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Vergleichen von Dezimalbrüchen 05:14 min

Textversion des Videos

Transkript Vergleichen von Dezimalbrüchen

Frieda Freiflug ist die schönste Kängurudame im gesamten Outback, sie hat die längsten Beine, die längsten Ohren und ihren Augen kann kein Kängurumann entkommen. Deshalb wollen Lars Langbein und Hugo Hochsprung endlich entscheiden, wer von den beiden um die Hand dieser stolzen Dame anhalten darf. Und wie könnten Kängurus am besten so eine Entscheidung treffen? Mit Weitsprung natürlich! Um zu wissen, wer von beiden wirklich weiter gesprungen ist, müssen sie Dezimalbrüche miteinander vergleichen können. Betrachten wir erst einmal zwei natürliche Zahlen und vergleichen die Größe von 759 und 745. Wenn wir die Größe zweier natürlicher Zahlen vergleichen, so betrachten wir die Stellen der Größe nach. So ist zum Beispiel 759 größer als 745, weil die zweite Stelle bei 759 größer ist als die zweite Stelle bei 745. Bei Dezimalbrüchen gehen wir genauso vor. Schauen wir uns doch einmal die ersten Sprungversuche der beiden Kängurus an und vergleichen diese. Wir vergleichen nun 7,45 und 7,59 miteinander. Man kann Dezimalbrüche gut miteinander vergleichen, indem man sie in eine Stellenwerttafel einträgt. 7,45 tragen wir so ein und 7,59 so. Auch hier vergleichen wir die Ziffern in dieser Reihenfolge. Dabei ist die größte Stelle entscheidend, bei der ein Unterschied auftritt. 7 und 7 sind natürlich gleich groß. Bei den Zehnteln sehen wir, dass die 5 größer als die 4 ist. Da fünf Zehntel mehr als vier Zehntel sind, ist 7,59 also größer als 7,45. Die Hundertstel müssen wir uns nicht mehr anschauen, weil sie keinen Einfluss mehr darauf haben, welche der beiden Zahlen größer ist. Wie sieht es denn bei Dezimalbrüchen mit einer unterschiedlichen Anzahl an Nachkommastellen aus? Schauen wir uns dazu die 20,237 und die 20,23572 an. 20,237 tragen wir in der Stellenwerttafel hier ein und 20,23527 hier. Beginnen wir wieder links und schauen, wo wir die erste Ziffer sehen die unterschiedlich ist. Zehner, Einer, Zehntel und Hundertstel sind gleich. Die erste unterschiedliche Ziffer ist also bei den Tausendsteln. 7 ist größer als 5, also ist 20,237 größer als 20,23527. Beachte: Nur weil eine Zahl mehr Nachkommastellen als die andere hat, bedeutet es also nicht, dass diese Zahl größer ist! Schaffen wir es nun diese drei Zahlen zu vergleichen? Vergleichen wir zunächst die 15,94 und 15,2623 und tragen sie dazu in die Stellenwerttafel ein. Die erste Stelle, die unterschiedliche Ziffern enthält ist, die Zehntelstelle. Da 9 größer als 2 ist, ist 15,94 also größer als 15,2623. Machen wir weiter mit 15 Komma periode 3. Wie können wir denn eine Zahl behandeln, die unendlich viele Stellen hat? Da immer die Stelle entscheidend ist, bei der die Ziffern als erstes unterschiedlich sind benötigen wir nur so viele Nachkommastellen, wie die anderen Zahlen haben. Vergleichen wir nun die erste Ziffer, die unterschiedlich ist, sehen wir, dass 15 Komma periode 3 kleiner als 15,94 aber größer als 15,2623 ist. Bevor wir noch den entscheidenden Sprung der beiden Kängurus verpassen, fassen wir zusammen: Man kann Dezimalbrüche gut miteinander vergleichen, indem man sie in eine Stellenwerttafel einträgt. Man vergleicht die Stellen dann von links nach rechts. Entscheidend ist die erste Stelle, an der die Ziffern verschieden sind. Und? Wer springt nun weiter? Lars Langbein legt los. Doch. Hugo Hochsprung springt weiter! Aber, wer war denn das? Damit haben die zwei wohl nicht gerechnet.

1 Kommentar
  1. hugo hochsprung wäre voll mein ding

    Von Yiren Y., vor etwa einem Monat

Vergleichen von Dezimalbrüchen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vergleichen von Dezimalbrüchen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Vergleichen von Dezimalbrüchen.

    Tipps

    Eine Stellenwerttafel hilft dir dabei, die einzelnen Stellen von Zahlen übersichtlich darzustellen.

    Es gilt zum Beispiel:

    $3,32<3,42$

    Hier entscheiden die Zehntel, welche der beiden Zahlen größer ist.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Vergleichst du zwei Zahlen mit unterschiedlich vielen Nachkommastellen, dann ist die Zahl mit der größeren Anzahl an Nachkommastellen immer kleiner.“

    „Vergleichst du zwei Zahlen mit unterschiedlich vielen Nachkommastellen, dann ist die Zahl mit der größeren Anzahl an Nachkommastellen immer größer.“

    • Die Anzahl der Nachkommastellen hat generell keinen Einfluss darauf, welche Zahl größer ist. Entscheidend ist die größte Stelle, bei der die beiden Zahlen sich unterscheiden.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Beim Vergleichen von Dezimalbrüchen ist eine Stellenwerttafel hilfreich.“

    • Eine Stellenwerttafel hilft dir dabei, die einzelnen Stellen von Zahlen übersichtlich darzustellen. Sie ist hier also sehr nützlich.
    „Willst du bestimmen, welcher von zwei Dezimalbrüchen größer ist, vergleichst du nacheinander die Stellen der beiden Zahlen. Dabei beginnst du bei der größten Stelle.“

    „Die größte Stelle, bei der ein Unterschied auftritt, entscheidet, welche Dezimalzahl größer ist.“

    • So gehst du beim Vergleichen von Dezimalbrüchen vor. Suche zunächst die größte Stelle, bei der sich die Zahlen unterscheiden. Die Zahl, die dort eine größere Ziffer aufweist, ist größer.
  • Gib an, welche der Zahlen größer sind.

    Tipps

    Aus den Zahlen kannst du die fehlenden Stellen ablesen und in die Stellenwerttafel eintragen.

    Anhand der eingetragenen Ziffern kannst du entscheiden, welche Zahlen größer sind.

    Lösung

    Aus den Zahlen kannst du die fehlenden Stellen ablesen und in die Stellenwerttafel eintragen. Anhand dieser Ziffern kannst du entscheiden, welche Zahlen größer sind. So erhältst du:

    • $15,2623 < 15,\bar{3}$ An der Zehntel-Stelle ist $2$ kleiner als $3$.
    • $15,\bar{3} < 15,94$ Auch hier entscheidet die Zehntel-Stelle. $9$ ist größer als $3$.
  • Bestimme, welcher der Dezimalbrüche größer ist.

    Tipps

    Willst du bestimmen, welcher zweier Dezimalbrüche größer ist, vergleichst du nacheinander die Stellen der beiden Zahlen.

    Die größte Stelle, bei der ein Unterschied auftritt, entscheidet, welche Dezimalzahl größer ist.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen.

    „Zuerst vergleichen die beiden $7,45$ und $7,59$. Dazu schreiben sie die Zahlen in eine Stellenwerttafel. So können sie jede Stelle besser vergleichen. In diesem Fall entscheiden die Zehntel. Denn $5$ ist größer als $4$. Also gilt:

    $7,45<7,59$“

    • Willst du bestimmen, welcher von zwei Dezimalbrüchen der größere ist, vergleichst du nacheinander die Stellen der beiden Zahlen. Die größte Stelle, bei der ein Unterschied auftritt, entscheidet, welche Dezimalzahl größer ist. Hier ist das die Zehntelstelle.
    „Als Nächstes vergleichen sie $20,237$ mit $20,23527$. Hier ist die entscheidende Stelle die Tausendstel. Denn $7$ ist größer als $5$. Also gilt:

    $20,237>20,23527$“

    • Anhand der Stellenwerttafel kannst du erkennen, dass die Tausendstel-Stelle unterschiedlich ist. Hier siehst du, dass $20,237$ die größere Zahl ist.
    „ Bei den Zahlen $12,573$ und $12,968$ entscheiden die Zehntel. Also gilt:

    $12,573<12,968$“

  • Leite ab, welche Zahl größer ist.

    Tipps

    Vergleichst du beispielsweise $7,4231$ und $7,424$, entscheidet die Tausendstel-Stelle. $4$ ist größer als $1$, also gilt:

    $7,4231 < 7,424$

    Lösung

    Willst du bestimmen, welcher von zwei Dezimalbrüchen größer ist, vergleichst du nacheinander die Stellen der beiden Zahlen. Die größte Stelle, bei der ein Unterschied auftritt, entscheidet, welche Dezimalzahl größer ist. Hier erhältst du:

    • $5,981<5,982$, denn in der Tausendstel-Stelle ist $1$ kleiner als $2$.
    • $5,831<5,849$, denn in der Hundertstel-Stelle ist $3$ kleiner als $4$.
    • $5,276>5,22$, denn in der Hundertstel-Stelle ist $7$ größer als $2$.
    • $12,4>12,39$, denn in der Zehntel-Stelle ist $4$ größer als $3$.
    • $19,903>19,9009$, denn in der Tausendstel-Stelle ist $3$ größer als $0$.
    • $583,8<600$, denn in der Hunderterstelle ist $5$ kleiner als $6$.
  • Ermittle die größte Zahl.

    Tipps

    Um die längste Weite herauszufinden, kannst du die zu vergleichenden Werte in eine Stellenwerttafel eintragen und diese anschließend stellenweise vergleichen.

    Für Lukas kann eine Stellenwerttafel so aussehen:

    $\begin{array}{cc|ccc} Z & E & z & h &t \\ \hline 4&5&7&6&2 \\ 4&5&7&6&9\\ 4&5&7&7&2\\ \end{array}$

    Lösung

    Um die längste Weite herauszufinden, kannst du die zu vergleichenden Werte in eine Stellenwerttafel eintragen und diese anschließend stellenweise vergleichen. Für Lukas erhältst du:

    $\begin{array}{cc|ccc} Z & E & z & h &t \\ \hline 4&5&7&6&2 \\ 4&5&7&6&9\\ 4&5&7&7&2\\ \end{array}$

    Hier kannst du gut erkennen, dass die größte Zahl $45,772$ beträgt, denn sie hat die größte Hundertstel-Stelle. Die nächstgrößere Zahl ist $45,769$ denn diese hat die größere Tausendstel-Stelle.

    Für Renate erhalten wir:

    $\begin{array}{cc|ccc} Z & E & z & h &t \\ \hline 4&7&1&2&9 \\ 4&6&8&6&9\\ 4&7&1&3&2\\ \end{array}$

    Hier sehen wir, dass $47,132$ am größten ist, denn diese Zahl hat eine größere Einerstelle als $46,869$ und eine größere Hundertstel-Stelle als $47,129$.

    Bei Clara ergibt sich:

    $\begin{array}{cc|ccc} Z & E & z & h &t \\ \hline 4&8&8&2&9 \\ 4&8&8&6&9\\ 4&8&1&3&2\\ \end{array}$

    Hier erhalten wir, dass $48,869$ am größten ist, denn diese Zahl hat eine größere Zehntel-Stelle als $48,132$ und eine größere Hundertstel-Stelle als $48,829$.

  • Ermittle die Reihenfolge der Zahlen.

    Tipps

    Betrachte zunächst die drei Zahlen, die eine $1$ als Einerstelle haben. Diese müssen nämlich die drei kleinsten Zahlen sein.

    Vergleiche anschließend die Zehntel dieser Zahlen.

    Lösung

    Du kannst die Zahlen sortieren, indem du sie stellenweise vergleichst. Beginne dabei bei der größten Stelle. Zunächst betrachten wir die drei Zahlen, die eine $1$ als Einerstelle haben. Diese müssen nämlich die drei kleinsten Zahlen sein. Denn alle anderen Zahlen haben eine größere Einerstelle. Vergleichen wir anschließend die Zehntel.

    • $91,4~\text{s}$ ist am kleinsten. Die Zehntelstelle beträgt $4$, während sie bei den anderen beiden Zahlen $5$ beträgt.
    Die nächsten beiden Zahlen, $91,543~\text{s}$ und $91,55~\text{s}$, haben mit der $5$ die gleiche Zehntel-Stelle. Also betrachten wir die nächstkleinere Stelle, die Hundertstel.

    • $91,543~\text{s}$ ist kleiner als $91,55~\text{s}$, da die Hundertstel-Stellen $4$ und $5$ sind und die $4$ die kleinere Zahl ist. Somit kommt $91,543~\text{s}$ an die zweite Position.
    • $91,55~\text{s}$ kommt als nächstes. Die Hundertstel-Stelle $5$ ist größer als bei $91,543~\text{s}$.
    Als nächstes vergleichen wir die drei Zahlen mit einer $2$ als Einerstelle.

    • $92,543~\text{s}$ ist hier die kleinste Zeit. Die Zehntel-Stelle $5$ ist am kleinsten.
    Die nächsten beiden Zahlen haben die gleiche Zehntel-Stelle. Also betrachten wir die nächstkleinere Stelle, die Hundertstel.

    • $92,6~\text{s}$ kommt als nächstes. Die Hundertstel-Stelle beträgt hier $0$, was normalerweise weggelassen wird.
    • $92,61~\text{s}$ ist die größte Zeit. Die Hundertstel-Stelle $1$ ist größer als bei $92,6~\text{s}$.