30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Negative Exponenten

Bewertung

Ø 4.9 / 11 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Negative Exponenten
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Negative Exponenten

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mit negativen Exponenten zu rechnen.

Zunächst lernst du, wie du den negativen Exponenten einer Potenz zu verstehen hast. Anschließend lernst du, wie du eine Potenz mit negativem Exponenten als Bruch schreiben kannst. Abschließend lernst du, wie du die Potenzgesetze auf Potenzen mit negativen Exponenten anwendest.

Lerne etwas über Potenzen mit negativen Exponenten, indem du Wheezy, Macaroni und Pipsqueak bei ihrem Eisberg-Problem hilfst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Potenzen mit negativen Exponenten, Potenzgesetz, Bruch, Nenner, Zähler, Division, Multiplikation, Subtraktion, Addition, Basis, Exponent und Potenzwert.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du die Potenzgesetze auf Potenzen mit positiven Exponenten anwendest.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, dein Wissen zu Potenzen zu vertiefen.

Transkript Negative Exponenten

Wheezy, Macaroni und Pipsqueak haben einen verstörenden Trend bemerkt. Der Eisberg, auf dem sie am liebsten spielen, bricht immer wieder in der Mitte durch. Es ist eine Katastrophe mir wiederholter Division! Zum Glück ist Professor Pinguin da um es zu erklären, anhand der Definition von negativen Exponenten. Schauen wir uns mal genauer an, wie der Eisberg auseinanderbricht. Am Anfang gab es EINEN Eisberg. Teilt man ihn in zwei Hälften erhält man zwei Eisberge, die HALB so groß sind wie der ursprüngliche Berg. Aber die Eisberge zerfallen stetig weiter in Hälften. Eine Hälfte des Originals geteilt durch zwei ergibt ein Viertel. Ein Viertel geteilt durch zwei ist ein Achtel. Nachdem sich der Eisberg drei Mal halbiert hat, ist er also ein Achtel seiner Ursprungsgröße. Wie klein ist jeder Berg, nachdem er sich sechs Mal halbiert hat? Wir können diese Frage beantworten, indem wir die Exponenten der Division betrachten. Du solltest die Quotientenregel schon kennen. Diese sagt uns, wie wir Zahlen in Exponentialschreibweise mit gleicher Basis dividieren. Wir würdest du zum Beispiel 2 hoch 5 durch 2 Quadrat vereinfachen? Wenn wir Zahlen mit der gleichen Basis DIVIDIEREN, SUBTRAHIEREN wir ihrer Exponenten. Also kann man diesen Ausdruck zu 2 hoch 3 vereinfachen. Aber schauen wir mal, was passiert, wenn der Exponent im Nenner GRÖSSER ist als im Zähler. Um 2 hoch 5 durch 2 hoch 8 zu vereinfachen subtrahieren wir die Exponenten und erhalten 2 hoch MINUS 3. Aber was heißt das? Wenn wir Zähler und Nenner in faktorisierter Form schreiben und dann kürzen sehen wir, dass 1 durch 2 hoch 3 dasselbe ist wie 2 hoch MINUS 3. So definieren wir negative Exponenten im Allgemeinen. x hoch minus n ist gleich 1 durch x hoch n. Während also POSITIVE Exponenten wiederholte Multiplikation repräsentieren, stehen NEGATIVE Exponenten für wiederholte Division. Das ist praktisch, da wir Zahlen beim Vereinfachen immer ohne negative Exponenten schreiben wollen. Zurück zum Eisberg. Zuerst hatten wir einen ganzen Eisberg. Nachdem wir ihn ein Mal halbiert haben, entspricht ein Mini Eisberg genau ein halb Mal dem Original, oder 2 hoch minus 1, nach dem zweiten Mal teilen dann 1 durch 2 Quadrat, oder 2 hoch minus 2, nach dem dritten Mal 2 durch 2 hoch 3, oder 2 hoch minus 3. Wir wollen wissen, wie klein die Mini-Berge sind, nachdem wir sie 6 Mal durch 2 geteilt haben. Wie können wir das mit negativen Exponenten ausdrücken? Na, wir teilen immer und immer wieder durch 2, das ist unsere Basis. Und wir teilen insgesamt sechs Mal, also ist unser Exponent minus sechs. Anhand der Definition von negativen Exponenten können wir das als Bruch schreiben und sehen, dass jeder Mini-Berg ein vierundsechzigstel des Originals ist. Schauen wir uns noch einmal drei Beispiele dazu an. Bei unserem ersten Beispiel benutzen wir die Produktregel. 4 hoch minus 3 mal 4 hoch minus 5. Wir MULTIPLIZIEREN Zahlen mit gleicher Basis, was passiert also mit den Exponenten? Wenn wir sie ADDIEREN erhalten wir 4 hoch minus 8. Da wir keine Zahl mit einem negativen Exponenten haben wollen, nutzen wir die Definition von negativen Exponenten und vereinfachen zu 1 durch 4 hoch 8. Jetzt ein Beispiel zur Quotientenregel. 3 hoch minus 1 durch 3 hoch minus 7. Hier DIVIDIEREN wir Zahlen mit gleicher Basis, was also sollen wir mit den Exponenten machen? Die Quotientenregel besagt, dass wir die Exponenten subtrahieren können, also ist minus 1 minus 7 gleich minus 1 PLUS 7 was insgesamt 3 hoch 6 ergibt. In unserem dritten Beispiel potenzieren wir eine Zahl und potenzieren dann das Ergebnis. Was müssen wir mit dem Exponenten in diesem Fall anstellen? Wenn wir eine Potenz potenzieren, bedeutet das, dass wir die Exponenten multiplizieren. Minus 3 mal 2 ist gleich minus 6. Da wir diese Zahl nicht mit einem negativen Exponenten schreiben wollen, vereinfachen wir 8 hoch minus 6 also zu 1 durch 8 hoch 6. Fassen wir zusammen. Während positive Exponenten wiederholte Multiplikation ausdrücken, stehen negative Exponenten für wiederholte Division. Allgemein definieren wir einen negativen Exponenten als x hoch minus n gleich 1 durch x hoch n. Wir kennen die Produktregel, die Quotientenregel und die Regel für das Potenzieren von Potenzen. Uh oh! Ich glaube, der Professor hat es mit dem Eisberg halbieren wohl ein bisschen übertrieben. Ich glaube, wir brauchen einen neuen!

0 Kommentare

Negative Exponenten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Negative Exponenten kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Anteile.

    Tipps

    Du teilst in jedem Schritt durch $2$. Das kannst du auch als Multiplikation mit $\frac{1}{2}$ auffassen.

    $2^{-6}$ ist die Hälfte von $2^{-5}=\frac{1}{2^5}$.

    Schreibe negative Potenzen in faktorisierter Form, um den Wert auszurechnen:

    $3^{-3} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27}$

    Lösung

    Beim wiederholten Teilen in zwei gleiche Teile entstehen Potenzen der Zahl $2$ mit negativem Exponenten. Du findest die Brüche, indem du die Potenzen in faktorisierter Form schreibst. Bei einer positiven Potenz von $2$ schreibst du ein Produkt mit so vielen Faktoren, wie der Exponent angibt, z. B. $2^5 = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{5-\text{mal}}$. Bei einer negativen Potenz von $2$ schreibst du einen Bruch mit dem Zähler $1$ und im Nenner die zugehörige positive Potenz der Zahl $2$, also z. B. $2^{-4} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$.

    So erhältst du folgende Wertetabelle:

    $ \begin{array}{|r|r|} \hline \text{Potenz} & \text{Wert} \\ \hline 2^{-1} & \frac{1}{2} \\ \hline 2^{-2} & \frac{1}{4} \\ \hline 2^{-3} & \frac{1}{8} \\ \hline \vdots & \vdots \\ \hline 2^{-6} & \frac{1}{64} \\ \hline \end{array} $

  • Berechne die Potenzen.

    Tipps

    Verwende für die Division von Potenzen die Regel:

    $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

    Beachte die Regel:

    Minus mal Minus ergibt Plus.

    Hier ist ein Beispiel:

    $\frac{5^{2}}{5^{-3}} = 5^{2-(-3)} = 5^{2+3} = 5^5$

    Lösung

    Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, verwendest du die Regel:

    $x^n \cdot x^m = x^{m+n}$

    Du kannst dir die Regel klar machen, indem du die Potenzen in faktorisierter Form schreibst. Ganz analog ergibt sich die Regel für Quotienten von Potenzen derselben Basis:

    $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

    Mit diesen beiden Regeln kannst du die Potenzen in der Aufgabe berechnen:

    • $\frac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3$
    • $\frac{2^5}{2^8} = 2^{5-8} = 2^{-3}$
    • $4^{-3} \cdot 4^{-5} = 4^{(-3)+(-5)} = 4^{-8}$
    • $\frac{3^{-1}}{3^{-7}} = 3^{(-1)-(-7)} = 3^{-1+7} = 3^{6}$
  • Erschließe die Berechnungen.

    Tipps

    Verwende für negative Potenzen die Regel:

    $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$

    Beim Potenzieren von Potenzen derselben Basis werden die Exponenten multipliziert:

    $(5^2)^3 = (5 \cdot 5)^3 = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) = 5^6 = 5^{2 \cdot 3}$

    Hier ist ein Beispiel:

    $\frac{3^2}{3^{-2}} = 3^{2-(-2)} =3^4$

    Lösung

    Für die Multiplikation und Division von Potenzen derselben Basis kannst du folgende beiden Formeln verwenden:

    $ \begin{array}{rcl} x^m \cdot x^n & =& x^{m+n} \\ \frac{x^m}{x^n} &=& x^{m-n} \\ (x^m) ^n &=& x^{m \cdot n} \end{array} $

    Bei der Multiplikation von Potenzen werden also die Exponenten addiert, bei der Division subtrahiert. Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. So erhältst du folgende Zuordnungen:

    $2^7$:

    • $\frac{2^{-4}}{2^{-11}} = 2^{(-4)-(-11)} = 2^{-4+11} = 2^7$
    • $2^{12} \cdot 2^{-5} = 2^{12+(-5)} = 2^{12-5} = 2^7$
    • $2^{15} \cdot 2^{-8} = 2^{15+(-8)} = 2^{15-8} = 2^7$
    $2^{-7}$:
    • $\frac{2^{4}}{2^{11}} = 2^{4-11} = 2^{-7}$
    • $2^8 \cdot 2^{-15} = 2^{8+(-15)} = 2^{-7}$
    • $\frac{2^{-13}}{2^{-6}} = 2^{-13-(-6)} = 2^{-13+6} = 2^{-7}$
    $2^{11}$:
    • $2^{-4} \cdot 2^{15} = 2^{-4+15} = 2^{11}$
    • $(2^{-11})^{-1} = 2^{(-11) \cdot (-1)} = 2^{11}$
    • $\frac{2^{13}}{2^2} = 2^{13-2} = 2^{11}$
    $2^{-4}$:
    • $(2^{-2})^2 = 2^{(-2) \cdot 2} = 2^{-4}$
    • $(2^{4})^{-1} = 2^{4 \cdot (-1)} = 2^{-4}$
    • $\frac{2^{-12}}{2^{-8}} = 2^{(-12) -(-8)} = 2^{-12+8} = 2^{-4}$

  • Bestimme die Basis der negativen Potenzen.

    Tipps

    Eine negative Potenz einer Zahl hat im Nenner eine positive Potenz dieser Zahl: $x^{-n} = \frac {1}{x^n}$

    $\frac{1}{6}$ ist keine Potenz von $3$, da der Nenner auch den Faktor $2$ enthält.

    Die Potenzen der $3$ sind:

    $3^1=3$

    $3^2=9$

    $3^3=27$

    $3^4=81$

    ...

    Lösung

    Jede negative Potenz einer Zahl ist ein Stammbuch mit der zugehörigen positiven Potenz der Zahl im Nenner. Du findest die passenden Brüche, indem du die Nenner daraufhin überprüfst, ob sie Potenzen der vorgegebenen Basen sind.

    Du erhältst dann folgende Zuordnung:

    $2$:

    • $\frac{1}{2} =2^{-1}$
    • $\frac{1}{64}=\frac{1}{2^6}=2^{-6}$
    $3$:
    • $\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2}$
    • $\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=3^{-4}$
    $5$:
    • $\frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3}$
    • $\frac{1}{625}=\frac{1}{5^4}=5^{-4}$
    $10$:
    • $\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}=10^{-2}$
    • $\frac{1}{1.000}=\frac{1}{10^3}=10^{-3}$
    Alle anderen Stammbrüche sind keine negative Potenzen der Zahlen $2$, $3$, $5$ oder $10$. Steht z. B. im Nenner eine Primzahl wie $19$, so kann der Bruch nur eine negative Potenz dieser Primzahl sein: $\frac{1}{19} = 19^{-1}$. Steht im Nenner eine Zahl mit verschiedenen Primfaktoren, z. B. $700$, so ist der Stammbruch ebenfalls nur die negative Potenz dieses Nenners: $\frac{1}{700} = 700^{-1}$. Denn die Primfaktorzerlegung von $700$ lautet: $700 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$. Weil der Primfaktor $7$ nur einmal vorkommt, kann $700$ keine höhere Potenz einer natürlichen Zahl sein.

  • Vergleiche die Potenzen.

    Tipps

    Der Exponent gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

    Schreibe die Potenzen in faktorisierter Form, um die Produkte und Quotienten zu berechnen.

    Die dritte Potenz von $3$ ist das Produkt aus drei Faktoren der Zahl $3$:

    $3^3=3 \cdot 3 \cdot 3 =27$

    Lösung

    Die Potenz einer Zahl ist ein mehrfaches Produkt einer Zahl mit sich selbst. Man schreibt die Anzahl der Faktoren als hochgestellte Zahl, den Exponenten. Es bedeutet also $2^3$ ein Produkt der Zahl $2$ mit sich selbst mit drei Faktoren, d. h. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$. Du kannst Produkte und Quotienten von Potenzen ausrechnen, indem du jeweils die Potenzen in faktorisierter Form ausschreibst. Dazu brauchst du die folgenden Regeln:

    • $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$
    • $\frac{x^m}{x^n}=x^m : x^n=x^{m-n}$
    Folgende Gleichungen sind richtig:

    • $\frac{3^2}{3^5} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$: Die rechte Seite ist die faktorisierte Schreibweise der linken Seite.
    • $2^2 \cdot 2^2 = 2^{2 \cdot 2}$: Beide Seiten ergeben $2^4=16$. Das gilt aber nur, weil $2 \cdot 2=2+2$ ist.
    • $10^4 = 10.000$: Jede Zehnerpotenz ist eine $1$ mit mehreren Nullen. Die Anzahl der Nullen ist das Gleiche wie der Exponent der Zehnerpotenz.
    Folgende Gleichungen sind falsch:

    • $\frac{2^5}{2^2} \neq \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$: Der Zähler der rechten Seite ist $2^4$ statt $2^5$.
    • $2^3 \cdot 2^2 \neq 2^6$: In faktorisierter Schreibweise lautet die Rechnung:
    $2^3 \cdot 2^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 \neq 2^6$.
    • $(10^2)^3 = 100.000$: Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert, daher ist
    $(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1.000.000 \neq 100.000 = 10^5$.
    • $2^4 < 4^2$: Beide Seiten der Gleichung ergeben $16$, daher ist $2^4 = 4^2$.
  • Analysiere die Beschreibungen.

    Tipps

    Wächst ein Baum in jedem Jahr um einen halben Meter, so kannst du seine Höhe nicht als negative Potenz von $2$ beschreiben.

    Lösung

    Folgende Beschreibungen sind richtig:

    • Schokolade: Der Schokoladenrest verringert sich jeden Tag auf $\frac{1}{3}$ des Restes des Vortags. Am zweiten Tag bleiben nur $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = 3^{-2}$. Nach $n$ Tagen ist der Rest nur noch $3^{-n} = \frac{1}{3^n}$ der ganzen Tafel.
    • Bakterien: Das Wachstum der Bakterien kann man meistens durch eine positive Potenz beschreiben. Das Medikament führt dazu, dass sich die Menge der Bakterien trotz Wachstums jeden Tag auf $\frac{1}{4}$ verringert. Am ersten Tag der Medikation sind noch $\frac{1}{4}$ der Bakterien übrig, am zweiten Tag nur noch $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = 4^{-2}$ usw.
    Folgende Beschreibungen sind falsch:

    • Schildkröte: Läuft die Schildkröte in einer Stunde einen Meter weit, so entspricht das einem halben Meter in einer halben Stunde usw. Die Geschwindigkeit der Schildkröte ist also immer dieselbe.
    • Training: In der zweiten Woche läuft Frieda $\frac{1}{4}$ mehr als in der ersten Woche, denn $100~\text{m}$ sind $\frac{1}{4}$ von $400~\text{m}$. In jeder weiteren Woche läuft sie jeweils $100~\text{m}$ mehr als in der Vorwoche, also in der dritten Woche $600~\text m$, in der vierten Woche $700~\text m$ usw. Der Anteil, den sie gegenüber der Vorwoche mehr läuft, ist nicht immer $\frac{1}{4}$ und auch keine andere negative Potenz von $4$.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.816

Lernvideos

44.233

Übungen

38.866

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden