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Quader – Volumen und Oberfläche

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Team Digital
Quader – Volumen und Oberfläche
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Quader – Volumen und Oberfläche

Oberflächeninhalt Quader

Boris möchte ein quaderförmiges Gewächshaus auf dem Mars errichten und muss dazu die Oberfläche eines Quaders berechnen. Die Quader Oberfläche besteht aus sechs einzelnen Flächen. Einander gegenüber liegende Flächen sind jeweils parallel zueinander, gleich groß und haben denselben Flächeninhalt. Der Quader besitzt zudem acht Ecken und zwölf Kanten, die aber nicht alle gleich lang sind. Die Länge, die Breite und die Höhe des allgemeinen Quaders haben jeweils verschiedene Kantenlängen.

Quader Schrägbild

Oberflächeninhalt Quader Formel / Oberfläche Quader Formel

Bezeichnen wir die drei verschiedenen Kantenlängen des Quaders mit $a$, $b$ und $c$. Der Oberflächeninhalt des Quaders ist die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke seines Körpernetzes. Die einzelnen Rechtecke haben die Flächeninhalte $a \cdot b$ und $a \cdot c$ sowie $b \cdot c$. Jede dieser Flächen kommt zweimal in dem Körpernetz des Quaders vor.

Quader Körpernetz

Der Oberflächeninhalt $O_Q$ des Quaders $Q$ lässt sich also durch folgende Formel berechnen:

$O_Q = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) $

Oberflächenberechnung Quader

Die Grundfläche von Boris Gewächshaus hat eine Länge von $20~\text m$ und eine Breite von $7~\text m$. Das Gewächshaus soll $15~\text m$ hoch werden. Eingesetzt in die Formel für den Oberflächeninhalt erhält man:

$O_Q = 2 \cdot (20~\text m \cdot 7~\text m + 20~\text m \cdot 15~\text m + 7~\text m \cdot 15~\text m) = 1.090~\text m^2$

Bei der Berechnung wird aus dem Produkt der Einheiten für die Länge $\text m \cdot \text m$ die Einheit $\text{m}^2$ für den Flächeninhalt. Man liest die Einheit als Quadratmeter.

Volumenberechnung Quader

Boris muss einen Teil seines Gewächshauses mit Erde befüllen. Um die Menge an Erde zu berechnen, muss er das Volumen des mit Erde befüllten Teiles berechnen. Dieser Teil ist ebenfalls ein Quader, dessen Kanten mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet werden. Das Volumen eines Quaders ist das Produkt von Grundfläche und Höhe.

Die Länge $a$ und die Breite $b$ stimmen mit denen des Gewächshauses überein.

Quader Volumen Formel

Die Grundfläche des Quaders hat den Flächeninhalt $a \cdot b$. Das Volumen $V_Q$ eines Quaders $Q$ mit der Höhe $c$ kann man daher mit folgender Formel berechnen:

$V_Q = a \cdot b \cdot c$

Bei dem Quader aus Erde stimmen die Länge $a$ und die Breite $b$ stimmen mit denen des Gewächshauses überein. Das Gewächshaus soll $2~\text m$ hoch mit Erde befüllt werden.

Quader Gewächshaus

Das Volumen der Erde im Gewächshaus beträgt also:

$V_E = 20~\text m \cdot 7~\text m \cdot 2~\text m = 280~\text m^3$

Die Einheit $\text{m}^3$ ist das Produkt $\text m \cdot \text m \cdot \text m$ der drei Einheiten $\text m$ der einzelnen Kantenlängen und heißt Kubikmeter.

Dieses Video

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Oberfläche und das Volumen eines Quaders berechnen zu können.

Zunächst lernst du, wie man die Oberfläche eines Quaders berechnet. Anschließend lernst du, wie man das Volumen eines Quader berechnet.

Vor dem Video solltest du bereits wissen, was ein Quader ist und was das Volumen eines Körpers ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Oberfläche und das Volumen anderer geometrischer Grundkörper zu berechnen.

Würfel und Quader – Oberflächeninhalt und Volumen im Vergleich

Würfel Quader
Eigenschaften alle Seitenflächen Quadrate
alle Kanten gleich lang: a
alle Seitenflächen Rechtecke
Kanten können bis zu 3 verschiedene Längen besitzen:
a, b, c
Oberflächeninhalt O=6⋅a2 O=2⋅(a⋅b+a⋅c+b⋅c)
Volumen V=a3 V=a⋅b⋅c

Transkript Quader – Volumen und Oberfläche

Wir schreiben das Jahr 2212. Die Menschheit hat den Mars besiedelt. Der Biologe Boris Bokowsky hat den Auftrag bekommen, ein Gewächshaus zu errichten. Mit dieser rechteckigen Grundfläche hat er auch schon den perfekten Ort dafür gefunden. Beim Bau des Gewächshauses hilft ihm sein Wissen über das Volumen und die Oberfläche des Quaders. Boris möchte ein quaderförmiges Gewächshaus errichten. Um die Menge an benötigtem Material berechnen zu können, muss er die Oberfläche des Gewächshauses und somit des Quaders berechnen. Die Oberfläche des Quaders besteht aus insgesamt 6 Rechtecken. Gegenüberliegende Flächen sind jeweils parallel zueinander und auch gleich groß. Zudem besitzt der Quader insgesamt 8 Ecken und 12 Kanten. Die Kanten sind jedoch nicht alle gleich lang. Wir haben drei verschiedene Kantenlängen für die Länge, die Breite und die Höhe. Diese bezeichnen wir mit a, b und c. Zur Berechnung der Oberfläche schauen wir uns das Körpernetz des Quaders an. Die Oberfläche des Quaders, abgekürzt mit einem großen O, berechnet sich aus der Summe aller Flächeninhalte. Wir erinnern uns: Der Flächeninhalt eines Rechtecks lässt sich mit der Formel a mal b berechnen. Für die anderen Flächen ergibt sich dann somit a mal c und b mal c. Diese Flächen gibt es jeweils zweimal. Um die gesamte Oberfläche berechnen zu können, addieren wir abschließend alle Flächen. Somit ergibt sich die Formel: "2 mal in Klammern a mal b, plus 2 mal in Klammern a mal c, plus 2 mal in Klammern b mal c". Das können wir zu "2 mal in Klammern a mal b plus a mal c plus b mal c" zusammenfassen. Das Gewächshaus hat eine Länge von 20 und eine Breite von 7 Metern. Es soll 15 Meter hoch werden, damit dort auch Platz für Bäume ist. Diese Werte setzen wir in unsere Formel ein und erhalten somit eine Gesamtoberfläche von 1090 Quadratmetern. Meter mal Meter wird hier zu Meter hoch 2. Wir sagen dazu Quadratmeter. Ein Teil des Gewächshauses muss allerdings zuvor mit Erde befüllt werden, um dort Pflanzen wachsen zu lassen. Dieser mit Erde befüllte Teil hat ebenfalls die Form eines Quaders. Damit Boris weiß, wie viel Erde er benötigt, muss er das Volumen, also den Rauminhalt, des Quaders berechnen. Auch die Kanten dieses Quaders bezeichnen wir wieder mit a, b und c. Das Volumen des Quaders berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe, also Länge mal Breite als Grundfläche mal der Höhe. Das ist demnach a mal b mal c. Auch in diese Formel können wir nun die entsprechende Werte eintragen. Wir wissen, dass das Gewächshaus 20 Meter lang und 7 Meter breit ist. Insgesamt soll es 2 Meter hoch mit Erde befüllt werden. Das Volumen des Quaders berechnet sich also aus 20 Meter mal 7 Meter mal 2 Meter. Als Gesamtvolumen dieses Quaders ergibt sich somit 280 Kubikmeter. Meter mal Meter mal Meter wird hier zu Meter hoch drei. Wir sagen dazu Kubikmeter. Lass uns das noch einmal zusammenfassen: Die Oberfläche des Quaders berechnet sich aus der Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen des Quaders. Somit ergibt sich die Formel: "2 mal in Klammern a mal b, plus a mal c, plus b mal c". a, b und c sind dabei die Kanten des Quaders. Die Oberfläche umschließt das Volumen des Quaders. Du berechnest das Volumen des Quaders mit der Formel a mal b mal c. Boris hat es endlich geschafft sein Gewächshaus zu errichten. Er ist mächtig stolz auf sein Werk. Doch, was ist das? Da haben es sich wohl schon ein paar Mars-Schädlinge in den Pflanzen gemütlich gemacht.

41 Kommentare

41 Kommentare
  1. Tolles VIdeo

    Von Alexandra Abt, vor einem Tag
  2. nr3 in der übung ist irgendwie crazy das ergibt nicht so viel sinn weil da wenn man wie im Video erklärt allles ausrechnet kommt man nicht auf die vorgegebenen Zahlen!

    Von Rita Rusu, vor 8 Tagen
  3. Mir hat das Video sehr geholfen tolle Animationen und tolle Erklärung besser geht es nicht großes Lob ich hoffe es weitere solcher Videos

    Von Samineh Noaparast, vor 6 Monaten
  4. Bvb ist sssssssssssssssssssssssssooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo cooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool 1990

    Von Marion Auge, vor 7 Monaten
  5. Blupp🐟🐟🐟🐟

    Von Tankuehn, vor 7 Monaten
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Quader – Volumen und Oberfläche Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quader – Volumen und Oberfläche kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Formel für die Berechnung von Volumen und Oberfläche eines Quaders an.

    Tipps
    • Die Einheit einer Fläche ist immer zur zweiten Potenz erhoben. Sie kann zum Beispiel Quadratmeter, also $\text{m}^2$ sein.
    • Eine Volumeneinheit hingegen ist immer zur dritten Potenz erhoben, wie zum Beispiel Kubikmeter, also $\text{m}^3$.

    Das Volumen eines Quaders entspricht dem Produkt aus seiner Grundfläche und seiner Höhe.

    Die Oberfläche eines Quaders erhältst du, indem du alle rechteckigen Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addierst. Beachte, dass zwei gegenüberliegende Flächen immer kongruent zueinander sind.

    Lösung

    Lass uns nun die Formeln für Volumen und Oberfläche eines Quaders gemeinsam herleiten.

    Oberfläche eines Quaders

    Die Oberfläche eines Quaders erhalten wir, indem wir alle rechteckigen Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addieren. Dabei müssen wir beachten, dass zwei sich gegenüberliegende Flächen immer kongruent sind. Die Fläche eines Rechtecks erhalten wir, indem wir dessen Länge und Breite miteinander multiplizieren. Hierzu nehmen wir an, dass der Quader die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ hat und erhalten die folgenden rechteckigen Teilflächen je zweimal:

    • $ab$
    • $ac$
    • $bc$
    Das können wir nun mathematisch wie folgt ausdrücken:
    • $O=2ab+2ac+2bc$
    Da in jedem Summanden der Faktor $2$ vorkommt, können wir diesen wie folgt ausklammern:
    • $O=2\left(ab+ac+bc\right)$
    Die Einheit einer Fläche ist also immer zur zweiten Potenz erhoben. Sie kann zum Beispiel Quadratmeter, also $\text{m}^2$ sein.

    Volumen eines Quaders

    Das Volumen eines Quaders erhalten wir, indem wir seine Grundfläche und seine Höhe miteinander multiplizieren. Da die Grundfläche das Produkt zweier Seitenlängen und die Höhe die jeweils übrige Seitenlänge ist, erhalten wir für ein Quader mit $a$, $b$ und $c$ folgende Volumenformel:

    • $V=abc$
    Die Volumeneinheit ist daher immer zur dritten Potenz erhoben, wie zum Beispiel Kubikmeter, also $\text{m}^3$.

  • Berechne Volumen und Oberfläche des jeweiligen Quaders.

    Tipps

    Beachte, dass die Höhe des quaderförmigen Gewächshauses eine andere ist als die Höhe des mit Erde gefüllten Quaders.

    Beachte folgende Rechenregeln:

    • Klammern zuerst!
    • Punkt- vor Strichrechnung!

    Das Volumen eines Quaders erhält man, indem man seine Grundfläche mit seiner Höhe multipliziert. Für den hier abgebildeten Quader ergibt sich dann folgendes Volumen:

    $\begin{array}{lll} V &=& 1\ \text{m}\cdot 5\ \text{m}\cdot 3\ \text{m} \\ &=& 15\ \text{m}^3 \end{array}$

    Die Oberfläche eines Quaders erhält man, indem man alle Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addiert. So folgt für den hier abgebildeten Quader folgende Rechnung:

    $\begin{array}{lll} O &=& 2\cdot\left(1\ \text{m}\cdot 5\ \text{m}+1\ \text{m}\cdot 3\ \text{m}+ 5\ \text{m}\cdot 3\ \text{m}\right) \\ &=& 2\cdot\left(5\ \text{m}^2+3\ \text{m}^2+15\ \text{m}^2\right) \\ &=& 2\cdot 23\ \text{m}^2 \\ &=& 46\ \text{m}^2 \end{array}$

    Lösung

    Oberfläche des Gewächshauses

    Um die Oberfläche eines Quaders zu berechnen, müssen wir alle Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addieren. Ein Quader setzt sich aus insgesamt sechs rechteckigen Flächen zusammen. Dabei sind sich gegenüberliegende Seiten kongruent, also gleich groß. Somit erhalten wir für die Oberfläche des Gewächshauses zunächst folgende Formel:

    $\begin{array}{lll} O &=& 2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c &=& 1090\ \text{m}^2 \end{array}$

    Hier können wir den Faktor $2$ noch ausklammern und die Werte entsprechend einsetzen:

    $\begin{array}{lll} O &=& 2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right) \\ &=& 2\cdot\left(20\ \text{m}\cdot 7\ \text{m}+20\ \text{m}\cdot 15\ \text{m}+ 7\ \text{m}\cdot 15\ \text{m}\right) \\ &=& 2\cdot\left(140\ \text{m}^2+300\ \text{m}^2+105\ \text{m}^2\right) \\ &=& 2\cdot 545\ \text{m}^2 \\ &=& 1090\ \text{m}^2 \end{array}$

    Also besitzt das quaderförmige Gewächshaus eine Oberfläche von $1090\ \text{m}^2$.

    Volumen der benötigten Erde

    Das Volumen eines Quaders erhält man, indem man seine Grundfläche mit seiner Höhe multipliziert. In unserem Beispiel ist die Grundfläche gegeben durch das Rechteck mit den Seitenlängen $a=20\ \text{m}$ und $b=7\ \text{m}$. Die Höhe der benötigten Erde ist gegeben mit $d=2\ \text{m}$. Damit erhalten wir das folgende Volumen für die benötigte Erde:

    $\begin{array}{lll} V &=& a\cdot b\cdot d \\ &=& 20\ \text{m}\cdot 7\ \text{m}\cdot 2\ \text{m} \\ &=& 280\ \text{m}^3 \end{array}$

    Es wird also Erde mit einem Volumen von $280\ \text{m}^3$ benötigt.

  • Ermittle die Oberflächen und das Volumen der gegebenen Quader.

    Tipps

    Die Oberfläche eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ kannst du mit folgender Formel berechnen:

    • $O=2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right)$

    Das Volumen eines Quaders erhältst du, indem du dessen Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizierst.

    Lösung

    Die Oberfläche eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ können wir mit folgender Formel berechnen:

    • $O=2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right)$
    Das Volumen eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ können wir wie folgt berechnen:
    • $V=a\cdot b\cdot c$
    Damit erhalten wir folgende Berechnungen:

    Quader 1: $~a=10\ \text{cm}$, $b=5\ \text{cm}$, $c=7\ \text{cm}$

    Für die Oberfläche erhalten wir:

    $\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(10\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm}+10\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}+5\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(50\ \text{cm}^2+70\ \text{cm}^2+35\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 155\ \text{cm}^2 \\ &=& 310\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$

    Das Volumen berechnen wir wie folgt:

    $\begin{array}{lll} \\ V &=& 10\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm} \\ &=& 350\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$

    Quader 2: $~a=5\ \text{cm}$, $b=3\ \text{cm}$, $c=2\ \text{cm}$

    Für die Oberfläche dieses Quaders erhalten wir also folgende Rechnung:

    $\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(5\ \text{cm}\cdot 3\ \text{cm}+5\ \text{cm}\cdot 2\ \text{cm}+3\ \text{cm}\cdot 2\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(15\ \text{cm}^2+10\ \text{cm}^2+6\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 31\ \text{cm}^2 \\ &=& 62\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$

    Die Berechnung für das Volumen sieht wie folgt aus:

    $\begin{array}{lll} \\ V &=& 5\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm}\cdot 2\ \text{cm} \\ &=& 30\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$

    Quader 3: $~a=15\ \text{cm}$, $b=7\ \text{cm}$, $c=5\ \text{cm}$

    Die Oberfläche dieses Quaders berechnen wir wie folgt:

    $\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(15\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}+15\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm}+7\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(105\ \text{cm}^2+75\ \text{cm}^2+35\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 215\ \text{cm}^2 \\ &=& 430\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$

    Die Volumenberechnung sieht wie folgt aus:

    $\begin{array}{lll} \\ V &=& 15\ \text{cm} \cdot 7\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm} \\ &=& 525\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$

    Quader 4: $~a=8\ \text{cm}$, $b=10\ \text{cm}$, $c=4\ \text{cm}$

    Die Oberfläche dieses Quaders erhalten wir also durch folgende Rechnung:

    $\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(8\ \text{cm}\cdot 10\ \text{cm}+8\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm}+10\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(80\ \text{cm}^2+32\ \text{cm}^2+40\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 152\ \text{cm}^2 \\ &=& 304\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$

    Das Volumen berechnen wir wieder wie folgt:

    $\begin{array}{lll} \\ V &=& 8\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm} \\ &=& 320\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$

  • Bestimme die Volumina der gegebenen Quader.

    Tipps

    Beachte, dass du nur Längen mit derselben Längeneinheit miteinander multiplizieren darfst. Daher musst du die gegebenen Längen vor der Berechnung des Volumens in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

    Dem hier abgebildeten Schema kannst du entnehmen, wie du die Längen Zentimeter ($\text{cm}$), Dezimeter ($\text{dm}$) und Meter ($\text{m}$) ineinander umrechnest.

    • Beispiel $1$: $10~\text{dm} = 1~\text{m} $
    • Beispiel $2$: $10~\text{cm} = 1~\text{dm}$

    Da alle Volumina in Kubikdezimetern, also $\text{dm}^3$ gegeben sind, ist es sinnvoll, die Seitenlängen in Dezimeter, also $\text{dm}$ umzurechnen.

    Das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ berechnest du mit folgender Formel:

    • $V=a\cdot b\cdot c$

    Lösung

    Das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ berechnen wir mit folgender Formel:

    • $V=a\cdot b\cdot c$
    Dabei müssen wir beachten, dass wir nur Längen mit derselben Längeneinheit miteinander multiplizieren dürfen. Also müssen wir die gegebenen Werte für $a$, $b$ und $c$ in eine gemeinsame Einheit umrechnen. Da alle vorgegebenen Volumina die Volumeneinheit Kubikdezimeter, also $\text{dm}^3$ haben, ist es sinnvoll, die Seitenlängen jeweils in Dezimeter, also $\text{dm}$ umzurechnen. Für die Umrechnung nutzen wir die folgenden Zusammenhänge:
    • $10\ \text{cm}=1\ \text{dm}$
    • $10\ \text{dm}=1\ \text{m}$
    Hier ist dir Umrechnungszahl jeweils $10$. Möchten wir von der kleineren Längeneinheit in eine größere umrechnen, so teilen wir durch die Umrechnungszahl. Andernfalls müssen wir mit der Umrechnungszahl multiplizieren. Damit erhalten wir folgende Zuordnungen:

    Produkte mit Volumen $105\ \text{dm}^3$

    Übertopf Olaf:

    • $a=5\ \text{dm}$
    • $b=70\ \text{cm}=7\ \text{dm}$
    • $c=3\ \text{dm}$
    • $V=5\ \text{dm}\cdot 7\ \text{dm}\cdot 3\ \text{dm}=105\ \text{dm}^3$
    Blumenkasten Anton:
    • $a=7\ \text{dm}$
    • $b=1,5\ \text{m}=15\ \text{dm}$
    • $c=10\ \text{cm}=1\ \text{dm}$
    • $V=7\ \text{dm}\cdot 15\ \text{dm}\cdot 1\ \text{dm}=105\ \text{dm}^3$
    Produkte mit Volumen $112\ \text{dm}^3$

    Blumenkasten Lilli:

    • $a=2\ \text{dm}$
    • $b=0,4\ \text{m}=4\ \text{dm}$
    • $c=1,4\ \text{m}=14\ \text{dm}$
    • $V=2\ \text{dm}\cdot 4\ \text{dm}\cdot 14\ \text{dm}=112\ \text{dm}^3$
    Blumenkasten Mini:
    • $a=2\ \text{dm}$
    • $b=80\ \text{cm}=8\ \text{dm}$
    • $c=0,7\ \text{m}=7\ \text{dm}$
    • $V=2\ \text{dm}\cdot 8\ \text{dm}\cdot 7\ \text{dm}=112\ \text{dm}^3$
    Übertopf Bobo:
    • $a=0,4\ \text{m}=4\ \text{dm}$
    • $b=40\ \text{cm}=4\ \text{dm}$
    • $c=7\ \text{dm}$
    • $V=4\ \text{dm}\cdot 4\ \text{dm}\cdot 7\ \text{dm}=112\ \text{dm}^3$
    Produkte mit Volumen $54\ \text{dm}^3$

    Blumenkasten Lola:

    • $a=20\ \text{cm}=2\ \text{dm}$
    • $b=3\ \text{dm}$
    • $c=9\ \text{dm}$
    • $V=2\ \text{dm}\cdot 3\ \text{dm}\cdot 9\ \text{dm}=54\ \text{dm}^3$
    Übertopf Luna:
    • $a=30\ \text{cm}=3\ \text{dm}$
    • $b=0,3\ \text{m}=3\ \text{dm}$
    • $c=6\ \text{dm}$
    • $V=3\ \text{dm}\cdot 3\ \text{dm}\cdot 6\ \text{dm}=54\ \text{dm}^3$

  • Beschreibe die Eigenschaften eines Quaders.

    Tipps

    Denk an einen Spielwürfel. Der Würfel ist nämlich ein Spezialfall des Quaders, bei dem alle Flächen gleich groß und somit quadratisch sind.

    Ein Quader besitzt überall dort eine Ecke, wo drei Kanten aufeinandertreffen.

    Lösung

    Lass uns gemeinsam die Eigenschaften eines Quaders untersuchen:

    • Die Oberfläche des Quaders besteht aus insgesamt $6$ Rechtecken. Sich gegenüberliegende Flächen sind jeweils parallel zueinander und gleich groß, also kongruent.
    • Zudem können wir am Quader $12$ Kanten zählen. Diese sind jedoch nicht alle gleich lang. Der Quader kann drei verschiedene Kantenlängen besitzen, nämlich jeweils eine für die Länge, die Breite und die Höhe. Diese bezeichnet man in der Regel mit $a$, $b$ und $c$.
    • Überall dort, wo drei Kanten aufeinandertreffen, besitzt der Quader eine Ecke. Demnach können wir beim Quader insgesamt $8$ Ecken feststellen.
  • Ermittle ausgehend vom Volumen und zwei Seitenlängen eines Quaders die fehlende Seitenlänge.

    Tipps

    Das Volumen eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ berechnest du mit folgender Formel:

    • $V=a\cdot b\cdot c$
    Du musst dir also überlegen, mit welcher Zahl du das Produkt aus $a$ und $b$ multiplizieren musst, um $V$ zu erhalten.

    Beispiel: Gesucht ist $a$. Die gegebene Formel stellst du wie folgt um:

    $\begin{array}{lllll} V&=&a\cdot b\cdot c &\vert& : (b \cdot c) \\ \dfrac{V}{b \cdot c} &=& \dfrac{a \cdot b\cdot c}{b \cdot c} && \\ \dfrac{V}{b \cdot c} &=& a &&\\ a &=& \dfrac{V}{b \cdot c} &&\\ \end{array}$

    Achte darauf, in welcher Einheit die fehlende Seitenlänge gesucht ist. Sinnvoll ist es, alle Angaben in diese Einheit umzurechnen und dann die fehlende Höhe zu bestimmen.

    Die Längeneinheiten kannst du mit Hilfe des hier abgebildeten Schemas ineinander umrechnen.

    Lösung

    Das Volumen eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ berechnen wir mit folgender Formel:

    • $V=a\cdot b\cdot c$
    Wir müssen uns also überlegen, mit welcher Zahl wir das Produkt aus $a$ und $b$ multiplizieren müssen, um $V$ zu erhalten. Wir können die Formel aber auch nach der Seite $c$ umstellen und erhalten dann folgenden Ausdruck:
    • $c=\dfrac{V}{a\cdot b}$
    Nun müssen wir nur noch schauen, in welcher Einheit die fehlenden Höhen gefordert sind und die gegebenen Größen jeweils umrechnen.

    Behälter 1

    Gegeben: $~a=5\ \text{dm}$; $~b=20\ \text{cm}$; $~V=60\ \text{dm}^3$

    Gesucht: $~~c$ in $\text{dm}$

    Da die Höhe hier in Dezimeter gesucht ist, eignet es sich, die Seitenlängen in Dezimeter und das Volumen in Kubikdezimeter umzurechnen. So erhalten wir:

    • $a=5\ \text{dm}$
    • $b=20\ \text{cm}=2\ \text{dm}$
    • $V=60\ \text{dm}^3$
    Jetzt setzen wir diese Werte in die obige Formel ein und erhalten:
    • $c=\dfrac{60\ \text{dm}^3}{5\ \text{dm}\cdot 2\ \text{dm}}=\dfrac{60\ \text{dm}^3}{10\ \text{dm}^2}=6\ \text{dm}$
    Behälter 2

    Gegeben: $~a=20\ \text{mm}$, $~b=3,5\ \text{dm}$, $~V=280\ \text{cm}^3$

    Gesucht: $~~c$ in $\text{cm}$

    Diesmal ist die Höhe in Zentimeter gesucht, sodass wir die Seitenlängen in Zentimeter und das Volumen in Kubikzentimeter umrechnen. Wir erhalten dann:

    • $a=20\ \text{mm}=2\ \text{cm}$
    • $b=3,5\ \text{dm}=35\ \text{cm}$
    • $V=280\ \text{cm}^3$
    Jetzt setzen wir diese Werte in die obige Formel ein und erhalten:
    • $c=\dfrac{280\ \text{cm}^3}{2\ \text{cm}\cdot 35\ \text{cm}}=\dfrac{280\ \text{cm}^3}{70\ \text{cm}^2}=4\ \text{cm}$

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