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Vergleich von Größenordnungen mit Zehnerpotenzen 05:54 min

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Transkript Vergleich von Größenordnungen mit Zehnerpotenzen

David ist ein junger Forscher und neugierig auf alles, was die Natur zu bieten hat. Er findet es ganz erstaunlich, wie klein Ameisen im Vergleich zu ihm sind. Er fühlt sich der kleinen Kreatur seelenverwandt und gibt ihr den Namen Hans. David ist viel größer als Hans. Um ihre Größen aber wirklich vergleichen zu können, muss David Größenordnungen mit Hilfe von Zehnerpotenzen vergleichen. Hans ist 0,32 cm groß. Aus Hans' Sicht ist David ein Riese. Denn der ist 167,45 cm groß. Um die Größen zu vergleichen, könnte man durch Subtraktion den Größenunterschied herausfinden. 167,45 cm – 0,32 cm ergibt 167,13 cm. Aber das ist eigentlich nicht besonders aufschlussreich. Viel interessanter ist, wie viel mal David größer als Hans ist. Statt die Größen zu subtrahieren, können wir die Größenordnungen von David und Hans vergleichen. Aber woher wissen wir die Größenordnung der Körpergrößen von Hans bzw. von David? Um die Größenordnung zu finden, suchen wir eine nahegelegene Zehnerpotenz. Denk dran: Eine Zehnerpotenz ist eine 10, die n-mal mit sich selbst multipliziert wird, also eine Potenz mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten n. Das wären zum Beispiel 1, oder 10 hoch 0, 10 hoch 1, 10 hoch -1, 10 hoch 2, 10 hoch -2, und so weiter. Hans ist 0,32 cm groß. Welche Zehnerpotenz liegt 0,32 am nächsten? Die Antwort: 10 hoch -1. Der Exponent -1 drückt Hans' Größenordnung aus. Für sich genommen verrät uns 10 hoch -1 noch immer nicht viel. Die interessante Frage für einen neugierigen Naturforscher ist der Vergleich der Größenordnungen von Hans und David. Suchen wir also eine Näherung für Davids Größenordnung. Er ist 167,45 cm groß. Welche Zehnerpotenz liegt 167,45 am nächsten? Da 10 hoch 2 näher an Davids Körpergröße liegt als 10 hoch 3, nehmen wir 10 hoch 2 als Näherung für Davids Größenordnung. Jetzt vergleichen wir die Größenordnungen von David und Hans. Wir wollen wissen, wie viele Zehnerpotenzen David größer als Hans ist. Wir dividieren Davids Größenordnung durch die von Hans. Dazu müssen wir die Exponenten voneinander abziehen und 2 minus 'minus 1' ist 3. David ist also ganz grob 10-hoch-3-mal bzw. 1000-mal so groß wie Hans. Verallgemeinern wir, wie man Größenordnung näherungsweise bestimmt und vergleicht. Mit einem Zahlenstrahl können wir das Vorgehen veranschaulichen. Angenommen, wir haben die Zahl 2010,4. Zunächst erkennen wir, dass sich unterhalb und oberhalb dieser Zahl ganze Zahlen finden lassen. 2010 und 2011. Dann suchen wir die nächste Zehnerpotenz oberhalb bzw. unterhalb dieser Zahlen. Von 2010 ausgehend ist die nächstgrößere Zehnerpotenz 10.000. Die 10.000 enthält vier Nullen, also lautet die Zehnerpotenz 10 hoch 4. Die nächstkleinere Zehnerpotenz unterhalb von 2010 ist 1.000 - also 10 hoch 3. Ganz allgemein können wir für jede Zahl M eine ganze Zahl N unterhalb und eine ganze Zahl N+1 oberhalb von M finden. Wenn N+1 k Stellen besitzt, ist 10 hoch k die nächste Zehnerpotenz größer als M und 10 hoch k-1 ist die nächste Zehnerpotenz kleiner als M. Mit dem Zahlenstrahl können wir auch veranschaulichen, wie man Größenordnungen vergleicht. Wir wissen, dass David ungefähr 10 hoch 3, also 1000-mal größer als Hans die Ameise ist. Aber als der neugierige Naturforscher, der er ist, fragt sich David auch, wievielmal größer als er selbst die Erde ist. Wieder nutzen wir Zehnerpotenzen, um die Größe von David mit der der Erde zu vergleichen. Wie gesagt. David ist 167,45 cm groß. Die Erde hat einen Durchmesser von erstaunlichen 1.274.200.000 cm. Suchen wir also die Größenordnung des Durchmessers der Erde und vergleichen sie mit Davids Größenordnung. Welche Zehnerpotenz liegt Davids Körpergröße am nächsten? Wir haben ja schon herausgefunden, dass es 10 hoch 2 ist. Und welche Zehnerpotenz liegt dem Durchmesser der Erde am nächsten? 10 hoch 9. Wir teilen die Größenordnung der Erde durch die Größenordnung von David und sehen, dass die Erde ungefähr 10.000.000-mal so groß wie David ist. David ist 1000-mal so groß wie Hans, die Ameise, und die Erde ist 10.000.000-mal so groß wie David. Wow! Fassen wir zusammen. Wir können eine Zahl annähern, indem wir die Zehnerpotenz suchen, die ihr am nächsten liegt – entweder darüber oder darunter. Wir können Größenordnungen vergleichen, indem wir die größere Zehnerpotenz durch die kleinere teilen. Das Ergebnis verrät uns, wievielmal so groß die größere Zahl im Vergleich zur kleineren ist. Durch Größenordnungen kann David besser verstehen, wie viel Mal größer er als Hans die Ameise ist. Er kann auch besser verstehen, wievielmal größer die Erde als er selbst ist. Im Universum lassen sich unvorstellbar viele Größenordnungen auf diese Weise miteinander vergleichen.

Vergleich von Größenordnungen mit Zehnerpotenzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vergleich von Größenordnungen mit Zehnerpotenzen kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die Zehnerpotenzen.

    Tipps

    Suche auf dem Zahlenstrahl die Zehnerpotenzen.

    Zehnerpotenzen teilt man durcheinander, indem man die Exponenten subtrahiert.

    Zum Beispiel ist $10^4:10^1 = 10^{4-1} = 10^3 = 1000$.

    Lösung

    Die Ameise Hans ist $0,32~\text{cm}$ groß. Die nächstgrößere Zehnerpotenz ist $10^0~\text{cm} = 1~\text{cm}$, die nächstkleinere $10^{-1}~\text{cm}=0,1~\text{cm}$. Die der Größe von Hans in $\text{cm}$ nächstgelegene Zehnerpotenz ist daher $10^{-1}$.

    David ist $167,45~\text{cm}$ groß. Die nächstgrößere Zehnerpotenz ist $10^3 = 1000~\text{cm}$, die nächstkleinere $10^2~\text{cm}=100~\text{cm}$. Der Größe von David in $\text{cm}$ liegt also die Zehnerpotenz $10^2$ am nächsten.

    Zum Vergleich der Größenordnungen von David und Hans dividieren wir die nächstgelegenen Zehnerpotenzen durcheinander. Die Rechnung zum Vergleich der Größenordnung lautet:

    $10^2:10^{-1}=10^{2-(-1)}=10^3$.

    David ist also ungefähr tausend Mal so groß wie Hans.

  • Bestimme die nächstgelegenen Zehnerpotenzen.

    Tipps

    Suche zunächst die größte ganze Zahl, die kleiner ist als die Größe von David in $\text{cm}$. Bestimme dann die nächstkleinere Zehnerpotenz.

    Du dividierst die Zehnerpotenzen, indem Du die Exponenten subtrahierst. Es gilt:

    $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.

    Lösung

    Wir suchen die größte Zehnerpotenz, die kleiner ist als die Größe von Hans in $\text{cm}$. Diese ist $10^{-1}$, denn $10^{-1} = 0,1 < 0,32$, aber $10^0 = 1 > 0,32$. Die größte Zehnerpotenz unterhalb der Größe von David ist dann $10^2$, denn $10^2 = 100 < 167,45$ und $10^3 = 1000 > 167,45$.

    Um sie zu vergleichen, dividieren wir die Zehnerpotenzen durcheinander:

    $10^2 : 10^{-1} = 10^{2-(-1)} = 10^3 = 1000$

    David ist also ungefähr $1000$-mal so groß wie Hans.

    Nun bestimmen wir die Größenordnung der Erde. Die größte Zehnerpotenz unterhalb des Durchmessers der Erde ist $10^9$, denn $10^9 < 1.274.200.000$ und $10^{10} > 1.274.200.000$.

    Zum Vergleich der Größen von der Erde und David dividieren wir wieder die Größenordnungen durcheinander:

    $\frac{10^9}{10^2}= 10^{9-2} = 10^7=10000000$

    Die Erde ist demnach ungefähr $10^7 = 10.000.000- mal so groß wie David.

  • Bestimme die Größenordnungen.

    Tipps

    Eine Potenz ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:

    $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ ...\ \cdot a}_{n\text{-mal}}$

    Wie viele Nullen hat die Zahl $10^3$ demnach?

    Überlege, wie viele Stellen eine Zehnerpotenz hat.

    Die kleinste Zehnerpotenz oberhalb von $203,6$ ist $10^3=1000$.

    Lösung

    Die Zehnerpotenz $10^n$ ist das Ergebnis der Rechnung, die Zahl $10$ genau $n$-mal mit sich selbst zu multiplizieren. Als Dezimalzahl ist das eine $1$ mit $n$ Nullen.

    Die nächstgrößere bzw. nächstkleinere Zehnerpotenz zu einer Dezimalzahl $M$ kann man wie folgt bestimmen: Man sucht zuerst die nächstgelegenen ganzen Zahlen $N$ und $N+1$. Die ganze Zahl $N$ stimmt mit $M$ vor dem Komma überein und hat keine Nachkommastellen. Addierst du zu der ganzen Zahl $N$ eine $1$, so erhältst du die nächstgrößere ganze Zahl zu $M$, nämlich $N+1$. Hat $N+1$ nun genau $k$ Stellen, so ist $10^{k-1}$ die nächstkleinere Zehnerpotenz zu $M$. Hat $N+1$ genau $k$ Stellen und ist nicht selbst eine Zehnerpotenz, so ist $10^k$ die nächstgrößere Zehnerpotenz zu $M$.

    Mit diesen Überlegungen erhalten wir folgende wahre Aussagen:

    • „Der Größe von Hans in $\text{cm}$ liegt die Zehnerpotenz $10^{-1}$ am nächsten.“ Denn $0,32$ liegt näher an $0,1 = 10^{-1}$ als an $10^0 = 1$.
    • „Die zu der Größe von David in $\text{cm}$ nächstkleinere Zehnerpotenz ist $10^2$.“ Denn $10^2 = 100 < 167,45$.
    • „Die größte ganze Zahl kleiner als $2010,4$ ist $2010$.“ Die größte ganze Zahl, die kleiner als eine Dezimalzahl mit Nachkommastellen ist, findet man, indem man die Nachkommastellen weglässt.
    • „Sei $N+1$ eine ganze Zahl oberhalb einer gegebenen Zahl $M$, so gilt: Hat die ganze Zahl $N+1$ genau $k$ Stellen, so liegt $N+1$ unterhalb der Zehnerpotenz $10^k$.“ Jede ganze Zahl mit $k$ Stellen ist kleiner als $10^k$, denn $10^k$ hat $k+1$ Stellen.
    Dagegen sind folgende Aussagen falsch:

    • „Sei $N+1$ eine ganze Zahl oberhalb einer gegebenen Zahl $M$, so gilt: Hat die ganze Zahl $N+1$ genau $k$ Stellen, so liegt die Zehnerpotenz $10^k$ unterhalb von $N+1$.“ Die Zehnerpotenz $10^k$ hat $k+1$ Stellen, ist also größer als jede ganze Zahl mit $k$ Stellen.
    • „Die kleinste Zehnerpotenz oberhalb von $2010,4$ ist $10^3$.“ Die Zehnerpotenz $10^3 = 1000$ ist kleiner als $2010,4$.
    • „Die größte Zehnerpotenz unterhalb der Größe von David in $\text{cm}$ ist $10^1$.“ Die Zehnerpotenz $10^1 = 10$ ist zwar kleiner als $167,45$, aber die Potenz $10^2 = 100$ ist ebenfalls kleiner als $167,45$.
  • Analysiere die Aussagen über Zehnerpotenzen.

    Tipps

    $10^k$ ist eine $1$ mit $k$ Nullen, also eine $k+1$-stellige Zahl.

    Vergleiche eine beliebige ganze Zahl mit $k$ Stellen mit einer Zehnerpotenz mit $k$ Stellen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Zum Vergleich von Größenordnungen bestimmt man die Differenz der Exponenten der nächstgelegenen Zehnerpotenzen.“ Vergleich von Größenordnungen bedeutet das Dividieren nahe gelegener Zehnerpotenzen. Das entspricht der Subtraktion der Exponenten.
    • „Die kleinste Zehnerpotenz mit mindestens $k$ Stellen ist $10^{k-1}$.“ Die Zahl $10^{k-1}$ ist eine $1$ mit $k-1$ Nullen. Daher ist $10^{k-1}$ die kleinste Zahl mit $k$ Stellen und insbesondere die kleinste Zehnerpotenz mit $k$ Stellen.
    • „Die größte ganze Zahl mit höchstens $k$ Stellen ist $10^k-1$.“ Die um $1$ größere, also die nächste ganze Zahl ist $(10^k-1)+1 = 10^k$. Dies ist die kleinste ganze Zahl mit $k+1$ Stellen.
    Die folgenden Aussagen dagegen sind falsch:

    • „Zum Vergleich von Größenordnungen bestimmt man die Differenz nächstgelegener Zehnerpotenzen.“ Die Differenz ist wenig aussagekräftig, wenn die Zahlen in verschiedenen Größenordnungen liegen.
    • Liegt die Zahl $M$ zwischen den ganzen Zahlen $N$ und $N+1$, so hat die kleinste Zehnerpotenz größer als $M$ genauso viele Stellen wie $N+1$.“ Ist $M=2010,4$, so ist $N=2010$ und $N+1 = 2011$. Beide Zahlen haben $4$ Stellen. Aber die kleinste Zehnerpotenz, die größer ist als $2010,4$, ist $10^4 = 10000$ und hat $5$ Stellen.
    • „Liegt die Zahl $M$ zwischen den ganzen Zahlen $N$ und $N+1$, so hat die kleinste Zehnerpotenz größer als $M$ mehr Stellen als $N+1$.“ Ist $M = 999,3$, so ist $N=999$ und $N+1=1000$. Die kleinste Zehnerpotenz oberhalb von $M=999,3$ ist $1000$, entspricht also $N+1$ und hat demnach genauso viele Stellen.
    • „Die Zehnerpotenz $10^k$ ist $k$-mal so groß wie die Zehnerpotenz $10^0$.“ Die Zehnerpotenz $10^k$ ist $10^{k-0}=10^k$ Mal so groß wie die Zehnerpotenz $10^0$.
  • Erschließe die Größenordnungen.

    Tipps

    Eine Zahl $M\geq 1$ mit $n$ Stellen vor dem Komma ist entweder der Zehnerpotenz $10^n$ oder $10^{n-1}$ am nächsten.

    Trage die Zahlen auf einem Zahlenstrahl ab, um die nächstgelegene Zehnerpotenz zu finden.

    Der Zahl $50,43$ liegt die Zehnerpotenz $10^2$ am nächsten, für die Zahl $49,87$ ist $10^1$ die nächstgelegene Zehnerpotenz.

    Lösung

    Die einer Dezimalzahl nächstgelegene Zehnerpotenz kann man am Zahlenstrahl ablesen: Trägt man dort die Zehnerpotenzen ein, so findet man für jede Dezimalzahl $M$, die nicht selbst eine Zehnerpotenz ist, eine Ungleichung der Form $10^{n-1} < M < 10^n$. Die nächstgelegene Zehnerpotenz ist diejenige, die zu der Zahl $M$ den kleineren Abstand auf dem Zahlenstrahl hat.

    Hieraus ergeben sich folgende Zuordnungen:

    $10^{-1}$ ist für folgende Zahlen die nächstgelegene Zehnerpotenz:

    • $0,066$
    • $0,11$
    • $0,4321$
    • $0,1234$
    ${\bf 10^0}$ ist die nächstgelegene Zehnerpotenz für folgende Zahlen:

    • $0,63$
    • $4,321$
    • $0,87$
    ${\bf 10^3}$ ist die nächstgelegene Zehnerpotenz für folgende Zahlen:

    • $1987$
    • $4321$
    • $729$
    ${\bf 10^4}$ ist für folgende Zahlen die nächstgelegene Zehnerpotenz:

    • $43210$
    • $8765$
    • $10000$
  • Vergleiche die Zehnerpotenzen.

    Tipps

    Die Zehnerpotenz $10^k$ ist die abkürzende Schreibweise für die $k$-fache Multiplikation des Faktors $10$ mit sich selbst:

    $10^k=\underbrace{10\cdot 10\cdot\ ...\ \cdot 10}_{k\text{-mal}}$

    Die Zehnerpotenz $10^k$ ist eine $1$ mit $k$ Nullen.

    Das Dividieren von Zehnerpotenzen entspricht dem Subtrahieren der Exponenten.

    Lösung

    Die Zehnerpotenz $10^n$ ergibt sich, indem man $n$-mal die Zahl $10$ mit sich selbst multipliziert. Dividiert man $10^n$ durch $10^k$, so kann man einige der Faktoren wieder kürzen. Übrig bleiben genau $n-k$ Faktoren. Diese Rechnung ist das Potenzgesetz:

    $\frac{10^n}{10^k} = 10^{n-k}$

    Nach diesem Potenzgesetz ergeben sich folgende Gleichungen:

    • $\frac{10^9}{10^{-1}} = 10^{9-(-1)} = 10^{10}$
    • $\frac{10^4}{10^2} = 10^{4-2} = 10^2$
    • $\frac{10^2}{10^4} = 10^{2-4} = 10^{-2}$
    • $\frac{10^{-2}}{10^{-9}} = 10^{-2-(-9)} = 10^7$
    • $\frac{10^{k+1}}{10^{-1}} = 10^{(k+1) - (-1)} = 10^{k+2}$