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Exponentialschreibweise

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Team Digital

Exponentialschreibweise

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Exponentialschreibweise

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die mehrfache Multiplikation einer Zahl mit sich selbst kurz als Potenz anzugeben.

Zunächst lernst du, wie sich eine Potenz aus der Basis und dem Exponenten zusammensetzt. Anschließend befasst du dich mit den Eigenschaften von Potenzen. Abschließend lernst du, welchen Einfluss ein gerader und ungerader Exponent einer negativen Basis auf den Potenzwert hat.

Lerne etwas über die Potenzschreibweise, indem du Hauke und Knut beim Fischen begleitest.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Potenzschreibweise, Potenz, Basis, Exponent, mehrfache Multiplikation, abkürzende Schreibweise, negative und positive Basis, Potenzwert und gerader und ungerader Exponent.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du Zahlen unter Berücksichtigung ihrer Vorzeichen multipliziert.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Rechnen mit Potenzen zu lernen.

Transkript Exponentialschreibweise

Hauke und Knut ist ein ungewöhnlicher Fisch ins Netz gegangen. Knut meint, sie sollten ihn verkaufen und dann ihre Schulden bezahlen, aber Hauke zögert. Immerhin kann der Fisch SPRECHEN und außerdem behauptet er, wenn Hauke und Knut ihn freilassen, verwandelt er die Schulden der beiden in ein Vermögen, indem er die Exponentialschreibweise verwendet. Die Exponentialschreibweise ist eine Kurzform für wiederholte Multiplikationen. Wir können zum Beispiel 3 mal 3 mal 3 mal 3 als 3 hoch 4 schreiben. 3 ist die BASIS, also die Zahl, die wiederholt multipliziert wird. 4 ist der EXPONENT. Er besagt, wie oft man die Basis multipliziert. Allgemein ausgedrückt: Eine beliebige Zahl 'x', die n-mal multipliziert wird, kann man als x hoch n ausdrücken. Das trifft auf JEDE rationale Zahl zu, inklusive Brüche und negative Zahlen. Einhalb, mit sich selbst 6-mal multipliziert, kann man als Einhalb hoch 6 aufschreiben. Minus 5, mit sich selbst 6-mal multipliziert, kann man als Minus 5 hoch 6 aufschreiben. Beachte, dass wir die Brüche und negative Zahlen in Klammern setzen, um zu zeigen, dass die gesamte Zahl hoch n genommen wird. Das ist besonders wichtig, wenn man Potenzen in den Taschenrechner eingibt. Besuchen wir noch mal Hauke und Knut. Heute Morgen hatten sie 5 Euro Schulden. Sie hatten also MINUS 5 Euro. Der sprechende Fisch gibt ihnen drei magischen Möglichkeiten zur Auswahl. Schauen wir mal, ob wir die Möglichkeiten mittels Exponentenschreibweise bewerten können. Option 1: Sie können ihr Geld mal drei Fünftel nehmen, und zwar einmal am Tag und das 6 Tage lang. Wir schreiben das als minus 5 mal drei Fünftel, die mit sich selbst 6-mal multipliziert werden. Wie würdest du das in der Exponentenschreibweise ausdrücken? Nun, drei Fünftel ist unsere Basis, denn das ist die Zahl, die wir wieder und wieder multiplizieren. Das macht 6 zu unserem Exponenten, denn diese Zahl zeigt uns, wie oft wir die Basis mit sich selbst multiplizieren. Und all das multiplizieren wir mit minus 5. Okay, auf zur zweiten magischen Option. Hier können die beiden ihr Geld 9 Tage lang mit sich selbst multiplizieren. Welche Zahl ist in diesem Fall unsere Basis? Wir multiplizieren minus 5 mit sich selbst, das ist also unsere Basis. Das macht 9 zu unserem Exponenten. Die dritte und letzte Option des Fischs besagt, dass das Geld 8 Tage lang mit sich selbst multipliziert wird. Das können wir als minus 5 hoch 8 schreiben. Nun haben wir alle Optionen in der Exponentialschreibweise, also helfen wir Hauke und Knut, die beste Möglichkeit herauszufinden. Zunächst Option 1: Ist minus 5 mal drei Fünftel hoch 6 deiner Meinung nach positiv oder negativ? Nun, wir multiplizieren eine negative Zahl mit einer positiven das Ergebnis wird also negativ sein. Minus 5 mal drei Fünftel hoch 6 ist ungefähr minus 23 Cent ergibt. Wie sieht es mit den anderen beiden Optionen aus, bei denen eine NEGATIVE BASIS potenziert wird? Um zu verstehen, wie negative Basen auf Exponenten reagieren, schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Und zwar minus 5 hoch 2. Das ist minus 5 mal minus 5, also PLUS 25. Wenn wir minus 5 noch einmal mehr mit sich selbst multiplizieren, ist das 25 mal minus 5, also MINUS 125. Wenn wir das WIEDER mit minus 5 multiplizieren, bekommen wir ein positives Ergebnis. Und eine weitere Multiplikation würde eine negative Zahl ergeben. Erkennst du das Muster? Eine negative Basis mit einem GERADEN Exponenten ergibt ein POSITIVES Ergebnis. Eine negative Basis mit einem UNGERADEN Exponenten ergibt ein NEGATIVES Ergebnis. Das im Hinterkopf, was wäre DIR lieber: minus 5 Euro hoch NEUN oder minus 5 Euro hoch ACHT? Minus 5 hoch 9 ist eine negative Basis hoch einen ungeraden Exponenten. Das Ergebnis ist also negativ. Minus 1.953.125 Euro, um genau zu sein. Wie sieht es mit minus 5 hoch 8 aus? Das ist eine negative Basis hoch einen geraden Exponenten. Das Ergebnis ist also positiv. Von minus 5 zu plus 390.625 Euro? Das sieht doch ordentlich aus! Option 3 verwandelt Haukes und Knuts Schulden in ein Vermögen! Wir wiederholen: Die Exponentialschreibweise ist die Kurzform für eine wiederholte Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Die Zahl, die multipliziert wird, nennt man Basis. Die Anzahl, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird, nennt man Exponent. Wenn du mit Brüchen oder negativen Basen arbeitest, nutzt du Klammern, um Verwirrungen zu vermeiden. Und schlussendlich, nur für den Fall, dass dir ein sprechender Fisch über den Weg schwimmt: Eine negative Basis hoch einen ungeraden Exponenten ergibt eine negative Zahl. Und ein gerader Exponent ergibt eine positive Zahl. Hauke und Knut beschließen, kräftig Kasse zu machen und den Fisch freizulassen. Und ohne zu zögern, gibt er ihnen ihre Belohnung! Stinkereich? Wohl eher sinkend reich! Ha! Tja, da sind die beiden wohl echt auf den Hund den Fisch gekommen.

Exponentialschreibweise Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentialschreibweise kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Verwendung der Exponentialschreibweise.

    Tipps

    In der Gleichung $2^3=8$ ist $2$ die Basis der Potenz.

    Eine Zahl $x$, die so oft mit sich selbst multipliziert wird, dass sich $n$ Faktoren ergeben, kannst du als $x^n$ schreiben.

    Mulitplizierst du viermal hintereinander $2$ € Schulden, so ergibt sich der Betrag $(-2)^4 = 16$ €.

    Lösung

    Die wiederholte Multiplikation derselben Zahl kannst du als Potenz dieser Zahl schreiben. Umgekehrt kannst du die Potenz einer Zahl ausrechnen, indem du die Zahl wiederholt mit sich selbst mutliplizierst. Die Zahl, die wiederholt multipliziert wird, heißt Basis der Potenz. Der Exponent gibt an, wie viele gleiche Faktoren die faktorisierte Schreibweise der Potenz hat.

    So ist zum Beispiel $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$, damit ist $2$ die Basis, die $4$-mal mit sich selbst multipliziert wird.

    Beim Ausmultiplizieren einer Potenz musst du die Regel Minus mal Minus ergibt Plus beachten. Die Potenzen einer positiven Zahl sind stets positiv, denn Produkte positiver Zahlen sind positiv. Potenzen einer negativen Zahl können aber sowohl positiv als auch negativ sein. Welches Vorzeichen auftritt, hängt von der Anzahl der Faktoren, also vom Exponenten der Potenz ab. So ist $(-2)^3 = ((-2) \cdot (-2)) \cdot (-2) = (+4) \cdot (-2) = {-8}$, aber $(-2)^4 = ((-2) \cdot (-2)) \cdot ((-2) \cdot (-2)) = (+4) \cdot (+4) = 16$.

    Multiplizieren die Fischer Hauke und Knut ihre Schulden von $-5$ € insgesamt $6$ Tage lang jeweils mit $\frac{3}{5}$, so erhalten sie den folgenden Betrag:

    $(-5) \cdot \underbrace{\left(\frac{3}{5}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{3}{5}\right)}_{6-\text{mal}} = (-5) \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^6 \approx (-5) \cdot 0,047 \approx -0,23$

    Hierbei haben wir genutzt, dass bei der Multiplikation von Brüchen jeweils nur die Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden, d.h. $\left(\frac{3}{5}\right)^6 = \frac{3^6}{5^6} \approx 0,047$.

    Wenn Hauke und Knut stattdessen ihren Geldbetrag $9$ Tage lang mit sich selbst multiplizieren, so kommen sie auf folgenden Wert:

    $(-5)^9 = -1~953~125$

    Die Regel Minus mal Minus ergibt Plus führt dazu, dass bei einer geraden Potenz einer negativen Zahl immer ein negativer Faktor übrig bleibt, so dass die Potenz negativ ist.

    Potenzieren Hauke und Knut ihr Geld mit der Anzahl der Tage, so erhalten sie nach $8$ Tagen folgenden Betrag:

    $(-5)^8 = 390~625$

    Hier führt die Regel Minus mal Minus ergibt Plus zu einem positiven Ergebnis: Weil der Exponent, also die Anzahl der negativen Faktoren der Multiplikation gerade ist, heben sich alle Minuszeichen auf.

  • Gib wieder, wie du mit Potenzen rechnen kannst.

    Tipps

    Eine gerade Potenz einer negativen Zahl ist positiv.

    $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2^4}{3^4}$

    Beachte die Regel:

    Minus mal Minus ergibt Plus

    Lösung

    Mit der Exponentialschreibweise kannst du die wiederholte Multiplikation einer Zahl abkürzend schreiben. Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, ist die Basis der Potenz. Der Exponent ist die Anzahl der Faktoren der Basis, wenn du das Produkt ausschreibst.

    Bei der Berechnung von Potenzen musst du die Regel Minus mal Minus ergibt Plus berücksichtigen:

    • Rechnest du eine gerade Potenz einer negativen Zahl aus, so ist das Ergebnis eine positive Zahl, da sich die Vorzeichen je zweier Faktoren aufheben.
    • Bei einer ungeraden Potenz einer negativen Zahl bleibt stets ein negativer Faktor übrig, so dass das Ergebnis negativ ist.
    • Potenzierst du Brüche, verwendest du die Regel für die Multiplikation von Brüchen. Daraus ergibt sich, dass die Potenz eines Bruches der Bruch aus den Potenzen des Zählers und des Nenners ist.

    So erhältst du folgende korrekten Sätze:

    1. Die Basis einer Potenz ... ist die Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird.
    2. Der Exponent einer Potenz ... ist die Anzahl der Faktoren in der faktorisierten Schreibweise der Potenz.
    3. Eine Potenz einer negativen Zahl ... ist nicht notwendigerweise negativ.
    4. Jede Potenz einer positiven Zahl ... ist positiv.
    5. Die Potenz eines Bruches ... ist der Bruch der Potenzen von Zähler und Nenner.
  • Bestimme die Potenzen.

    Tipps

    Verwende beim Potenzieren eines Bruches die Regel:

    Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner

    Ein Minus im Zähler oder im Nenner eines Bruches kannst du auch vor den gesamten Bruch schreiben.

    $\left(\frac{5}{4}\right)^3 = \frac{5^3}{4^3} = \frac{125}{64}$

    Lösung

    Die Potenz einer Zahl ist ein mehrfaches Produkt der Zahl mit sich selbst. Der Exponent der Potenz ist die Anzahl der Faktoren. Berechnest du die Potenz eines Bruches, so kannst du die Potenz im Zähler und im Nenner einzeln berechnen und den Bruch der Potenzen bilden.

    So erhältst du folgende Gleichungen:

    • $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
    • $\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$
    • $\left(-\frac{3}{4}\right)^2 = -\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}\right) = -\frac{3^2}{4^2} = -\frac{9}{16}$
    • $\left(\frac{-2}{5}\right)^3 = \left(\frac{-2}{5}\right) \cdot \left(\frac{-2}{5}\right) \cdot \left(\frac{-2}{5}\right) = \frac{(-2)^3}{5^3} = \frac{-8}{125} = -\frac{8}{125}$

  • Erschließe die Rechnungen.

    Tipps

    Berechne zuerst die Potenzen und multipliziere das Ergebnis mit dem jeweiligen Faktor, der vor der Potenz steht.

    Hier ist ein Beispiel:

    $3 \cdot (-4)^5 = 3 \cdot \big((-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \big) = 3 \cdot \big((-4) \cdot 4^2 \cdot 4^2\big) = 3 \cdot (-1.024) = -3.072$

    Lösung

    Bei der Berechnung der Produkte und Potenzen musst du genau beachten, welche Zahl jeweils potenziert wird, d.h. auf welche Basis sich der Exponent bezieht. Das Produkt einer Zahl mit einer Potenz kannst du berechnen, indem du zuerst die Potenz berechnest und dann mit der Zahl multiplizierst. So erhältst du folgende Rechnungen:

    $486$:

    • $2 \cdot 3^5 = 2 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = 2 \cdot 243 = 486$
    • $6 \cdot 3^4 = 6 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = 6 \cdot 81 = 486$
    • $(-18) \cdot (-3)^3 = (-18) \cdot \big((-3) \cdot (-3) \cdot (-3)\big) = (-18) \cdot (-27) = 486$
    $500$:
    • $4 \cdot 5^3 = 4 \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 4 \cdot 125 = 500$
    • $20 \cdot (-5)^2 = 20 \cdot \big((-5) \cdot (-5)\big) = 20 \cdot 25 = 500$
    $-192$:
    • $6 \cdot (-2)^5 = 6 \cdot \big((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \big) = 6 \cdot (-32) = -192$
    • $3 \cdot (-4)^3 = 3 \cdot \big((-4) \cdot (-4) \cdot (-4)\big) = 3 \cdot (-64) = -192$
    • $(-3) \cdot 8^2 = (-3) \cdot (8 \cdot 8)=(-3) \cdot 64 =-192$
    $768$:
    • $3 \cdot (-4)^4 = 3 \cdot \big((-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4)\big) = 3 \cdot (256) = 768$
    • $3 \cdot 16^2 = 3 \cdot (16 \cdot 16) = 3 \cdot 256 = 768$
    • $(-12) \cdot (-4)^3 = (-12) \cdot \big((-4) \cdot (-4) \cdot (-4)\big) = (-12) \cdot (-64) = 768$

  • Bestimme die Potenzen.

    Tipps

    Das Produkt dreier negativer Zahlen ist negativ.

    $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

    Beachte: $-3^2 =-(3\cdot 3)=-9$, aber: $(-3)^2 =(-3)\cdot (-3)=9$

    $10^n$ ist eine $1$ mit $n$ Nullen.

    Lösung

    Die Potenz $x^n$ einer Zahl $x$ entsteht aus der Multiplikation von $x$ mit sich selbst. Die Zahl $n$ ist die Anzahl der Faktoren. Es ist also $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ und $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ usw. Beim Ausmultiplizieren musst du die Regel Minus mal Minus ergibt Plus beachten. Dadurch können Potenzen negativer Zahlen negativ oder positiv sein. Um das Vorzeichen zu bestimmen, kannst du jeweils immer zwei Faktoren zusammenfassen. Ist der Exponent $1$, so hast du nur einen Faktor. Die Potenz entspricht also der Basis, d.h. $x^1 = x$.

    Du erhältst folgende Zuordnungen:

    • $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = (+4) \cdot (-2) = -8$
    • $-2^2 = -(2\cdot 2) = -4$
    • $(-1)^4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (+1) \cdot (+1) = 1$
    • $(-10)^2 = (-10) \cdot (-10) = 100$
    • $10^1 = 10$
  • Analysiere die Beschreibungen.

    Tipps

    Ein Viertel mehr als $20$ ist $20 \cdot \frac{5}{4}$.

    Verringert sich ein Betrag um $\frac{3}{4}$, so bleibt $\frac{1}{4}$ übrig.

    Die Schneeschmelze lässt der Wasserstand eines Baches auf das dreieinhalbfache ansteigen. Kämen zwei solcher Schneeschmelzen gleichzeitig, so wäre der Wasserstand das $12,25$-fache des üblichen. Denn $3,5 = \frac{7}{2}$, und zwei Multiplikationen mit $3,5$ sind dasselbe wie eine Multiplikation mit $\left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} = 12,25$.

    Lösung

    Folgende Beschreibungen sind richtig:

    • Training: Jasmin erhöht ihre Geschwindigkeit jede Woche um den Faktor $1,5 = \frac{3}{2}$. Dadurch verringert sich ihre Laufzeit um den Kehrwert, also um den Fakor $\frac{2}{3}$. Nach $n$ Wochen beträgt ihre Laufzeit nur noch das $\left(\frac{2}{3}\right)^n$-fache der anfänglichen Laufzeit.
    • Bakterien: Ohne Medikation kannst du die Anzahl der Bakterien durch Multiplikation mit $2^m$ beschreiben, dabei steht $m$ jeweils für die Vielfachen von $12$ Stunden. Zwischen einem Tag und dem nächsten vergehen $24 = 2 \cdot 12$ Stunden. Das Bakterium hat sich nach einem Tag also auf das $2^2 = 4$-fache vermehrt, nach $2$ Tagen auf das $2^4 = 16$-fache und nach $n$ Tagen auf $2^{2n}$-fache. Das Medikament verringert die Anzahl der Bakterien täglich um $\frac{2}{3}$, also auf $\frac{1}{3}$ des Wertes ohne Medikation. Nach $5$ Tagen der Medikation beträgt die Zahl der Bakterien dann das $2^{2 \cdot 5} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5$-fache des Wertes am Anfang. Da $\frac{2^{10}}{3^5} = \frac{1.024}{243} \approx 4,21$, hat sich die Anzahl weniger als verfünffacht.

    Folgende Beschreibungen sind falsch:

    • Taschengeld: Annas Taschengeld erhöht sich mit jedem neuen Lebensjahr um den Faktor $\frac{3}{2}$, im ersten Jahr also um $5$ €. In den weiteren Jahren beträgt die Änderung aber mehr als $5$ €. Du erhältst den korrekten Wert, indem du wiederholt mit $\frac{3}{2}$ multiplizierst.
    • Fischfang: Der Anteil der Goldbrassen erhöht sich bei jedem Fang um $\frac{1}{10}$. Er liegt also jeweils bei $\frac{11}{10}$ des vorherigen Anteils. Der Anteil nach vier Fischfangfahrten beträgt dann $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{11}{10}\right)^4 \neq \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^4$.
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