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Netze von geraden Prismen

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Die Autor*innen
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Thekla Haemmerling
Netze von geraden Prismen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Netze von geraden Prismen

Inhalt

Was ist ein gerades Prisma?

Was haben eine Kiste und ein ungespitzter Buntstift gemeinsam? Beide sind gerade Prismen. Bei einem Prisma sind alle Seitenkanten gleich lang und parallel zueinander. Die Grundfläche und Deckfläche sind kongruent und liegen in parallelen Ebenen.

Prismen entstehen durch die Parallelverschiebung eines Vielecks in einer Raumrichtung. Die Verschiebungsrichtung ist die Richtung der Seitenkanten. Bei einem geraden Prisma kannst du die Grundfläche senkrecht bis zur Deckfläche verschieben. Daher stehen die Seitenkanten eines geraden Prismas auf der Grund- und Deckfläche senkrecht. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke.

Den Abstand zwischen der Grundfläche und der Deckfläche eines Prismas nennt man die Höhe des Prismas. Bei einem geraden Prisma ist die Höhe dasselbe wie die Länge der Seitenkanten. Alle Seitenflächen zusammen bilden die Mantelfläche des Prismas. Die Oberfläche eines Prismas besteht aus der Grundfläche, der Mantelfläche und der Deckfläche des Prismas.

gerade und schiefe Prismen

Körpernetze gerader Prismen

Bei jedem Prisma ist die Anzahl der Ecken der Grundfläche dasselbe wie die Anzahl der Seitenflächen. Ein Prisma mit fünfeckiger Grundfläche nennt man fünfseitiges Prisma, denn es hat fünf Seitenflächen. Die Oberfläche dieses Prismas besteht aber aus sieben Flächen, denn die Grund- und Deckfläche gehören auch dazu. Ebenso besteht das Körpernetz eines fünfseitigen Prismas aus sieben Teilflächen. Denn das Körpernetz ist so etwas wie ein Bauplan, aus dem du das Prisma zusammenfalten kannst.

Vom Prisma zum Körpernetz:

Das Körpernetz eines Prismas erhältst du, indem du das Prisma längs einiger Kanten auseinanderschneidest und auffaltest. Du darfst aber nur so viele Schnitte machen, dass die Flächen noch alle an einem Stück zusammenhängen. Hast du kein Prisma zur Hand, das du aufschneiden kannst, so kannst du auch selbst ein Körpernetz konstruieren und das Prisma daraus bauen.

Vom Körpernetz zum Prisma

Für ein fünfseitiges Prisma zeichne zuerst ein Fünfeck – zum Beispiel ein regelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge $5~\text{cm}$. Dieses Fünfeck wird die Grundfläche des Prismas. Zeichne nun an eine Seite des Fünfecks ein Rechteck. Die Fünfeckseite von $5~\text{cm}$ ist dann eine Seite des Rechtecks. Die Länge der dazu senkrechten Seiten wird die Höhe des Prismas. Wähle zum Beispiel die Höhe $10~\text{cm}$. Zeichne an dieses Rechteck vier weitere Rechtecke derselben Größe. Diese fünf Rechtecke bilden die Seitenflächen des Prismas. Daher müssen sie jeweils an der längeren Seite aneinanderanliegen. Nun fehlt nur noch die Deckfläche. Zeichne dazu das regelmäßige Fünfeck mit Kantenlänge $5~\text{cm}$ gespiegelt an eines der Rechtecke auf der anderen Seite. Das fertige Körpernetz sieht dann so aus:

Netz eines Prismas

Nun kannst du das Körpernetz ausschneiden, längs der Kanten falten und das Netz zu einem Prisma zusammensetzen.

Gerade Prismen mit unregelmäßiger Grundfläche

Die oben beschriebene Konstruktion des Körpernetzes eines geraden Prismas gelingt nur, wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist. Bei unregelmäßigen Vielecken musst du jede rechteckige Seitenfläche des Prismas passend zu der Länge einer Seite der Grundfläche zeichnen. Das kannst du an diesem Körpernetz eines dreiseitigen Prismas gut erkennen:

Prisma mit unregelmäßiger Grundfläche

Die Rechtecke der Seitenfläche haben alle dieselbe Höhe, aber verschiedene Breiten. Die Breiten der Rechtecke entsprechen genau den Seitenlängen des Dreiecks der Grundfläche.

Kurze Zusammenfassung zum Video Netze von geraden Prismen

In diesem Video werden dir die Körpernetze gerader Prismen verständlich erklärt. Du erfährst, wie du ein solches Körpernetz zeichnen kannst und wie die einzelnen Flächen des Körpernetzes mit der Höhe des Prismas und den Seitenlängen seiner Grund- und Deckfläche zusammenhängen. Das Video wird ergänzt durch interaktive Übungen, in denen du dein neues Wissen gleich ausprobieren kannst.

Transkript Netze von geraden Prismen

Hallo! Ich bin Thekla. Was, meinst du, haben das Dach eines Hauses, dieser unangespitzte Buntstift und diese Holzkiste gemeinsam? Sie sind allesamt gerade Prismen! Heute zeige ich dir, wie du Netze von geraden Prismen zeichnen kannst. Dazu wiederholen wir zuerst, was ein gerades Prisma ist. Hierbei ist es vor allem wichtig, die Begriffe Grundfläche, Seitenfläche, Mantelfläche, Höhe und Oberfläche eines Prismas richtig zuordnen zu können. Dann erkläre ich dir, was das Netz eines Prismas ist und wie es entsteht. Danach erstellen wir zusammen zwei Netze. Schauen wir uns also an, was ein gerades Prisma ist. Hier habe ich einige Beispiele von geraden Prismen für dich vorbereitet. Was haben sie gemeinsam? Alle haben eine Grund- und eine Deckfläche, die zueinander kongruent, das heißt deckungsgleich, sind. Hier ist das zum Beispiel ein Dreieck und hier ein Rechteck; und schau mal hier: Ein Sechseck. Prismen allgemein sind Körper, die durch das Verschieben eines Vielecks im Raum entstehen. Im Gegensatz zu schiefen Prismen, erfolgt bei den geraden Prismen eine senkrechte parallele Verschiedbung von der Grundfläche zur Deckfläche. Dadurch entstehen als Seitenflächen Rechtecke. Der Abstand zwischen der Grund- und Deckfläche heißt Höhe des Prismas. Alle Seitenflächen zusammen betrachtet heißen Mantelfläche oder auch Mantel des Prismas. Die gesamte Oberfläche des Prismas setzt sich aus der Grund-, Deck- und der Mantelfläche zusammen. Wenn ich im Folgenden von Prismen spreche, meine ich stets gerade Prismen.

Zusammenfassend ist ein gerades Prisma ein Körper mit zwei zueinander parallelen, kongruenten Vielecken mit rechteckigen Seitenflächen, die senkrecht auf der Grundfläche bzw. Deckfläche stehen. Schau dir nochmals die Prismen von eben an: Dieses Prisma nennt man dreiseitiges, dieses vierseitiges und dieses sechsseitiges Prisma. Du siehst also, dass dein Prisma so benannt wird, wie deine Grundfläche Ecken besitzt. Du hast heute schon viel über ein Prisma an sich gehört. Aber was ist nun das Netz eines geraden Prismas? Muss man sich hier etwa ein Fischenetz oder ein Spinnennetz vorstellen?

Nein, das Netz eines Prismas sieht im Grunde wie eine Bastelanleitung aus. Betrachte zum Beispiel mal dieses Netz eines dreiseitigen Prismas. Falte ich alle gestrichelten Kanten und klebe sie zusammen erhalte ich mein dreiseitiges Prisma. Jetzt lass uns doch mal probieren, selber das Netz eines Prismas zu zeichnen. Dazu brauchen wir natürlich zu aller erst - genau - ein Prisma. Hier habe ich ein fünfseitiges Prisma. Die Höhe beträgt 15 cm. Ich schaue mir an, wie die Grund- bzw. Deckfläche aussieht: Hier ist das ein regelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge 5 cm. Ich zeichne zuerst die Grundfläche z.B. mit Hilfe eines Zirkels ein. Ich weiß, dass die Mantelfläche aus fünf Rechtecken besteht, eines kann ich schonmal hier an diese Seite einzeichnen. Die Höhe des Prismas entspricht hier der Länge des Rechtecks, also 15 cm. Nun zeichne ich an dieses erste Rechteck noch vier weitere Rechtecke an, die alle dieselbe Breite und Länge besitzen.

Jetzt fehlt nur noch die Deckfläche. Ich zeichne das regelmäßige Fünfeck vom Anfang jetzt spiegelverkehrt an ein beliebiges Rechteck an und schon habe ich das Netz des fünfseitigen Prismas.

Aber Vorsicht! Nicht jedes Netz eines geraden Prismas kann man so zeichnen. Das werden wir bei unserem nächsten Beispiel sehen. Ich habe dir am Anfang schon einige Beispiele von geraden Prismen im Alltag gezeigt. Schau dir zum Beispiel noch mal das Dach dieses Hauses an. Trennst du es von dem Haus ab und stellst es so hin, kannst du erkennen, dass es sich hier um ein gerades, dreiseitiges Prisma handelt. Es ist 15 m hoch. Versuch’ jetzt mal, das Netz dieses Prismas zu zeichnen. Wie gehst du vor? Ich habe hier keinen Platz um das Dach in Metern zu zeichnen. Ich benutze daher einen Maßstab von 1:100, dass heißt 1 cm bei mir entsprechen 100 cm bzw. 1 Meter in der Wirklichkeit. Zuerst zeichnest du die Grundfläche so, als würdest du das Dach von vorne anschauen. Hier haben wir ein annähernd rechtwinkliges , aber gleichschenkliges Dreieck. Die Grundseite ist 5 m lang und die Schenkel sind 3,53 m lang. An meine Grundseite kann ich nun ein Rechteck mit der Höhe 15 m anzeichnen. Doch nun aufgepasst! Die Grundfläche ist hier nicht regelmäßig, dass heißt die Seiten der Seitenflächen sind verschieden lang. Willst du also die restlichen zwei Seitenflächen zeichnen, so musst du als Breite die Länge deiner Schenkel einzeichnen. Hier waren das 3,53 m.

Hmmm, was fehlt hier noch? Achja, die Deckfläche! Die zeichne ich spiegelverkehrt an das mittlere Rechteck.

Und schon ist das Netz unseres dreiseitigen Prismas fertig!

Du siehst, dass du hier sehr darauf aufpassen musst, wie lang die einzelnen Seiten deiner Grundfläche sind und wo du deine Grund- und Deckfläche platzierst. Entscheidend sind die gemeinsamen Seiten der einzelnen Flächen. Und? Hast du alles verstanden? Wenn ja, dann schau doch mal, ob du selbst das Netz eines geraden Prismas zeichnen kannst!

Du solltest dabei über die Begriffe Grundfläche, Deckfläche, Seitenfläche, Höhe und Oberfläche des Prismas Bescheid wissen. Und denk daran: Zeichnest du ein Netzt eines Prismas, so erstellst du im Grunde eine Bastelanleitung dafür! Ich wünsche dir viel Spaß und freue mich schon sehr auf’s nächste Mal mir dir! Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Sehr gut

    Von Stiegersmile, vor fast 7 Jahren

Netze von geraden Prismen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Netze von geraden Prismen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was ein gerades Prisma ist.

    Tipps

    Dies ist ein gerades Fünfeckprisma.

    Ein Dach ist ein schönes Beispiel für ein gerades Prisma mit dreieckiger Grundfläche.

    Kongruent bedeutet deckungsgleich.

    Wenn zwei geometrische Formen kongruent zueinander sind, so sind diese auch ähnlich.

    Umgekehrt stimmt dies nicht.

    Lösung

    Was ist ein gerades Prisma?

    Ein Prisma hat eine Grund- und eine Deckfläche, die zueinander kongruent, also deckungsgleich sind.

    Eine solche Grundfläche kann ein Sechseck oder ein Rechteck oder ein Dreieck sein.

    Ein Prisma ist ein Körper, der durch Verschiebung eines Vielecks im Raum entsteht.

    Bei einem geraden Prisma wird dieses Vieleck senkrecht zur Fläche, in welcher die Grundfläche sich befindet, verschoben.

    Dabei entstehen als Seitenflächen Rechtecke.

    Der Abstand zwischen der Grund- und Deckfläche heißt Höhe des Prismas.

    Die gesamte Fläche der Seiten wird als Mantelfläche bezeichnet.

    Addiert man zu der Mantelfläche die Grund- und Deckfläche, so erhält man die Oberfläche des Prismas.

  • Stelle dar, wie ein Netz eines fünfseitigen Prismas erstellt werden kann.

    Tipps

    Du musst mit einer Fläche beginnen: Wie wär's mit der Grundfläche?

    Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke.

    Das Netz eines Prismas ist eine Anleitung, wie man ein Prisma basteln kann.

    Lösung

    Was ist das Netz eines geraden Prismas?

    Dieses Netz ist sozusagen eine Anleitung, wie man ein Prisma basteln kann.

    Ein solches Netz entsteht, am Beispiel eines fünfseitigen Prismas, dadurch, dass man

    • zunächst die Grundfläche zeichnet,
    • die Mantelfläche besteht aus fünf Rechtecken,
    • eines davon kann an der einen Seite des Prismas angezeichnet werden, die Länge des Rechtecks ist gerade die Höhe des Prismas.
    • Nun können die übrigen vier Seiten an das erste Rechteck gezeichnet werden.
    • Zuletzt wird die Deckfläche auf der gegenüberliegenden Seite der Grundfläche gespiegelt angezeichnet.
    Fertig ist das Netz des fünfseitigen Prismas.

  • Entscheide, ob ein Prisma vorliegt.

    Tipps

    Alle Seitenflächen eines Prismas sind Rechtecke.

    Grund- und Deckfläche eines Prismas sind kongruent und parallel zueinander.

    Die Grundfläche eines Prismas ist ein beliebiges Vieleck.

    Es kann auch ein Kreis sein. Ein solches Prisma nennt man auch Zylinder.

    Ein Prisma muss nicht unbedingt auf der Grundfläche stehen.

    Lösung

    Woran kann man ein Prisma erkennen?

    • Ein Prisma hat eine Grund- und eine Deckfläche.
    • Diese beiden Flächen sind kongruent und parallel zueinander.
    • Alle Seitenflächen sind Rechtecke.
    In der oberen Reihe sind
    • links ein sechseckiges Prisma, welches auf einer Seitenfläche steht,
    • in der Mitte ein Kegelstumpf, dies ist kein Prisma

    zu sehen.

    In der unteren Reihe befinden sich

    • links ein Quader, dies ist ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche,
    • in der Mitte eine Pyramide, dies ist kein Prisma, sowie
    • rechts eine Halbkugel, auch diese ist kein Prisma.

  • Ordne den Körpern das jeweilige Netz zu.

    Tipps

    Beachte, dass die Seitenflächen eines Prismas immer Rechtecke sind.

    Die Grund- und Deckfläche eines Prismas sind kongruent.

    Wenn du dir unsicher bist, versuche doch das Netz zu übertragen, schneide es aus und versuche, ein Prisma daraus zu falten.

    Bis auf ein Netz ist jedes der Netze ein Körpernetz.

    Lösung

    Wie kann man erkennen, ob ein vorgegebenes Netz tatsächlich zu einem gegebenen Prisma gehört?

    • Eine Fläche muss zweimal vorkommen: die Grund- und Deckfläche. Diese müssen kongruent sein.
    • Die Seitenflächen sind Rechtecke.
    • Es gibt ebenso viele Seitenflächen wie die Anzahl der Ecken der Grundfläche.
    • Eine Ausnahme ist dabei der Zylinder. Dieser hat nur eine Seitenfläche. Aber auch diese ist ein Rechteck.
    Das Prismanetz zu dem dreieckigen Prisma ist das blaue Netz. Dieses ist zu erkennen an den beiden kongruenten Dreiecken sowie den drei Rechtecken.

    Das Prismanetz des Würfels, ein Prisma mit quadratischer Grundfläche und ebensolchen Seitenflächen, ist das rote mit den sechs Quadraten.

    Das Prismanetz des sechseckigen Prismas ist das rote mit den beiden sechseckigen Flächen und den sechs Rechtecken. Diese müssen nicht nebeneinander angeordnet sein.

    Das Netz des Zylinders ist das violette. Dieses ist erkennbar an den beiden Kreisen und dem Rechteck.

    Das gelbe Netz ist kein Körpernetz, da die beiden Kreise nicht kongruent sind.

    Das rote Netz mit der sechseckigen Grundfläche und den dreieckigen Seitenflächen gehört zu einer Pyramide mit sechseckiger Grundfläche.

  • Gib an, welche Figur aus dem Alltag einem Prisma entspricht.

    Tipps

    Ein Prisma ist ein Körper mit einer Grund- und Deckfläche, welche kongruent, also deckungsgleich zueinander, sind.

    Die Seitenflächen eines Prismas sind Rechtecke.

    Die Grund- und Deckfläche sind parallel zueinander.

    Hier siehst du einige Eistüten. Lass dich nicht von dem Eis ablenken.

    Ein Ball ist eine Kugel. Prüfe doch mal, ob eine Kugel die Voraussetzungen eines Prismas erfüllt.

    Lösung

    Gerade Prismen kann man im alltäglichen Leben sehen:

    • Kisten sind Prismen. Diese haben eine sehr spezielle Form; man nennt sie auch Quader.
    • Wenn ein Bleistift noch nicht angespitzt ist, also der, der ganz neu gekauft ist, ist auch ein Prisma.
    • Ein Dach ist ein Prisma. Man muss sich dann vorstellen, dass sowohl die Grund- als auch die Deckfläche parallel zum Boden verlaufen.
    Eine Eistüte ist ein Kegel und ein Ball ist eine Kugel. Beide erfüllen die Voraussetzungen eines Prismas nicht.

  • Prüfe, welches der Netze ein Netz eines Würfels ist.

    Tipps

    Nicht jede beliebige Anordnung der Seitenflächen führt zu einem Körpernetz.

    Übertrage das jeweilige Netz auf ein Blatt, schneide es aus und versuche, einen Würfel zu falten.

    Zwei der vier Anordnungen sind keine Würfelnetze.

    Lösung

    Ein Netz eines Würfels muss sechs Quadrate beinhalten.

    Allerdings ist nicht jede Anordnung von sechs Quadraten das Netz eines Würfels.

    Man kann ein Würfelnetz auch so erhalten, dass man einen Körper an Kanten aufschneidet, sodass ein ebenes Gebilde entsteht. Umgekehrt muss man aus einem Netz einen Körper falten können.

    Die Anordnung mit jeweils drei Quadraten in einer Spalte lässt sich sicher nicht zu einem Würfel falten.

    Bei den übrigen kann man das Netz übertragen, ausschneiden und versuchen, einen Würfel zu falten.

    Dies gelingt nicht bei der Anordnung der vier Quadrate in einer Reihe und den beiden übrigen Quadraten übereinander.

    Alle übrigen Netze sind Würfelnetze.

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