Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen

Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen Übung

• Bestimme die Flächeninhalte.

  Tipps

  Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du aus den beiden Katheten berechnen.

  Der Flächeninhalt eines Quadrats ist das Quadrat seiner Seitenlänge.

  Der Flächeninhalt der blauen Form ist:

  $A= A_\Box - 2 \cdot A_\Delta = a^2 - 2 \cdot \frac{b \cdot b}{2} = a^2- b^2$

  Lösung

  Du kannst den Flächeninhalt des Dreiecks $d$ als Differenz der Flächeninhalte des Quadrats und der Dreiecke $a$, $b$ und $d$ darstellen:

  $A_{\Delta d} = A_\Box - A_{\Delta a} -A_{\Delta b} -A_{\Delta c}$

  Die Dreiecke $a$, $b$ und $c$ sind alle rechtwinklig. Du kannst daher in der Formel:

  $A_\Delta = \frac{1}{2}gh$

  für den Flächeninhalt eines Dreiecks hier stets eine der beiden Katheten als Grundseite und die andere als Höhe verwenden. So erhältst du für die Dreiecke die Flächeninhalte:

  $\begin{array}{rclcl} A_{\Delta a} &=& \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 &=& 7,5 \\ A_{\Delta b} &=& \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 5 &=& 8,75 \\ A_{\Delta c} &=& \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1,5 &=& 1,5 \\ \end{array}$

  Der Flächeninhalt des umgebenden Quadrats beträgt:

  $A_\Box = a^2 =5 \cdot 5 = 25$

  Für den Flächeninhalt des Dreiecks $d$ erhältst du demnach:

  $A_{\Delta d} = 25 - 7,5 - 8,75 - 1,5 = 7,25$

• Zeige die korrekten Formeln auf.

  Tipps

  Nur bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du den Flächeninhalt direkt aus den Seitenlängen berechnen.

  Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $A_\circ=\pi r^2$.

  Lösung

  Du kannst die Flächeninhalte der Figuren als Differenzen beschreiben. Die Flächeninhalte der Dreiecke berechnest du mit folgender Formel:

  $A_\Delta = \frac{1}{2} gh$

  Hierbei ist die Grundseite $g$ eine beliebige Seite des Dreiecks und $h$ die zugehörige Höhe. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du für $g$ und $h$ die beiden Katheten einsetzen.

  Im Bild siehst du hier die falsch bezeichneten Flächen:

  1. Der Flächeninhalt des Dreiecks $c$ ist nicht das Produkt der beiden Katheten, sondern die Hälfte davon: $A_{\Delta b} = \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 5 \neq 3 \cdot 5$.
  2. Das Dreieck $d$ ist nicht rechtwinklig, daher ist der Flächeninhalt nicht direkt aus den Seitenlängen zu berechnen: $A_{\Delta d} = \frac{1}{2} gh \neq \frac{1}{2} xy$.

• Beschreibe die Berechnung des Flächeninhalts.

  Tipps

  Jede gelbe Fläche entspricht einer Subtraktion von geometrischen Elementen aus der umgebenden Grundform.

  Um die grünen Formen zu erhalten, musst du verschiedene Flächen subtrahieren und ggf. auch addieren.

  Die Seitenlänge des kleineren Quadrats kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

  $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ und daher $b = \frac{a}{\sqrt{2}}$

  Lösung

  In den beiden gezeigten Figuren entsteht die grüne Figur durch Subtraktionen und Additionen elementarer Flächen zu einer umgebenden Fläche. Um die einzelnen Schritte zu beschreiben, empfiehlt es sich, zuerst die äußere Form zu identifizieren. Bei beiden gelb-grünen Bildern ist die äußere Umrisslinie ein Quadrat mit Seitenlänge $a$.

  Du erhältst die grüne Fläche der ersten Figur, indem du mehrere elementare Flächen subtrahierst: Die zu subtrahierende gelbe Figur in der Mitte des Quadrats hat in etwa die Form eines vierblättrigen Kleeblatts, aber dies ist noch keine geometrisch eindeutige Beschreibung. Du erhältst die gelbe Form aus einem Quadrat und vier Halbkreisen, die an den vier Seiten des Quadrats anliegen. Die Seitenlänge des Quadrats entspricht dem Durchmesser des kleinen gelben Quadrats in der Mitte, der Radius der gelben Halbkreise ist die Hälfte davon. Da die gelbe Figur genau in das Quadrat passt, muss die Summe der beiden Radien links und rechts (bzw. oben und unten) und der Seitenlänge des gelben Quadrats die Seitenlänge $a$ des umgebenden Quadrats ergeben. Daher ist die Seitenlänge des gelben Quadrats $\frac{a}{2}$ und der Radius der gelben Halbkreise $\frac{a}{4}$.

  Der Flächeninhalt des umgebenden Quadrats ist dann $a^2$, der des gelben Quadrats in der Mitte ist $\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$. Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $\frac{a}{4}$ ist $\pi \cdot \big(\frac{a}{4}\big)^2=\pi\cdot \frac{a^2}{16}$. Jeder der gelben Halbkreise hat als Flächeninhalt die Hälfte davon, also $\pi \cdot \frac{a^2}{32}$. Den Flächeninhalt der grünen Figur erhältst du aus der Subtraktion der Flächeninhalte der gelben Halbkreise und des gelben Quadrats von $a^2$:

  $A = a^2 - \frac{a^2}{4} - 4 \cdot \pi \cdot \frac{a^2}{32} = a^2-\frac{a^2}{4} - \pi \cdot \frac{a^2}{8}$

  Die zweite Figur erhältst du aus einem Quadrat der Seitenlänge $a$ durch Subtraktion und Addition geeigneter elementarer Flächen. Zuerst subtrahierst du einen Kreis, um die gebogene Grenze zwischen der umgebenden grünen und der gelben Fläche zu erhalten. Da der Kreis genau in das Quadrat passt, ist der Durchmesser die Seitenlänge $a$ des Quadrats, der Radius ist also $\frac{a}{2}$.

  Als Nächstes addierst du ein auf der Spitze stehendes Quadrat, um die quadratische Fläche im Innern des Kreises wieder zu füllen. Die Seitenlänge $b$ dieses Quadrats kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. In den Ecken des großen Quadrats siehst du rechtwinklige Dreiecke mit Katheten $\frac{a}{2}$ und Hypotenuse $\frac{b}{2}$. Aus dem Satz des Pythagoras erhältst du dann $b = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Schließlich subtrahierst du noch ein gleichseitiges Dreieck mit der Grundseite $g$ und der Höhe $h$.

  Der Flächeninhalt der grünen Figur entsteht aus der Subtraktion der Flächeninhalte des Kreises und des Dreiecks von der Summe der beiden Quadrate. Der Flächeninhalt des kleineren Quadrats ist $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2}$, also genau die Hälfte des Flächeninhalts des umgebenden Quadrats. Der Flächeninhalt des Kreises ist $\pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{4}$, der des Dreiecks ist $\frac{1}{2} gh$.

  Für den Flächeninhalt der grünen Figur erhältst du dann:

  $A=a^2 - \pi \cdot \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2} - \frac{1}{2}gh$

• Stelle den Flächeninhalt als Differenz und Summe dar.

  Tipps

  Hier siehst du, wie man die Fläche als Differenz und Summe elementarer Flächen darstellen kann.

  Beachte die verschiedenen Radien der Voll- und Halbkreise.

  Lösung

  Die grünen Flächen entstehen jeweils als Differenzen und Summen von Flächen. Mit Ausnahme der dritten Figur hast du jeweils eine große Fläche, von der kleinere Flächen subtrahiert werden (und andere addiert). Du erkennst die Form der großen Fläche an dem äußeren Umriss der grün-gelben Figur. Bei der dritten Figur hier im Bild ist die große Fläche selbst die Summe zweier kleinerer Flächen.

  Du setzt immer die große Fläche, von der die kleineren subtrahiert werden, in Blau. Alle Flächen, die subtrahiert werden, setzt du in Rot. Werden zusätzliche Flächen addiert, so setzt du diese ebenfalls in Blau. Die gelben Flächenanteile in den vorgegebenen Figuren dienen nur dazu, zu erkennen, welche Figuren zugrunde liegen.

  Du kannst die Zuordnung finden, indem du zuerst aus der Umrisslinie der gelb-grünen Flächen die blaue Fläche identifizierst, von der die roten Flächen abgezogen werden müssen, um die grüne Fläche zu erzeugen. Nun musst du noch die passenden roten Flächen als Subtrahenden identifizieren. In den gelb-grünen Flächen der Zentralelemente gehört zu jeder gelben Fläche ein roter Minuend.

  Beachte bei den Flächen die Größenverhältnisse, denn die Halbkreise als Minuenden kommen in verschiedenen Größen vor. Hier ist eine Beschreibung der Zusammensetzung der einzelnen Flächen im Bild:

  1. Die grüne Fläche entsteht aus der Differenz eines Rechtecks und eines Kreises sowie zweier Halbkreise. Der Durchmesser des Kreises und der Halbkreise ist die Länge der kürzeren Seite des Rechtecks.
  2. Diese grüne Fläche ist die Differenz eines Quadrats und eines Halbkreises sowie zweier rechtwinkliger Dreiecke. Der Durchmesser des Kreises ist die Seitenlänge des Quadrats.
  3. Die geschwungene Umrisslinie zeigt, dass die Figur aus zwei Teilen zusammengesetzt ist, nämlich einem rechten Halbkreis und einem kleineren linken Halbkreis. Der Radius des kleineren Halbkreises ist halb so groß wie der des größeren Halbkreises. Als Subtrahend gehört dazu noch ein rechter Halbkreis ebenfalls des halben Radius.
  4. Die grüne Fläche entsteht aus der Differenz eines Kreises und dreier Halbkreise durch Addition eines weiteren Halbkreises. Einer der Halbkreise hat denselben Radius wie der Vollkreis, die anderen Halbkreise haben als Radius ein Drittel des Vollkreisradius. Ziehst du von dem Vollkreis den großen rechten Halbkreis und oben und unten zwei kleine linke Halbkreise ab, so musst du in der Mitte noch einen kleinen rechten Halbkreis addieren, um die gewünschte Form zu erhalten.

• Gib die Formel für den Flächeninhalt wieder.

  Tipps

  In jeder Formel für einen Flächeninhalt kommt das Produkt zweier Längen oder das Quadrat einer Länge vor.

  $2\pi r$ ist der Umfang eines Kreises.

  Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du die beiden kürzeren Seiten als Grundseite und Höhe wählen.

  Lösung

  In jeder Formel zur Berechnung eines Flächeninhalts kommt entweder das Produkt zweier Längen oder das Quadrat einer Länge vor. Mit diesem Kriterium kannst du $2\pi r$ und $\frac{1}{2} c \cdot h^2$ als Formeln bereits ausschließen. Alle gezeigten Flächen sind elementare Bausteine zur Flächenberechnung und nicht aus mehreren Flächen zusammengesetzt. Daher kannst du auch die Summe $a^2+b^2$ als Formel ausschließen.

  1. Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten $a=b$. Der Flächeninhalt ist daher das Quadrat der Seitenlänge.
  2. Teilst du ein Quadrat längs einer Diagonalen, so erhältst du ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. Sein Flächeninhalt ist halb so groß wie der des Quadrats.
  3. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts einer Grundseite $g$ und der zugehörigen Höhe $h$.
  4. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du als Grundseite und Höhe die beiden Katheten, also die kürzeren Seiten $a$ und $b$, nehmen. Der Flächeninhalt ist die Hälfte des Rechtecks, das du erhältst, wenn du zu dem Dreieck längs der Diagonalen ein kongruentes Dreieck ergänzt.
  5. Der Flächeninhalt eines Kreises ist das Produkt der Kreiszahl $\pi$ und des Quadrats des Radius.
  6. Der Flächeninhalt eines Halbkreises ist die Hälfte des Flächeninhalts eines Kreises.

• Erschließe die Flächeninhalte.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Halbkreises mit Radius $\frac{a}{2}$ ist $\frac{\pi}{8}a^2$.

  Das Rechteck hat die Seiten $a$ und $b$, die Halbkreise haben jeweils den Radius $\frac{a}{2}$. Der Flächeninhalt der weißen Fläche ist also die Differenz der Flächeninhalte des Rechtecks und eines Kreises mit Radius $\frac{a}{2}$.

  Lösung

  Alle Flächen in der Aufgabe entstehen aus der Differenz eines Rechtecks der Seitenlängen $a$ und $b$ und Segmenten von Kreisen. Die Radien der verschiedenen Kreise kannst du an den Bildern ablesen. Es kommen Vollkreise, Halbkreise und Viertelkreise vor. Die Radien der Kreise und Kreissegmente sind $a$ sowie $\frac{a}{2}$ und $\frac{a}{4}$. Da der Radius in der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises quadriert wird, hat ein Kreis vom Radius $\frac{a}{2}$ nicht denselben Flächeninhalt wie ein Halbkreis vom Radius $a$, sondern nur wie ein Viertelkreis vom Radius $a$.

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks der Seitenlängen $a$ und $b$ ist $a \cdot b$. Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $a$ ist $\pi a^2$. Für einen Halbkreis mit Radius $a$ erhältst du den Flächeninhalt $\frac{1}{2} \pi a^2$.

  Auf diese Weise erhältst du den Flächeninhalt $ab-\frac{\pi a^2}{2}$ durch Subtraktion eines Halbkreises mit Radius $a$ von dem Rechteck. Derselbe Flächeninhalt ergibt sich auch durch Subtraktion zweier Vollkreise mit Radius $\frac{a}{2}$ von dem Rechteck, denn jeder solche Vollkreis hat den Flächeninhalt $\frac{\pi a^2}{4}$.

  Den Flächeninhalt $ab-\frac{\pi a^2}{4}$ erhältst du z. B. durch Subtraktion eines Viertelkreises mit Radius $a$ oder eines Vollkreises mit Radius $\frac{a}{2}$ von dem Rechteck.

  Subtrahierst du dagegen drei Halbkreise mit Radius $\frac{a}{2}$, so erhältst du den Flächeninhalt $ab - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi a^2}{4}=\frac{3}{8} \cdot \pi a^2$. Auch die graue Form in der obigen Abbildung besitzt diese Fläche. Der große Halbkreis besitzt die Fläche $\frac{\pi a^2}{2}$. Von dieser wird aber ein kleinerer Kreis mit Radius $\frac{a}{2}$ abgezogen.

  Auf diese Weise ergeben sich die Flächeninhalte der einzelnen Figuren. Jede ist eindeutig zuordenbar.