösen – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Berechnung des Terms.

    Tipps

    Die jeweilige Farbe der Kästchen zeigt dir, welche Zahlen hineingehören.

    Beispiel:

    $\begin{array}{rcl} 4 \cdot (6 + 3) &=& 4 \cdot 6 + 4 \cdot 3 \\ &=& 24 + 12 \\ &=& 36 \end{array}$

    Lösung

    Um Terme mit Klammern berechnen zu können, sollten wir das Distributivgesetz kennen:

    $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

    Wir lösen die Klammer auf, indem wir den Faktor vor der Klammer mit beiden Summanden in der Klammer multiplizieren. Das nennt man auch ausmultiplizieren:

    $3 \cdot ( 5 + 7 ) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 7$

    Danach müssen wir die beiden Multiplikationsaufgaben zuerst ausrechnen, denn es gilt Punkt vor Strich. Also:

    $3 \cdot 5 = 15$
    $3 \cdot 7 = 21$

    Zum Schluss fassen wir die beiden Ergebnisse zusammen:

    $15 + 21 = 36$

    Somit ist das Ergebnis des Terms:

    $3 \cdot ( 5 + 7 ) = 36$

  • Vereinfache den Term unter Verwendung des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Im ersten Schritt lösen wir die hintere Klammer auf.

    Das Kommutativgesetz lautet:

    $(a + b) \cdot c = c \cdot (a + b)$

    Beispiel:

    $(3x + 5) \cdot 4y = 4y \cdot (3x + 5)$

    Lösung

    Um diesen Term berechnen zu können, müssen wir das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz kennen. Dank dieser beiden Gesetze wissen wir, was zu tun ist, wenn wir Klammern auflösen wollen.

    $\biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr) \cdot \biggl(\dfrac{2}{3} y -6 \biggr)$

    Diesen Term können wir wie folgt darstellen:

    $\biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr) \cdot \biggl(\dfrac{2}{3} y + (-6) \biggr) =$

    Im ersten Schritt lösen wir die hintere Klammer auf:

    $\biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr)$ $\cdot~ \color{#33CC33}{\dfrac{2}{3}y}$ $+ \biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr) \cdot$ $\color{#0070C0}{(-6)}$

    Nun können wir mithilfe des Kommutativgesetzes die beiden Faktoren jeweils vor die Klammer setzen:

    $\color{#33CC33}{\dfrac{2}{3}y}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr)$$\color{#0070C0}{-~6}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr)$

    Als Nächstes multiplizieren wir die Klammern aus. Hier brauchen wir das Distributivgesetz. Das heißt, wir multiplizieren den Faktor vor der Klammer mit den beiden Summanden in der Klammer:

    $\color{#33CC33}{\dfrac{2}{3}y}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2}\biggr) +$ $\color{#33CC33}{\dfrac{2}{3}y}$ $\cdot~2x$ $\color{#0070C0}{-~6}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2}\biggr)$$\color{#0070C0}{-~6}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2}\biggr)$

    Jetzt müssen wir alle Multiplikationsaufgaben ausrechnen, denn es gilt Punkt vor Strich:

    $\dfrac{2}{6}y + \dfrac{4}{3}xy - \dfrac{6}{2} - 12x$

    Im letzten Schritt können wir noch folgende Brüche kürzen:

    $\dfrac{2:2}{6:2}y = \dfrac{1}{3}y$

    $\dfrac{6:2}{2:2} = \dfrac{3}{1} = 3$

    Da wir nicht weiter vereinfachen können, lautet das Ergebnis:

    $\dfrac{1}{3}y + \dfrac{4}{3}xy - 3 - 12x$

  • Berechne den Wert des Terms mit Klammern.

    Tipps

    Nach dem Kommutativgesetz darfst du den Faktor hinter der Klammer vor die Klammer setzen:

    ${(3 + 2) \cdot 7} = {7 \cdot (3 + 2)}$

    Beispiel:

    $2 \cdot (5 + 6) + 3 \cdot (5 + 6) = 55$

    Lösung

    Um Terme mit Klammern zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor:

    • Faktor vor oder hinter der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer multiplizieren (Distributivgesetz)
    • Teilergebnisse (wenn möglich) addieren.

    Beispiel 1:

    $\begin{array}{rcl} (3 + 5) ~\cdot~ \color{#33CC33}{7~} \color{black}{+~ (4 + 4) ~\cdot~} \color{#0070C0}{3} &=& 3 ~\cdot~ \color{#33CC33}{7~} \color{black}{+~ 5 ~\cdot~} \color{#33CC33}{7} \color{back}{~+~ 4 ~\cdot~} \color{#0070C0}{3} \color{black}{~+~ 4 ~\cdot~} \color{#0070C0}{3} \\ &=& 21 + 35 + 12 + 12 \\ &=& \underline{\underline{80}} \end{array}$

    Beispiel 2:

    $\begin{array}{rcl} (5 + 7) ~\cdot~ \color{#33CC33}{3~} \color{black}{+~ (9 + 3) ~\cdot~} \color{#0070C0}{4} &=& 5 ~\cdot~ \color{#33CC33}{3} \color{black}{~+~ 7 ~\cdot~} \color{#33CC33}{3} \color{black}{~+~ 9 ~\cdot~} \color{#0070C0}{4} \color{black}{~+~ 3 ~\cdot~} \color{#0070C0}{4} \\ &=&15 + 21 + 36 + 12 \\ &=& \underline{\underline{84}} \end{array}$

    Beispiel 3:

    $\begin{array}{rcl} \color{#33CC33}{4} \color{black}{~\cdot ~ (6 + 7) ~+} \color{#0070C0}{~5~} \color{black}{\cdot~ (5 + 7)} &=& \color{#33CC33}{4} \color{black}{~\cdot~ 6~+~} \color{#33CC33}{4} \color{black}{~\cdot~ 7~+~} \color{#0070C0}{5} \color{black}{~\cdot~ 5~+~} \color{#0070C0}{5} \color{black}{~\cdot~ 7} \\ &=&24 + 28 + 25 + 35 \\ &=& \underline{\underline{112}} \end{array}$

    Beispiel 4:

    $\begin{array}{rcl} \color{#33CC33}{7} \color{black}{~\cdot ~ (6 + 4) ~+} \color{#0070C0}{~5~} \color{black}{\cdot~ (7 + 2)} &=& \color{#33CC33}{7} \color{black}{~\cdot~ 6~+~} \color{#33CC33}{7} \color{black}{~\cdot~ 4 ~+~} \color{#0070C0}{5} \color{black}{~\cdot~ 7 ~+~} \color{#0070C0}{5} \color{black}{~\cdot~ 2} \\ &=&42 + 28 + 35 + 10 \\ &=& \underline{\underline{115}} \end{array}$

  • Bestimme die ausmultiplizierten Terme.

    Tipps

    Beachte die Rechenregeln für Vorzeichen:

    1. $+ \cdot + = +$
    2. $- \cdot - = +$
    3. $+ \cdot - = -$
    4. $- \cdot + = -$

    Beispiel:

    ${2 \cdot (4x +6y - 8)} = {8x + 12y -16}$

    Lösung

    Um die Terme lösen zu können, müssen wir ausmultiplizieren. Das bedeutet, dass wir die Zahl vor der Klammer mit jeder Zahl in der Klammer multiplizieren müssen.
    Dabei ist es wichtig, dass du die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation kennst:

    1. $+ \cdot + = +$
    2. $- \cdot - = +$
    3. $+ \cdot - = -$
    4. $- \cdot + = -$

    Beispiel 1:

    $\begin{array}{rcl} 3 \cdot (9 + 6x - 4y) &=& \color{#0070C0}{3~} \color{black}{\cdot ~9 ~+~} \color{#0070C0}{3~} \color{black}{\cdot ~6x ~+~} \color{#0070C0}{3~} \color{black}{\cdot ~(-4y)} \\ &=& 27 + 18x - 12y \end{array}$

    Beispiel 2:

    $\begin{array}{rcl} -10 \cdot (-3 + 2x + 4y) &=& \color{#0070C0}{-10~} \color{black}{\cdot ~(-3) ~} \color{#0070C0}{-~10~} \color{black}{\cdot ~2x~} \color{#0070C0}{-~10~} \color{black}{\cdot ~4y} \\ &=& 30 - 20x - 40y \end{array}$

    Beispiel 3:

    $\begin{array}{rcl} 8y \cdot (2 +5x)~-4 \cdot (2 + 5x) &=& \color{#0070C0}{8y~} \color{black}{\cdot ~2~+~} \color{#0070C0}{8y~} \color{black}{\cdot ~5x~} \color{#33CC33}{-~4~} \color{black}{\cdot ~2~} \color{#33CC33}{-~4~} \color{black}{\cdot ~5x} \\ &=& 16y+ 40xy - 8 - 20x \end{array}$

    Beispiel 4:

    $\begin{array}{rcl} (5x - 4) \cdot (9 + 3y) &=& \color{#0070C0}{5x~} \color{black}{\cdot ~9~+~} \color{#0070C0}{5x~} \color{black}{\cdot ~3y~} \color{#33CC33}{-~4~} \color{black}{\cdot ~9~} \color{#33CC33}{-~4~} \color{black}{\cdot ~3y} \\ &=& 45x + 15xy - 36 - 12y \end{array}$

  • Gib die richtige Anwendung des Distributivgesetzes an.

    Tipps

    Es gibt drei richtige Antworten.

    Beispiel:

    $2y \cdot (3x + 4) = 2y \cdot 3x + 2y \cdot 4$

    Lösung

    Das Distributivgesetz wendest du richtig an, indem du den Faktor vor oder hinter der Klammer mit allen Summanden in der Klammer multiplizierst.
    Der Faktor kann eine Zahl (z. B. $3$), eine Variable (z. B. $x$) oder eine Kombination aus Zahl und Variable (z. B. $4y$) sein.

    Nachfolgend siehst du die Lösungen:

    Rechnung 1:

    $~3 \cdot (7 + 3x) = 21 + 9x$

    $\color{yellowgreen}{\text{RICHTIG}}$, denn:
    $\begin{array}{rcl} 3 \cdot (7 + 3x) &=& 3 \cdot 7 + 3 \cdot 3x \\ &=& 21 + 9x \end{array}$

    Rechnung 2:

    $~(4y + 3x) \cdot 2 = 4y + 3x$

    $\color{red}{\text{FALSCH}}$, denn:
    $\begin{array}{rcl} (4y + 3x) \cdot 2 &=& 4y \cdot 2 + 3x \cdot 2 \\ &=& 8y + 6x \end{array}$

    $\Rightarrow$ Fehler: Die Zahlen in der Klammer wurden nicht mit $2$ multipliziert.

    Rechnung 3:

    $~2 \cdot (9y + 10x) = 18y + 20x$

    $\color{yellowgreen}{\text{RICHTIG}}$, denn:
    $\begin{array}{rcl} 2 \cdot (9y + 10x) &=& 2 \cdot 9y + 2 \cdot 10x \\ &=& 18y + 20x \end{array}$

    Rechnung 4:

    $~2x \cdot (5 - 3y) = 10 - 6y$

    $\color{red}{\text{FALSCH}}$, denn:
    $\begin{array}{rcl} 2x \cdot (5 - 3y) &=& 2x \cdot 5 - 2x \cdot 3y \\ &=& 10x - 6xy \end{array}$

    $\Rightarrow$ Fehler: Die Zahlen in der Klammer wurden nur mit der Zahl, nicht aber mit der Variablen vor der Klammer multipliziert.

    Rechnung 5:

    $~(2x + 5) \cdot 7 = 14x + 35$

    $\color{yellowgreen}{\text{RICHTIG}}$, denn:
    $\begin{array}{rcl} (2x + 5) \cdot 7 &=& 2x \cdot 7 + 2x \cdot 7 \\ &=& 14x + 35 \end{array}$

    Rechnung 6:

    $~(10x + 4) \cdot 10 = 20x + 14$

    $\color{red}{\text{FALSCH}}$, denn:
    $\begin{array}{rcl} (10x + 4) \cdot 10 &=& 10x \cdot 10 + 4 \cdot 10 \\ &=& 100x + 40 \end{array}$

    $\Rightarrow$ Fehler: Die Zahl vor der Klammer wurde addiert statt multipliziert.

  • Vervollständige den Ausgangsterm.

    Tipps

    Überlege dir, wie du auf die Ergebnisse kommst. Rechne also rückwärts.

    Beispiel:

    $\color{#0070C0}{2} \color{black}{~\cdot~ (3x ~+}$ ___ $) = 6x + \color{#0070C0}{20}$
    $\color{#0070C0}{20} \color{black}{~:~} \color{#0070C0}{2}$ $\color{black}{=}$ $\color{#33CC33}{10}$, also:
    $ \color{#0070C0}{2} \color{black}{~\cdot~ (3x ~+} \color{#33CC33}{~10} \color{black}{) = 6x~ +} \color{#0070C0}{~20}$

    Lösung

    Beispiel 1:

    $\color{#0070C0}{5}$ $\cdot~(3x~-$ ___ $) = 15x ~-$ $\color{#0070C0}{30}$
    Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{5}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{30}$ ergibt.
    Also rechnest du rückwärts:
    $\color{#0070C0}{30}$ $:$ $\color{#0070C0}{5}$ $=$ $\color{#33CC33}{6}$
    $\color{#0070C0}{5}$ $\cdot~(3x~-$ $\color{#33CC33}{6}$$) = 15x ~-$ $\color{#0070C0}{30}$

    Beispiel 2:

    ___ $ \cdot~($$\color{#0070C0}{4}$ $-~ 6x) =$ $\color{#0070C0}{-32}$ $+~ 48x$
    Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{4}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{-32}$ ergibt.
    Also rechnest du rückwärts:
    $\color{#0070C0}{-32}$ $:$ $\color{#0070C0}{4}$ $=$ $\color{#33CC33}{-8}$
    $\color{#33CC33}{-8}$ $ \cdot~($$\color{#0070C0}{4}$ $-~ 6x) =$ $\color{#0070C0}{-32}$ $+~ 48x$
    $\Rightarrow$ Hinweis: Hier kannst du auch $48x : (-6x) = -8$ rechnen.

    Beispiel 3:

    $\color{#0070C0}{8}$ $\cdot~($ ___ $-~ 7y) ~+$ $\color{#0070C0}{3}$ $\cdot~($ ___ $+~ 5)$
    $ =$ $\color{#0070C0}{72}$ $-~ 56y ~+$ $\color{#0070C0}{12x}$ $+~ 15$
    Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{8}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{72}$ ergibt.
    Also rechnest du rückwärts:
    $\color{#0070C0}{72}$ $:$ $\color{#0070C0}{8}$ $=$ $\color{#33CC33}{9}$
    Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{3}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{12x}$ ergibt.
    Also rechnest du rückwärts:
    $\color{#0070C0}{12x}$ $:$ $\color{#0070C0}{3}$ $=$ $\color{#33CC33}{4x}$
    $\color{#0070C0}{8}$ $\cdot~($$\color{#33CC33}{9}$ $-~ 7y) ~+$ $\color{#0070C0}{3}$ $\cdot~($$\color{#33CC33}{4x}$ $+~ 5) =$ $\color{#0070C0}{72}$ $-~ 56y ~+$ $\color{#0070C0}{12x}$ $+~ 15$
    $\Rightarrow$ Hinweis: Hier kannst du auch $-56y : (-7y) = 8$ bzw. $15 : 5 = 3$ rechnen.

    Beispiel 4:

    $(\color{#0070C0}{2x}$ $~+$ ___ $) ~\cdot~ ($ ___ $~ \color{#0070C0}{-~7~} \color{black}{)}$
    $ = ~\color{#0070C0}{10xy} \color{black}{ ~- 14x ~+ 20y~} \color{#0070C0} {- 28~}$
    Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{2x}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{10xy}$ ergibt.
    Also rechnest du rückwärts:
    $\color{#0070C0}{10xy}$ $:$ $\color{#0070C0}{2x}$ $=$ $\color{#33CC33}{5y}$
    Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{-7}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{-28}$ ergibt.
    Also rechnest du rückwärts:
    $\color{#0070C0}{-28}$ $:~($ $\color{#0070C0}{-7}$ $)=$ $\color{#33CC33}{4}$
    $(\color{#0070C0}{2x} \color{black}{~+~} \color{#33CC33}{4} \color{black}{) ~\cdot~ (} \color{#33CC33}{5y}~ \color{#0070C0}{-~7~} \color{black}{) =} ~\color{#0070C0}{10xy} \color{black}{ ~-~ 14x ~+ 20y~} \color{#0070C0} {- ~28~}$