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Negative Zahlen oder Null als Exponent 04:15 min

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Transkript Negative Zahlen oder Null als Exponent

Im Land der zwei Königreiche spielen sich die Könige Karl der Vierte und Frederick der minus Dritte sehr gerne Streiche. König Karl hat ein Paket von seinem Widersacher bekommen. Ist es ein Geschenk oder ein Streich? Es ist ein Gemälde. Potzblitz, welch Frechheit! Und dennoch: Um den Frieden zu wahren, muss Karl das Gemälde an einer auffälligen Stelle aufhängen. Eine verfahrene Situation. Darum ruft er nach Oswald, seinem Hofmathemagier. Oswald hat die Lösung. Er wird das Gemälde schrumpfen. Aus seiner Trickkiste wählt er einen geheimnisvollen Trank und lässt die Magie ihre Arbeit tun. Oh je! Der Schrumpftrank hat nur in einer Dimension gewirkt. Sieh dir den Schlamassel an. Aber Oswald erkennt seinen Fehler und kramt einen neuen Trank hervor; dieses Mal will er das Gemälde proportional um den Faktor 10^-5 schrumpfen. 10^-5!? Ein negativer Exponent kann verwirren. Aber das kriegen wir hin. Unsere Potenz lautet 10^-5. Das können wir als Bruch schreiben. In den Nenner schreibst du die Potenz, allerdings hoch dem Betrag des Exponenten, also 105. Und was kommt in den Zähler? 1. Vereinfache den Bruch. Siehst du, was passiert, wenn du eine Potenz mit positivem Exponenten im Nenner eines Bruches hast? Der Wert des Bruches wird immer kleiner. 10^-5 ist gleich 1/100.000. Oswald ist offenbar auf der richtigen Fährte. Schau dir dieses Beispiel an: 2^-4. Um das in Form eines Bruches zu schreiben, setzt du 24 in den Nenner und 1 in den Zähler. Dann vereinfachst du. 2^-4 ist gleich 1/16. Und was, wenn die Basis eine Variable ist? Du kannst x^-4 als Bruch schreiben, indem du x4, also x mal x mal x mal x, in den Nenner schreibst und 1 in den Zähler. Vereinfacht ergibt das dann 1/x4. Hier die Regel für Potenzen mit negativen Exponenten: x^-a = 1/xa. Nicht vergessen: x darf nicht 0 sein. Aber wieso funktioniert das so? Schauen wir uns dazu eine andere Regel an. Sie lautet: Jede Potenz mit dem Exponenten 0 ergibt 1. Zum Beispiel 10 = 1. 20 = 1 und 30 = 1, und so weiter. Die Regel lautet: Jede Potenz mit der Basis x und dem Exponenten 0 ergibt 1 unter der Bedingung, dass x ungleich 0 ist. Zurück zum Beispiel: 2^-4 ist als Bruch ½4. Und das ist das Gleiche wie 20 durch 24. Das kann man umformen zu 20-4, was 2^-4 ergibt. Und damit sind wir wieder da angekommen, wo wir angefangen haben. So kann man das viel einfacher verstehen. König Karl hat das Gemälde aufhängen lassen. Aber wo ist es denn? Ah, da. Dank Oswald muss der König keinen Gedanken mehr daran verschwenden und kann sich stattdessen eine neue Gemeinheit für König Frederick ausdenken.

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