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Dezimalbrüche multiplizieren 05:36 min

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Transkript Dezimalbrüche multiplizieren

Zaubermeister Gilbert der Graue steht vor einer neuen Herausforderung. Er geht in seinen Lieblingszaubertrankfachhandel, um einige Zutaten für einen ganz besonderen Zaubertrank zu besorgen. Auch ein exzellenter Zauberer wie Gilbert muss seine Ausgaben im Blick haben und mit Dezimalbrüchen multiplizieren können. Er erkundigt sich zunächst nach 0,75 kg vierpunktigen, fingerlangen Fliegenpilzen. Ein Kilogramm kostet 10 Rubin. Um herauszufinden, wie viel Gilbert für die Fliegenpilze ausgibt, multiplizieren wir 0,75 also mit 10. Bei der Multiplikation mit einer Zehnerpotenz, verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen nach rechts. 0,75 mal 10 ist also 7,5. Die Null am Anfang der Zahl fällt hier weg. Multiplizieren wir 0,75 mit 100, so erhalten wir also 75. Da wir das Komma hier an das Ende der Zahl geschoben haben, fällt es weg. Multiplizieren wir 0,75 mit 1000, so müssen wir am Ende eine Null ergänzen und erhalten 750. Andersherum verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen nach links, wenn du eine Zahl mit 0,1 – 0,01 – 0,001 und so weiter multiplizierst. 0,75 mal 0,1 sind also 0,075. 0,75 mal 0,01 sind 0,0075 und 0,75 mal 0,001 sind 0,00075. Widmen wir uns Gilberts nächster fantastischer Zutat. Er benötigt 5 angebissene Alraunenwurzeln, von denen eine 2 Rubin 98 kostet. Um den Gesamtpreis zu wissen, können wir also schriftlich multiplizieren. Wir multiplizieren stellenweise und können dabei das Komma im ersten Faktor zunächst ignorieren. Wir beginnen also mit 5 mal 8. Das sind 40, wir notieren hier eine 0 und merken uns die 4 als Übertrag. Machen wir weiter mit 5 mal 9. Das sind 45. Addieren wir den Übertrag, also 4, so erhalten wir 49. Wir notieren die 9 und merken uns wieder eine 4 für den Übertrag. Rechnen wir nun 5 mal 2, so erhalten wir 10. Mit dem Übertrag ergibt sich 14. Da dies die letzte Stelle ist, mit der wir rechnen, können wir hier die 14 direkt notieren. Nun dürfen wir nicht vergessen, das Komma im Ergebnis zu setzen. Um das Komma im Ergebnis richtig zu setzen, zählst du einfach, wie viele Nachkommastellen die beiden Faktoren insgesamt besitzen. Hier haben wir nur in einem Faktor Nachkommastellen, und zwar zwei. Das Ergebnis hat demnach zwei Nachkommastellen. Gilbert muss also 14 Rubin 90 für die Alraunenwurzeln ausgeben. Als letztes muss Gilbert noch eine sehr spezielle Zutat erwerben: Er braucht exakt 23,509 Gramm zerstückelte Zyklopen Zehennägel. 1 Gramm kostet 87 Rubin 78. Um den Gesamtpreis herauszufinden, multiplizieren wir schriftlich, rechnen also 23,509 mal 87,78. Wir können die Kommata bei der Rechnung zunächst wieder ignorieren. Multiplizieren wir erst stellenweise und achten dabei wie gewohnt darauf, dass wir die letzte Ziffer des Ergebnisses unter DIE Stelle schreiben, mit der wir rechnen. Addieren wir die Ergebnisse dann noch stellengerecht, so sind wir dem Endergebnis schon sehr nahe. Wir zählen nun die Nachkommastellen beider Faktoren. Das sind 5. Also hat unser Ergebnis 5 Nachkommastellen. Gilbert muss 2063,62002, gerundet also 2063 Rubin 62, für diese besondere Zutat ausgeben. Ganz schön viel. Während Gilbert seinen geheimnisvollen Trank braut, fassen wir zusammen. Bei der Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer Zehnerpotenz, verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen nach rechts. In manchen Fällen musst du außerdem Nullen ergänzen. Multiplizierst du mit 0,1 – 0,01 – 0,001 und so weiter, verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen nach links und ergänzt falls nötig Nullen. Multipliziert man Dezimalbrüche schriftlich miteinander, so ergeben die Nachkommastellen der beiden Faktoren zusammen die Anzahl der Nachkommastellen im Ergebnis. Aber was ist denn nun die Wirkung dieses sagenumwobenen Tranks? Jetzt ist der Zauberer sauberer.

1 Kommentar
  1. super

    Von Romana K., vor 21 Tagen

Dezimalbrüche multiplizieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dezimalbrüche multiplizieren kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Multiplizieren von Dezimalbrüchen.

    Tipps

    Beim Verschieben des Kommas einer Zahl nach rechts wird die Zahl größer.

    Liefert das Komma einer Zahl keine zusätzlichen Informationen, kannst du es weglassen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz größer als $1$ verschiebst du das Komma der Dezimalzahl um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach links.“

    • Beim Verschieben des Kommas nach rechts wird die Zahl größer. Multiplizierst du mit einer Zehnerpotenz größer als $1$, muss das Ergebnis größer werden. Demnach musst du das Komma hier nach rechts verschieben.
    „Multiplizierst du eine Zahl mit $0,001$, musst du das Komma der Zahl um $2$ Stellen nach links verschieben.“

    • Bei der Multiplikation mit Zahlen wie $0,1$; $0,01$; $0,001$; $...$ musst du das Komma um die Anzahl der Nullen (dabei wird auch die Null vor dem Komma mitgezählt) nach links verschieben. Hier sind das drei Stellen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Steht das Komma ganz am Ende einer Zahl, kannst du es weglassen.“

    • In diesem Fall ist der Wert der Nachkommastelle gleich Null. Diese kann somit auch weggelassen werden und somit ist auch das Komma überflüssig.
    „Multiplizierst du zwei Dezimalzahlen, kannst du das Komma zunächst ignorieren und die Lösung stellenweise berechnen. Setze anschließend das Komma so, dass das Ergebnis dieselbe Anzahl an Nachkommastellen hat wie die beiden Faktoren zusammen.“

    • So gehst du bei der Multiplikation von zwei Dezimalzahlen vor.
    „Musst du das Komma um mehr Stellen verschieben, als die Zahl hat, dann kannst du so viele Nullen zu der Zahl hinzufügen, wie du brauchst.“

    • Beispiel $1$: $0,75 \cdot 0,1 = 0,075$ Hier wurde eine Null links hinzugefügt.
    • Beispiel $2$: $0,75 \cdot 1000 = 0750, = 750$ Hier wurde eine Null rechts hinzugefügt.
  • Ergänze die Multiplikation von Dezimalzahlen.

    Tipps

    Du kannst zuerst eine schriftliche Multiplikation durchführen, bei der du die Kommata ignorierst. Dabei multiplizierst du stellenweise und schreibst die hinterste Zahl jedes einzelnen Ergebnisses direkt unter die Stelle, die du gerade berechnest.

    Nachdem du alle Stellen berechnet hast, kannst du die Teilergebnisse zusammenzählen.

    Zuletzt musst du herausfinden, wo das Komma steht. Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

    Lösung

    Du kannst zuerst eine schriftliche Multiplikation durchführen, bei der du die Kommata ignorierst. Dabei multiplizierst du stellenweise und schreibst die hinterste Zahl jedes einzelnen Ergebnisses direkt unter die Stelle, die du gerade berechnest. Nachdem du alle Stellen berechnet hast, kannst du die Teilergebnisse zusammenzählen. Zuletzt musst du herausfinden, wo das Komma steht. Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

  • Beschreibe die Multiplikation von Dezimalbrüchen.

    Tipps

    Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz $>1$ verschiebst du das Komma der Dezimalzahl um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach rechts.

    Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen ignorierst du das Komma zunächst. Anschließend verschiebst du das Komma des Ergebnisses so, dass das Ergebnis dieselbe Anzahl an Nachkommastellen hat wie die beiden ursprünglichen Zahlen zusammen.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Zunächst möchte er $0,75~\text{kg}$ Fliegenpilze kaufen, die $10$ Rubine pro Kilo kosten. Also rechnet er:

    $0,75 \cdot 10=7,5$“

    • Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz verschiebst du das Komma der Dezimalzahl um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach rechts. Hier kannst du also das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben.
    „Würde er $0,75$ mit $0,01$ multiplizieren, dann ergäbe das:

    $0,75 \cdot 0,01=0,0075$“

    • Bei der Multiplikation mit Zahlen wie $0,1$; $0,01$; $0,001$; $...$ musst du das Komma um die Anzahl der Nullen (dabei wird auch die Null vor dem Komma mitgezählt) nach links verschieben. Bei $0,01$ musst du also das Komma um zwei Stellen nach links verschieben.
    „Anschließend möchte er fünf Alraunenwurzeln kaufen, die jeweils $2,98$ Rubine kosten. Also rechnet er:

    $5 \cdot 2,98$

    Hier berechnet er zunächst:

    $5 \cdot 298= 1490$“

    • Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen ignorierst du das Komma zunächst.
    „Anschließend gibt er die Lösung an, indem er das Komma verschiebt:

    $5 \cdot 2,98=14,90$“

    • Das Ergebnis muss dieselbe Anzahl an Nachkommastellen haben wie die beiden Faktoren zusammen. Hier haben die Faktoren zusammen $2$ Nachkommastellen. Also musst du das Komma entsprechend setzen.
  • Erschließe, ob die Rechnungen korrekt durchgeführt wurden.

    Tipps

    Berechne die Multiplikationen einzeln von links nach rechts. Rechne also in der ersten Zeile zuerst:

    $0,04 \cdot 1000$

    und multipliziere das Ergebnis mit $23,54$.

    Lösung

    Berechne die Multiplikationen einzeln von links nach rechts. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch sind:

    • $12,83 \cdot 1,9 \cdot 0,01 \neq 0,377$
    Hier erhältst du für die erste Rechnung:

    $12,83 \cdot 1,9 = 24,377$

    Beachte, dass das Ergebnis dieselbe Anzahl an Nachkommastellen hat wie beide Faktoren zusammen. Da du anschließend mit $0,01$ multiplizierst, musst du das Komma um zwei Stellen nach links verschieben. So erhältst du:

    $ 24,377 \cdot 0,01= 0,24377$

    • $1,59 \cdot 8,23 \cdot 100 \neq 130,857$
    Hier erhältst du für die erste Rechnung:

    $1,59 \cdot 8,23 = 13,0857$

    Wegen der Multiplikation mit $100$ verschieben wir das Komma um zwei Stellen nach rechts:

    $13,0857 \cdot 100 = 1308,57$

    Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

    • $0,04 \cdot 1000 \cdot 23,54=941,6$
    Es bietet sich hier an zunächst das Komma eines Faktors nach links zu verschieben, da mit $1000$ multipliziert wird. Anschließend wird die Multiplikation mit dem übrigen Faktor durchgeführt. Da nach der Kommaverschiebung die Faktoren insgesamt nur noch zwei Nachkommastellen besitzen, hat auch das Produkt zwei Nachkommastellen.

    $\begin{array}{lr} &&0,04 \cdot 1000 \cdot 23,54 \newline &=& 40 \cdot 23,54 \newline &=& 941,60 \end{array}$

    • $15,9 \cdot 9,4 \cdot 0,1=14,946$
    Hier wird zunächst die Kommaverschiebung eines Faktors nach rechts durchgeführt, da mit $0,1$ multipliziert wird. Nun haben die beiden Faktoren, die anschließend miteinander multipliziert werden, insgesamt drei Nachkommastellen, weshalb auch das Produkt drei Nachkommastellen hat.

    $\begin{array}{lr} &&15,9 \cdot 9,4 \cdot 0,1 \newline &=& 15,9 \cdot 0,94 \newline &=& 14,946 \end{array}$

  • Erschließe die Lösungen der Rechnungen.

    Tipps

    Multiplizierst du mit einer Zehnerpotenz größer als $1$, dann verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach rechts, z. B.

    $0,873 \cdot 100=87,3$.

    Bei einer Multiplikation mit einer Zehnerpotenz kleiner als $1$, betrachtest du die Anzahl der Stellen, um die das Komma der Zehnerpotenz von $1$ verschoben ist (bei $0,001$ sind das drei Stellen). Dann verschiebst du das Komma um die Anzahl der Stellen nach links, z. B.

    $87,3 \cdot 0,01=0,873$.

    Musst du das Komma weiter verschieben, als die Zahl Stellen hat, kannst du so viele Nullen wie nötig einfügen.

    Lösung

    Multiplizierst du mit einer Zehnerpotenz größer als $1$, dann verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach rechts. $1000$ hat drei Nullen. Also erhältst du folgende Rechnung:

    • $0,329 \cdot 1000=329$
    Bei einer Multiplikation mit einer Zehnerpotenz kleiner als $1$, betrachtest du die Anzahl der Stellen, um die das Komma der Zehnerpotenz von $1$ verschoben ist (bei $0,001$ sind das drei Stellen). Dann verschiebst du das Komma um die Anzahl der Stellen nach links. Also:

    • $329 \cdot 0,001=0,329$
    Die anderen Rechnungen funktionieren genauso. Musst du das Komma weiter verschieben, als die Zahl Stellen hat, kannst du so viele Nullen wie nötig einfügen.

    • $57 \cdot 0,1=5,7$
    • $98 \cdot 1000=98000$
    • $0,12 \cdot 100=12$
  • Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.

    Tipps

    So sieht der Beginn der ersten Rechnung aus:

    $\begin{array}{cccccc} 1&2,&1&8&\cdot &1,&3\\ \hline &&1&2&1&8&&\\ +&&&3&6&5&4&\\ \end{array}$

    Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

    Lösung

    Berechne die Lösungen, indem du eine schriftliche Multiplikation durchführst, bei der du die Kommata zunächst ignorierst. Dabei multiplizierst du stellenweise und schreibst die hinterste Zahl jedes einzelnen Ergebnisses direkt unter die Stelle, die du gerade berechnest. Nachdem du alle Stellen berechnet hast, kannst du die Teilergebnisse zusammenzählen. Zuletzt musst du herausfinden, wo das Komma liegt. Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren. So erhältst du für die erste Rechnung:

    $\begin{array}{llllll} 1&2~,&1&8&\cdot &1~,&3\\ \hline &&1&2&1&8&&\\ +&&&3&6&5&4&\\ &&&&_1&&\\ \hline &&1&5~,&8&3&4\\ \end{array}$

    Die anderen Lösungen kannst du genauso bestimmen. Dann erhältst du:

    • $1,8 \cdot 10,398=18,7164$
    • $2,8 \cdot 3,99=11,172$
    • $3,5 \cdot 3,5=12,25$