Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen
Entdecke, wie du große Zahlen einfach handhaben kannst: Lerne, Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise darzustellen und mit ihnen zu rechnen! Ob $200,000,000,000$ schrumpfen oder $0,0000000000000000161$ wachsen lassen, wir zeigen dir, wie es geht. Fasziniert? Mehr dazu im folgenden Text!
- Rechnen mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise – Mathe
- Was ist die wissenschaftliche Schreibweise?
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Grundlagen zum Thema Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen
Rechnen mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise – Mathe
Die wissenschaftliche Schreibweise hilft uns dabei, besonders große oder kleine Zahlen lesbarer zu schreiben. Es ist mühsam, mit Zahlen wie $200\,000\,000\,000$ oder $0,0000000000000000161$ zu rechnen. Jede Zahl kann jedoch in wissenschaftlicher Schreibweise dargestellt werden. Dabei arbeiten wir mit Potenzen. Doch wie rechnet man nun mit Zahlen, die in wissenschaftlicher Schreibweise geschrieben sind? Im folgenden Text wird das Rechnen mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise auf einfache Weise erklärt.
Was ist die wissenschaftliche Schreibweise?
Schauen wir uns zunächst einmal an, was man unter der wissenschaftlichen Schreibweise versteht und wie man Zahlen in die wissenschaftliche Schreibweise umwandelt. Die Definition für die wissenschaftliche Schreibweise lautet:
In der wissenschaftlichen Schreibweise wird eine Zahl als Produkt einer Zehnerpotenz und einer Zahl zwischen $\mathit{1}$ und $\mathit{10}$ geschrieben. Das hilft dabei, besonders große oder kleine Zahlen einfacher darzustellen.
Mathematisch können wir das so ausdrücken:
$\boxed{N \cdot 10^{m}}$
Für $N$ gilt dabei: $1 \leq N < 10$.
Der Exponent $m$ ist eine ganze Zahl, d. h. $m \in \mathbb{Z}$.
Wie wandelt man nun Zahlen in die wissenschaftliche Schreibweise um?
Um eine Zahl in die wissenschaftliche Schreibweise umzuschreiben, muss das Komma verschoben werden. Der Exponent gibt an, um wie viele Stellen und in welche Richtung das Komma verschoben wird. Er ist negativ, wenn das Komma nach rechts, und positiv, wenn das Komma nach links verschoben wird. Das Komma wird um so viele Stellen verschoben, bis die erreichte Zahl zwischen $1$ und $10$ liegt. Schauen wir uns zwei Beispiele dafür an, wie wir Zahlen in die wissenschaftliche Schreibweise umwandeln können.
Beispiel Nr. 1:
$200\,000\,000\,000 = 2 \cdot 10^{11}$
Das (imaginäre) Komma wurde um elf Stellen nach links verschoben, daher ist der Exponent positiv.
Beispiel Nr. 2:
$0,0000000000000000161 = 1,16 \cdot 10^{-17}$
Das Komma wurde um $\mathit{17}$ Stellen nach rechts verschoben, daher ist der Exponent negativ.
Im Gegensatz zur wissenschaftlichen Schreibweise wird die normale Schreibweise Dezimalschreibweise genannt. Schauen wir uns nun an, wie wir mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise rechnen können.
Multiplikation von Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise
Wie man große und kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise schreibt, wissen wir jetzt. Schauen wir uns nun anhand des folgenden Beispiels an, wie man Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise miteinander multiplizieren kann.
$\bigl(7,5 \cdot 10^{2} \bigr) \cdot \bigl(3,2 \cdot 10^{3} \bigr)$
Zunächst können wir die Gleichung nach dem Kommutativgesetz umstellen:
$\bigl(7,5 \cdot 10^{2} \bigr) \cdot \bigl(3,2 \cdot 10^{3} \bigr) = 7,5 \cdot 3,2 \cdot 10^{2} \cdot 10^{3}$
Nun machen wir weiter, indem wir $10^{2}$ mal $10^{3}$ rechnen. Die Basis $10$ ist gleich, weshalb wir nur die Exponenten addieren müssen und $10^{5}$ erhalten. Nun müssen noch die Koeffizienten $7,5$ und $3,2$ multipliziert werden. Das ergibt $24$. Das Produkt können wir demnach schreiben als:
$7,5 \cdot 3,2 \cdot 10^{2} \cdot 10^{3} = 24 \cdot 10^{5}$
Die Zahl in wissenschaftliche Schreibweise umgerechnet lautet:
$24 \cdot 10^{5} = 2,4 \cdot 10^{6}$
Formen wir die wissenschaftliche Schreibweise in Dezimalschreibweise um, so lautet die Zahl:
$2,4 \cdot 10^{6} = 2\,400\,000$
Division von Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise
Schauen wir uns an dem folgenden Beispiel an, wie man Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise dividiert.
$\dfrac{9,5 \cdot 10^{1}}{3,8 \cdot 10^{2}}$
Zunächst können wir die Gleichung so umstellen, dass wir sie leichter berechnen können. Dafür teilen wir den einen Bruch in zwei Brüche auf.
$\dfrac{9,5 \cdot 10^{1}}{3,8 \cdot 10^{2}} = \dfrac{9,5}{3,8} \cdot \dfrac{10^{1}}{10^{2}}$
Nun können wir den zweiten Bruch vereinfachen. Beide Potenzen haben die gleiche Basis, weshalb wir lediglich den Exponenten des Nenners vom Exponenten des Zählers subtrahieren müssen. Wir erhalten also: $10^{-1}$. Nun dividieren wir die Koeffizienten $9,5$ und $3,8$ und erhalten $2,5$. Das Ergebnis unserer Gleichung in wissenschaftlicher Schreibweise lautet:
$\dfrac{9,5}{3,8} \cdot \dfrac{10^{1}}{10^{2}} = 2,5 \cdot 10^{-1}$
Umgeformt in Dezimalschreibweise ist das:
$2,5 \cdot 10^{-1} = 0,25$
Zusätzlich zum Video und dem Text findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema Rechnen mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise.
Transkript Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen
Herr und Frau Fuchs leben auf dem Land und suchen ein neues Zuhause. Sie engagieren einen Wohnungsmakler. Der hat aber nur Fuchsbaue in einer nahegelegenen Stadt anzubieten. Familie Fuchs will aber nicht in der Stadt leben, denn Herr Fuchs ist es dort zu überfüllt. Er ist Künstler und braucht viel Platz für seine Arbeit. Aber die Familie wird immer größer und ihr Fuchsbau platzt langsam aus allen Nähten, also können sie nicht zu wählerisch sein. Der Makler versichert ihnen, dass der neue Fuchsbau in der Stadt sehr schön und familienfreundlich sei. Er erklärt ihnen auch, dass ihr Dorf eine Einwohnerdichte von 750 Füchsen pro Quadratkilometer habe und demzufolge viel überfüllter als die Stadt sei. So leicht lassen sich Herr und Frau Fuchs nicht überzeugen. Sie wollen genau wissen, wie viele Füchse in ihrer Wohngegend leben. Um das zu berechnen, musst du die Einwohnerdichte mit der Fläche der Wohngegend multiplizieren. Zuerst notierst du die Einwohnerdichte in wissenschaftlicher Schreibweise. Dann multiplizierst du sie mit der Fläche. Dazu kannst du die Gleichung entsprechend dem Kommutativgesetz umstellen. Okay, das sieht doch schon einfacher aus. Immer der Reihe nach rechnest du zunächst 102 * 103. Da die Basen gleich sind, kannst du einfach die Exponenten addieren. Das ergibt dann 105. Jetzt multiplizierst du die Koeffizienten. 7,5 * 3,2 = 24. Du kannst die Gleichung also als 24 * 105 schreiben oder in der wissenschaftlichen Schreibweise als 2,4 * 106. In Dezimalschreibweise ist das 2.400.000 - Wow, das sind ja ne Menge Füchse! Um Familie Fuchs vom Fuchsbau in der Stadt zu überzeugen, bombardiert der Makler sie mit Zahlen und Fakten. Er sagt, die Stadt habe eine Fläche von 3,8 mal 102 km2. Obwohl er bisher bereits Apartments an 95 Füchse verkauft habe, gebe es zwar noch jede Menge Platz, aber sie müssten sich ganz schnell entscheiden. Er schlägt auch vor, Familie Fuchs sollte die Einwohnerdichte der Stadt berechnen, um sich selbst zu überzeugen. Helfen wir ihnen dabei. Die Anzahl der Einwohner in wissenschaftlicher Schreibweise ist 95 = 9,5 mal 101. Für die Einwohnerdichte teilst du die Einwohnerzahl durch die Fläche. Jetzt stelle die Gleichung so um, dass sie leichter zu berechnen ist. Schon besser. Wie gesagt, immer der Reihe nach: Zuerst vereinfachst du die Exponenten. Wenn du Potenzen mit gleicher Basis dividierst, subtrahierst du den Exponenten des Nenners vom Exponenten des Zählers. Also 1 - 2. Jetzt dividierst du die Koeffizienten. Und schon steht die Gleichung in der wissenschaftlichen Schreibweise: Das Ergbnis in wissenschaftlicher Schreibweise lautet: 2,5 * 10-1. Da der Exponent negativ ist, musst du das Komma um eine Stelle nach links verschieben, um die Zahl in Dezimalschreibweise anzugeben. Die Stadt hat eine Einwohnerdichte von 0,25 Füchsen pro Quadratkilometer. Das überzeugt Familie Fuchs. Sie packen ihre Sachen und ziehen um. Jetzt haben sie wirklich jede Menge Platz. Eine winzige, aber wichtige Kleinigkeit hat der Makler jedoch nicht erwähnt...
Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen Übung
-
Fasse die nötigen Rechengesetze zusammen.
TippsDas Kommutativgesetz der Multiplikation besagt:
$a \cdot b = b \cdot a$
Man benutzt die wissenschaftliche Schreibweise, um sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlicher darzustellen.
Beim Verschieben des Kommas soll sich das Ergebnis nicht ändern. Wird also die Zehnerpotenz größer, muss die Zahl kleiner werden und umgekehrt.
LösungZusammenfassung der Rechengesetze:
- Zur Berechnung von Einwohnerdichten mit der wissenschaftlichen Schreibweise muss Familie Fuchs wissen, wie man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert und dividiert.
- Wollen sie Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, können sie einfach die Exponenten addieren:
Das Potenzgesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis lautet:
$10^a \cdot 10^b =10^{a+b}$
- Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis müssen sie die Exponenten subtrahieren:
Das Potenzgesetz zur Division von Potenzen mit gleicher Basis lautet:
$\frac{10^a}{10^b} =10^{a-b}$
- Außerdem dürfen sie bei jeder Multiplikation die Faktoren vertauschen:
Mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation wird diese Aussage klar:
$a \cdot b = b \cdot a$
- In der wissenschaftlichen Schreibweise steht genau eine Ziffer vor dem Komma. Die Größenordnung wird als Zehnerpotenz angegeben:
Man benutzt die wissenschaftliche Schreibweise, um sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlicher darzustellen. Dabei wird die Zahl mit einer Ziffer vor dem Komma und die Größenordnung als Zehnerpotenz geschrieben.
- Multipliziert Familie Fuchs eine Dezimalzahl mit einer positiven Zehnerpotenz, verschiebt sie das Komma der Dezimalzahl nach rechts:
Beim Verschieben des Kommas soll das Ergebnis immer gleich bleiben. Multipliziert man also mit einer Zehnerpotenz größer als eins, muss die Zahl größer werden. Deshalb verschiebt man hier das Komma nach rechts.
- Multipliziert sie eine Dezimalzahl mit einer negativen Zehnerpotenz, verschiebt sie das Komma der Dezimalzahl nach links:
Beim Verschieben des Kommas soll das Ergebnis immer gleich bleiben. Multipliziert man also mit einer Zehnerpotenz kleiner als eins, muss die Zahl kleiner werden. Deshalb verschiebt man hier das Komma nach links.
-
Beschreibe die Berechnung der Gesamtanzahl der Füchse.
TippsAls Erstes solltest du dir überlegen, was du in dieser Aufgabe berechnen willst. Erst dann kannst du darüber nachdenken, welche Schritte du dafür abarbeiten musst.
Es ist unser Ziel, die Rechnung Schritt für Schritt zu vereinfachen, sodass das Ergebnis am Ende leicht auszurechnen ist.
Für Multiplikationen gilt:
$a\cdot b = b \cdot a$
LösungBevor du anfängst zu rechnen, solltest du dir immer überlegen, was du überhaupt berechnen willst. In diesem Fall ist das die Anzahl der Füchse.
Um die Anzahl der Füchse zu bestimmen, müssen wir die Einwohnerdichte mit der Fläche multiplizieren:
$~7,\!5 \cdot 10^2 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot 3,\!2 \cdot 10^3~\text{km}^2$
Mit dem Kommutativgesetz können wir die einzelnen Faktoren vertauschen, sodass ähnliche Faktoren nebeneinander stehen. Dann fällt uns das Rechnen deutlich leichter. Deshalb sieht der zweite Schritt folgendermaßen aus:
$7,\!5 \cdot 3,\!2 \cdot 10^2 \cdot 10^3 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot \text{km}^2$
Jetzt können wir die Werte nacheinander multiplizieren. Wir gehen der Reihe nach vor und beginnen mit den Dezimalzahlen:
$=24 \cdot 10^2 \cdot 10^3 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot \text{km}^2$
Danach sind die Zehnerpotenzen dran:
$=24 \cdot 10^5 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot \text{km}^2$
Und als Letztes werden die Einheiten ausgewertet:
$=24 \cdot 10^5 ~\text{Füchse}$
Nun wandeln wir das Ergebnis noch in die wissenschaftliche Schreibweise um. Dabei steht genau eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma:
$=2,\!4 \cdot 10^6 ~\text{Füchse}$
Also lautet unser abschließender Antwortsatz:
Die Anzahl der Füchse in wissenschaftlicher Schreibweise beträgt also $2,\!4 \cdot 10^6$.
-
Bestimme, welche Aussagen wahr sind.
TippsEine Einwohnerdichte gibt an, wie viele Personen auf einer bestimmten Fläche wohnen.
Eine Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise enthält immer eine Zehnerpotenz.
Einzige Ausnahme: Für eine Zahl zwischen $1$ und $10$ wird die Zehnerpotenz $10^0=1$ in der Regel nicht aufgeschrieben.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- Eine Einwohnerdichte berechnet man, indem man die Anzahl der Einwohner durch die Fläche teilt.
- Beim Teilen von Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise muss man Exponenten voneinander abziehen.
- Um aus einer Einwohnerdichte die gesamte Anzahl an Füchsen zu erhalten, muss man die Dichte mit der Fläche multiplizieren.
Diese Aussagen sind falsch:
- $\frac{\text{Füchse}^2}{\text{km}}$ ist eine Einheit der Einwohnerdichte.
- Will man Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise verrechnen, dann schreibt man sie zuerst zu Dezimalzahlen um.
-
Bestimme die Ergebnisse in der wissenschaftlichen Schreibweise.
TippsIn der wissenschaftlichen Schreibweise steht eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma.
Beachte doppelte Minuszeichen.
LösungUm die Elemente zu verbinden, musst du die Lösungen bestimmen.
Die erste Rechnung lautet:
$(3 \cdot 10^2) \cdot (4 \cdot 10^3)$
$=3 \cdot 4 \cdot 10^3 \cdot 10^2$
$=12 \cdot 10^3 \cdot 10^2$
$=12 \cdot 10^{3+2}$
$=12 \cdot 10^5$
$=1,\!2 \cdot 10^6$
Danach berechnest du:
$\frac{5 \cdot 10^1}{2\cdot 10^5}$
$= \frac{5}{2} \cdot \frac{10^1}{10^5}$
$=2,\!5 \cdot 10^{1-5}$
$=2,\!5 \cdot 10^{-4}$
Die anderen Rechnungen können nach dem gleichen Schema durchgeführt werden.
Es ergibt sich:
$(2,\!2 \cdot 10^2) \cdot (3 \cdot 10^{-1})=6,\!6 \cdot 10^1$
und:
$\frac{6 \cdot 10^{-2}}{3\cdot 10^{-3}}=2 \cdot 10^1$
Beachte: $(-2)-(-3)=1$.
-
Gib an, welche Aussagen wahr sind.
TippsIn der Physik wird die wissenschaftliche Schreibweise angewendet, um die Größenordnung von Zahlen übersichtlich darzustellen.
In der Mathematik verrechnet man ähnliche Dinge zuerst.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- Die wissenschaftliche Schreibweise ist gut dafür geeignet, sehr große und sehr kleine Zahlen übersichtlich darzustellen.
- Beim Rechnen in der wissenschaftlichen Schreibweise ist es empfehlenswert, die Dezimalzahlen und die Zehnerpotenzen getrennt zu multiplizieren.
Diese Aussagen sind falsch:
- Die Zahl $23 \cdot 10^{-3}$ steht in der wissenschaftlichen Schreibweise.
- Eine Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise hat zwei Ziffern vor dem Komma.
- Weil die Dezimalzahlen und die Zehnerpotenzen zusammengehören, sollte man sie nicht getrennt ausrechnen.
-
Untersuche das Konzept der physikalischen Dichte.
TippsBeachte, dass $10^0=1$ gilt.
Wird eine Zahl mit eins multipliziert, dann kann man die Eins auch weglassen.
LösungUm verschiedene Gesteine zu unterscheiden, kann man ihre Dichte betrachten. Die Dichte $\rho$ ergibt sich, indem man die Masse $m$ eines Stoffes durch sein Volumen $V$ teilt:
$\rho=\dfrac{m}{V}$
Wie in der Gleichung ersichtlich, ergibt sich die Dichte durch Teilen der Masse durch das Volumen.
Um die richtige Zahl einzusetzen, muss man die Rechnung ausführen:
$\rho= \dfrac{5 \cdot 10^{2} ~\text{g}}{6,4 \cdot 10^{1} ~\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$
$=\dfrac{5 }{6,\!4} \cdot \dfrac{10^{2}}{10^{1}} ~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$
$=0,\!78 \cdot \dfrac{10^{2}}{10^{1}} ~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$
$=0,\!78 \cdot 10^{1} ~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$
$=7,\!8 ~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Zuerst findet Familie Fuchs ein Stück Eisen, das $5 \cdot 10^{2} ~\text{g}$ wiegt und ein Volumen von $6,\!4 \cdot 10^{1} ~\text{cm}^3$ hat. Die Dichte beträgt also:
$\rho=\dfrac{m}{V} = \dfrac{5 \cdot 10^{2} ~\text{g}}{6,\!4 \cdot 10^{1} ~\text{cm}^3}=7,\!8~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Auch hier muss die Rechnung ausgeführt werden:
$m=2 \cdot 5 \cdot 10^{3} ~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$
$m=10 \cdot 10^{3} ~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$
$m=1\cdot 10^{4} ~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$
$m= 1\cdot 10^4 ~\text{g}$
Beim Graben in ihrem alten Bau haben die Kinder einen Eimer mit einem Volumen von $5 \cdot 10^{3} ~\text{cm}^3$ mit Lehm gefüllt. Die Familie weiß, dass Lehm eine Dichte von $\rho=2 ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat und möchte die Masse des Lehms berechnen:
$\rho=\dfrac{m}{V}~\Leftrightarrow$
$m= \rho \cdot V$
$m=2 ~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 5 \cdot 10^{3} ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$
$m=2 \cdot 5 \cdot 10^{3} ~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$
$m= 1\cdot 10^4 ~\text{g}$
In dem Eimer mit Lehm war auch ein kleines Steinchen Granit. Zu guter Letzt möchte die Familie die Dichte dieses Steinchens berechnen. Es ist $3 \cdot 10^{-1} ~\text{g}$ schwer und hat ein Volumen von $1,\!1 \cdot 10^{-1} ~\text{cm}^3$:
$\rho=\dfrac{m}{V} = \dfrac{3 \cdot 10^{-1} ~\text{g}}{1,\!1 \cdot 10^{-1} ~\text{cm}^3}=2,\!7~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
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