Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen

Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen Übung

• Fasse die nötigen Rechengesetze zusammen.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt:

  $a \cdot b = b \cdot a$.

  Man benutzt die wissenschaftliche Schreibweise, um sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlicher darzustellen.

  Beim Verschieben des Kommas soll sich das Ergebnis nicht ändern. Wird also die Zehnerpotenz größer, muss die Zahl kleiner werden und umgekehrt.

  Lösung

  Zusammenfassung der Rechengesetze:

  • Zur Berechnung von Einwohnerdichten mit der wissenschaftlichen Schreibweise muss Familie Fuchs wissen, wie man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert und dividiert.

  Die wissenschaftliche Schreibweise stellt die Größenordnung einer Zahl übersichtlich dar. Dafür wird die Zahl mit Hilfe einer Zehnerpotenz geschrieben. Um mit der wissenschaftlichen Schreibweise zu rechnen, müssen also die Rechenregeln für Potenzen bekannt sein.

  • Wollen sie Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, können sie einfach die Exponenten addieren:

  $10^2 \cdot 10^3 =10^5$ Das Potenzgesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis lautet:

  $10^a \cdot 10^b =10^{a+b}$.

  • Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis müssen sie die Exponenten subtrahieren:

  $\frac{10^1}{10^2} =10^{-1}$.

  Das Potenzgesetz zur Division von Potenzen mit gleicher Basis lautet:

  $\frac{10^a}{10^b} =10^{a-b}$.

  • Außerdem dürfen sie bei jeder Multiplikation die Faktoren vertauschen:

  $7,5 \cdot 10^2 \cdot 3,2 \cdot 10^3 = 7,5 \cdot 3,2 \cdot 10^2 \cdot 10^3=$ {$24 \cdot 10^5$}.

  Mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation wird diese Aussage klar:

  $a \cdot b = b \cdot a$.

  • In der wissenschaftlichen Schreibweise steht genau eine Ziffer vor dem Komma. Die Größenordnung wird als Zehnerpotenz angegeben:

  $24 \cdot 10^5 = 2,4 \cdot 10^6$.

  Man benutzt die wissenschaftliche Schreibweise, um sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlicher darzustellen. Dabei wird die Zahl mit einer Ziffer vor dem Komma geschrieben und die Größenordnung als Zehnerpotenz geschrieben.

  • Multipliziert Familie Fuchs eine Dezimalzahl mit einer positiven Zehnerpotenz, verschiebt sie das Komma der Dezimalzahl nach rechts:

  $ 2,4 \cdot 10^6 =2400000$ Beim Verschieben des Kommas soll das Ergebnis immer gleich bleiben. Multipliziert man also mit einer Zehnerpotenz größer als Eins, muss die Zahl größer werden. Deshalb verschiebt man hier das Komma nach rechts.

  • Multipliziert sie eine Dezimalzahl mit einer negativen Zehnerpotenz, verschiebt sie das Komma der Dezimalzahl nach links:

  $ 2,5 \cdot 10^{-1} =0,25 $

  Beim Verschieben des Kommas soll das Ergebnis immer gleich bleiben. Multipliziert man also mit einer Zehnerpotenz kleiner als Eins, muss die Zahl kleiner werden. Deshalb verschiebt man hier das Komma nach links.

• Beschreibe die Berechnung der Gesamtanzahl der Füchse.

  Tipps

  Als erstes solltest du dir überlegen, was du in dieser Aufgabe berechnen willst. Erst dann kannst du darüber nachdenken, welche Schritte du dafür abarbeiten musst.

  Es ist unser Ziel, die Rechnung Schritt für Schritt zu vereinfachen, sodass das Ergebnis am Ende leicht auszurechnen ist.

  Für Multiplikationen gilt:

  $a\cdot b = b \cdot a$.

  Lösung

  Bevor du anfängst zu rechnen, solltest du dir immer überlegen, was du überhaupt berechnen willst. In diesem Fall ist das die Anzahl der Füchse.

  • Um die Anzahl der Füchse zu bestimmen, müssen wir die Einwohnerdichte mit der Fläche multiplizieren: $~7,5 \cdot 10^2 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot 3,2 \cdot 10^3~\text{km}^2$.

  Mit dem Kommutativgesetz können wir die einzelnen Faktoren vertauschen, so dass ähnliche Faktoren nebeneinander stehen. Dann fällt uns das Rechnen deutlich leichter. Deshalb sieht der zweite Schritt folgendermaßen aus:

  • $7,5 \cdot 3,2 \cdot 10^2 \cdot 10^3 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot \text{km}^2$.

  Jetzt können wir die Werte nacheinander multiplizieren. Wir gehen der Reihe nach vor und beginnen mit den Dezimalzahlen:

  • $=24 \cdot 10^2 \cdot 10^3 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot \text{km}^2$.

  Danach sind die Zehnerpotenzen dran:

  • $=24 \cdot 10^5 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot \text{km}^2$.

  Und als letztes werden die Einheiten ausgewertet:

  • $=24 \cdot 10^5 ~\text{Füchse}$.

  Jetzt wandeln wir das Ergebnis noch in die wissenschaftliche Schreibweise um. Dabei steht genau eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma:

  • $=2,4 \cdot 10^6 ~\text{Füchse}$.

  Also lautet unser abschließender Antwortsatz:

  • Die Anzahl der Füchse in wissenschaftlicher Schreibweise beträgt also $2,4 \cdot 10^6$.

• Bestimme, welche Aussagen wahr sind.

  Tipps

  Eine Einwohnerdichte gibt an, wie viele Personen auf einer bestimmten Fläche wohnen.

  Eine Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise enthält immer eine Zehnerpotenz. (Einzige Ausnahme: Für eine Zahl zwischen $1$ und $10$ wird die Zehnerpotenz $10^0=1$ in der Regel nicht aufgeschrieben.)

  Lösung

  Diese Aussagen sind wahr:

  • Eine Einwohnerdichte berechnet man, indem man die Anzahl der Einwohner durch die Fläche teilt.

  Eine Einwohnerdichte gibt an wie viele Personen in einer bestimmten Fläche wohnen. Um das zu berechnen, musst du die Einwohner durch die Fläche teilen.

  • Beim Teilen von Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise muss man Exponenten von einander abziehen.

  Da Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise fast immer Potenzen enthalten, musst du beim Teilen dieser Zahlen Potenzen von einander abziehen.

  • Um aus einer Einwohnerdichte die gesamte Anzahl an Füchsen zu erhalten, muss man die Dichte mit der Fläche multiplizieren.

  Eine Einwohnerdichte gibt an wie viele Personen in einer bestimmten Fläche wohnen. Um also aus der Dichte die Anzahl der Personen zu bestimmen, musst du die Dichte mit der Fläche multiplizieren.

  $~$

  Diese Aussagen sind falsch:

  • $\frac{\text{Füchse}^2}{\text{km}}$ ist eine Einheit der Einwohnerdichte.

  $\text{km}$ ist keine Flächeneinheit. Außerdem ist unbekannt, was Quadratfüchse sein sollen. Also kann $\frac{\text{Füchse}^2}{\text{km}}$ keine Einwohnerdichte beschreiben.

  • Will man Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise verrechnen, dann schreibt man sie zuerst zu Dezimalzahlen um.

  Die Berechnung von Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise ist viel einfacher, wenn du sie nicht umschreibst.

• Bestimme die Ergebnisse in der wissenschaftlichen Schreibweise.

  Tipps

  In der wissenschaftlichen Schreibweise steht eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma.

  Beachte doppelte Minuszeichen.

  Lösung

  Um die Elemente zu verbinden, musst du die Lösungen bestimmen.

  Die erste Rechnung lautet:

  $(3 \cdot 10^2) \cdot (4 \cdot 10^3)$

  $=3 \cdot 4 \cdot 10^3 \cdot 10^2 $

  $=12 \cdot 10^3 \cdot 10^2 $

  $=12 \cdot 10^{3+2} $

  $=12 \cdot 10^5 $

  $=1,2 \cdot 10^6 $

  Danach berechnest du:

  $\frac{5 \cdot 10^1}{2\cdot 10^5}$

  $= \frac{5}{2} \cdot \frac{10^1}{10^5}$

  $=2,5 \cdot 10^{1-5}$

  $=2,5 \cdot 10^{-4}$

  Die anderen Rechnungen können nach dem gleichen Schema durchgeführt werden.

  Es ergibt sich:

  $(2,2 \cdot 10^2) \cdot (3 \cdot 10^{-1})=6,6 \cdot 10^1$

  und:

  $\frac{6 \cdot 10^{-2}}{3\cdot 10^{-3}}=2 \cdot 10^1$

  (Beachte: $(-2)-(-3)=1$).

• Gib an, welche Aussagen wahr sind.

  Tipps

  In der Physik wird die wissenschaftliche Schreibweise angewandt, um die Größenordnung von Zahlen übersichtlich darzustellen.

  In der Mathematik verrechnet man ähnliche Dinge zuerst.

  Lösung

  Diese Aussagen sind wahr:

  • Die wissenschaftliche Schreibweise ist gut dafür geeignet, sehr große und sehr kleine Zahlen übersichtlich darzustellen.

  Die wissenschaftliche Schreibweise perfekt zum Darstellen von Zahlen verschiedener Größenordnungen.

  • Beim Rechnen in der wissenschaftlichen Schreibweise ist es empfehlenswert, die Dezimalzahlen und die Zehnerpotenzen getrennt zu multiplizieren.

  Um einfacher mit der wissenschaftlichen Schreibweise rechnen zu können, berechnet man die einzelnen Komponenten der Zahl getrennt.

  $~$

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Die Zahl $23 \cdot 10^{-3}$ steht in der wissenschaftlichen Schreibweise.

  In der wissenschaftlichen Schreibweise steht nur eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma.

  • Eine Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise hat zwei Ziffern vor dem Komma.

  In der wissenschaftlichen Schreibweise steht nur eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma.

  *Weil die Dezimalzahlen und die Zehnerpotenzen zusammengehören, sollte man sie nicht getrennt ausrechnen.

  Um einfacher mit der wissenschaftlichen Schreibweise rechnen zu können, berechnet man die einzelnen Komponenten der Zahl getrennt.

• Untersuche das Konzept der physikalischen Dichte.

  Tipps

  Beachte, dass $10^0=1$ gilt.

  Wird eine Zahl mit Eins multipliziert, dann kann man die Eins auch weglassen.

  Lösung

  Um verschiedene Gesteine zu unterscheiden, kann man ihre Dichte betrachten. Die Dichte $\rho$ ergibt sich, indem man die Masse $m$ eines Stoffes durch sein Volumen $V$ teilt.

  $\rho=\frac{m}{V}$

  Wie in der Gleichung ersichtlich, ergibt sich die Dichte durch Teilen der Masse durch das Volumen.

  Um die richtige Zahl einzusetzen, muss man die Rechnung ausführen:

  $\rho= \frac{5 \cdot 10^{2} ~\text{g}}{6,4 \cdot 10^{1} ~\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$

  $=\frac{5 }{6,4} \cdot \frac{10^{2}}{10^{1}} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$

  $=0,78 \cdot \frac{10^{2}}{10^{1}} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$

  $=0,78 \cdot 10^{1} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$

  $=7,8 ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

  Zuerst findet Familie Fuchs ein Stück Eisen, das $5 \cdot 10^{2} ~\text{g}$ wiegt und ein Volumen von $6,4 \cdot 10^{1} ~\text{cm}^3$ hat. Die Dichte beträgt also:

  $\rho=\frac{m}{V} = \frac{5 \cdot 10^{2} ~\text{g}}{6,4 \cdot 10^{1} ~\text{cm}^3}=7,8~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.

  Auch hier muss die Rechnung ausgeführt werden:

  $m=2 \cdot 5 \cdot 10^{3} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

  $m=10 \cdot 10^{3} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

  $m=1\cdot 10^{4} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

  $m= 1\cdot 10^4 ~\text{g}$

  Beim Graben in ihrem alten Bau haben die Kinder einen Eimer mit einem Volumen von $5 \cdot 10^{3} ~\text{cm}^3$ mit Lehm gefüllt. Die Familie weiß, dass Lehm eine Dichte von $\rho=2 ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat und möchte die Masse des Lehms berechnen.

  $\rho=\frac{m}{V}~\Leftrightarrow$

  $m= \rho \cdot V$

  $m=2 ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 5 \cdot 10^{3} ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

  $m=2 \cdot 5 \cdot 10^{3} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

  $m= 1\cdot 10^4 ~\text{g}$

  In dem Eimer mit Lehm war auch ein kleines Steinchen Granit. Zu guter Letzt möchte die Familie die Dichte dieses Steinchens berechnen. Es ist $3 \cdot 10^{-1} ~\text{g}$ schwer und hat ein Volumen von $1,1 \cdot 10^{-1} ~\text{cm}^3$.

  $\rho=\frac{m}{V} = \frac{3 \cdot 10^{-1} ~\text{g}}{1,1 \cdot 10^{-1} ~\text{cm}^3}=2,7~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$