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Netze von Kegeln

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Die Autor*innen
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Jonathan Wolff
Netze von Kegeln
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Netze von Kegeln

Inhalt

Was ist ein Kegelnetz?

Du kennst bestimmt schon verschiedene Körper, wie z. B. Quader, Würfel und Prisma. Mit dem Körpernetz eines Körpers kannst du den Körper aus Papier zusammenfalten. In diesem Video beschäftigen wir uns mit dem Kegel und seinem Körpernetz, also dem Kegelnetz.

Die Oberfläche des Kegels besteht aus der Mantelfläche und der Grundfläche. Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis. Wie seine Mantelfläche genau aussieht, verstehst du am besten anhand des Körpernetzes des Kegels.

Ein Körpernetz des Kegels erhältst du, wenn du den Kegel entlang geeigneter Kanten und Linien auseinanderschneidest. Im Unterschied zu anderen Körpern hat der Kegel nur eine einzige Kante – diese verläuft zwischen der Grundfläche und der Mantelfläche. Längs dieser Kante schneidest du den Kegel auseinander. Ein weiterer Schnitt verläuft durch die Mantelfläche. Ohne sie aufzuschneiden, könntest du die Mantelfläche nicht als ebene Fläche auffalten.

Kegel und Kegelnetz

Kegelnetz – Definition

Nachdem du den Kegel auseinandergefaltet hast, kannst du erkennen, wie sein Körpernetz aussieht: Es besteht aus zwei Flächen, die im zusammengesetzten Kegel die Grundfläche und die Mantelfläche bilden. Die Grundfläche ist ein Kreis und ist in dieser Form auch im fertigen Kegel erkennbar. Die Mantelfläche ist ein Kreissektor oder Kreisausschnitt. Die Grundfläche und die Mantelfläche berühren einander in genau einem Punkt. Dieser Berührungspunkt kann an einem beliebigen Punkt des Kreisbogens des Kreissektors liegen.

Um das Kegelnetz wieder zu einem Kegel zusammenzusetzen, musst du den Kreissektor längs seiner beiden Radien zusammenkleben und die kreisförmige Grundfläche sowie den Kreissektor der Mantelfläche jeweils längs ihrer Umfänge zusammenkleben.

Kegelnetz berechnen

Um das Netz eines Kegels zeichnen zu können, musst du verschiedene Größen kennen oder berechnen. Um den Kreis für die Grundfläche des Kegels zu zeichnen, benötigst du seinen Radius $r$. Du kannst zum Beispiel den Radius der Grundfläche eines gegebenen Kegels ausmessen, um die Grundfläche dieses Kegels zu zeichnen. Der Kreissektor für die Mantelfläche des Kegels ist durch zwei Größen bestimmt: Die Mantellinie $s$ ist der Radius des Kreissektors. An einem vorgegebenen Kegel kannst du die Mantelfläche direkt messen, indem du ein Lineal an die Mantelfläche legst und die Strecke von der Kante zwischen Grundfläche und Mantelfläche bis zur Kegelspitze misst. Du kannst die Mantellänge $s$ aber auch berechnen, wenn du die Höhe $h$ des Kegels kennst. Aus dem Satz des Pythagoras erhältst du die folgende Formel für die Mantellänge:

$s=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

Die zweite Größe, durch die die Mantelfläche bestimmt ist, ist der Mittelpunktswinkel $\alpha$ des Kreissektors. Diesen Winkel kannst du aus der Mantellänge $s$ und dem Radius $r$ mit folgender Formel berechnen:

$\alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$

Mit diesen drei Größen kannst du das Netz eines Kegels zeichnen und den Kegel aus dem Netz zusammenbauen.

Konstruktion Kegelnetz

Kegelnetz zeichnen

Hier ist eine schrittweise Anleitung zum Zeichnen eines Kegelnetzes:

  1. Bestimme den Radius $r$ der Grundfläche, die Mantellänge $s$ und den Mittelpunktswinkel $\alpha$ des Kegels.
  2. Zeichne einen Kreis vom Radius $r$.
  3. Trage die Strecke $s$ von der Kreislinie nach außen ab. Lege dabei das Lineal so an, dass die Kante genau durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft.
  4. Trage mit dem Geodreieck am äußeren Endpunkt der Strecke $s$ den Mittelpunktswinkel $\alpha$ ab.
  5. Stelle die Zirkelspanne auf die Länge $s$ ein. Stich den Zirkel im Scheitelpunkt des Winkels $\alpha$ ein und schlage einen Kreisbogen, der die beiden Schenkel dieses Winkels verbindet.

Kegelnetz berechnen – Beispiel

Wir berechnen für einen Beispielkegel die Größen $s$ und $\alpha$. Der Kegel hat den Radius $r=5~\text{cm}$ und die Höhe $h=11~\text{cm}$. Die Mantellänge beträgt also:

$s=\sqrt{r^{2}+h^{2}} = \sqrt{(5~\text{cm})^{2} + (11~\text{cm})^{2}} = \sqrt{146~\text{cm}^{2}} \approx 12,1~\text{cm}$

Mit der Mantellinie können wir nun auch den Mittelpunktswinkel $\alpha$ berechnen:

$\alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ = \frac{5~\text{cm}}{12,1~\text{cm}} \cdot 360^\circ \approx 149^\circ$

Das Video zum Körpernetz von Kegeln

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, wie das Körpernetz eines Kegels aussieht und wie du es zeichnen kannst. Du erfährst außerdem, wie du die nötigen Größen berechnest, um ein Körpernetz Schritt für Schritt zu konstruieren. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen, in denen du dein neues Wissen gleich ausprobieren kannst.

Transkript Netze von Kegeln

Hallo und herzlich willkommen. Mein Name ist Jonathan und ich nehme dich heute mit in die wunderbare Welt der Mathematik. In diesem Video möchte ich dir zeigen, wie man das Netz eines Kegels zeichnet. Zuerst werde ich dir zeigen, wie das Netz eines Kegels aussieht. Ich zeige dir anschließend, wie du die Größen ausrechnest, die für die Konstruktion nötig sind. Dann gebe ich dir zunächst eine allgemeine Anleitung, wie du das Netz eines Kegels konstruierst. Am Ende werde ich dir an einem Beispiel die Konstruktion eines Kegelnetzes vorführen. Du solltest den Kegel und dessen Oberfläche schon kennen. Außerdem solltest du wissen, was ein Kreissektor ist. Schauen wir uns also erst einmal an, wie das Netz eines Kegels aussieht. Ich habe dir hier einen Kegel mitgebracht. Ich habe ihn so gebastelt, dass ich zu seinem Netz umformen kann. Dies hier die kreisförmige Grundfläche des Kegels. Und hier ist die Mantelfläche des Kegels. Wie du weißt, ist sie ein Kreissektor. Wie du siehst, berühren sich die Mantelfläche und der Kreis in genau einem Punkt. Der Berührungspunkt muss nicht am äußersten Punkt des Kreisbogens liegen, sondern kann an einem beliebigen Punkt des Kreisbogens sein. Ich nehme diese Form für die Konstruktion. Welche Größen musst du kennen, damit du das Netz eines Kegels eindeutig zeichnen kannst? Um den Kreis der Grundfläche zeichnen zu können, musst du lediglich den Radius r kennen. Diesen kannst du zum Beispiel direkt ausmessen, wenn du den Kegel vor dir hast. Für den Kreissektor, also die Mantelfläche des Kegels, brauchst du zwei Größen. Du brauchst einmal die Mantellinie s, diese ist der Radius des Kreissektors. Die Mantellinie kannst du an dem echten Kegel zum Beispiel direkt messen. Wenn dies jemand nicht geht, zum Beispiel weil du eine Textaufgabe bearbeitet und nur den Radius und die Höhe des Kegels kennst, kannst du die Mantellinie mit folgender Gleichung ausrechnen: s = √ r2 + h2. Die zweite Größe, die du für den Kreissektor brauchst, ist der Mittelpunktswinkel α. Wenn du r und s schon kennst, kannst du α mit folgender Formel ausrechnen: α = r/s ⋅ 360 °. Mit diesen drei Größen, dem Radius r, der Mantellinie s und dem Mittelpunktswinkel α kannst du das Netz eines Kegels zeichnen. Ich gebe dir jetzt die allgemeine Konstruktionsanleitung. Du brauchst dazu einen Zirkel und ein Geodreieck. Zunächst musst du den Radius r, die Mantellinie s und den Mittelpunktswinkel α bestimmen. Zeichne die Grundfläche, einen Kreis mit dem Radius r. Nun kommt der Kreissektor. Trage die Strecke s an dem obersten Punkt des Kreises nach oben ab. Dazu setzt du dein Geodreieck so an, dass der Kreismittelpunkt und der oberste Punkt deines Kreises auf einer Linie liegen. Zeichne an dem oberen Punkt der Strecke s mit Hilfe des Geodreiecks den Winkel α ein. Stelle den Zirkel nun auf die Länge s ein und verbinde die beiden Schenkel des Winkels durch einen Kreisbogen. Zum Schluss musst du noch die Überstände wegradieren und fertig ist das Kegelnetz. Um ein wenig zu üben, möchte ich nun das Netz dieses Kegels hier nach meiner Konstruktionsanleitung zeichnen. Als Erstes müssen wir also r, s und α bestimmen. Ich habe schon einmal gemessen. Der Radius beträgt fünf Zentimeter und der Kegel ist elf Zentimeter hoch. Damit können wir zunächst einmal s ausrechnen. s = √ r2 + h2. Setzen wir r und h ein, so ergibt sich: s = √ 52 + 112 = √ 25 + 121. Also insgesamt √ 146. Dies ist rund 12,1. Die Mantellinie ist somit rund 12,1 Zentimeter lang. Damit können wir nun den Mittelpunktswinkel α ausrechnen. α = r/s ⋅ 360 °. Mit r und s, die wir nun ausgerechnet haben, ergibt sich α = 5 cm/12,1 cm ⋅ 360 °, was gerundet 149 ° ergibt. Nun können wir anfangen zu konstruieren. Die Werte für r, s und α kennen wir schon. Zuerst den Kreis der Grundfläche mit dem Radius von fünf Zentimetern. Jetzt trage ich die Strecke s an dem Kreis ab. Ich setze dazu das Geodreieck an den Mittelpunkt und den obersten Punkt des Kreises an und zeichne die Strecke s ab dem oberen Punkt des Kreises ein. Ich messe 12,1 cm ab, solange ist die Mantellinie s. Ich zeichne nun den Winkel α, also 149 ° ein. Nun verbinde ich die beiden Strecken mit Hilfe des Zirkels mit einem Kreisbogen, der den Radius 12,1 cm hat. Ich muss nur noch die Überstände entfernen und dann sind wir fertig. Ich fasse kurz zusammen: Das Netz eines Kegels setzt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. Der Kreis der Grundfläche ist durch den Radius r bestimmt. Die Mantelfläche ist ein Kreissektor und durch die Mantellinie s und den Mittelpunktswinkel α bestimmt. Das Netz konstruierst du, indem du zuerst den Kreis und dann die Mantellinie einzeichnest. Anschließend musst du den Mittelpunktswinkel α einzeichnen und die beiden Geraden durch einen Kreisbogen verbinden. Damit sind wir am Ende dieses Videos. Ich hoffe, es hat dir weitergeholfen und du kannst jetzt das Netz eines Kegels zeichnen. Mein Name ist Jonathan, hoffentlich sehen wir uns bald wieder! Bis dahin wünsche ich dir viel Freude an der Mathematik.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. danke für die Hilfe

    Von Asevims, vor fast 5 Jahren

Netze von Kegeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Netze von Kegeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Konstruktionsbeschreibung eines Kegels wieder.

    Tipps

    Es ist einfacher, wenn man zuerst die Grundfläche und dann die Mantelfläche zeichnet.

    Die Mantellinie $s$ lässt sich mithilfe der Formel $s=\sqrt{r^2+h^2}$ berechnen, wobei $h$ die Höhe des Kegels ist.

    Lösung

    Möchte man das Netz eines Kegels konstruieren, ist es einfacher, wenn man zunächst die Grundfläche und dann die Mantelfläche einzeichnet. Bevor man überhaupt anfängt, irgendwas zu zeichnen, sollte man die nötigen Größen $r$, $s$ und $\alpha$ bestimmen. Wenn diese Größen bekannt sind, kann man beginnen, mit einem Zirkel den Grundkreis und damit die Grundfläche einzuzeichnen. Anschließend trägt man vom Kreis die Strecke $s$ ab. Ist die Strecke $s$ abgetragen, kann man mit dem Geodreieck den Winkel $\alpha$ abmessen und eintragen. Nun trägt man mit dem Zirkel den Kreisbogen mit dem Radius $s$ ab, da der Kreisbogen genauso lang ist wie der Umfang des Kreises. Abschließend entfernt man noch alle Überstände.

    Die allgemeine Konstruktionsbeschreibung, ein Kegelnetz zu zeichnen, lautet demnach:

    1. $r$, $s$ und $\alpha$ bestimmen //
    2. Grundkreis mit Radius $r$ zeichnen //
    3. Strecke $s$ an Kreis abtragen //
    4. Winkel $\alpha$ einzeichnen //
    5. Kreisbogen mit Radius $s$ zeichnen //
    6. Überstände entfernen
  • Stelle die Konstruktion eines Kegelnetzes graphisch dar.

    Tipps

    Um ein Kegelnetz zu zeichnen, geht man wie folgt vor:

    1. Man bestimmt $r$, $s$ und $\alpha$:
    2. Man zeichnet die Grundfläche, den Kreis, ein.
    3. Vom Kreis trägt man $s$ ab.
    4. Nun wird $\alpha$ eingezeichnet.
    5. Man zieht den Kreisbogen.
    6. Letztlich werden alle Überstände entfernt.

    Lösung

    Hier siehst du die Reihenfolge der Bilder von links nach rechts.

    Zunächst musst du $r$, $s$ und $\alpha$ bestimmen. Anschließend zeichnest du mit $r$ die Grundfläche als Kreis ein. Vom Kreis ausgehend, trägst du die Mantellinie $s$ ab. Von der Mantellinie misst du mithilfe des Geodreiecks den Mittelpunktswinkel $\alpha$ ab. Nun kannst du mit dem Zirkel den Kreisbogen ziehen. Zuletzt beseitigst du Überstände.

  • Entscheide, welche Kegelnetze richtig gezeichnet sind.

    Tipps

    Die Grundfläche und die Mantelfläche berühren sich in einem Punkt. Dieser Punkt kann beliebig auf dem Kreisbogen der Mantelfläche und auf dem Umfang der Grundfläche liegen.

    Wann berührt die Grundfläche die Mantelfläche nicht am Kreisbogen?

    Lösung

    Ein Kegel besteht aus einer Grundfläche, welche die Form eines Kreises hat und aus einer Mantelfläche, die die Form eines Kreissektors hat. Beide Flächen sind an einen Berührungspunkt miteinander verbunden. Dieser Punkt liegt auf dem Kreisbogen bzw. am Umfang des Kreises. Der Kreisbogen und der Umfang des Kreises sind gleich lang.

    Diese Eigenschaften treffen auf das grüne, orange und gelbe Kegelnetz zu. Sie sind richtige Netze eines Kegels.

    Das blaue Kegelnetz hat seinen Berührungspunkt nicht am Kreisbogen, sondern an der Mantellinie. Würde man dieses Netz zusammenbauen, würde daraus kein Kegel entstehen.

  • Bestimme den Mittelpunktswinkel $\alpha$.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass $c^2 = a^2 + b^2$ gilt. Kannst du das verwenden?

    Um den Kreisbogen zu berechnen, dient die Formel $s=\sqrt{r^2+h^2}$.

    Um anhand von Radius und Kreisbogen den Mittelpunktswinkel zu berechnen, benutze die Formel $\alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$.

    Lösung

    Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ berechnet sich aus der Formel $ \alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$. Wir wissen schon, dass $r = 12~cm$ und $h=9~cm$ groß ist. Wir wissen noch nicht, wie lang die Mantellinie $s$ ist. Die Höhe, der Radius und die Mantelfläche ergeben zusammen ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Mantellinie $s$ die Hypotenuse darstellt. Mithilfe des Satzes von Pythagoras können wir die Mantellinie $s$ berechnen. Laut dem Satz des Pythagoras lautet die passende Formel dazu: $s^2 = r^2 + h^2$ Diese Formel formen wir nun nach $s$ um und erhalten:

    $\begin{align} s^2 &= r^2 + h^2 &|& \sqrt[]{~} \\ s &= \sqrt[2]{r^2 + h^2} \end{align}$

    Wir setzen nun die uns bekannten Werte für die Höhe und den Radius ein und erhalten:

    $\begin{align} s &= \sqrt[2]{12^2~cm+ 9^2~cm} \\ s &= \sqrt[2]{144~cm + 81~cm} \\ s &= \sqrt[2]{225~cm} \\ s &= 15~cm \end{align}$

    Nun wissen wir, wie groß $s$ ist. Wir können nun die Werte für $r$ und $s$ in die Formel $ \alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$ einsetzen und erhalten:

    $ \alpha = \frac{12~cm}{15~cm} \cdot 360^\circ = 288^\circ $

    Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ ist also $288^\circ$ groß.

  • Nenne die Größen, welche notwendig sind, um ein Netz zeichnen zu können.

    Tipps

    Um ein Kegelnetz zu zeichnen, muss man den Grundkreis und den Kreissektor einzeichnen.

    Die Fläche eines Kreises berechnet sich mit der Formel $A = \pi \cdot r^2$

    Die Fläche eines Kreissektors berechnet man mit der Formel $A = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot r^2$.

    Lösung

    Ein Kegel besteht aus einer Grundfläche, welche die Form eines Kreises hat und aus einer Mantelfläche, welche die Form eines Kreissektors hat.

    Die Fläche eines Kreises berechnet man durch die Formel $A = \pi \cdot r^2$. Die Fläche eines Kreissektors berechnet man durch die Formel $A = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot r^2$. Aus diesen beiden Formeln kann man erkennen, dass man den Radius $r$ und den Mittelpunktswinkel $\alpha$ braucht, um die beiden Flächen zu zeichnen. Da bei einem Kegelnetz die Mantelfläche direkt an der Grundfläche liegt, verbindet man Mantelfläche und Grundfläche mit der Mantellinie $s$.

    Um ein Kegelnetz zu zeichnen, braucht man also den Radius $r$, die Mantellinie $s$ und den Mittelpunktswinkel $\alpha$.

  • Ermittle die Länge der Mantellinie $s$.

    Tipps

    Nutze die Formel zur Berechnung des Mittelpunktswinkels, um die Mantellinie auszurechnen. Diese lautet $\alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$.

    Stelle diese Formel deinen Bedürfnissen entsprechend um.

    Lösung

    Mit der Formel $\alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ$ kann man den Mittelpunktswinkel $\alpha$ berechnen. In dieser Formel taucht auch die Variable der Mantellinie $s$ auf. Demnach können wir die Formel nach $s$ umstellen, um eine Formel zu erlangen, mit der wir $s$ berechnen können. Es folgt:

    $ \begin{align} & ~ & \alpha & = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ &|& \cdot s\\ & \Leftrightarrow & \alpha \cdot s & = r \cdot 360^\circ &|& : \alpha\\ & \Leftrightarrow & s & = \frac{r \cdot 360^\circ}{\alpha} \end{align}$

    In diese Formel können wir nun unsere bekannten Werte einsetzen. Es folgt:

    $ s = \Large{\frac{10~cm \cdot 360^\circ}{160^\circ}} \small{= 22,5~cm}$

    Die Mantellinie $s$ ist $22,5~cm$ lang.

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