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Kegel – Einführung 09:02 min

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Transkript Kegel – Einführung

Hallo und herzlich willkommen. Mein Name ist Jonathan und ich nehme dich heute ein Stück mit in die wunderbare Welt der Mathematik. Das Thema dieses Videos ist der Kegel. Was möchte ich dir in diesem Video alles erzählen? Zunächst werde ich dir anhand einer Skizze erklären, was ein Kegel überhaupt ist und welche Begriffe rund um den Kegel du kennen solltest. Anschließend zeige ich dir zwei Arten von Kegeln. Du wirst sehen, wo Kegel im Alltag vorkommen, damit du erkennst, dass das nicht nur eine mathematische Spielerei ist. Am Ende werde ich noch einmal zusammenfassen, was wir in diesem Video alles besprochen haben. Wenn du im Sommer gern Eis isst, dann kennst du den Kegel schon besser als du jetzt vielleicht gerade denkst. Aber dazu erzähle ich dir später mehr. Um dieses Video zu verstehen solltest du wissen, was die Begriffe Grund- und Mantelfläche bedeuten und was bei einem Kreis der Umfang, Radius und Flächeninhalt ist. Also los geht es. Dies ist ein Kegel. Genauer gesagt ist dies die Skizze eines Kegels. Ein Kegel ist eine dreidimensionale Figur, also ein Körper. Da die Tafel, auf der ich zeichne, eine Fläche ist, kann ich von dem Kegel nur eine Zeichnung machen, die die Dreidimensionalität andeutet. Eine Skizze eben. Ich habe dir hier einen echten Kegel mitgebracht. Du erkennst einen Kegel daran, dass er eine Spitze und eine kreisförmige Grundfläche hat. Der Kreis hat einen Radius, mit dem du zum Beispiel die Größe oder den Umfang der Grundfläche ausrechnen könntest. Ich zeichne dir in beiden Bildern den Radius des Kreises ein und nenne ihn „r‟. Die Höhe des Kegels ist der Abstand von der Spitze zur Grundfläche. Ich nenne sie „h.“ Allerdings darf man nicht irgendeinen Punkt auf der Grundfläche nehmen, wenn man die Höhe einzeichnen will. Die Höhe muss immer senkrecht zur Ebene sein, in der die Grundfläche liegt. In unserem Fall muss die Höhe also senkrecht auf dem Kreis stehen. Man nennt das auch „das Lot auf eine Ebene fällen.“ Die Mantelfläche des Kegels ist gewölbt. Das bedeutet, dass sie nicht in einer geraden Ebene liegt, wie es bei der Grundfläche der Fall ist. Sie ist im Raum gekrümmt. Rolle ich die Mantelfläche jedoch ab, so siehst du, welche Form sie eigentlich hat. Sie ist ein Kreissektor. Der Kreissektor ist der Ausschnitt eines Kreises, wobei die Spitze des Sektors genau dem Mittelpunkt des Kreises entspricht. Du kannst dir einen Kreissektor wie ein Tortenstück vorstellen. Wenn du die Torte schneidest, sind die einzelnen Tortenstücke auch Kreissektoren. Weißt du, wo ich diese Strecke an der Mantelfläche in der Skizze von unserem Kegel einzeichnen kann? Richtig, ich kann sie zum Beispiel hier einzeichnen. Ich könnte sie auch hier einzeichnen. Diese Strecke nennt sich Mantellinie. Sie ist die Verbindungsstrecke, die die Spitze mit irgendeinem beliebigen Punkt auf dem Umfang der Grundfläche verbindet. Jetzt kennst du die wichtigsten Begriffe rund um den Kegel. Damit weißt du alles, um die beiden Arten von Kegeln kennen lernen zu können. Wie ich schon angedeutet habe, gibt es zwei Arten von Kegeln. Der Kegel, den ich die ganze Zeit zum Erklären verwendet habe, ist ein gerader Kegel. Das bedeutet, dass die Höhe genau auf dem Mittelpunkt des Kreises steht. Die Spitze steht also im Lot über dem Mittelpunkt des Kreises. Kannst du dir denken, wie die zweite Art heißt? Richtig, die zweite Art von Kegeln heißt schiefer Kegel. Was bedeutet das? Wenn du die Höhe von der Spitze auf die Ebene fällst, trifft sie beim schiefen Kegel nicht auf den Mittelpunkt des Kreises. Die beiden Begriffe kannst du dir ganz gut merken. Entweder ist ein Kegel gerade oder eben nicht. Dann ist er schief. Was haben die Kegelarten gemein? Beide Kegel haben eine Spitze und eine kreisförmige Grundfläche. Die Höhe ist das Lot von der Spitze auf die Grundfläche. Der Unterschied zwischen beiden Kegeln liegt in der Mantelfläche und der Mantellinie. Was ich dir vorhin zu der Mantelfläche erzählt habe, gilt nur für den geraden Kegel. Die Mantelfläche eines schiefen Kegels ist kein Kreissektor, sondern hat eine komplexere Form. Schau dir mal die Mantellinien der beiden Kegel an. Die Mantellinie ist bei dem geraden Kegel immer gleich lang. Egal, wo ich die Spitze mit dem Kreis verbinde. Die entsprechende Mantelfläche ist ein Teil von einem Kreis, bei dem der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand des Kreises auch immer gleich lang ist. Bei dem schiefen Kegel ist die Mantellinie nicht überall gleichlang. Hier auf der linken Seite ist sie zum Beispiel deutlich kürzer als hier auf der rechten Seite. Die Mantelfläche hat also eine ganz andere Form. Uns reicht es hier jedoch aus, wenn wir die Mantelfläche des geraden Kegels kennen. Die Unterschiede bei den Kegelarten sind also die Mantelfläche und die Lage der Spitze bezüglich der Grundfläche. Jetzt denkst du dir vielleicht: „Okay, ich weiß jetzt, was ein Kegel ist. Aber kommen Kegel in meinem Alltag überhaupt vor?“ Die Antwort ist: Ja, sie kommen im Alltag vor. Wenn du einen Zauberfilm schaust, ist dir der Kegel vielleicht schon einmal begegnet. Die paar Knicke musst du dir wegdenken. Dann siehst du den Kegel. Als du das letzte Mal an einer Straßenbaustelle vorbei gekommen bist, ist dir vielleicht auch ein Kegel begegnet. Die Teile, mit denen der Verkehr umgeleitet wird, heißen Pylonen. Auch hier ist der Kegel nicht zu übersehen. Aber fällt dir etwas auf? Der Pylon hat keine Spitze. Es sieht aus, als ob diese abgesägt wurde. Ein Pylon ist eigentlich kein Kegel, sondern heißt Kegelstumpf. Du kannst ihn leicht zu einem echten Kegel erweitern, wenn du oben noch eine Spitze hinzufügst. Kannst du dich noch an die Eistüte erinnern? Schauen wir uns diese noch einmal an. Na klar, die ist auch ein Kegel, oder? Na ja, fast. Du hast heute gelernt, dass ein Kegel ein Körper ist, der von einer Grundfläche und einer Mantelfläche begrenzt wird. Die Eistüte hat aber keine geschlossene Grundfläche. Außerdem ist sie hohl. Muss sie ja auch, sonst würde kein Eis rein passen. Die Eistüte ist also nur die Mantelfläche eines Kegels. Okay, ich fasse noch einmal kurz zusammen, was du gerade alles gelernt hast: Bei einem geraden Kegel steht die Spitze genau im Lot über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Bei einem schiefen Kegel steht die Spitze im Lot über irgendeinem anderen Punkt auf der Kreisebene. Der senkrechte Abstand von der Spitze zur Grundfläche heißt Höhe. Eine beliebige Verbindungsstrecke von Spitze und Umfang des Kreises heißt Mantellinie. Bei dem geraden Kegel sind alle Mantellinien gleich lang. Bei dem schiefen Kegel ist das nicht so. Und wenn dir irgendjemand erzählt, eine Eistüte sei ein Kegel, kannst du jetzt darauf richtig antworten: „Eine Eistüte ist kein Kegel, sondern die Mantelfläche eines Kegels.“ Damit sind wir am Ende dieses Videos. Ich hoffe, es hat dir weitergeholfen und du fühlst dich jetzt fit im Umgang mit Kegeln. Mein Name ist Jonathan. Hoffentlich sehen wir uns bald wieder. Bis dahin wünsche ich dir viel Freude an der Mathematik.

3 Kommentare
  1. Super Video💕❤️

    Von Firus D., vor mehr als einem Jahr
  2. Super

    Von Laxmy1976, vor fast 2 Jahren
  3. cool

    Von Mohamed Elsayed, vor mehr als 5 Jahren

Kegel – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kegel – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Bestandteile eines Kegels.

    Tipps

    Hier siehst du die Grundfläche eines Kegels. Der Umfang u ist rot gekennzeichnet und der Radius r ist mit blau gekennzeichnet.

    Die Torte hat die Form eines Kreissektors.

    Lösung

    Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.

    Die Mantelfläche „ummantelt“ die Grundfläche. Die Mantelfläche liegt in einer ungeraden Ebene. Das heißt, dass sie gewölbt ist. Wenn man sie abrollt, hat sie die Form eines Kreissektors. Dabei entspricht die Spitze des Kreissektors dem Mittelpunkt der Grundfläche.

    Die Mantellinie ist eine Linie. Sie verbindet die Spitze des Kegels mit einem Punkt auf dem Umfang der Grundfläche.

    Ein Kegel ist ein Körper. Das heißt, dass man ihn dreidimensional betrachten kann. Außerdem hat ein Kegel eine Spitze und eine Grundfläche mit der Form eines Kreises.

    Die Höhe gibt den Abstand der Spitze zur Grundfläche des Kegels an. Dabei ist der Abstand der Spitze zu einem beliebigen Punkt auf der Grundfläche gemeint - nicht auf dem Umfang der Grundfläche. Das heißt, dass die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundfläche.

  • Gib die Gegenstände aus dem Alltag an, die kegelförmig sind.

    Tipps

    Ein Kegel ist ein dreidimensionaler Körper. Durch welche Flächen wird er begrenzt?

    Ein Kegel wird durch einen Kreis (Grundfläche) und einer Mantelfläche begrenzt. Ein Kegel besitzt eine Spitze.

    Drei der Gegenstände sind kegelförmig.

    Lösung

    Ein Kegel hat immer eine kreisförmige Grundfläche und ist dreidimensional. Das heißt, ein Kegel ist ein Körper. Er besitzt außerdem eine Spitze.

    1. Wenn man beim Hut die Krempe nicht betrachtet, hat der Hut die Form eines Kegels. Seine Grundfläche ist offen und sein Innenraum ist hohl. Das muss er auch, sonst könnte man ihn nicht auf den Kopf setzen.
    2. Die Eiswaffel hat genau wie der Hut die Form eines Kegels. Sie hat auch eine offene Grundfläche und ist innen hohl. Andererseits könnte man sie nicht mit Eis befüllen.
    3. Das Verkehrsschild hat die Form eines Dreiecks und ist damit kein Kegel.
    4. Das Tetraeder ist zwar ein Körper wie ein Kegel, aber seine Grundfläche ist nicht kreisförmig wie die des Kegels. Daher ist das Tetraeder auch kein Kegel.
    5. Der Pylon ist mit einer kleinen Ergänzung an der Spitze ein Kegel. Eigentlich wäre er streng genommen ein Kegelstumpf. Deswegen verwendet man auch das Wort kegelförmig.
  • Erkläre, wieso die Eichstriche nicht abstandsgleich sein dürfen.

    Tipps

    Stell dir vor, du willst in den Messbecher Milch abmessen. Oben ist der Becher viel breiter als unten. Wenn der Becher schmal ist, verteilt sich die Milch in die Höhe. Wenn der Becher breit ist, verteilt sich die Milch in die Breite.

    Hier siehst du einen Messbecher, der zylinderförmig ist. Was für eine Skalierung hat dieser? Was ist der Unterschied zum Kegel?

    Lösung

    Nehmen wir an, dass wir in den kegelförmigen Messbecher Wasser gießen.

    Unten ist der Messbecher sehr schmal und die Höhe des Wassers steigt sehr schnell an. Da der Messbecher immer breiter wird, steigt auch die Höhe des Wassers immer langsamer an, da das Wasser Platz hat sich in der Breite zu verteilen. Die Striche dürfen also nicht den gleichen Abstand zueinander haben, da wegen der immer größer werdenden Breite schon die nächsten $100~cm^3$ im Becher sind und die Höhe nur minimal gestiegen ist.

    Bei einem Messbecher, der zylinderförmig ist, sind die Eichstriche gleichmäßig, da die Höhe gleichmäßig mit der Höhe steigt. Die Abstände sind hier gleich groß.

  • Bestimme die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Kegelarten.

    Tipps

    Die Mantellinie ist bei einem schiefen Kegel nicht immer gleich lang.

    $\perp$ bedeutet „senkrecht auf“.

    Hier siehst du einen schiefen Kegel mit seiner Höhe und dem Mittelpunkt. Der Mittelpunkt ist mit einem x gekennzeichnet.

    Lösung

    Sowohl der gerade als auch der schiefe Kegel haben beide eine Spitze, eine kreisförmige Grundfläche und die Höhe steht senkrecht über der Grundfläche.

    Allerdings unterscheiden sich die beiden Kegel in ihrer Mantelfläche und Mantellinie.

    Die Mantelfläche des geraden Kegels hat die Form eines Kreissektors (Kreisausschnitts) und ummantelt den Kegel genau einmal. Die Mantelfläche des schiefen Kegels ist ein bisschen länger, sodass sie den Kegel ein bisschen mehr als nur einmal ummantelt. Damit hat die Mantelfläche eines schiefen Kegels auch nicht die Form eines Kreissektors.

    Die Mantellinie ist beim geraden Kegel immer gleich lang, denn sie geht immer von der Spitze bis zu einem Punkt auf dem Umfang des Kreises. Da beim schiefen Kegel die Spitze nicht über dem Mittelpunkt des Kreises liegt, hat die Spitze unterschiedliche Längen zu den Punkten des Umfangs des Kreises und damit ist die Mantellinie unterschiedlich lang.

  • Bestimme den geraden Kegel.

    Tipps

    Die Mantellinie ist bei einem schiefen Kegel nicht immer gleich lang.

    Drei der Kegel sind gerade. Die anderen sind schief.

    Lösung

    Ein gerader Kegel hat seine Spitze immer genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Das heißt, die Spitze steht im Lot auf der Grundfläche (dem Kreis). Die Höhe steht immer auf dem Mittelpunkt des Kreises. Außerdem sind seine Mantellinien immer gleich lang. Trifft das nicht zu, handelt es sich um einen schiefen Kegel. Die Mantellinien sind deshalb auch nicht gleich lang.

    Diese Eigenschaften des geraden Kegels treffen auf den blauen, lila und braunen Kegel zu. Die übrigen Kegel sind alle schief.

  • Beschrifte die Skizze des Kegels.

    Tipps

    Den Radius errechnet man durch die Formel $ r = \frac{d}{2}$. Dabei ist $d$ der Durchmesser eines Kreises.

    Die Skizze zeigt das kegelförmige Dach der Kirche. Lies die Begriffe aus dem Text und überlege dir, welche Größen in dem Kegel gemeint sind.

    Lösung

    Das Dach der Kirche ist kegelförmig. Wir sehen in dem Bild eine Skizze, die nicht maßstabsgetreu ist.

    Das Dach ist $23~m$ hoch. Wir beschriften die entsprechende Seite mit $h = 23~m$. Der Umfang ist $16~m$, also entspricht der Umfang des Kreises $u = 16~m$. Bei dem Radius müssen wir ein bisschen aufpassen. Das Dach ist $5~m$ breit. Das heißt, der Durchmesser des Daches ist $5~m$. Da allerdings nach dem Radius gefragt ist und der Radius nur halb so lang ist wie der Durchmesser, gilt $r = 2,5m$.