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Netze von Kegeln 07:40 min

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Transkript Netze von Kegeln

Hallo und herzlich willkommen. Mein Name ist Jonathan und ich nehme dich heute mit in die wunderbare Welt der Mathematik. In diesem Video möchte ich dir zeigen, wie man das Netz eines Kegels zeichnet. Zuerst werde ich dir zeigen, wie das Netz eines Kegels aussieht. Ich zeige dir anschließend, wie du die Größen ausrechnest, die für die Konstruktion nötig sind. Dann gebe ich dir zunächst eine allgemeine Anleitung, wie du das Netz eines Kegels konstruierst. Am Ende werde ich dir an einem Beispiel die Konstruktion eines Kegelnetzes vorführen. Du solltest den Kegel und dessen Oberfläche schon kennen. Außerdem solltest du wissen, was ein Kreissektor ist. Schauen wir uns also erst einmal an, wie das Netz eines Kegels aussieht. Ich habe dir hier einen Kegel mitgebracht. Ich habe ihn so gebastelt, dass ich zu seinem Netz umformen kann. Dies hier die kreisförmige Grundfläche des Kegels. Und hier ist die Mantelfläche des Kegels. Wie du weißt, ist sie ein Kreissektor. Wie du siehst, berühren sich die Mantelfläche und der Kreis in genau einem Punkt. Der Berührungspunkt muss nicht am äußersten Punkt des Kreisbogens liegen, sondern kann an einem beliebigen Punkt des Kreisbogens sein. Ich nehme diese Form für die Konstruktion. Welche Größen musst du kennen, damit du das Netz eines Kegels eindeutig zeichnen kannst? Um den Kreis der Grundfläche zeichnen zu können, musst du lediglich den Radius r kennen. Diesen kannst du zum Beispiel direkt ausmessen, wenn du den Kegel vor dir hast. Für den Kreissektor, also die Mantelfläche des Kegels, brauchst du zwei Größen. Du brauchst einmal die Mantellinie s, diese ist der Radius des Kreissektors. Die Mantellinie kannst du an dem echten Kegel zum Beispiel direkt messen. Wenn dies jemand nicht geht, zum Beispiel weil du eine Textaufgabe bearbeitet und nur den Radius und die Höhe des Kegels kennst, kannst du die Mantellinie mit folgender Gleichung ausrechnen: s = √ r2 + h2. Die zweite Größe, die du für den Kreissektor brauchst, ist der Mittelpunktswinkel α. Wenn du r und s schon kennst, kannst du α mit folgender Formel ausrechnen: α = r/s ⋅ 360 °. Mit diesen drei Größen, dem Radius r, der Mantellinie s und dem Mittelpunktswinkel α kannst du das Netz eines Kegels zeichnen. Ich gebe dir jetzt die allgemeine Konstruktionsanleitung. Du brauchst dazu einen Zirkel und ein Geodreieck. Zunächst musst du den Radius r, die Mantellinie s und den Mittelpunktswinkel α bestimmen. Zeichne die Grundfläche, einen Kreis mit dem Radius r. Nun kommt der Kreissektor. Trage die Strecke s an dem obersten Punkt des Kreises nach oben ab. Dazu setzt du dein Geodreieck so an, dass der Kreismittelpunkt und der oberste Punkt deines Kreises auf einer Linie liegen. Zeichne an dem oberen Punkt der Strecke s mit Hilfe des Geodreiecks den Winkel α ein. Stelle den Zirkel nun auf die Länge s ein und verbinde die beiden Schenkel des Winkels durch einen Kreisbogen. Zum Schluss musst du noch die Überstände wegradieren und fertig ist das Kegelnetz. Um ein wenig zu üben, möchte ich nun das Netz dieses Kegels hier nach meiner Konstruktionsanleitung zeichnen. Als Erstes müssen wir also r, s und α bestimmen. Ich habe schon einmal gemessen. Der Radius beträgt fünf Zentimeter und der Kegel ist elf Zentimeter hoch. Damit können wir zunächst einmal s ausrechnen. s = √ r2 + h2. Setzen wir r und h ein, so ergibt sich: s = √ 52 + 112 = √ 25 + 121. Also insgesamt √ 146. Dies ist rund 12,1. Die Mantellinie ist somit rund 12,1 Zentimeter lang. Damit können wir nun den Mittelpunktswinkel α ausrechnen. α = r/s ⋅ 360 °. Mit r und s, die wir nun ausgerechnet haben, ergibt sich α = 5 cm/12,1 cm ⋅ 360 °, was gerundet 149 ° ergibt. Nun können wir anfangen zu konstruieren. Die Werte für r, s und α kennen wir schon. Zuerst den Kreis der Grundfläche mit dem Radius von fünf Zentimetern. Jetzt trage ich die Strecke s an dem Kreis ab. Ich setze dazu das Geodreieck an den Mittelpunkt und den obersten Punkt des Kreises an und zeichne die Strecke s ab dem oberen Punkt des Kreises ein. Ich messe 12,1 cm ab, solange ist die Mantellinie s. Ich zeichne nun den Winkel α, also 149 ° ein. Nun verbinde ich die beiden Strecken mit Hilfe des Zirkels mit einem Kreisbogen, der den Radius 12,1 cm hat. Ich muss nur noch die Überstände entfernen und dann sind wir fertig. Ich fasse kurz zusammen: Das Netz eines Kegels setzt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. Der Kreis der Grundfläche ist durch den Radius r bestimmt. Die Mantelfläche ist ein Kreissektor und durch die Mantellinie s und den Mittelpunktswinkel α bestimmt. Das Netz konstruierst du, indem du zuerst den Kreis und dann die Mantellinie einzeichnest. Anschließend musst du den Mittelpunktswinkel α einzeichnen und die beiden Geraden durch einen Kreisbogen verbinden. Damit sind wir am Ende dieses Videos. Ich hoffe, es hat dir weitergeholfen und du kannst jetzt das Netz eines Kegels zeichnen. Mein Name ist Jonathan, hoffentlich sehen wir uns bald wieder! Bis dahin wünsche ich dir viel Freude an der Mathematik.

1 Kommentar
  1. Default

    danke für die Hilfe

    Von Asevims, vor fast 2 Jahren

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