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Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen 04:51 min

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Transkript Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen

Herr und Frau Fuchs leben auf dem Land und suchen ein neues Zuhause. Sie engagieren einen Wohnungsmakler. Der hat aber nur Fuchsbaue in einer nahegelegenen Stadt anzubieten. Familie Fuchs will aber nicht in der Stadt leben, denn Herr Fuchs ist es dort zu überfüllt. Er ist Künstler und braucht viel Platz für seine Arbeit. Aber die Familie wird immer größer und ihr Fuchsbau platzt langsam aus allen Nähten, also können sie nicht zu wählerisch sein. Der Makler versichert ihnen, dass der neue Fuchsbau in der Stadt sehr schön und familienfreundlich sei. Er erklärt ihnen auch, dass ihr Dorf eine Einwohnerdichte von 750 Füchsen pro Quadratkilometer habe und demzufolge viel überfüllter als die Stadt sei. So leicht lassen sich Herr und Frau Fuchs nicht überzeugen. Sie wollen genau wissen, wie viele Füchse in ihrer Wohngegend leben. Um das zu berechnen, musst du die Einwohnerdichte mit der Fläche der Wohngegend multiplizieren. Zuerst notierst du die Einwohnerdichte in wissenschaftlicher Schreibweise. Dann multiplizierst du sie mit der Fläche. Dazu kannst du die Gleichung entsprechend dem Kommutativgesetz umstellen. Okay, das sieht doch schon einfacher aus. Immer der Reihe nach rechnest du zunächst 102 * 103. Da die Basen gleich sind, kannst du einfach die Exponenten addieren. Das ergibt dann 105. Jetzt multiplizierst du die Koeffizienten. 7,5 * 3,2 = 24. Du kannst die Gleichung also als 24 * 105 schreiben oder in der wissenschaftlichen Schreibweise als 2,4 * 106. In Dezimalschreibweise ist das 2.400.000 - Wow, das sind ja ne Menge Füchse! Um Familie Fuchs vom Fuchsbau in der Stadt zu überzeugen, bombardiert der Makler sie mit Zahlen und Fakten. Er sagt, die Stadt habe eine Fläche von 3,8 mal 102 km2. Obwohl er bisher bereits Apartments an 95 Füchse verkauft habe, gebe es zwar noch jede Menge Platz, aber sie müssten sich ganz schnell entscheiden. Er schlägt auch vor, Familie Fuchs sollte die Einwohnerdichte der Stadt berechnen, um sich selbst zu überzeugen. Helfen wir ihnen dabei. Die Anzahl der Einwohner in wissenschaftlicher Schreibweise ist 95 = 9,5 mal 101. Für die Einwohnerdichte teilst du die Einwohnerzahl durch die Fläche. Jetzt stelle die Gleichung so um, dass sie leichter zu berechnen ist. Schon besser. Wie gesagt, immer der Reihe nach: Zuerst vereinfachst du die Exponenten. Wenn du Potenzen mit gleicher Basis dividierst, subtrahierst du den Exponenten des Nenners vom Exponenten des Zählers. Also 1 - 2. Jetzt dividierst du die Koeffizienten. Und schon steht die Gleichung in der wissenschaftlichen Schreibweise: Das Ergbnis in wissenschaftlicher Schreibweise lautet: 2,5 * 10-1. Da der Exponent negativ ist, musst du das Komma um eine Stelle nach links verschieben, um die Zahl in Dezimalschreibweise anzugeben. Die Stadt hat eine Einwohnerdichte von 0,25 Füchsen pro Quadratkilometer. Das überzeugt Familie Fuchs. Sie packen ihre Sachen und ziehen um. Jetzt haben sie wirklich jede Menge Platz. Eine winzige, aber wichtige Kleinigkeit hat der Makler jedoch nicht erwähnt...

1 Kommentar
  1. bester Video danke

    Von Champions Eros, vor 8 Monaten

Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wissenschaftliche Schreibweise – Rechenoperationen kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse die nötigen Rechengesetze zusammen.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt:

    $a \cdot b = b \cdot a$.

    Man benutzt die wissenschaftliche Schreibweise, um sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlicher darzustellen.

    Beim Verschieben des Kommas soll sich das Ergebnis nicht ändern. Wird also die Zehnerpotenz größer, muss die Zahl kleiner werden und umgekehrt.

    Lösung

    Zusammenfassung der Rechengesetze:

    • Zur Berechnung von Einwohnerdichten mit der wissenschaftlichen Schreibweise muss Familie Fuchs wissen, wie man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert und dividiert.
    Die wissenschaftliche Schreibweise stellt die Größenordnung einer Zahl übersichtlich dar. Dafür wird die Zahl mit Hilfe einer Zehnerpotenz geschrieben. Um mit der wissenschaftlichen Schreibweise zu rechnen, müssen also die Rechenregeln für Potenzen bekannt sein.

    • Wollen sie Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, können sie einfach die Exponenten addieren:
    $10^2 \cdot 10^3 =10^5$ Das Potenzgesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis lautet:

    $10^a \cdot 10^b =10^{a+b}$.

    • Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis müssen sie die Exponenten subtrahieren:
    $\frac{10^1}{10^2} =10^{-1}$.

    Das Potenzgesetz zur Division von Potenzen mit gleicher Basis lautet:

    $\frac{10^a}{10^b} =10^{a-b}$.

    • Außerdem dürfen sie bei jeder Multiplikation die Faktoren vertauschen:
    $7,5 \cdot 10^2 \cdot 3,2 \cdot 10^3 = 7,5 \cdot 3,2 \cdot 10^2 \cdot 10^3=$ {$24 \cdot 10^5$}.

    Mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation wird diese Aussage klar:

    $a \cdot b = b \cdot a$.

    • In der wissenschaftlichen Schreibweise steht genau eine Ziffer vor dem Komma. Die Größenordnung wird als Zehnerpotenz angegeben:
    $24 \cdot 10^5 = 2,4 \cdot 10^6$.

    Man benutzt die wissenschaftliche Schreibweise, um sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlicher darzustellen. Dabei wird die Zahl mit einer Ziffer vor dem Komma geschrieben und die Größenordnung als Zehnerpotenz geschrieben.

    • Multipliziert Familie Fuchs eine Dezimalzahl mit einer positiven Zehnerpotenz, verschiebt sie das Komma der Dezimalzahl nach rechts:
    $ 2,4 \cdot 10^6 =2400000$ Beim Verschieben des Kommas soll das Ergebnis immer gleich bleiben. Multipliziert man also mit einer Zehnerpotenz größer als Eins, muss die Zahl größer werden. Deshalb verschiebt man hier das Komma nach rechts.
    • Multipliziert sie eine Dezimalzahl mit einer negativen Zehnerpotenz, verschiebt sie das Komma der Dezimalzahl nach links:
    $ 2,5 \cdot 10^{-1} =0,25 $

    Beim Verschieben des Kommas soll das Ergebnis immer gleich bleiben. Multipliziert man also mit einer Zehnerpotenz kleiner als Eins, muss die Zahl kleiner werden. Deshalb verschiebt man hier das Komma nach links.

  • Gib an, welche Aussagen wahr sind.

    Tipps

    In der Physik wird die wissenschaftliche Schreibweise angewandt, um die Größenordnung von Zahlen übersichtlich darzustellen.

    In der Mathematik verrechnet man ähnliche Dinge zuerst.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Die wissenschaftliche Schreibweise ist gut dafür geeignet, sehr große und sehr kleine Zahlen übersichtlich darzustellen.
    Die wissenschaftliche Schreibweise perfekt zum Darstellen von Zahlen verschiedener Größenordnungen.

    • Beim Rechnen in der wissenschaftlichen Schreibweise ist es empfehlenswert, die Dezimalzahlen und die Zehnerpotenzen getrennt zu multiplizieren.
    Um einfacher mit der wissenschaftlichen Schreibweise rechnen zu können, berechnet man die einzelnen Komponenten der Zahl getrennt.

    $~$

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Die Zahl $23 \cdot 10^{-3}$ steht in der wissenschaftlichen Schreibweise.
    In der wissenschaftlichen Schreibweise steht nur eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma.

    • Eine Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise hat zwei Ziffern vor dem Komma.
    In der wissenschaftlichen Schreibweise steht nur eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma.

    *Weil die Dezimalzahlen und die Zehnerpotenzen zusammengehören, sollte man sie nicht getrennt ausrechnen.

    Um einfacher mit der wissenschaftlichen Schreibweise rechnen zu können, berechnet man die einzelnen Komponenten der Zahl getrennt.

  • Beschreibe die Berechnung der Gesamtanzahl der Füchse.

    Tipps

    Als erstes solltest du dir überlegen, was du in dieser Aufgabe berechnen willst. Erst dann kannst du darüber nachdenken, welche Schritte du dafür abarbeiten musst.

    Es ist unser Ziel, die Rechnung Schritt für Schritt zu vereinfachen, sodass das Ergebnis am Ende leicht auszurechnen ist.

    Für Multiplikationen gilt:

    $a\cdot b = b \cdot a$.

    Lösung

    Bevor du anfängst zu rechnen, solltest du dir immer überlegen, was du überhaupt berechnen willst. In diesem Fall ist das die Anzahl der Füchse.

    • Um die Anzahl der Füchse zu bestimmen, müssen wir die Einwohnerdichte mit der Fläche multiplizieren: $~7,5 \cdot 10^2 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot 3,2 \cdot 10^3~\text{km}^2$.
    Mit dem Kommutativgesetz können wir die einzelnen Faktoren vertauschen, so dass ähnliche Faktoren nebeneinander stehen. Dann fällt uns das Rechnen deutlich leichter. Deshalb sieht der zweite Schritt folgendermaßen aus:

    • $7,5 \cdot 3,2 \cdot 10^2 \cdot 10^3 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot \text{km}^2$.
    Jetzt können wir die Werte nacheinander multiplizieren. Wir gehen der Reihe nach vor und beginnen mit den Dezimalzahlen:

    • $=24 \cdot 10^2 \cdot 10^3 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot \text{km}^2$.
    Danach sind die Zehnerpotenzen dran:

    • $=24 \cdot 10^5 \frac{\text{Füchse}}{\text{km}^2} \cdot \text{km}^2$.
    Und als letztes werden die Einheiten ausgewertet:

    • $=24 \cdot 10^5 ~\text{Füchse}$.
    Jetzt wandeln wir das Ergebnis noch in die wissenschaftliche Schreibweise um. Dabei steht genau eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma:

    • $=2,4 \cdot 10^6 ~\text{Füchse}$.
    Also lautet unser abschließender Antwortsatz:

    • Die Anzahl der Füchse in wissenschaftlicher Schreibweise beträgt also $2,4 \cdot 10^6$.
  • Untersuche das Konzept der physikalischen Dichte.

    Tipps

    Beachte, dass $10^0=1$ gilt.

    Wird eine Zahl mit Eins multipliziert, dann kann man die Eins auch weglassen.

    Lösung

    Um verschiedene Gesteine zu unterscheiden, kann man ihre Dichte betrachten. Die Dichte $\rho$ ergibt sich, indem man die Masse $m$ eines Stoffes durch sein Volumen $V$ teilt.

    $\rho=\frac{m}{V}$

    Wie in der Gleichung ersichtlich, ergibt sich die Dichte durch Teilen der Masse durch das Volumen.

    Um die richtige Zahl einzusetzen, muss man die Rechnung ausführen:

    $\rho= \frac{5 \cdot 10^{2} ~\text{g}}{6,4 \cdot 10^{1} ~\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$

    $=\frac{5 }{6,4} \cdot \frac{10^{2}}{10^{1}} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$

    $=0,78 \cdot \frac{10^{2}}{10^{1}} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$

    $=0,78 \cdot 10^{1} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}~\Leftrightarrow$

    $=7,8 ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

    Zuerst findet Familie Fuchs ein Stück Eisen, das $5 \cdot 10^{2} ~\text{g}$ wiegt und ein Volumen von $6,4 \cdot 10^{1} ~\text{cm}^3$ hat. Die Dichte beträgt also:

    $\rho=\frac{m}{V} = \frac{5 \cdot 10^{2} ~\text{g}}{6,4 \cdot 10^{1} ~\text{cm}^3}=7,8~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.

    Auch hier muss die Rechnung ausgeführt werden:

    $m=2 \cdot 5 \cdot 10^{3} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

    $m=10 \cdot 10^{3} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

    $m=1\cdot 10^{4} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

    $m= 1\cdot 10^4 ~\text{g}$

    Beim Graben in ihrem alten Bau haben die Kinder einen Eimer mit einem Volumen von $5 \cdot 10^{3} ~\text{cm}^3$ mit Lehm gefüllt. Die Familie weiß, dass Lehm eine Dichte von $\rho=2 ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat und möchte die Masse des Lehms berechnen.

    $\rho=\frac{m}{V}~\Leftrightarrow$

    $m= \rho \cdot V$

    $m=2 ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 5 \cdot 10^{3} ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

    $m=2 \cdot 5 \cdot 10^{3} ~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot ~\text{cm}^3 ~\Leftrightarrow$

    $m= 1\cdot 10^4 ~\text{g}$

    In dem Eimer mit Lehm war auch ein kleines Steinchen Granit. Zu guter Letzt möchte die Familie die Dichte dieses Steinchens berechnen. Es ist $3 \cdot 10^{-1} ~\text{g}$ schwer und hat ein Volumen von $1,1 \cdot 10^{-1} ~\text{cm}^3$.

    $\rho=\frac{m}{V} = \frac{3 \cdot 10^{-1} ~\text{g}}{1,1 \cdot 10^{-1} ~\text{cm}^3}=2,7~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

  • Bestimme, welche Aussagen wahr sind.

    Tipps

    Eine Einwohnerdichte gibt an, wie viele Personen auf einer bestimmten Fläche wohnen.

    Eine Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise enthält immer eine Zehnerpotenz. (Einzige Ausnahme: Für eine Zahl zwischen $1$ und $10$ wird die Zehnerpotenz $10^0=1$ in der Regel nicht aufgeschrieben.)

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Eine Einwohnerdichte berechnet man, indem man die Anzahl der Einwohner durch die Fläche teilt.
    Eine Einwohnerdichte gibt an wie viele Personen in einer bestimmten Fläche wohnen. Um das zu berechnen, musst du die Einwohner durch die Fläche teilen.
    • Beim Teilen von Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise muss man Exponenten von einander abziehen.
    Da Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise fast immer Potenzen enthalten, musst du beim Teilen dieser Zahlen Potenzen von einander abziehen.
    • Um aus einer Einwohnerdichte die gesamte Anzahl an Füchsen zu erhalten, muss man die Dichte mit der Fläche multiplizieren.
    Eine Einwohnerdichte gibt an wie viele Personen in einer bestimmten Fläche wohnen. Um also aus der Dichte die Anzahl der Personen zu bestimmen, musst du die Dichte mit der Fläche multiplizieren.

    $~$

    Diese Aussagen sind falsch:

    • $\frac{\text{Füchse}^2}{\text{km}}$ ist eine Einheit der Einwohnerdichte.
    $\text{km}$ ist keine Flächeneinheit. Außerdem ist unbekannt, was Quadratfüchse sein sollen. Also kann $\frac{\text{Füchse}^2}{\text{km}}$ keine Einwohnerdichte beschreiben.
    • Will man Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise verrechnen, dann schreibt man sie zuerst zu Dezimalzahlen um.
    Die Berechnung von Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise ist viel einfacher, wenn du sie nicht umschreibst.
  • Bestimme die Ergebnisse in der wissenschaftlichen Schreibweise.

    Tipps

    In der wissenschaftlichen Schreibweise steht eine Ziffer von $1$ bis $9$ vor dem Komma.

    Beachte doppelte Minuszeichen.

    Lösung

    Um die Elemente zu verbinden, musst du die Lösungen bestimmen.

    Die erste Rechnung lautet:

    $(3 \cdot 10^2) \cdot (4 \cdot 10^3)$

    $=3 \cdot 4 \cdot 10^3 \cdot 10^2 $

    $=12 \cdot 10^3 \cdot 10^2 $

    $=12 \cdot 10^{3+2} $

    $=12 \cdot 10^5 $

    $=1,2 \cdot 10^6 $

    Danach berechnest du:

    $\frac{5 \cdot 10^1}{2\cdot 10^5}$

    $= \frac{5}{2} \cdot \frac{10^1}{10^5}$

    $=2,5 \cdot 10^{1-5}$

    $=2,5 \cdot 10^{-4}$

    Die anderen Rechnungen können nach dem gleichen Schema durchgeführt werden.

    Es ergibt sich:

    $(2,2 \cdot 10^2) \cdot (3 \cdot 10^{-1})=6,6 \cdot 10^1$

    und:

    $\frac{6 \cdot 10^{-2}}{3\cdot 10^{-3}}=2 \cdot 10^1$

    (Beachte: $(-2)-(-3)=1$).