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Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen

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Team Digital
Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen
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Beschreibung Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren zu berechnen. Zunächst lernst du, wie du die Teilflächen einer zusammengesetzten Figur erkennst. Anschließend siehst du, wie du den Flächeninhalt von Teilflächen wie Quadrate, Dreiecke und Kreise berechnest. Abschließend lernst du, dass du abhängig von der zusammengesetzten Figur manche Teilflächen addierst und manche subtrahierst.

Lerne etwas über die Berechnung zusammengesetzter Flächen, indem du dir die Tattoos von Timmy ansiehst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren, Quadrat, Dreieck, Kreis, Halbkreis, Fläche addieren und subtrahieren, Teilflächen, Radius und Seite.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du den Flächeninhalt von Quadraten, Kreisen und Dreiecken berechnest.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, dein Wissen zur Berechnung von Flächeninhalten weiter zu vertiefen.

Transkript Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen

Timmys Schule feiert ihr jährliches Sommerfest und die Leute drängen sich vor dem Stand für abwaschbare Tattoos. Denn Timmy hält schon den ganzen Tag den Betrieb auf! Es fehlen nur noch ein paar Formen, und sein Tattoo ist vollendet, aber langsam geht ihm das Geld aus. Um herauszufinden, ob sein Meisterwerk vollendet werden kann, müssen wir zusammengesetzte Flächen berechnen. Timmy hat noch genug Geld für zwei kleine Motive, von denen jedes eine Fläche von weniger als 20 Quadratzentimetern haben muss. Die erste Form, die er tätowiert haben möchte, ist dieses Dreieck hier, das wir 'd' nennen. Wir wissen, dass das Dreieck 'd' Teil einer größeren, zusammengesetzten Form ist. Diese zusammengesetzte Form ist ein Quadrat, das sich aus unserem Dreieck 'd' und drei weiteren Dreiecken, die wir 'a', 'b' und 'c' nennen, zusammensetzt. Hast du eine Idee, wie man den Flächeninhalt des Dreiecks 'd' berechnen kann, indem man die Flächen der anderen Formen nutzt? Wenn wir den Flächeninhalt des Quadrats herausfinden und die Flächeninhalte der Dreiecke 'a', 'b' und 'c' davon abziehen, bleibt der Flächeninhalt des Dreiecks 'd' übrig. Beginnen wir mit dem Flächeninhalt des Quadrats. Wir wissen, dass das Quadrat eine Seitenlänge von 5 mal 5 Zentimetern hat. Das ganze Quadrat hat also einen Flächeninhalt von 25 Quadratzentimetern. Bevor wir weitermachen können, benötigen wir die Formel, um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen. A ist gleich einhalb mal die Grundseite mal die Höhen. Weißt du noch: Weil 'a', 'b' und 'c' rechtwinklige Dreiecke sind, kann man die senkrecht aufeinanderstehenden Seiten als Grundseite und Höhe verwenden. Berechnen wir also die Flächeninhalte. Zuerst für Dreieck 'a'. Dieses Dreieck hat eine Grundseite von 5 Zentimetern und eine Höhe von 3 Zentimetern. Das ergibt einen Flächeninhalt von 7,5 Quadratzentimetern. Das Dreieck 'b' hat die Längen von 3,5 und 5 Zentimetern … wir erhalten einen Flächeninhalt von 8,75 Quadratzentimetern. Den Flächeninhalt von Dreieck 'c' berechnen wir mit einhalb mal 1,5 Zentimeter mal 2 Zentimeter und erhalten 1,5 Quadratzentimeter. Wir setzen die Ergebnisse in unsere Gleichung ein, subtrahieren und erhalten für das Dreieck 'd' einen Flächeninhalt von 7,25 Quadratzentimetern. Das ist deutlich weniger als die 20 Quadratzentimeter, die Timmys Motive haben dürfen. Timmy schnallt sich an und gibt dem Tätowierer das Okay für den Start! Wer schön sein will, muss leiden! Jetzt fehlt nur noch eine Form in Timmys Tattoo. Diese Form entspricht dem orange markierten Bereich in diesem Schaubild hier. Schauen wir mal, ob dieser Teilbereich sich im Rahmen des Limits von 20 Quadratzentimetern bewegt. Um den Flächeninhalt zu berechnen, müssen wir die unterschiedlichen Formen identifizieren, aus denen sich die Gesamtform zusammensetzt. Welche Formen siehst du? Also das hier sind auf jeden Fall Kreise, was aber, wenn wir nur Teile von Kreisen nutzen? Wie du siehst, ist der obere Teil dieses Tattoos ein Halbkreis. Wir nennen ihn 'a'. Wir müssen diese Fläche in unsere Berechnung einbeziehen, also fügen wir sie unserer Gleichung hinzu. Wir müssen auch den Flächeninhalt dieses Halbkreises 'b' berechnen. Aber den Flächeninhalt dieses kleineren Halbkreises 'c' wollen wir nicht miteinbeziehen, also SUBTRAHIEREN wie diese Fläche. Okay, nun haben wir einen Fahrplan und können die Flächeninhalte der Halbkreise berechnen! Da ein Halbkreis die Hälfte eines Kreises ist, können wir die Formel A gleich EINHALB Pi mal r Quadrat verwenden. Widmen wir uns zuerst Halbkreis 'a'. Wir haben einen Radius von 2 Zentimetern und erhalten einen Flächeninhalt von 2 mal Pi Quadratzentimetern. Halbkreis 'b' hat einen Radius von 3 Zentimetern. Wir erhalten also einen Flächeninhalt von 4,5 mal Pi Quadratzentimetern. Halbkreis 'c' hat einen Radius von einem Zentimeter und damit einen Flächeninhalt von 0,5 mal Pi Quadratzentimetern. Wir setzen diese Werte in unsere Gleichung ein und erhalten ein Ergebnis von genau 6 Pi Quadratzentimetern. Das sind ungefähr 18,85 Quadratzentimeter. Damit sind wir gerade noch unter der Obergrenze für Timmys Tattoo. Während Timmy sich also verzieren lässt, wiederholen wir: Zusammengesetzte Formen sind Formen, die sich aus kleineren Formen wie Dreiecken, Quadraten oder Halbkreisen zusammensetzen. Um eine Teilfläche einer zusammengesetzten Form zu berechnen, musst du zunächst herausfinden, aus welchen Teilformen die Gesamtform besteht. Dann stellst du eine Formel für die Teilfläche auf, die du berechnen willst, indem du die anderen Teilflächen nutzt. Teilflächen, die du in deine Rechnung einbeziehen willst, werden addiert. Teilflächen, die du NICHT in deine Rechnung einbeziehen willst, musst du subtrahieren. Timmys Meisterwerk ist vollendet und das Budget hat er gerade so eingehalten. Timmy ist kuhl? Oh oh, hätte der Tätowierer doch nur noch mal die Rechtschreibprüfung drüber gejagt.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Coole Geschichte

    Von Eve 3, vor 10 Tagen
  2. check ich net

    Von Ardasa716, vor 28 Tagen
  3. Ich fand die Stimme komisch und sie hat zu schnell geredet

    Von Noah W., vor etwa einem Monat
  4. WunderbaresVIDEO

    Von Ramona Gunkel 1, vor 2 Monaten
  5. Echt cooles Video mag euch echt team digital ist beste hahaha

    Von Mayssa B., vor 7 Monaten

Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt von zusammengesetzten Flächen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Flächeninhalte.

    Tipps

    Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du aus den beiden Katheten berechnen.

    Der Flächeninhalt eines Quadrates ist das Quadrat seiner Seitenlänge.

    Der Flächeninhalt der blauen Form ist:

    $A= A_\Box - 2 \cdot A_\Delta = a^2 - 2 \cdot \frac{b \cdot b}{2} = a^2- b^2$

    Lösung

    Du kannst den Flächeninhalt des Dreiecks $d$ als Differenz der Flächeninhalte des Quadrates und der Dreiecke $a$, $b$ und $d$ darstellen:

    $A_{\Delta d} = A_\Box - A_{\Delta a} -A_{\Delta b} -A_{\Delta c}$

    Die Dreiecke $a$, $b$ und $c$ sind alle rechtwinklig. Du kannst daher in der Formel:

    $A_\Delta = \frac{1}{2}gh$

    für den Flächeninhalt eines Dreiecks hier stets eine der beiden Katheten als Grundseite und die andere als Höhe verwenden. So erhältst du für die Dreiecke die Flächeninhalte:

    $ \begin{array}{rclcl} A_{\Delta a} &=& \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 &=& 7,5 \\ A_{\Delta b} &=& \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 5 &=& 8,75 \\ A_{\Delta c} &=& \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1,5 &=& 1,5 \\ \end{array} $

    Der Flächeninhalt des umgebenden Quadrates beträgt:

    $A_\Box = a^2 =5 \cdot 5 = 25$

    Für den Flächeninhalt des Dreiecks $d$ erhältst du demnach:

    $A_{\Delta d} = 25 - 7,5 - 8,75 - 1,5 = 7,25$

  • Zeige die korrekten Formeln auf.

    Tipps

    Nur bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du den Flächeninhalt direkt aus den Seitenlängen berechnen.

    Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $A_\circ=\pi r^2$.

    Lösung

    Du kannst die Flächeninhalte der Figuren als Differenzen beschreiben. Die Flächeninhalte der Dreiecke berechnest du mit folgender Formel:

    $A_\Delta = \frac{1}{2} gh$.

    Hierbei ist Grundseite $g$ eine beliebige Seite des Dreiecks und $h$ die zugehörige Höhe. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du für $g$ und $h$ die beiden Katheten einsetzen.

    Im Bild siehst du hier die falsch bezeichneten Flächen:

    1. Der Flächeninhalt des Dreiecks $c$ ist nicht das Produkt der beiden Katheten, sondern die Hälfte davon: $A_{\Delta b} = \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 5 \neq 3 \cdot 5$.
    2. Das Dreieck $d$ ist nicht rechtwinklig, daher ist der Flächeninhalt nicht direkt aus den Seitenlängen zu berechnen: $A_{\Delta d} = \frac{1}{2} gh \neq \frac{1}{2} xy$.
  • Beschreibe die Berechnung des Flächeninhalts.

    Tipps

    Jede gelbe Fläche entspricht einer Subtraktion von geometrischen Elementen aus der umgebenden Grundform.

    Um die grünen Formen zu erhalten, musst du verschiedene Flächen subtrahieren und ggf. auch addieren.

    Die Seitenlänge des kleineren Quadrates kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

    $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ und daher $b = \frac{a}{\sqrt{2}}$

    Lösung

    In den beiden gezeigten Figuren entsteht die grüne Figur durch Subtraktionen und Additionen elementarer Flächen zu einer umgebenden Fläche. Um die einzelnen Schritte zu beschreiben, empfiehlt es sich, zuerst die äußere Form zu identifizieren. Bei beiden gelb-grünen Bildern ist die äußere Umrisslinie ein Quadrat mit Seitenlänge $a$.

    Du erhältst die grüne Fläche der ersten Figur, indem du mehrere elementare Flächen subtrahierst: Die zu subtrahierende gelbe Figur in der Mitte des Quadrates hat in etwa die Form eines vierblättrigen Kleeblattes, aber dies ist noch keine geometrisch eindeutige Beschreibung. Du erhältst die gelbe Form aus einem Quadrat und vier Halbkreisen, die an den vier Seiten des Quadrates anliegen. Die Seitenlänge des Quadrates entspricht dem Durchmesser des kleinen gelben Quadrates in der Mitte, der Radius der gelben Halbkreise ist die Hälfte davon. Da die gelbe Figur genau in das Quadrat passt, muss die Summe der beiden Radien links und rechts (bzw. oben und unten) und der Seitenlänge des gelben Quadrates die Seitenlänge $a$ des umgebenden Quadrates ergeben. Daher ist die Seitenlänge des gelben Quadrates $\frac{a}{2}$ und der Radius der gelben Halbkreise $\frac{a}{4}$.

    Der Flächeninhalt des umgebenden Quadrates ist dann $a^2$, der des gelben Quadrates in der Mitte ist $\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$. Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $\frac{a}{4}$ ist $\pi \cdot \big(\frac{a}{4}\big)^2=\pi\cdot \frac{a^2}{16}$. Jeder der gelben Halbkreise hat als Flächeninhalt die Hälfte davon, also $\pi \cdot \frac{a^2}{32}$. Den Flächeninhalt der grünen Figur erhältst du aus der Subtraktion der Flächeninhalte der gelben Halbkreise und des gelben Quadrates von $a^2$:

    $A = a^2 - \frac{a^2}{4} - 4 \cdot \pi \cdot \frac{a^2}{32} = a^2-\frac{a^2}{4} - \pi \cdot \frac{a^2}{8}$

    Die zweite Figur erhältst du aus einem Quadrat der Seitenlänge $a$ durch Subtraktion und Addition geeigneter elementarer Flächen. Zuerst subtrahierst du einen Kreis, um die gebogene Grenze zwischen der umgebenden grünen und der gelben Fläche zu erhalten. Da der Kreis genau in das Quadrat passt, ist der Durchmesser die Seitenlänge $a$ des Quadrates, der Radius ist also $\frac{a}{2}$.

    Als Nächstes addierst du ein auf der Spitze stehendes Quadrat, um die quadratische Fläche im Innern des Kreises wieder zu füllen. Die Seitenlänge $b$ dieses Quadrates kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. In den Ecken des großen Quadrates siehst du rechtwinklige Dreiecke mit Katheten $\frac{a}{2}$ und Hypotenuse $\frac{b}{2}$. Aus dem Satz des Pythagoras erhältst du dann $b = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Schließlich subtrahierst du noch ein gleichseitiges Dreieck mit der Grundseite $g$ und der Höhe $h$.

    Der Flächeninhalt der grünen Figur entsteht aus der Subtraktion der Flächeninhalte des Kreises und des Dreiecks von der Summe der beiden Quadrate. Der Flächeninhalt des kleineren Quadrates ist $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2}$, also genau die Hälfte des Flächeninhaltes des umgebenden Quadrates. Der Flächeninhalt des Kreises ist $\pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{4}$, der des Dreiecks ist $\frac{1}{2} gh$.

    Für den Flächeninhalt der grünen Figur erhältst du dann:

    $A=a^2 - \pi \cdot \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2} - \frac{1}{2}gh$

  • Stelle den Flächeninhalt als Differenz und Summe dar.

    Tipps

    Hier siehst du, wie man die Fläche als Differenz und Summe elementarer Flächen darstellen kann.

    Beachte die verschiedenen Radien der Voll- und Halbkreise.

    Lösung

    Die grünen Flächen entstehen jeweils als Differenzen und Summen von Flächen. Mit Ausnahme der dritten Figur hast du jeweils eine große Fläche, von der kleinere Flächen subtrahiert werden (und andere addiert). Du erkennst die Form der großen Fläche an dem äußeren Umriss der grün-gelben Figur. Bei der dritten Figur hier im Bild ist die große Fläche selbst die Summe zweier kleinerer Flächen.

    Du setzt immer die große Fläche, von der die kleineren subtrahiert werden, in blau. Alle Flächen, die subtrahiert werden, setzt du in rot. Werden zusätzlich Flächen addiert, so setzt du diese ebenfalls in blau. Die gelben Flächenanteile in den vorgegebenen Figuren dienen nur dazu, zu erkennen, welche Figuren zugrunde liegen.

    Du kannst die Zuordnung finden, indem du zuerst aus der Umrisslinie der gelb-grünen Flächen die blaue Fläche identifizierst, von der die roten Flächen abgezogen werden müssen, um die grüne Fläche zu erzeugen. Nun musst du noch die passenden roten Flächen als Subtrahenden identifizieren. In den gelb-grünen Flächen der Zentralelemente gehört zu jeder gelben Fläche ein roter Minuend.

    Beachte bei den Flächen die Größenverhältnisse, denn die Halbkreise als Minuenden kommen in verschiedenen Größen vor. Hier ist eine Beschreibung der Zusammensetzung der einzelnen Flächen im Bild:

    1. Die grüne Fläche entsteht aus der Differenz eines Rechtecks und eines Kreises sowie zweier Halbkreise. Der Durchmesser des Kreises und der Halbkreise ist die Länge der kürzeren Seite des Rechtecks.
    2. Diese grüne Fläche ist die Differenz eines Quadrates und eines Halbkreises sowie zweier rechtwinkliger Dreiecke. Der Durchmesser des Kreises ist die Seitenlänge de Quadrates.
    3. Die geschwungene Umrisslinie zeigt, dass die Figur aus zwei Teilen zusammengesetzt ist, nämlich einem rechten Halbkreis und einem kleineren linken Halbkreis. Der Radius des kleineren Halbkreises ist halb so groß wie der des größeren Halbkreises. Als Subtrahend gehört dazu noch ein rechter Halbkreis ebenfalls des halben Radius.
    4. Die grüne Fläche entsteht aus der Differenz eines Kreises und dreier Halbkreise durch Addition eines weiteren Halbkreises. Einer der Halbkreise hat denselben Radius wie der Vollkreis, die anderen Halbkreise haben als Radius ein Drittel des Vollkreis-Radius. Ziehst du von dem Vollkreis den großen rechten Halbkreis und oben und unten zwei kleine linke Halbkreise ab, so musst du in der Mitte noch einen kleinen rechten Halbkreis addieren, um die gewünschte Form zu erhalten.
  • Gib die Formel für den Flächeninhalt wieder.

    Tipps

    In jeder Formel für einen Flächeninhalt kommt das Produkt zweier Längen oder das Quadrat einer Länge vor.

    $2\pi r$ ist der Umfang eines Kreises.

    Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du die beiden kürzeren Seiten als Grundseite und Höhe wählen.

    Lösung

    In jeder Formel zur Berechnung eines Flächeninhaltes kommt entweder das Produkt zweier Längen oder das Quadrat einer Länge vor. Mit diesem Kriterium kannst du $2\pi r$ und $\frac{1}{2} c \cdot h^2$ als Formeln bereits ausschließen. Die gezeigten Flächen sind sämtlich elementare Bausteine zur Flächenberechnung und nicht aus mehreren Flächen zusammengesetzt. Daher kannst du auch die Summe $a^2+b^2$ als Formel ausschließen.

    1. Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten $a=b$. Der Flächeninhalt ist daher das Quadrat der Seitenlänge.
    2. Teilst du ein Quadrat längs einer Diagonalen, so erhältst du ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. Sein Flächeninhalt ist halb so groß wie der des Quadrates.
    3. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produktes einer Grundseite $g$ und der zugehörigen Höhe $h$.
    4. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du als Grundseite und Höhe die beiden Katheten, also die kürzeren Seiten $a$ und $b$ nehmen. Der Flächeninhalt ist die Hälfte des Rechtecks, das du erhältst, wenn du zu dem Dreieck längs der Diagonalen ein kongruentes Dreieck ergänzt.
    5. Der Flächeninhalt eines Kreises ist das Produkt der Kreiszahl $\pi$ und des Quadrates des Radius.
    6. Der Flächeninhalt eines Halbkreises ist die Hälfte des Flächeninhaltes eines Kreises.
  • Erschließe die Flächeninhalte.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Halbkreises mit Radius $\frac{a}{2}$ ist $\frac{\pi}{8}a^2$.

    Das Rechteck hat die Seiten $a$ und $b$, die Halbkreise haben jeweils den Radius $\frac{a}{2}$. Der Flächeninhalt der weißen Fläche ist also die Differenz der Flächeninhalte des Rechtecks und eines Kreises mit Radius $\frac{a}{2}$.

    Lösung

    Alle Flächen in der Aufgabe entstehen aus der Differenz eines Rechtecks der Seitenlängen $a$ und $b$ und Segmenten von Kreisen. Die Radien der verschiedenen Kreise kannst du an den Bildern ablesen. Es kommen Vollkreise, Halbkreise und Viertelkreise vor. Die Radien der Kreise und Kreissegmente sind $a$ sowie $\frac{a}{2}$ und $\frac{a}{4}$. Da der Radius in der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises quadriert wird, hat ein Kreis vom Radius $\frac{a}{2}$ nicht denselben Flächeninhalt wie ein Halbkreis vom Radius $a$, sondern nur wie ein Viertelkreis vom Radius $a$.

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks der Seitenlängen $a$ und $b$ ist $a \cdot b$. Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $a$ ist $\pi a^2$. Für einen Halbkreis mit Radius $a$ erhältst du den Flächeninhalt $\frac{1}{2} \pi a^2$.

    Auf diese Weise erhältst du den Flächeninhalt $ab-\frac{\pi a^2}{2}$ durch Subtraktion eines Halbkreises mit Radius $a$ von dem Rechteck. Derselbe Flächeninhalt ergibt sich auch durch Subtraktion zweier Vollkreise mit Radius $\frac{a}{2}$ von dem Rechteck, denn jeder solche Vollkreis hat den Flächeninhalt $\frac{\pi a^2}{4}$.

    Den Flächeninhalt $ab-\frac{\pi a^2}{4}$ erhältst du z. B. durch Subtraktion eines Viertelkreises mit Radius $a$ oder eines Vollkreises mit Radius $\frac{a}{2}$ von dem Rechteck.

    Subtrahierst du dagegen drei Halbkreise mit Radius $\frac{a}{2}$, so erhältst du den Flächeninhalt $ab - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi a^2}{4}=\frac{3}{8} \cdot \pi a^2$. Auch die graue Form in der obigen Abbildung besitzt diese Fläche. Der große Halbkreis besitzt die Fläche $\frac{\pi a^2}{2}$. Von dieser wird aber ein kleinerer Kreis mit Radius $\frac{a}{2}$ abgezogen.

    Auf diese Weise ergeben sich die Flächeninhalte der einzelnen Figuren. Jede ist eindeutig zuordenbar.

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