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Ausmultiplizieren mehrerer Summen 06:38 min

Textversion des Videos

Transkript Ausmultiplizieren mehrerer Summen

Ahoi, ihr hungrigen Landratten! In Hardys Kombüse gibt es lecker Essen für wenig Geld. Sein Angebot ist überschaubar: Es gibt Kartoffeln oder Reis und dazu helle Soße oder dunkle Soße. Damit es nach etwas mehr aussieht, wendet er einen Trick an. Er hat zwei verschiedene Speisekarten. Auf der ersten steht es so: Einmal hat man die Wahl zwischen Kartoffeln und Reis. Für die Beilage kann man dann zwischen heller und dunkler Soße entscheiden. Auf der zweiten hat er die Gerichte ausformuliert: Kartoffeln mit heller Soße. Kartoffeln mit dunkler Soße. Reis mit heller Soße und Reis mit dunkler Soße. Aber eigentlich beschreiben beide Speisekarten genau dasselbe Angebot. Es sieht nur etwas anders aus. Bei vielen Termen ist das genauso. Sie sehen unterschiedlich aus, bedeuten aber dasselbe. Um diese Terme ineinander umzuformen, kann man Termumformungen verwenden, wie das Ausmultiplizieren. In diesem Video geht es um das Ausmultiplizieren mehrerer Summen. Zunächst wiederholen wir, was Ausmultiplizieren eigentlich ist: Haben wir ein Produkt gegeben, von dem einer der Faktoren eine Summe ist, können wir den anderen Faktor mit allen Summanden in der Klammer multiplizieren. So können wir die Klammer auflösen. Diese Termumformung heißt ausmultiplizieren. Das können wir auch machen, wenn beide Faktoren Summen sind. Wenn wir die rechte Klammer als einfachen Faktor auffassen, dürfen wir die linke Klammer so ausmultiplizieren. Dann haben wir zwei Summanden, die wir auch ganz normal ausmultiplizieren dürfen. Schauen wir uns diese Umformung noch einmal genauer an: Offenbar haben wir den ersten Summanden der einen Klammer mit beiden Summanden der anderen Klammer multipliziert. Mit dem zweiten Summanden haben wir es genauso gemacht. Ganz analog funktioniert das bei Hardys Speisekarten: Laut der ersten Speisekarte kann man sich zwischen Kartoffeln und Reis entscheiden und dazu hat man die Wahl zwischen heller und dunkler Soße. Kartoffeln kann man mit beiden Soßen kombinieren und Reis auch. Folglich kann man es auch so schreiben: Man kann wählen zwischen Kartoffeln mit heller Soße und Kartoffeln mit dunkler Soße und Reis mit heller Soße und Reis mit dunkler Soße. Das entspricht der zweiten Speisekarte. Beide Speisekarten beschreiben dasselbe Angebot, wie bei der Termumformung. Termumformungen kann man häufig auch in die Geometrie übertragen. Für die geometrische Darstellung des Ausmultiplizierens zweier Summen betrachten wir dieses Rechteck. Das teilen wir in vier unterschiedlich große Rechtecke auf. Diese Seiten sollen die Länge a, diese die Länge b, diese die Länge c und diese die Länge d haben. Das große Rechteck hat also die Seitenlängen a plus b und c plus d. Indem wir beide Summen miteinander multiplizieren, können wir den Flächeninhalt berechnen. Wir können den Flächeninhalt aber auch bestimmen, indem wir erst die Flächeninhalte der vier kleinen Rechtecke ermitteln und diese dann addieren. Auch so erhalten wir also die bereits bekannte Termumformung. Wenden wir sie doch einmal an: Wir können dieses Produkt aus zwei Summen ausmultiplizieren, indem wir jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. Die Zahlen in den Produkten können wir direkt ausrechnen. Gleiche Variablen in einem Produkt können wir zu Potenzen umschreiben. Gleichartige Summanden dürfen wir zusammenfassen. So erhalten wir das Ergebnis, das wir nicht weiter vereinfachen können. Und wie ist das in einem Produkt aus drei Summen? Da wählen wir uns zunächst zwei Klammern und multiplizieren diese aus. Hier beginnen wir mit der zweiten und dritten. Dazu verrechnen wir jeden Summanden der zweiten Klammer mit jedem Summanden der dritten Klammer. Was dabei herauskommt, müssen wir aber wieder in Klammern schreiben. Dann haben wir nur noch zwei Klammern, die wir genauso ausmultiplizieren dürfen: Den ersten Summanden der ersten Klammer multiplizieren wir mit jedem Summanden der zweiten Klammer. Mit dem zweiten Summanden der ersten Klammer verfahren wir genauso. Wir erhalten acht Summanden. Gleichartige dürfen wir zusammenfassen. So kommen wir auf das Ergebnis, das wir nicht noch weiter vereinfachen können. Fassen wir das noch einmal zusammen: Haben wir ein Produkt aus zwei Summen gegeben, können wir das ausmultiplizieren, indem wir jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer verrechnen. Das sieht dann so aus. Haben wir ein Produkt aus mehreren Summen gegeben, multiplizieren wir zunächst zwei davon aus. Was dabei herauskommt können wir mit der nächsten Klammer verrechnen. So kann man den Term schrittweise umformen. Und Hardy? Der hat heute hohen Besuch - einen Restaurant-Kritiker! Na, dem scheint's ja zu schmecken! Aber klar! Wer so gut rechnen kann, der macht auch spitzenmäßige Soßen!

Ausmultiplizieren mehrerer Summen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ausmultiplizieren mehrerer Summen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Ausmultiplizieren mehrerer Summen.

    Tipps

    Auch wenn Terme manchmal sehr unterschiedlich aussehen, können sie äquivalent sein.

    Hier wurden zwei Summen ausmultipliziert; $(k+r)\cdot (h+d)= k \cdot h +k \cdot d + r \cdot h + r\cdot d $

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Sehen Terme unterschiedlich aus, kann man sie niemals ineinander umformen.“

    • Auch wenn Terme manchmal sehr unterschiedlich aussehen, können sie äquivalent sein. In diesem Fall kann man sie ineinander umformen.
    „Ausmultiplizieren ist keine Termumformung.“

    • Beim Ausmultiplizieren wird ein Term auf eine andere Art und Weise aufgeschrieben. Das ist eine Termumformung.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Beim Ausmultiplizieren wird ein Faktor, der mit einer Summe multipliziert wird, mit allen Summanden der Summe einzeln multipliziert.“

    • Durch einen Term ausgedrückt, sieht das so aus: $a (b+c)=a \cdot b + a\cdot c = ab+ac$
    „Die Multiplikation zweier Summen kann man allgemein so schreiben: $(k+r)\cdot (h+d)$“

    „Möchte man zwei Summen ausmultiplizieren, muss man jeden Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.“

    • Hier wurden zwei Summen ausmultipliziert; $(k+r)\cdot (h+d)= k \cdot h +k \cdot d + r \cdot h + r\cdot d $
  • Beschreibe die geometrische Darstellung des Ausmultiplizierens zweier Summen.

    Tipps

    Du kannst den Flächeninhalt des großen Rechtecks bestimmen, indem du seinen Flächeninhalt direkt bestimmst. Das ist hier die linke Seite der Gleichung.

    Du kannst aber auch die Flächeninhalte der Teilrechtecke bestimmen und anschließend addieren. Das ist die rechte Seite der Gleichung.

    Du kannst die Terme zuordnen, indem du die Seitenlängen der jeweiligen Rechtecke multiplizierst.

    Lösung

    Jeder Term entspricht einem Teil des gesamten Rechtecks. Du kannst die Terme zuordnen, indem du die Seitenlängen der jeweiligen Rechtecke multiplizierst. Die Seitenlängen des gelben Rechtecks sind zum Beispiel $c$ und $b$. Also gehört dieses Rechteck zum Term $bc$. Mit diesen Überlegungen kannst du alle anderen Terme zuordnen.

  • Beschreibe, wie man zwei Summen ausmultipliziert.

    Tipps

    Jeder Summand der ersten Klammer wird mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert.

    Nach der Multiplikation kannst du gleichartige Terme zusammenfassen. Zum Beispiel:

    $3yx+2yx=5yx$

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Das Ausmultiplizieren von zwei allgemeinen Summen kannst du so ausdrücken:

    $(k+r)\cdot (h+d)= k \cdot h + k \cdot d + r \cdot h + r\cdot d $“

    • Jeder Summand der ersten Klammer wird mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert.
    „Wenden wir das auf den gegebenen Term an, erhalten wir:

    $(2x+5y) \cdot (7x+3y)= 2x \cdot 7x+2x \cdot 3y+ 5y\cdot 7x + 5y \cdot 3y$

    Vereinfacht ergibt sich dann:

    $14x^2+41xy+15y^2$“

    • Auch hier musst du alle Summanden miteinander multiplizieren. Anschließend kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.
  • Ermittle die korrekten Rechnungen.

    Tipps

    Du kannst bestimmen, welche Rechnungen korrekt sind, indem du die Summen/Differenzen ausmultiplizierst. Multipliziere also alle Teile der ersten Klammer mit beiden Teilen der zweiten Klammer.

    Beachte dabei die Vorzeichen. Erinnere dich, dass die Multiplikation zweier Faktoren mit ungleichen Vorzeichen $(+/-)$ oder $(-/+)$ ein negatives Ergebnis $(-)$ und mit gleichen Vorzeichen $(+/+)$ oder $(-/-)$ ein positives Ergebnis $(+)$ ergibt.

    Lösung

    Du kannst bestimmen, welche Rechnungen korrekt sind, indem du die Summen bzw. Differenzen ausmultiplizierst. Multipliziere also alle Teile der ersten Klammer mit beiden Teilen der zweiten Klammer. Beachte dabei die Vorzeichen. Erinnere dich, dass die Multiplikation zweier Faktoren mit ungleichen Vorzeichen, also $(+/-)$ oder $(-/+)$, ein negatives Ergebnis $(-)$ ergibt. Haben die beiden Faktoren gleiche Vorzeichen $(+/+)$ oder $(-/-)$, so ist das Produkt positiv $(+)$. So erhältst du, dass diese Rechnungen falsch sind:

    $(2x-8y) \cdot (3y+3x)=8x^2-18xy+24y^2$

    • Hier rechnen wir:
    $\begin{array}{lllll} && (2x-8y) \cdot (3y+3x) &=& 2x \cdot 3y + 2x \cdot 3x-8y \cdot 3y -8y \cdot 3x \\ && &=& 6xy + 6x^2-24y^2 -24xy \\ && &=& 6x^2-24xy+6xy-24y^2 \\ && &=& 6x^2-18xy-24y^2 \\ \\ \end{array}$

    $(8y+3) \cdot (x-2y)=-16y^2-6y-8xy+3x$

    • Hier wird gerechnet:
    $\begin{array}{lllll} && (8y+3) \cdot (x-2y) &=& 8y \cdot (-2y) +3 \cdot x + 8y \cdot x +x \cdot (-2y) \\ && &=& -16y^2 +3x + 8xy -2xy \\ && &=& -16y^2 +3x + 6xy \\ \\ \end{array}$

    Diese Rechnungen sind korrekt:

    • $(3x-4) \cdot (5x-3)=15x^2-9x-20x+12=15x^2-29x+12$
    • $(8x-7y) \cdot (x-y)=8x^2-7xy-8xy+7y^2=8x^2-15xy+7y^2$
  • Wende die Regeln zum Ausmultiplizieren zweier Summen an.

    Tipps

    Multipliziere jeden Summanden der ersten Klammer mit beiden Summanden der zweiten Klammer.

    Gleichartige Terme kannst du zusammenfassen. Gleichartige Terme sind Terme, in denen die gleichen Variablen vorkommen. Zum Beispiel sind $3x$ und $4x$ gleichartig. Du kannst sie also zu $7x$ zusammenfassen.

    Lösung

    Du kannst die Terme verbinden, indem du die Summen ausmultiplizierst. Multipliziere dabei jeden Summanden der ersten Klammer mit beiden Summanden der zweiten Klammer. So erhältst du:

    $\begin{array}{ll} \\ (2x+y) \cdot (3x+2y)&=2x \cdot 3x+ 2x \cdot 2y + y \cdot 3x + y \cdot 2y\\ &= 6x^2+4xy+3xy+2y^2\\ &=6x^2+7xy+2y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} (x+y) \cdot (3x+3y)&=x \cdot 3x + x \cdot 3y + y \cdot 3x+ y \cdot 3y\\ &=3x^2+3xy+3xy+3y^2\\ &=3x^2+6xy+3y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} (3x+2) \cdot (4y+3)&=3x \cdot 4y + 3x \cdot 3 + 2 \cdot 4y+ 2 \cdot 3\\ &=12xy+9x + 8y+6\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} (x+2) \cdot (3y+2)&=x \cdot 3y + x \cdot 2 + 2 \cdot 3y +2 \cdot 2\\ &=3xy+2x + 6y+4\\ \end{array}$

  • Bestimme die ausmultiplizierte Form der Terme.

    Tipps

    So multiplizierst du zwei allgemeine Summen aus:

    $(k+r)\cdot (h+d)= k \cdot h + k \cdot d + r \cdot h + r\cdot d $

    Gleichartige Terme kannst du zusammenfassen. Ein gleichartiger Term, ist ein Term in denen die gleichen Variablen vorkommen. Zum Beispiel sind die Terme $3x$ und $4x$ gleichartig.

    Lösung

    Du kannst die Terme verbinden, indem du die Summen ausmultiplizierst. Multipliziere dabei jeden Summanden der ersten Klammer mit beiden Summanden der zweiten Klammer. So erhältst du:

    $\begin{array}{ll} \\ (5x+4y) \cdot (6x+7y)&= 5x \cdot 6x +5x \cdot 7y+ 4y \cdot 6x + 4y \cdot 7y\\ &=30x^2+35xy+24xy +28y^2\\ &=30x^2+59xy +28y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \\ (2x+4y) \cdot (9x+8y) &=2x \cdot 9x + 2x \cdot 8y + 4y \cdot 9x + 4y \cdot 8y\\ &=18x^2+16xy+36xy +32y^2\\ &=18x^2+52xy +32y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \\ (7x+3y) \cdot (2y+5x)&=7x \cdot 2y + 7x \cdot 5x + 3y \cdot 2y + 3y \cdot 5x\\ &=35x^2+14xy+15xy +6y^2\\ &=35x^2+29xy +6y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \\ (4y+3x) \cdot (7x+3y)&=4y \cdot 7x + 4y \cdot 3y + 3x \cdot 7x + 3x \cdot 3y\\ &=21x^2+28xy+9xy +12y^2\\ &=21x^2+37xy +12y^2\\ \\ \end{array}$