Berechnungen am Kegelstumpf 05:20 min
Transkript Berechnungen am Kegelstumpf
Hallo und herzlich willkommen. meine Name ist Jonathan und ich nehme dich heute mit in die wunderbare Welt der Mathematik. In diesem Video möchte ich mit Dir üben, das Volumen und die Oberfläche eines Kegelstumpfes zu berechnen. Ich werde erst einmal eine Übersicht mit den Formeln für die Oberfläche, das Volumen und die Mantellinie erstellen, damit wir sie dann parat haben. Wir werden dann zusammen an einem Beispiel die Oberfläche und das Volumen eines Kegelstumpfes berechnen. Am Ende werde ich zusammenfassen, wie Du bei den Berechnungen am Kegel vorgehen musst. Du solltest den Kegelstumpf schon kennen. Auch die Formeln, die wir benutzten, solltest Du kennen, da ich sie Dir in diesem Video nicht herleite.Fangen wir mit der Formelsammlung an. Der Radius der Grundfläche heißt groß R. Der Radius der Deckfläche klein r. Die Höhe des Kegelstumpfes ist h und die Mantellinie heißt m. Die Formel für die Mantelfläche lautete: AM = π * m * (R + r). Die gesamte Oberfläche setzt sich aus der Mantelfläche, der Deckfläche und der Grundfläche zusammen. Die Formel lautet dann: AO = π (r² + R² + m(R + r))Wenn du R, r und h kennst, kannst Du die Länge der Mantellinie ausrechnen. m = Wurzel(h² + (R - r)²) Für das Volumen gilt: V = π/3 * h * (R² + Rr + r²). Jetzt schauen wir uns einen Kegelstumpf an. Wir wollen Oberfläche und Volumen von diesem Kegelstumpf berechnen. Die Grundfläche hat einen Radius von 10 Zentimetern. Die Deckfläche hat einen Radius von 4 Zentimetern. Die Höhe beträgt 8 Zentimeter. Die Länge der Mantellinie habe ich schon gemessen. Sie ist 10 Zentimeter lang. Das m wirklich 10 Zentimeter ist, kannst Du mit der Formel nachrechnen. Mit diesen Werten können wir die Größe der Oberfläche berechnen. Wir setzen die Werte für R, r und m ein. Wir rechnen die Quadrate aus und 10cm + 4cm = 14cm. 10cm * 14cm = 140cm². 16cm² + 100cm² + 140cm² sind zusammen 256cm². Nun kannst du π * 256cm² mit dem Taschenrechner rechnen und dann haben wir das Ergebnis. Unser Kegelstumpf hat eine Oberfläche von rund 804cm².Jetzt können wir das Volumen von dem Kegelstumpf ausrechnen. Wir setzen die Werte für R, r und h ein. (10cm)² = 100cm². 10cm * 4cm = 40cm². (4cm)² = 16cm². Das zusammengerechnet ergibt 156cm². π/3 * 8 * 156 kannst Du in den Taschenrechner eingeben. Das Ergebnis ist rund 1307. Das Volumen ist also 1307cm³.Ich fasse kurz zusammen: Um die Oberfläche eines Kegelstumpfes auszurechnen, brauchst Du die Radien der Grundfläche und der Deckfläche. Also R und r und die Länge der Mantellinie m. Wenn Du m nicht durch Messen herausfinden kannst, kannst Du dies mit dieser Formel machen. Dafür brauchst Du zusätzlich die Höhe h des Kegels. Für das Volumen brauchst Du R, r und h. Damit sind wir am Ende dieses Videos angekommen. Ich hoffe es hat Dir weitergeholfen und Du kannst jetzt das Volumen und die Oberfläche eines Kegelstumpfes berechnen. Mein Name ist Jonathan. Hoffentlich sehen wir uns bald wieder. Bis dahin wünsche ich Dir viel Freude an der Mathematik.
Videobeschreibung
Was ist ein Kegelstumpf?
Der Kegelstumpf ist ein geometrischer Körper. Er steht in enger Beziehung zum Ein Kegelstumpf entsteht, wenn bei einem Kegel parallel zur Grundfläche die Spitze abgeschnitten wird. Dies hat zur Folge, dass er Kegelstumpf im Vergleich zum Kegel keine Spitze sondern eine Deckfläche besitzt. Außerdem ändert sich die Form der Mantelfläche.
Bezeichnung der Größen in einem Kegelstumpf
Die Höhe des Kegelstumpfes wird mit $h$ bezeichnet. Der Radius der Deckfläche ist $r$ und der der Grundfläche $R$. Es gilt $r\lt R$. Die Kante des Kegelstumpfes wird mit $m$ bezeichnet.
Kegelstumpf Volumen: Herleitung
Zur Berechnung des Volumens verwendet man die Volumenformel eines Kegels.
Es gilt $V=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$.
Der Ausgangskegel hat die Höhe $h+x$. Dann beträgt dessen Volumen $V_1=\frac13\cdot \pi\cdot R^2\cdot (h+x)$. Dabei ist $x$ die Höhe der Spitze. Das Volumen der Spitze, welche abgeschnitten wird, beträgt $V_2=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot x$.
Nach den Strahlensätzen gilt $\frac{h+x}{x}=\frac{R}{r}$. Mit Hilfe dieses Strahlensatzes kann die Differenz der beiden Volumina $V=V_1-V_2$ umgeformt werden zu:
$V=\frac13\cdot \pi\cdot h\cdot \left(R^2+R\cdot r+r^2\right)$
Volumen Kegelstumpf: Beispiel
Gegeben sind folgende Werte:
- $r=15~\text{cm}$
- $R=18~\text{cm}$
- $h=28~\text{cm}$
Berechnung: Kegelstumpf – Volumen
Diese Größen können in die Volumenformel eingesetzt werden:
$\begin{array}{rcl} V&=&\frac13\cdot \pi\cdot 28~\text{cm}\cdot \left((18~\text{cm})^2+18~\text{cm}\cdot 15~\text{cm}+(15~\text{cm})^2\right)\\ &\approx& 24014,33 ~\text{cm}^3 \end{array}$
Dieses Volumen kann durch Division durch $1000$ in $\text{dm}^3$ umgerechnet werden. Ein Kubikdezimeter entspricht einem Liter: $24014,33 ~\text{cm}^3=(24014,33:1000) ~\text{dm}^3=24,01433~\text{dm}^3$. Das bedeutet, dass der Kegelstumpf etwas mehr als $24$ Liter fasst.
Der Kegelstumpf im Alltag
Auch im Alltag lassen sich Kegelstümpfe entdecken. Viele Behälter haben die Form eines Kegelstumpfs, wie zum Beispiel ein Eimer. Der Radius der Öffnung ist größer als der Radius des Bodens. Ist das Fassungsvermögen nicht bekannt, lässt sich mit Hilfe der Formel zur Berechnung des Volumens auch dieses berechnen. Einige Tassen, Gläser oder auch Vasen haben die Form eines Kegelstumpfs.
Der Tutor:
Mathematik
Berechnungen am Kegelstumpf
Berechnungen am Kegelstumpf Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Berechnungen am Kegelstumpf kannst du es wiederholen und üben.
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Gib die Formeln wieder, mit denen sich der Oberflächeninhalt des Kegelstumpfes berechnen lässt.
Tipps
Der Oberflächeninhalt eines Kegels lässt sich mit der Formel $A_O = \pi \cdot ( r^2 + R^2 + m (R + r))$ berechnen.
Lösung
Wir kennen die folgenden Größen beim Kegelstumpf $ R = 10cm$, $r = 4~cm$, $h = 8~cm$, $m = 10~cm$. Außerdem wissen wir, dass sich der Oberflächeninhalt eines Kegelstumpfes mit der folgenden Formel berechnen lässt $A_O =\pi \cdot ( r^2 + R^2 + m (R + r))$. Setzen wir diese Werte nun in die Formel ein, erhalten wir:
$\begin{align} A_O& = \pi \cdot ( r^2 + R^2 + m (R + r)) \\ & = \pi \cdot ( (4~cm)^2 + (10~cm)^2 + 10~cm \cdot (10~cm + 4~cm)) \\ & = \pi \cdot ( 16~cm^2 + 100~cm^2 + 10~cm \cdot 14~cm) \\ & = \pi \cdot ( 16~cm^2 + 100~cm^2 + 140~cm^2) \\ & = \pi \cdot 256~cm^2 \\ A_O& \approx 804~cm^2 \end{align}$
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Beschreibe die Formeln und Voraussetzungen beim Kegelstumpf.
Tipps
Hier kannst du die Skizze eines allgemeinen Kegelstumpfes erkennen. Ordne den Buchstaben die Begriffe Höhe, Mantellinie, Radius der Grundfläche und Radius der Deckfläche zu.
Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts lautet: $A_O = \pi \cdot ( r^2 + R^2 + m \cdot (R + r))$
Die Formel zur Berechnung des Volumens lautet: $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2 + R \cdot r + r^2)$
Lösung
Die Oberfläche eines Kegelstumpfes berechnet man mit der Formel $A_O = π \cdot ( r^2 + R^2 + m (R + r))$. Wie du schon an der Formel sehen kannst, benötigst du dafür den Radius der Grundfläche $R$ und der Deckfläche $r$. Außerdem benötigst du die Größe der Mantellinie $m$. Diese kannst du entweder durch Messen oder durch die Formel $m = \sqrt{ h^2 + (R -r)^2}$ bestimmen. Solltest du die Formel zur Bestimmung von $m$ nutzen, musst du zusätzlich wissen, wie hoch der Kegel ist. Das Volumen eines Kegels berechnest du mit der Formel $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2 + R \cdot r + r^2)$. Wie du siehst, brauchst du hierfür die Mantellinie $m$ nicht. Allerdings musst du die Radien und die Höhe des Kegelstumpfes kennen.
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Berechne das Volumen des Kegelstumpfes.
Tipps
Die Formel zur Berechnung des Volumens lautet: $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2 + R \cdot r + r^2)$
Das Kommutativgesetz besagt, dass Zahlen die addiert werden untereinander vertauscht werden dürfen.
$3~cm + 7~cm + 5~cm = 7~cm + 5~cm + 3~cm$
Hier ein Zwischenergebnis bei der Berechnung des Volumens.
$V=\frac{\pi}{3} \cdot 8~cm \cdot 156~cm^2$
Lösung
Wir wissen, dass der Kegelstumpf folgende Werte hat. $ R = 10cm, r = 4~cm, h = 8~cm, m = 10~cm$
Setzen wir diese Werte in die Formel für $V$ ein, erhalten wir:
$\begin{align} V &= \frac{\pi}{3} \cdot 8~cm \cdot ( (10~cm)^2 + 10~cm \cdot 4~cm + (4~cm)^2) \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 8~cm \cdot ( 100~cm^2 + 40~cm^2 + 16~cm^2) \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 8~cm \cdot 156~cm^2 \\ &=\pi \cdot 416~cm^3 \\ V& \approx 1307~cm^3 \end{align}$
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Bestimme das Volumen $V_K$ des Körpers.
Tipps
Das Volumen eines Kegelstumpfes berechnet man mit der Formel $V_{\text{Kegelstumpf}}=\frac{\pi}{3} \cdot h \cdot \left( R^2+R\cdot r + r^2 \right)$.
Wenn der Radius der Deckfläche dem entsprechenden Radius der Grundfläche des Kegels entspricht, dann gilt für die gleichen Größen für das Volumen eine Kegels $V_{\text{Kegel}}=\frac{\pi}{3} \cdot h \cdot r^2$.
Das Volumen des Körper berechnest du, in dem du das Volumen des Kegels von dem Volumen des Kegelstumpfes abziehst, da der Kegel aus dem Kegelstumpf heraus gebohrt werden soll. Es gilt dann:
$V_K=V_{K1}-V_{K2}$.
Hier findest du die Zwischenergebnisse für die Volumen des Kegels und des Kegelstumpfes. Der Einfachheit halber sind die Einheiten nicht mit angegeben.
$V_{K1}=\pi \cdot 10791\frac23$ und $V_{K2}= \pi \cdot 2625$
Lösung
Um das Volumen unserer Figur zu bestimmen, müssen wir drei Rechnungen durchführen.
- Wir berechnen das Volumen des Kegelstumpfes $V_{K1}$.
- Wir berechnen das Volumen des kegelförmigen Kraters $V_{K2}$.
- Wir subtrahieren das Volumen des Kegels vom Volumen des Kegelstumpfes $ V_K = V_{K1} - V_{K2}$
$\begin{align} V_{K1} &= \frac{\pi}{3} \cdot 35 \cdot ( 20^2+ 20 \cdot 15 + 15^2) \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 35 \cdot ( 400 + 300 + 225) \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 35 \cdot 925\\ & = \pi \cdot 10~791\frac23 \\ & \approx 3~3903~\left[ cm^3 \right] \\ \end{align}$
Wir berechnen jetzt das Volumen des Kegels. Dazu nutzen wir die Formel: $ V = \frac{\pi}{3} \cdot r^2 \cdot h$. Da die Spitze des Kegels bis zum Mittelpunkt der Grundfläche des Kegelstumpfes geht, hat er genau die gleiche Höhe wie der Kegelstumpf. Der Radius des Kegels ist genauso groß, wie der Radius der Deckfläche des Kegelstumpfes. Es gilt also: $r_{K2} = r_{K1}$. Also können wir das Volumen ausrechnen.
$\begin{align} V_{K2}& = \frac{\pi}{3} \cdot 15^2 \cdot 35 \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 225 \cdot 35 \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 7~875 \\ & = \pi \cdot 2~625 \\ & \approx 8~247 \left[ cm^3 \right] \end{align}$
Zuletzt subtrahieren wir das Volumen des Kegels vom Kegelstumpf und erhalten das Volumen der Figur:
$\begin{align} V_{K}& = V_{K1} - V_{K2} \\ & \approx 33~903~cm^3 - 8~247~cm^3 \\ & \approx 25~656~cm^3 \end{align}$
Der Körper hat ein Volumen von $25~656~cm^3$.
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Prüfe, wie viel Papiermüll in Tatjanas Papierkorb hineinpasst.
Tipps
Drehe den Papierkorb auf den Kopf. Welche geometrische Form erkennst du in ihm?
Hier kannst du die Skizze eines allgemeinen Kegelstumpfes erkennen. Welche Größen sind gegeben? Beachte, dass der Durchmesser eines Kreises doppelt so lang ist, wie der Radius.
Wenn du den Papierkorb umdrehst, besitzt er die Form eines Kegelstumpfes. Die Grundfläche hat einen Durchmesser von $46~cm$. Die Deckfläche hat einen Durchmesser von $30~cm$. Außerdem ist die Höhe des Kegelstumpfes mit $50~cm$ gegeben.
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes lautet: $V = \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2 + R \cdot r + r^2)$.
Lösung
Wenn du den Papierkorb umdrehst, besitzt er die Form eines Kegelstumpfes. Die Grundfläche hat einen Durchmesser von $46~cm$. Die Deckfläche hat einen Durchmesser von $30~cm$. Außerdem ist die Höhe des Kegelstumpfes mit $50~cm$ gegeben. Wenn wir wissen wollen, wie viel Müll in ihn hineinpasst, müssen wir sein Volumen berechnen. Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Also müssen wir die Durchmesser der Grund- und Deckfläche halbieren. Für die Größen des Kegelstumpfes erhalten wir dann $ r = 15~cm$, $R = 23~cm$ und $h = 50~cm$. Das Volumen berechnen wir dann so.
$\begin{align} V &= \frac{\pi}{3} \cdot h \cdot ( R^2+ R \cdot r + r^2) \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot 50~cm \cdot ( (23~cm)^2 + 23~cm \cdot 15~cm + (15~cm)^2) \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 50~cm \cdot ( 529~cm^2 + 345~cm^2 + 225~cm^2 ) \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 50~cm \cdot 1099~cm^2 \\ & = \frac{\pi}{3} \cdot 18~316\frac23~cm^3 \\ V& \approx 57~544~cm^3 \end{align}$
In Tatjanas Papierkorb passen ungefähr $57~544~cm^3$ Papier hinein. Das entspricht ungefähr $57,544$ Litern.
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Bestimme, wie viel Fläche Lisa bekleben muss.
Tipps
Der umgedrehte Blumentopf ist ein Kegelstumpf. Der Durchmesser der Grundfläche ist $28~cm$ lang und der der Deckfläche $16~cm$ lang. Die Höhe des Kegelstumpfes beträgt $20~cm$. Beachte, dass der Durchmesser doppelt so lang ist, wie der Radius.
Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Kegelstumpfes lautet $A_M = \pi \cdot m ( R + r)$.
Wir berechnen $m$ mit der Formel $m = \sqrt{ h^2 + (R -r)^2}$.
Lösung
Wenn du den Blumentopf auf den Kopf stellst, erkennst du, dass der Blumentopf die Form eines Kegelstumpfes hat. Um zu wissen, wie viel Fläche Lisa mit Servietten bekleben muss, müssen wir die Mantelfläche des Kegelstumpfes berechnen. Die Formel für den Flächeninhalt der Mantelfläche lautet: $A_M = \pi \cdot m ( R + r)$. $R$ ist $28~cm:2=14~cm$ lang und $r$ ist $16~cm:2=8~cm$ lang.
Da wir noch nicht wissen, wie groß die Mantellinie $m$ ist, können wir diese mit der Formel $m = \sqrt{ h^2 + ( R -r)^2}$ berechnen. Wir kennen die folgenden Werte $ r = 8cm, R = 14~cm, h = 20~cm$. Wir rechnen.
$\begin{align} m& = \sqrt{ (20~cm)^2 + (14~cm -8~cm)^2} \\ &= \sqrt{ 400~cm^2 + (6~cm)^2} \\ &= \sqrt{ 400~cm^2 + 36~cm^2} \\ &= \sqrt{ 436~cm^2} \\ m &\approx 21~cm \end{align}$
Nun haben wir alle Werte um den Mantelflächeninhalt berechnen zu können.
$\begin{align} A_M&= \pi \cdot 21cm \cdot ( 14~cm + 8~cm) \\ &= \pi \cdot 21cm \cdot 22~cm \\ &= \pi \cdot 462~cm^2 \\ & \approx 1451,4~cm^2 \\ \end{align}$
Lisa muss ungefähr $1451,4~cm^2$ Fläche mit Servietten bekleben.
