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Platonische Körper

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Wolfgang Tews
Platonische Körper
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Platonische Körper

Inhalt

Platonische Körper in Mathe

Hast du schon einmal von platonischen Körpern gehört? Dabei handelt es sich nicht um den Körper des griechischen Philosophen Platon, sondern um geometrische Körper oder genauer um spezielle Polyeder.

Was ein platonischer Körper ist und welche Eigenschaften er hat, wollen wir uns im Folgenden anschauen.

Polyeder

Wir betrachten zunächst Polyeder. Das Wort Polyeder stammt aus dem Griechischen und bedeutet in etwa vieleckig. Manchmal wird statt des Begriffs Polyeder auch das Wort Vielflächner verwendet. Man bezeichnet damit geometrische Körper, die ausschließlich von ebenen Vielecken begrenzt werden. Beispiele für Polyeder sind Pyramiden, Würfel und Prismen. Dagegen sind Kugel, Kegel und Zylinder keine Polyeder, denn ihre Begrenzungsflächen sind nichtebene Vielecke. Auch platonische Körper sind Polyeder – allerdings solche mit ganz bestimmten Eigenschaften.

Platonische Körper – Definition

Ein platonischer Körper ist ein Polyeder, der nur von kongruenten und regelmäßigen Vielecken begrenzt wird. Regelmäßig bedeutet, dass die Vielecke gleichseitig und gleichwinklig sind. Von jeder Ecke eines platonischen Körpers gehen immer gleich viele Kanten aus.

Es gibt genau fünf platonische Körper, und zwar den Tetraeder, den Würfel oder Hexaeder, den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.

Platonische Körper, Beispiele

Der Tetraeder wird auch Vierflächner genannt. Er wird von vier kongruenten, gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Der Hexaeder, Würfel oder Sechsflächner wird von sechs kongruenten Quadraten begrenzt. Der Oktaeder setzt sich aus acht gleichseitigen Dreiecken zusammen und wird daher auch Achtflächner genannt. Der Dodekaeder ist von $12$ regelmäßigen Fünfecken begrenzt. Er heißt auch Zwölfflächner. Der Ikosaeder oder Zwanzigflächner setzt sich aus $20$ gleichseitigen Dreiecken zusammen. Mehr platonische Körper gibt es nicht. Warum das so ist, schauen wir uns im nächsten Abschnitt an.

Warum gibt es nur fünf platonische Körper?

Um zu verstehen, weshalb es nur fünf platonische Körper geben kann, überlegen wir uns, was für die Ecken eines Körpers gelten muss, und welche Implikation sich für das Körpernetz ergibt.

An jeder Ecke eines Körpers müssen mindestens drei Flächen aneinanderstoßen – sonst wäre es keine Ecke, sondern eine Kante. Diese Bedingung müssen auch alle platonischen Körper erfüllen. Wir betrachten nun den Tetraeder, den Oktaeder und den Ikosaeder. Sie sind alle aus gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt. Beginnen wir mit dem Tetraeder. Hier stoßen an jeder Ecke genau drei gleichseitige Dreiecke aneinander. Der Ausschnitt des Körpernetzes, der eine solche Ecke bildet, sieht folgendermaßen aus:

platonische Körper Erklärung

Die Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks betragen immer $60°$. Die drei Winkel der Ecke ergeben also insgesamt $180°$. Jetzt fragen wir uns, ob es für diese Summe von Winkeln an der Ecke eines Körpers einen Maximalwert gibt, der nicht erreicht werden darf?

Ja! Einen solchen Wert gibt es. Die Summe der Innenwinkel aller angrenzenden Flächen muss immer kleiner als $360°$ sein. Wäre sie gleich $360°$, könnten die Flächen nur in einer Ebene liegen und keinen Körper bilden. Das kannst du überprüfen, indem du selbst ein Körpernetz aus Papier bastelst. Wäre die Summe der Innenwinkel $360°$, könntest du nur dann einen Körper erzeugen, indem du Flächen übereinanderschiebst.

Für den Tetraeder ist die Bedingung der Winkelsumme erfüllt. Im Oktaeder stoßen vier gleichseitige Dreiecke aneinander – das ergibt $4 \cdot 60° = 240° < 360°$. Also ist auch hier die Bedingung erfüllt. Im Ikosaeder sind es fünf solcher Dreiecke, also $5 \cdot 60° = 300°$. Die Bedingung ist damit erfüllt. Was wäre, wenn sechs gleichseitige Dreiecke aneinanderstoßen? Dann hätten wir: $6 \cdot 60° = 360°$. Ein platonischer Körper, an dessen Ecken sechs gleichseitige Dreiecke aneinanderstoßen, ist also nicht möglich.

Nach dem gleichen Prinzip kannst du verschiedene regelmäßige Vielecke durchgehen und dir erschließen, weshalb nur die fünf bekannten platonischen Körper möglich sind.

Kurze Zusammenfassung zu dem Video Platonische Körper

In diesem Video werden dir platonische Körper einfach erklärt. Du erfährst, welche Eigenschaften sie haben und warum es nur fünf solcher Körper gibt. Du weißt jetzt auch, wie man platonische Körper erkennt – halte einfach deine Augen auf, wo du im Alltag platonische Körper entdecken kannst. Neben Text und Video findest du auch ein Arbeitsblatt, mit dem du dein neues Wissen gleich überprüfen kannst.

Transkript Platonische Körper

Hallo, wir wollen uns heute mit den fünf platonischen Körpern beschäftigen. Warum nur fünf, fragst du dich vielleicht. Die Antwort erhältst du in diesem Video. Du solltest schon Kenntnisse über Körper, Prismen und Schrägbilder haben. Wir lernen heute den Begriff Polyeder kennen, wie platonische Körper im Schrägbild aussehen, warum es nur fünf platonische Körper gibt und einige historische Bezüge, die platonische Körper betreffen. Also auf in die Welt der geometrischen Körper. Geometrische Körper kennst du sicher schon lange. Hier zeige ich dir einige Beispiele für solche Körper: ein Würfel, eine Pyramide, ein Kegel, ein Zylinder und zwei Prismen. Wir sehen ganz unterschiedliche Körper. Alle diese Körper werden durch Flächen begrenzt. Wir unterscheiden dabei Körper mit ebenen Flächen, wie Würfel, Pyramiden, Prismen, und gekrümmten Flächen, wie Kegel und Zylinder,. Die Mathematiker haben nun für die Körper, die nur von ebenen Flächen begrenzt werden, den Begriff Polyeder oder den etwas sperrigen Begriff Vielflächner eingeführt. Beispiele für Polyeder sind also Würfel, Pyramide und Prisma. Nun fällt dir sicher auf, dass sich die Polyeder auch voneinander unterscheiden. So sind die Grenzflächen alle kongruent, das heißt deckungsgleich. Es sind übrigens Quadrate. Wir notieren: Würfel, oder Hexaeder – kommt aus dem Griechischen –, alle Würfelflächen sind kongruente Quadrate. Dies trifft für die Pyramide und die Prismen nicht zu. Die begrenzenden Flächen sind nicht alle kongruent. Es gibt nun noch weitere Körper, die nur von zueinander kongruenten Vielecksflächen begrenzt werden, so z.B. das Tetraeder, oder auch Vierflächner genannt. Ein Tetraeder wird von vier kongruenten Dreiecken, die sogar gleichseitig sind, begrenzt. Ja, nun kennst du schon zwei merkwürdige Polyeder. Und genau diese Art von sogenannten regelmäßigen, oder auch regulären, Polyedern nennt man platonische Körper. Es gibt nun noch drei weitere Körper mit dieser Eigenschaft. Das Oktaeder, Achtflächner; bei dem Körper sind wieder alle Grenzflächen kongruente gleichseitige Dreiecke, hier kannst du acht sehen. Dann das Dodekaeder, oder auch Zwölfflächner; dort sind alle Grenzflächen kongruente Fünfecke. Und schließlich das Ikosaeder, oder Zwanzigflächner, mit Grenzflächen, die durch kongruente gleichseitige Dreiecke gebildet werden. Damit hätten wir alle fünf platonischen Körper, die übrigens alle im Schrägbild dargestellt sind. Wir halten fest: fünf besondere Polyeder heißen platonische Körper. Diese Körper werden nur von zueinander kongruenten Vielecken begrenzt. Außerdem gehen von jeder Ecke gleich viele Kanten aus. Nun fragst du dich sicher, warum es nur fünf Körper gibt? Darauf sollst du nun eine Antwort erhalten. Schau dir die Körper an. Zwei Dinge sind wichtig: An jeder Ecke eines platonischen Körpers müssen mindestens drei Flächen aneinanderstoßen, sonst gibt es gar keine Ecke. Die Summe der Innenwinkel, die an der Ecke aneinander treffen, ist kleiner als 360 Grad, sonst gibt es kein räumliches Gebilde. Ich zeige dir das für einen Körper, der sich aus gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt: Stoßen drei gleichseitige Dreiecke zusammen, wie hier im Bild, so beträgt die Summe der Innenwinkel 180 Grad, ist also kleiner als 360 Grad. Stoßen vier gleichseitige Dreiecke zusammen, wie hier im Bild, so beträgt die Summe der Innenwinkel 240 Grad, ist also wieder kleiner als 360 Grad. Stoßen fünf gleichseitige Dreiecke zusammen, wie in diesem Bild, so beträgt die Summe der Innenwinkel 300 Grad, ist also immer noch kleiner als 360 Grad. Mehr geht nicht, da bei sechs Dreiecken die Summe der Innenwinkel gleich 360 Grad betragen würde, damit wäre ein platonischer Körper nicht möglich. Du kannst nun selbst eine analoge Überlegung für Quadrate und regelmäßige Fünfecke anstellen. Unser Fazit lautet: Man kann nur drei, vier oder fünf gleichseitige Dreiecke, drei Quadrate oder drei regelmäßige Fünfecke aneinanderstoßen lassen. Es kann keinen platonischen Körper geben, der sich aus Sechsecken oder regelmäßigen Flächen mit mehr als sechs Ecken zusammensetzt. Damit kann es also nur fünf platonische Körper geben. Nun noch ein paar historische Anmerkungen: Die alten Griechen - und nicht nur die – waren fasziniert von Regelmäßigkeit und Schönheit. Um 400 vor Christus hat Platon diese Körper in seiner Philosophie als Grundelemente des Universums eingebaut. So standen das Tetraeder für Feuer, das Hexaeder für Erde, das Oktaeder für Luft, das Ikosaeder für Wasser und schließlich das Dodekaeder für das gesamte Universum selbst. Hier soll nun Schluss sein mit der Historie, du kannst im Internet viel über diese Körper finden. Gib Mal als Stichwort den Künstler M.C. Escher ein oder suche nach den Netzen der Körper. Du findest mit Sicherheit viele Anregungen zum Weiterforschen. Viel Erfolg dabei! Wir fassen nun kurz zusammen, was wir heute gelernt haben: Polyeder sind geometrische Körper, die nur von ebenen Flächen begrenzt sind. Besteht die Oberfläche eines Polyeders aus zueinander kongruenten regelmäßigen Drei-, Vier- oder Fünfecken, so spricht man von platonischen Körpern. Es gibt nur fünf platonische Körper: Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Das wars für heute. Ich hoffe dir hat es wieder etwas Spaß gemacht und du hast alles Verstanden. Bis zum nächsten Mal.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. Hallo Eveline W.,
    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor mehr als einem Jahr
  2. Bei den dualem Körpern wird’s meiner Meinung nach nicht ersichtlich genug
    :-( Vertue mich da ständig und etwas mehr Anschauung wäre wünschenswert.

    Von Eveline W., vor mehr als einem Jahr
  3. haahhahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhaaaaaa

    Von Zaafarany, vor fast 4 Jahren
  4. was ist das für 7klasse

    Von Zaafarany, vor fast 4 Jahren
  5. Danke

    Von Rapmonster, vor mehr als 4 Jahren
Mehr Kommentare

Platonische Körper Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Platonische Körper kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die platonischen Körper.

    Tipps

    Die Namen der platonischen Körper stammen aus dem Griechischen:

    1. „Tetra“ steht für „vier“
    2. „Hexa“ steht für „sechs“
    3. „Okta“ steht für „acht“
    4. „Iko“ steht für „zwanzig“
    5. „Dode“ steht für „zwölf“
    Die Zahlen stehen für die Anzahl der Flächen der Körper.

    Lösung

    Hier siehst du die fünf platonischen Körper:

    • Tetraeder
    • Hexaeder
    • Oktaeder
    • Ikosaeder
    • Dodekaeder
    Sie werden von zueinander kongruenten Vielecken begrenzt.

  • Beschreibe die platonischen Körper.

    Tipps

    Die Namen der platonischen Körper stammen aus dem Griechischen:

    1. „Tetra“ steht für „vier“
    2. „Hexa“ steht für „sechs“
    3. „Okta“ steht für „acht“
    4. „Iko“ steht für „zwanzig“
    5. „Dode“ steht für „zwölf“

    Lösung

    Die Namen der platonischen Körper stammen aus dem Griechischen:

    1. „Tetra“ steht für „vier“
    2. „Hexa“ steht für „sechs“
    3. „Okta“ steht für „acht“
    4. „Iko“ steht für „zwanzig“
    5. „Dode“ steht für „zwölf“
    Die Zahl gibt dir eine Auskunft über die Anzahl der Seitenflächen.

    1. Ein Tetraeder besteht aus vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken. Das heißt, dass die Dreiecke deckungsgleich sind. An einer Ecke stoßen immer drei Kanten zusammen.
    2. Ein Oktaeder besteht aus acht kongruenten gleichseitigen Dreiecken. An einer Ecke stoßen immer vier Kanten zusammen.
    3. Ein Hexaeder besteht aus sechs kongruenten Quadraten. Das heißt, das alle Seiten gleich lang sind. An einer Ecke stoßen immer drei Kanten zusammen.
    4. Ein Ikosaeder besteht aus zwanzig kongruenten gleichseitigen Dreiecken. An einer Ecke stoßen immer fünf Kanten zusammen.
    5. Ein Dodekaeder besteht aus zwölf kongruenten Fünfecken. An einer Ecke stoßen immer drei Kanten zusammen.
  • Arbeite das Körpernetz des jeweiligen platonischen Körpers heraus.

    Tipps

    Die Namen der platonischen Körper stammen aus dem Griechischen:

    1. „Tetra“ steht für „vier“
    2. „Hexa“ steht für „sechs“
    3. „Okta“ steht für „acht“
    4. „Iko“ steht für „zwanzig“
    5. „Dode“ steht für „zwölf“
    Die Zahlen stehen für die Anzahl der Flächen der Körper.

    Lösung

    Hier siehst du die Körpernetze der platonischen Körper und ihre Bezeichnung. Zu jedem platonischen Körper kann man die Körpernetze anders gestalten:

    • Vom Tetraeder gibt es $2$ verschiedene Körpernetze.
    • Vom Hexaeder und Oktaeder gibt es jeweils $11$ verschiedene Körpernetze.
    • Vom Ikosaeder und Dodekaeder gibt es jeweils $43380$ verschiedene Körpernetze.
  • Bestimme die dualen Körper der platonischen Körper.

    Tipps

    Ein Dualkörper hat genauso viele Ecken, wie der platonische Körper Flächen hat.

    $\begin{array}{c|c|c|c} & \mbox{Ecken} & \mbox{Flächen} & \mbox{Kanten} \\ \hline \mbox{Tetraeder} & 4 & 4 & 6 \\ \mbox{Hexaeder} & 8 & 6 & 12 \\ \mbox{Oktaeder} & 6 & 8 & 12 \\ \mbox{Dodekaeder} & 20 & 12 & 30 \\ \mbox{Ikosaeder} & 12 & 20 & 30 \end{array}$

    Das Hexaeder hat acht Flächen. Sein Dualkörper muss also acht Ecken haben.

    Lösung

    Ein Dualkörper hat genauso viele Ecken, wie der platonische Körper Flächen hat:

    • Ein Tetraeder ist zu sich selbst dual. Es hat genauso viele Flächen wie Kanten, nämlich 4.
    • Ein Hexaeder ist dual zu einem Oktaeder. Ein Hexaeder hat 8 Ecken und 6 Flächen. Ein Oktaeder hat anders herum 8 Flächen und 6 Ecken. Damit ist ein Oktaeder auch dual zu einem Hexaeder.
    • Ein Ikosaeder ist dual zu einem Dodekaeder. Das Ikosaeder hat 12 Ecken und 20 Flächen. Ein Dodekaeder hat andersherum 20 Ecken und 12 Flächen. Damit ist ein Dodekaeder auch dual zu einem Ikosaeder.
  • Gib an, welcher platonische Körper welches Grundelement verkörpert.

    Tipps

    Johannes Kepler hat eine Zeichnung der platonischen Körper und den Elementen, die sie verkörpern, erstellt.

    Lösung

    Die platonischen Körper sind regelmäßige, konvexe Polyeder. Platon gab ihnen spezielle Namen. Sie alle zusammen werden die PLATONischen Körper genannt. Platon hatte ein Modell des Kosmos aufgestellt, in dem er jedem platonischen Körper ein Grundelement zuweist:

    • Das Tetraeder verkörpert für ihn das Feuer.
    • Das Hexaeder verkörpert für ihn die Erde.
    • Das Oktaeder verkörpert für ihn die Luft.
    • Das Ikosaeder verkörpert für ihn das Wasser.
    • Das Dodekaeder verkörpert für ihn das Universum.
  • Arbeite die Parallelprojektion der platonischen Körper heraus.

    Tipps

    Bei der Parallelprojektion liegt eine Seitenfläche parallel zur Zeichenebene.

    Stell dir vor, dass du genau neben einem platonischen Körper stehen würdest. Jetzt neigst du dich noch so, dass dein Körper parallel zu einer Seitenfläche verläuft. Wie würde der Körper aussehen, wenn du ihn in eine Ebene projizieren würdest?

    Lösung

    Hier siehst du unter den platonischen Körper ihre jeweiligen Parallelprojektionen und ihre Namen.

    Beachte: Bei der Parallelprojektion liegt eine Seitenfläche parallel zur Zeichenebene.

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