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Kegel – Einführung

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Die Autor*innen
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Jonathan Wolff
Kegel – Einführung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Kegel – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kegel – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Bestandteile eines Kegels.

    Tipps

    Hier siehst du die Grundfläche eines Kegels. Der Umfang u ist rot gekennzeichnet und der Radius r ist mit blau gekennzeichnet.

    Die Torte hat die Form eines Kreissektors.

    Lösung

    Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.

    Die Mantelfläche „ummantelt“ die Grundfläche. Die Mantelfläche liegt in einer ungeraden Ebene. Das heißt, dass sie gewölbt ist. Wenn man sie abrollt, hat sie die Form eines Kreissektors. Dabei entspricht die Spitze des Kreissektors dem Mittelpunkt der Grundfläche.

    Die Mantellinie ist eine Linie. Sie verbindet die Spitze des Kegels mit einem Punkt auf dem Umfang der Grundfläche.

    Ein Kegel ist ein Körper. Das heißt, dass man ihn dreidimensional betrachten kann. Außerdem hat ein Kegel eine Spitze und eine Grundfläche mit der Form eines Kreises.

    Die Höhe gibt den Abstand der Spitze zur Grundfläche des Kegels an. Dabei ist der Abstand der Spitze zu einem beliebigen Punkt auf der Grundfläche gemeint - nicht auf dem Umfang der Grundfläche. Das heißt, dass die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundfläche.

  • Bestimme die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Kegelarten.

    Tipps

    Die Mantellinie ist bei einem schiefen Kegel nicht immer gleich lang.

    $\perp$ bedeutet „senkrecht auf“.

    Hier siehst du einen schiefen Kegel mit seiner Höhe und dem Mittelpunkt. Der Mittelpunkt ist mit einem x gekennzeichnet.

    Lösung

    Sowohl der gerade als auch der schiefe Kegel haben beide eine Spitze, eine kreisförmige Grundfläche und die Höhe steht senkrecht über der Grundfläche.

    Allerdings unterscheiden sich die beiden Kegel in ihrer Mantelfläche und Mantellinie.

    Die Mantelfläche des geraden Kegels hat die Form eines Kreissektors (Kreisausschnitts) und ummantelt den Kegel genau einmal. Die Mantelfläche des schiefen Kegels ist ein bisschen länger, sodass sie den Kegel ein bisschen mehr als nur einmal ummantelt. Damit hat die Mantelfläche eines schiefen Kegels auch nicht die Form eines Kreissektors.

    Die Mantellinie ist beim geraden Kegel immer gleich lang, denn sie geht immer von der Spitze bis zu einem Punkt auf dem Umfang des Kreises. Da beim schiefen Kegel die Spitze nicht über dem Mittelpunkt des Kreises liegt, hat die Spitze unterschiedliche Längen zu den Punkten des Umfangs des Kreises und damit ist die Mantellinie unterschiedlich lang.

  • Bestimme den geraden Kegel.

    Tipps

    Die Mantellinie ist bei einem schiefen Kegel nicht immer gleich lang.

    Drei der Kegel sind gerade. Die anderen sind schief.

    Lösung

    Ein gerader Kegel hat seine Spitze immer genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Das heißt, die Spitze steht im Lot auf der Grundfläche (dem Kreis). Die Höhe steht immer auf dem Mittelpunkt des Kreises. Außerdem sind seine Mantellinien immer gleich lang. Trifft das nicht zu, handelt es sich um einen schiefen Kegel. Die Mantellinien sind deshalb auch nicht gleich lang.

    Diese Eigenschaften des geraden Kegels treffen auf den blauen, lila und braunen Kegel zu. Die übrigen Kegel sind alle schief.

  • Beschrifte die Skizze des Kegels.

    Tipps

    Den Radius errechnet man durch die Formel $ r = \frac{d}{2}$. Dabei ist $d$ der Durchmesser eines Kreises.

    Die Skizze zeigt das kegelförmige Dach der Kirche. Lies die Begriffe aus dem Text und überlege dir, welche Größen in dem Kegel gemeint sind.

    Lösung

    Das Dach der Kirche ist kegelförmig. Wir sehen in dem Bild eine Skizze, die nicht maßstabsgetreu ist.

    Das Dach ist $23~m$ hoch. Wir beschriften die entsprechende Seite mit $h = 23~m$. Der Umfang ist $16~m$, also entspricht der Umfang des Kreises $u = 16~m$. Bei dem Radius müssen wir ein bisschen aufpassen. Das Dach ist $5~m$ breit. Das heißt, der Durchmesser des Daches ist $5~m$. Da allerdings nach dem Radius gefragt ist und der Radius nur halb so lang ist wie der Durchmesser, gilt $r = 2,5m$.

  • Gib die Gegenstände aus dem Alltag an, die kegelförmig sind.

    Tipps

    Ein Kegel ist ein dreidimensionaler Körper. Durch welche Flächen wird er begrenzt?

    Ein Kegel wird durch einen Kreis (Grundfläche) und einer Mantelfläche begrenzt. Ein Kegel besitzt eine Spitze.

    Drei der Gegenstände sind kegelförmig.

    Lösung

    Ein Kegel hat immer eine kreisförmige Grundfläche und ist dreidimensional. Das heißt, ein Kegel ist ein Körper. Er besitzt außerdem eine Spitze.

    1. Wenn man beim Hut die Krempe nicht betrachtet, hat der Hut die Form eines Kegels. Seine Grundfläche ist offen und sein Innenraum ist hohl. Das muss er auch, sonst könnte man ihn nicht auf den Kopf setzen.
    2. Die Eiswaffel hat genau wie der Hut die Form eines Kegels. Sie hat auch eine offene Grundfläche und ist innen hohl. Andererseits könnte man sie nicht mit Eis befüllen.
    3. Das Verkehrsschild hat die Form eines Dreiecks und ist damit kein Kegel.
    4. Das Tetraeder ist zwar ein Körper wie ein Kegel, aber seine Grundfläche ist nicht kreisförmig wie die des Kegels. Daher ist das Tetraeder auch kein Kegel.
    5. Der Pylon ist mit einer kleinen Ergänzung an der Spitze ein Kegel. Eigentlich wäre er streng genommen ein Kegelstumpf. Deswegen verwendet man auch das Wort kegelförmig.
  • Erkläre, wieso die Eichstriche nicht abstandsgleich sein dürfen.

    Tipps

    Stell dir vor, du willst in den Messbecher Milch abmessen. Oben ist der Becher viel breiter als unten. Wenn der Becher schmal ist, verteilt sich die Milch in die Höhe. Wenn der Becher breit ist, verteilt sich die Milch in die Breite.

    Hier siehst du einen Messbecher, der zylinderförmig ist. Was für eine Skalierung hat dieser? Was ist der Unterschied zum Kegel?

    Lösung

    Nehmen wir an, dass wir in den kegelförmigen Messbecher Wasser gießen.

    Unten ist der Messbecher sehr schmal und die Höhe des Wassers steigt sehr schnell an. Da der Messbecher immer breiter wird, steigt auch die Höhe des Wassers immer langsamer an, da das Wasser Platz hat sich in der Breite zu verteilen. Die Striche dürfen also nicht den gleichen Abstand zueinander haben, da wegen der immer größer werdenden Breite schon die nächsten $100~cm^3$ im Becher sind und die Höhe nur minimal gestiegen ist.

    Bei einem Messbecher, der zylinderförmig ist, sind die Eichstriche gleichmäßig, da die Höhe gleichmäßig mit der Höhe steigt. Die Abstände sind hier gleich groß.

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