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Schrägbild des Würfels 03:08 min

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Transkript Schrägbild des Würfels

Wir befinden uns in einem Raumschiff, das fremde Planeten erforscht weit, weit in den Tiefen des Universums. Es scheint als gäbe es kein Ende. Doch was ist das?! Ein Planet und dieser ist umgeben von Würfeln. Wollen wir diese Würfel nachzeichnen, so müssen wir Schrägbilder des Würfels zeichnen können. Ein Würfel wird von sechs quadratischen Flächen begrenzt. Der Würfel hat verschiedene Ansichten: Die Vorderansicht, die Seitenansicht und die Draufsicht. Hierbei siehst du immer nur eine Begrenzungsfläche. Nur aus der schrägen Perspektive nimmst du den Würfel auf der ebenen Fläche deines Bildschirms räumlich wahr. Eine solche Ansicht bezeichnet man als „Schrägbild“. Und genau so ein Schrägbild werden wir jetzt darstellen. Wir nehmen uns dazu kariertes Papier zur Hilfe. Wir wollen einen Würfel mit einer Seitenlänge von 3 cm konstruieren und zeichnen zunächst die vordere Fläche. Dann zeichnen wir die Kanten, die nach hinten laufen. Diese müssen wir schräg und verkürzt zeichnen. Um sie schräg zu zeichnen wählen wir einen Winkel von 45 Grad. Für 1cm Seitenlänge zeichnet man eine Kästchendiagonale. Die nicht sichtbare Kante wird gestrichelt. Betrachtet man den Würfel von der Vorderansicht, so ist diese Kante von der Vorderfläche bedeckt. Man würde sie also nicht sehen. Zum Zeichnen der Rückseite werden die Endpunkte der schräg nach hinten verlaufenden Kanten verbunden. Die nicht sichtbaren Kanten werden auch hier gestrichelt gezeichnet. Was für Eigenschaften hat das Schrägbild denn nun? Parallele Kanten sind auch im Schrägbild parallel. Gegenüberliegende Kanten, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild gleich lang. Die Kanten, die nach hinten laufen, sind im Schrägbild verkürzt, um einen räumlichen Eindruck zu erwecken. Trotzdem werden die Originalmaße bei der Beschriftung angegeben. Unsichtbare Kanten werden im Schrägbild gestrichelt gezeichnet. Fassen wir nochmal die Konstruktionsschritte für das Zeichnen des Schrägbilds eines Würfels zusammen. Als erstes wird die Vordere Fläche gezeichnet. Dann die nach hinten laufenden Kanten. Diese werden schräg und verkürzt gezeichnet. Dann verbindet man nur noch die Endpunkte. Unsichtbare Kanten werden im Schrägbild gestrichelt gezeichnet. Hier gibt es nichts mehr zu entdecken... Auf zum nächsten Planeten!

Schrägbild des Würfels Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schrägbild des Würfels kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige die korrekte Reihenfolge beim Zeichnen eines Schrägbildes auf.

    Tipps

    Beginne vorn und arbeite dich nach hinten vor.

    Das Schrägbild ist die einzige Möglichkeit ein räumliches Objekt in der Ebene sinnvoll darzustellen. Hier werden nicht sichtbare Kanten angedeutet.

    Lösung

    Um das Schrägbild eines Würfels korrekt zu zeichnen, musst du die drei folgenden Schritte beachten.

    Die wichtigen Schritte beim Zeichnen eines Schrägbildes sind:

    1. Zeichne die Vorderfläche. Diese ist ein Quadrat.
    2. Zeichne nach hinten laufende Kanten schräg und verkürzt ein. Um sie schräg zu zeichnen, wird ein Winkel von $45^\circ$ gewählt. Für die Verkürzung gilt: Eine Kästchendiagonale entspricht $1 \text{ cm}$.
    3. Verbinde die Endpunkte dieser Kanten zu einem Quadrat. Die Rückfläche ist kongruent zu der Vorderfläche nur verschoben.
    4. Nicht sichtbare Kanten, die im Original zum Beispiel durch die Vorderfläche oder Deckfläche verdeckt sind, werden im Schrägbild gestrichelt dargestellt.
  • Benenne die wichtigen Eigenschaften des Schrägbildes eines Würfels.

    Tipps

    Hier siehst du ein korrekt gezeichnetes Schrägbild eines Würfels.

    Die Vorder- und Rückfläche sind Quadrate, alle anderen Flächen Parallelogramme.

    Um etwas in der Ebene räumlich darzustellen, deutet man nicht sichtbare Linien meist nur an.

    Lösung

    Die wichtigen Schritte beim Zeichnen eines Schrägbildes sind:

    1. Quadratische Vorderfläche zeichnen.
    2. Nach hinten laufende Kanten zeichnen.
    3. Endpunkte dieser Kanten zu einem Quadrat verbinden.
    Dabei sind die folgenden Eigenschaften eines Schrägbildes stets zu beachten:

    • Nicht parallele Kanten im Original sind auch im Schrägbild nicht parallel. Es ändern sich lediglich die Seiten-, Deck- und Grundfläche von Quadraten zu Parallelogramme.
    • Nach hinten verlaufende Kanten werden verkürzt dargestellt. Sie werden in einem Winkel von $45^\circ$ eingezeichnet.
    • Gegenüberliegende Seiten, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild IMMER gleich lang.
    • Unsichtbare Kanten, die zum Beispiel von der Vorder- oder Deckfläche verdeckt werden, werden gestrichelt gezeichnet.
  • Ermittle die Schrägbilder eines Würfels.

    Tipps

    Nach hinten verlaufende Kanten werden verkürzt und schräg mit einem Winkel von $45^\circ$ gezeichnet.

    Bei dem hier abgebildeten Schrägbild müssten die nicht sichtbare Kanten gestrichelt gezeichnet werden.

    Lösung

    Die wichtigsten Eigenschaften beim Schrägbild eines Würfels sind:

    • Die Vorderfläche ist ein Quadrat.
    • Parallele Kanten im Original sind im Schrägbild auch parallel.
    • Nach hinten verlaufende Kanten werden verkürzt dargestellt. $1\text{ cm}$ entspricht hier einer Kästchendiagonalen.
    • Gegenüberliegende Seiten, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild IMMER gleich lang.
    • Unsichtbare Kanten werden gestrichelt gezeichnet, damit das Schrägbild räumlicher wirkt.

    Damit sind die folgenden Bilder korrekte Schrägbilder von Würfeln:

    • 1. Bild Kantenlänge $1\text{ cm}$
    • 4. Bild Kantenlänge $2\text{ cm}$
    Damit sind die folgenden Bilder keine Schrägbilder von Würfeln:

    • 2. Bild
    Die Vorderfläche ist kein Quadrat, sondern ein Rechteck. Hierbei handelt es sich um einen Quader.

    • 3. Bild
    Nach hinten verlaufende Kanten werden verkürzt dargestellt. Damit sind die Kanten zwar im Schrägbild gleich lang, wären es aber in Wirklichkeit nicht. Daher handelt es sich auch hier um einen Quader (Wer genau hinschaut erkennt auch, dass der Winkel nicht $45^\circ$ entspricht.).

    • 5. Bild
    Unsichtbare Kanten werden gestrichelt gezeichnet, damit es räumlicher wirkt. Auch die Kante hinten links wird von der Vorder- und Deckfläche verdeckt und müsste daher gestrichelt werden.

  • Bestimme die Fehler, die beim Zeichnen der Schrägbilder vom Würfel mit $a=1~\text{cm}$ aufgetreten sind.

    Tipps

    Bei Schrägbildern von Würfeln solltest du immer beachten, dass nach hinten laufende Kanten verkürzt sind.

    In einem Schrägbild sind genau drei Kanten nicht sichtbar, diese müssen alle gestrichelt sein.

    Lösung

    Bei Schrägbildern von Würfeln solltest du immer beachten, dass ...

    • ... die Vorderfläche quadratisch ist.
    • ... parallele Kanten im Original auch im Schrägbild parallel sind.
    • ... nach hinten laufende Kanten verkürzt sind.
    • ... gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
    • ... unsichtbare Kanten gestrichelt werden.
    Hier haben sich die folgenden Fehler eingeschlichen:

    1. Bild: Hier fehlen die drei verdeckten Kanten. Bei der Ansicht eines Würfels sind sie zwar nicht sichtbar, im Schrägbild werden sie aber zumindest angedeutet, damit es räumlich wirkt.

    2. Bild: Dieser Würfel ist korrekt gezeichnet.

    3. Bild: In einem Schrägbild sind genau drei Kanten nicht sichtbar, diese müssen alle gestrichelt sein.

    4. Bild: Die nach hinten laufenden Kanten werden verkürzt dargestellt, nicht verlängert. Die Breite zweier Kästchen entspricht normalerweise einem Zentimeter. Für die Verkürzung sagt man, dass dann eine Kästchendiagonale einem Zentimeter entspricht. Hier ist die Diagonale zu lang.

    5. Bild: Die Vorderfläche sollte ein Quadrat sein und kein Rechteck, da alle Kanten eines Würfels gleich lang sind. Hier sieht man einen Quader.

  • Gib die Eigenschaften eines Würfels wieder.

    Tipps

    Der Würfel ist ein spezieller Quader, dessen Kanten die gleiche Länge haben.

    Bei einem Würfel unterscheiden sich die Draufsicht, die Vorderansicht und die Seitenansicht nicht.

    Lösung

    Ein Würfel ist ein spezieller Quader. Er hat $8$ Ecken, $6$ gleich große, quadratische Flächen und $12$ gleich lange Kanten.

    Sowohl bei der Draufsicht, der Vorderansicht und der Seitenansicht sieht man immer nur eine Begrenzungsfläche. Diese ist ein Quadrat. Nur im Schrägbild nimmt man den Würfel auf der ebenen Fläche räumlich wahr.

  • Gib an, worin sich das Schrägbild eines Quaders und eines Würfels unterscheiden.

    Tipps

    Hier siehst du ein Parallelogramm.

    Lösung

    Jeder Würfel ist auch ein Quader, aber nicht jeder Quader ein Würfel. Dies ist ein wichtiger Punkt, um die Aussagen zu betrachten. Da ein Würfel nur ein spezieller Quader ist, lassen sich viele Eigenschaften übertragen, können aber auch präzisiert werden.

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    • Die Vorderfläche eines Quaders im Schrägbild kann ein Quadrat sein.
    Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck.

    • Die Seitenfläche eines Würfels im Schrägbild ist ein Parallelogramm.
    Die Seitenfläche eines Würfels ist eine Raute, also insbesondere auch ein Parallelogramm.

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • Die Vorderfläche eines Quaders im Schrägbild ist ein Quadrat und die eines Würfels ein Rechteck.
    Die Vorderfläche eines Quaders ist ein Rechteck und die eines Würfels ein Quadrat. Wobei natürlich ein Quadrat ein spezielles Rechteck ist und somit der Würfel ein spezieller Quader, dessen Flächen im Original alles Quadrate sind. Wichtig ist, dass in einem Schrägbild die Vorderfläche eines Würfels niemals ein Rechteck ist.

    • Die nach hinten laufenden Kanten im Schrägbild werden nur beim Würfel verkürzt.
    Die nach hinten laufenden Kanten werden beim Würfel und Quader verkürzt dargestellt.

    • Die Deckfläche eines Quaders im Schrägbild ist ein Parallelogramm und die eines Würfels eine Raute.
    Da die nach hinten laufenden Kanten verkürzt dargestellt werden, ist auch die Deckfläche eines Würfels ein Parallelogramm.