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Mit Dezimalbrüchen rechnen 07:17 min

Textversion des Videos

Transkript Mit Dezimalbrüchen rechnen

Hanna möchte, dass sich ihre neuen flauschigen Freunde so richtig wohl fühlen. Sie hat lange gespart und insgesamt nun 208,26€ und möchte davon für ihre Ratten ein neues Gehege bauen. Um ihre Gesamtausgaben im Blick zu behalten, muss sie mit Dezimalbrüchen rechnen können. Hanna geht als erstes in den Baumarkt, um sich einen Hammer für 3,40€ und Nägel für 3,20€ zu kaufen. Zusammen sind das 6,60€. Aber um ein richtiges Paradies zu bauen, benötigt Hanna außerdem noch Holz und Gitter. Für das Holz gibt sie 35,89€ und für das Gitter 10,33€ aus. Das ist zu schwer, um es einfach im Kopf zu rechnen. Schreiben wir die Werte stellengerecht untereinander, also Hundertstel unter Hundertstel, Zehntel unter Zehntel, Einer unter Einer und Zehner unter Zehner, können wir mit der Addition beginnen. Achte darauf, dass die Kommas ebenfalls untereinanderstehen! 3+9 sind 12 wir schreiben also die 2 in die Spalte der Hundertstel und notieren den Übertrag. Machen wir weiter mit den Zehnteln: 1+3+8 sind 12. Wir notieren im Ergebnis also wieder eine 2 und schreiben den Übertrag in die nächste Spalte. Auch beim Ergebnis dürfen wir das Komma nicht vergessen! Rechnen wir stellengerecht weiter, so erhalten wir 46,22€. Im Baumarkt hat Hanna für Hammer und Nägel 6,60€ und für Holz und Gitter 46,22€ ausgegeben. Insgesamt also 52,82€. Doch wie viel Geld bleibt ihr denn dann noch? Um dies herauszufinden, müssen wir subtrahieren. Hanna hatte zu Beginn 208,26€. Wir rechnen also 208,26€ minus 52,82€. Dies rechnen wir am besten schriftlich und achten wieder darauf, die Kommas untereinander zu schreiben. Bei den Hundertsteln rechnen wir also 6-2 und erhalten 4. Bei den Zehnteln rechnen wir 2-8 bzw. 12-8 und erhalten ebenfalls 4. Nun dürfen wir sowohl den Übertrag als auch das Komma im Ergebnis nicht vergessen! Rechnen wir mit diesem Verfahren weiter, so sehen wir, dass Hanna noch 155,44€ zur Verfügung stehen. Damit die Ratten sich in ihrem Gehege so richtig wohlfühlen, erwirbt Hanna 10 Hängematten. Dabei kostet eine Hängematte 12,68€. Um den Gesamtpreis für die Hängematten herauszufinden, müssen wir also multiplizieren. Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit 10, so können wir einfach das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben. Bei der Multiplikation mit einer Zehnerzahl, verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen nach rechts. In manchen Fällen musst du außerdem Nullen ergänzen. Damit die Ratten es noch gemütlicher haben, kauft Hanna außerdem 2,35kg Papierwolle. Ein kg der Papierwolle kostet 9,74€. Um herauszufinden, wie viel Hanna für die Papierwolle ausgibt, multiplizieren wir schriftlich. Und zwar genauso, wie wir es bei natürlichen Zahlen kennen. Es wird also stellenweise multipliziert und dann addiert. Um das Komma im Ergebnis richtig zu setzen, zählst du einfach, wie viele Nachkommastellen die beiden Faktoren insgesamt besitzen. Das Ergebnis hat demnach 4 Nachkommastellen. Damit die Ratten auch groß und stark werden, kauft Hanna außerdem noch Futter. Hanna sieht ein 5,75kg schweres Vorteilspaket, welches 10 kleinere Packungen enthält. Um herauszufinden, wie viel Futter in einer dieser Packungen ist, dividieren wir durch 10. Ähnlich wie bei der Multiplikation, können wir bei der Division durch eine Zehnerzahl das Komma verschieben. Wir verschieben es dieses mal aber nach links. Da das Komma nun am Anfang der Zahl steht, müssen wir hier eine Null hinzufügen. Bei der Division durch eine Zehnerzahl verschiebst du das Komma also um die Anzahl der Nullen nach links. In manchen Fällen musst du außerdem Nullen ergänzen. Als letztes möchte Hanna noch Joghurtdrops für die Ratten kaufen, da sie weiß, wie gerne sie diese naschen. 1kg Joghurtdrops kostet 15,65€. Nach all diesen Ausgaben hat Hanna aber nur noch 6,26€. Durch die Division können wir herausfinden, wie viel kg von den Joghurtdrops sie kaufen kann. Dividieren wir durch eine Dezimalzahl, so müssen wir bei beiden Zahlen das Komma um die gleiche Stellenanzahl verschieben. Und zwar so weit, bis der Divisor kein Komma mehr hat. Wir können nun 626 durch 1565 teilen. Da 1565 kein einziges Mal in 626 passt, schreiben wir im Ergebnis zunächst eine 0 mit einem Komma auf und hängen dann hier ebenfalls eine 0 an 626. 1565 passt genau 4 mal in 6260. Also kann Hanna 0,4 kg der Joghurtdrops kaufen. Während die Ratten in ihr neues zu Hause einziehen, fassen wir zusammen: Bei der Addition und Subtraktion mit Dezimalzahlen, schreiben wir die Zahlen stellengerecht untereinander und können dann schriftlich rechnen. Dabei ist besonders darauf zu achten, dass die Kommas untereinanderstehen. Multipliziert man zwei Dezimalzahlen miteinander, so ergeben die Nachkommastellen der beiden Faktoren zusammen die Anzahl der Nachkommastellen im Ergebnis. Bei der Division verschieben wir die Kommas beider Zahlen um die gleiche Stellenanzahl, bis das Komma im Divisor verschwindet und können dann wie gewohnt dividieren. Aber schauen wir doch mal, wie es den Ratten in ihrem neuen Paradies so gefällt.

1 Kommentar
  1. Sehr gutes Video, ich hab alles verstanden!:)

    Von Michelle H., vor 5 Monaten

Mit Dezimalbrüchen rechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mit Dezimalbrüchen rechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit Dezimalzahlen.

    Tipps

    Bei der Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen müssen alle Zahlen stellengerecht untereinander geschrieben werden.

    Multiplizierst du eine Zahl mit $10$, wird diese Zahl um das Zehnfache größer.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Bei der Addition von Dezimalzahlen dürfen die Kommas nicht untereinander stehen.“

    • Bei der Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen müssen alle Zahlen stellengerecht untereinander geschrieben werden. Das gilt auch für das Komma.
    „Multiplizierst du einen Dezimalbruch mit $10$, kannst du das Komma eine Stelle nach links verschieben.“

    • Multiplizierst du eine Zahl mit $10$, wird diese Zahl um das Zehnfache größer. Das entspricht dem Verschieben des Kommas um eine Stelle nach rechts.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Das Komma des Ergebnisses steht bei der schriftlichen Subtraktion direkt unter den Kommas der anderen Zahlen.“

    „Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.“

    „Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat. Dann rechnest du wie gewohnt.“

    • Beim Verschieben des Kommas nach rechts, vergrößerst du beide Zahlen um den gleichen Faktor. Da du die Zahlen anschließend teilst, macht das in der Lösung keinen Unterschied. Die Rechnung vereinfacht sich dadurch aber sehr.
  • Gib die Ergebnisse der Rechnungen an.

    Tipps

    Multiplizierst du eine Zahl mit einer Zehnerzahl, kannst du das Komma des einen Faktors um die Anzahl der Nullen der Zehnerzahl nach rechts verschieben. Wenn nötig, kannst du dabei Nullen hinzufügen.

    Dividieren funktioniert genau umgekehrt. Hier verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen des Divisors nach links.

    Lösung

    Die Lösungen kannst du mit folgenden Regeln bestimmen. Multiplizierst du eine Zahl mit einer Zehnerzahl, kannst du das Komma der Zahl um die Anzahl der Nullen der Zehnerzahl nach rechts verschieben. Wenn nötig, kannst du dabei Nullen hinzufügen.

    Dividieren funktioniert genau umgekehrt. Hier verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen Divisors nach links. Dann erhältst du:

    $12,68 \cdot 10=126,8$

    $12,68 \cdot 100=1268$

    $1,78 \cdot 1000=1780$

    $5,75 : 10=0,575$

    $575 : 100=5,75$

    $585 : 1000=0,585$

  • Berechne die Ergebnisse der Rechnungen mit Dezimalzahlen.

    Tipps

    Schreibe die Zahlen bei der Subtraktion und Addition stellengerecht untereinander und führe die Rechnung durch. Achte dabei darauf, dass das Komma des Ergebnisses an der selben Stelle steht, wie bei den ursprünglichen Zahlen.

    Achte beim Multiplizieren darauf, dass die Anzahl der Nachkommastellen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren entspricht. Schreibe auch die $0$ am Ende.

    Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat.

    Lösung

    So kannst du die Rechnungen durchführen:

    • Für das Rattengehege kauft sie Holz für $35,89~\text{€}$ und Draht für $10,33~\text{€}$. Das kostet insgesamt: $46,22~\text{€}$.
    $\begin{array}{rr} &35,89\\ +&10,33 \\ &~_1~~_1~~\\ \hline &46,22 \\ \end{array}$

    • Von ihrem Ersparten von $208,26~\text{€}$ gibt Hannah $52,82~\text{€}$ aus. Also hat sie noch $155,44~\text{€}$ übrig.
    $\begin{array}{rr} &208,26\\ -&~52,82 \\ &~_1~~_1~~~~~~ \\ \hline &155,44 \\ \end{array}$

    • Außerdem kauft sie $2,35~\text{kg}$ Papierwolle, die pro Kilo $9,74~\text{€}$ kostet. Das ergibt zusammen: $22,8890~\text{€}$.
    $\begin{array}{cccccccc} &9,&7&4&\cdot &2,&3&5\\ \hline &&1&9&5&8&&\\ +&&&2&9&2&2&\\ +&&&&4&8&7&&\\ &&_1&_1&_1&&&\\ \hline &&2&2,&8&8&9&0\\ \end{array}$

    Beim Multiplizieren kannst du zuerst rechnen, ohne dich um das Komma zu kümmern und es anschließend verschieben. Beachte am Ende: Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

    • Am Ende hat sie noch $6,26~\text{€}$ übrig. Das möchte sie für Leckerlis ausgeben, die pro Kilo $15,65~\text{€}$ kosten. Also kann sie $0,4~\text{kg}$ Leckerlis einkaufen.
    Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat. Dadurch, dass du Dividend und Divisor mit $10$ multiplizierst verändert sich der Wert nicht, die Rechnung vereinfacht sich aber erheblich.

    Wir erhalten also also bei der Rechnung $626:1565=0,4$.

  • Bestimme die Lösungen der Terme.

    Tipps

    Es gilt: Rechnungen in Klammern werden zuerst berechnet.

    Anschließend gilt: Punkt vor Strich! Das bedeutet Punktrechnungen ($ \cdot $ und $:$) müssen vor Strichrechnungen ($+$ und $-$) durchgeführt werden.

    Lösung

    Auch die Kombinationen der Rechnungen mit Dezimalzahlen kannst du wie gewohnt durchführen. Beachte dabei die Reihenfolge! Es gilt: Rechnungen in Klammern werden zuerst berechnet. Anschließend gilt: Punkt vor Strich! Das bedeutet Punktrechnungen ($ \cdot $ und $:$) müssen vor Strichrechnungen ($+$ und $-$) durchgeführt werden.

    Damit erhältst du, dass diese Rechnung falsch ist:

    • $(236,34-234,54):0,45 \neq 2$
    Hier musst du zuerst subtrahieren:

    $\begin{array}{rr} &236,34\\ -&234,54 \\ & ~~~~~_1~~~~~ \\ \hline & ~~~1,80 \\ \end{array}$

    Dann berechnest du die Division, indem du das Komma zuerst um eine Stelle nach rechts verschiebst. So erhältst du:

    $180 : 45=4$

    Die vollständige Rechnung lautet also:

    $(236,34-234,54):0,45 = 1,8:0,45 = 180:45= 4$

    Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

    • $(3,1\cdot 3,1-0,6 \cdot 0,6) : 0,25=(9,61-0,36):0,25= 9,25: 0,25=37$
    • $(54,43-53,13) \cdot 1,3=1,3 \cdot 1,3=1,69$
    • $(18,3426+4,54): (16,19-2,65)=22,8826:13,54=1,69$
  • Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen mit Dezimalzahlen.

    Tipps

    Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

    Die Subtraktion kannst du so aufschreiben.

    Lösung

    Die Lösungen kannst du durch schriftliche Rechnung bestimmen, wenn du die Regeln für die Setzung des Kommas berücksichtigst.

    $\begin{array}{rr} &~543,890\\ +&2345,542 \\ & ~_1~~_1~~~~ \\ \hline & 2889,432 \\ \end{array}$

    $\begin{array}{rr} &3253,832\\ -&1533,120 \\ &_1~~~~~~~~~~~~~~\\ \hline &1720,712 \\ \end{array}$

    • Diese Ergebnisse kannst du bestimmen, indem du die Zahlen zuerst stellengerecht untereinander schreibst und anschließend eine Subtraktion oder Addition durchführst. Achte dabei darauf, dass das Komma des Ergebnisses an derselben Stelle steht.
    $\begin{array}{cccccccccc} &3&2&1,&5&3&\cdot &1&2,&5&4\\ \hline &&&3&2&1&5&3&\\ +&&&&6&4&3&0&6&\\ +&&&&1&6&0&7&6&5&&\\ +&&&&&1&2&8&6&1&2&\\ &&&_1&_1&_1&_1&_1&&&\\ \hline &&&4&0&3&1,&9&8&6&2\\ \end{array}$

    $321,53 \cdot 12,54= 4031,9862$

    • Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren der Rechnung. Hier haben beide Faktoren jeweils $2$ Nachkommastellen. Also kannst du nach der Rechnung $4$ Stellen von hinten abzählen und hier das Komma setzen.
    $10130,328 : 23,4 = 432,92$

    • Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat. Dann rechnest du wie gewohnt. Hier kannst du das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben.
  • Erschließe die berechneten Dezimalzahlen.

    Tipps

    Beim Multiplizieren kannst du zuerst rechnen, ohne dich um das Komma zu kümmern und es anschließend verschieben. Dabei entsprechen die Nachkommastellen des Ergebnisses der Multiplikation der Summe der Nachkommastellen der Faktoren der Rechnung.

    Lösung

    Mit den Regeln für das Rechnen mit Dezimalzahlen kannst du diese Rechnungen durchführen und sortieren.

    Additionen und Subtraktionen führst du durch, indem du die Zahlen zuerst stellengerecht untereinander schreibst und anschließend berechnest. Achte dabei darauf, dass das Komma des Ergebnisses an derselben Stelle steht.

    Du kannst zuerst die Multiplikationen durchführen, ohne dich um das Komma zu kümmern und es anschließend verschieben. Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren der Rechnung.

    Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat. Dann rechnest du wie gewohnt.

    So erhältst du folgende Reihenfolge:

    • $12,32-4,43=7,89$
    • $47219,116 : 1143,32=41,3$
    • $11,32+41,3=52,62$
    • $12,32 \cdot 4,43=54,5776$
    • $1251,32+431,3=1682,62$
    • $11,32 \cdot 431,3=4882,316$