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Dezimalbrüche dividieren 04:01 min

Textversion des Videos

Transkript Dezimalbrüche dividieren

Obstbäuerin Gina Ginkgo pflanzt auf ihren Feldern neue Bäume an. Sie möchte ihre Felder dabei gleichmäßig aufteilen, so dass jeder Baum genug Platz zum wachsen hat. Dazu muss Gina Dezimalbrüche dividieren. Ihr erstes Feld hat eine Breite von 22,7 Metern und sie möchte es in 10 gleich breite Reihen aufteilen. Dazu muss sie 22,7 durch 10 teilen. Teilt man einen Dezimalbruch durch eine Zehnerpotenz größer als 1, so verschiebt man das Komma einfach um die Anzahl der Nullen nach links. 10 hat eine 0, also verschieben wir das Komma bei 22,7 um eine Stelle nach links. Teilen wir 22,7 durch 100, so erhalten wir 0,227. Da das Komma an den Anfang der Zahl geschoben wurde, ergänzen wir eine 0. Teilen wir durch 1000, so erhalten wir 0,0227. Zurück zu Gina. Wir wissen nun, dass ihr erstes Feld in 2,27 Meter breite Reihen eingeteilt wird. Das nächste Feld hat eine Breite von 163,73 Metern und es soll in 7 Reihen aufgeteilt werden. Wir teilen daher 163,73 durch 7. Hier teilen wir einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl, die keine Zehnerpotenz ist. Dazu können wir schriftlich dividieren. Wir beginnen wie gewohnt und überlegen uns, wie oft die 7 in 16 passt. Das sind 2 mal. 2 mal 7 sind 14, wir schreiben also hier eine 14 und subtrahieren. Dann nehmen wir die 3 dazu und rechnen 23 geteilt durch 7. 7 mal 3 sind 21, also notieren wir hier eine 3 und hier eine 21. Da wir nun beim Dividenden bei dem Komma angekommen sind, notieren wir auch im Ergebnis ein Komma. Dann rechnen wir wie gewohnt weiter. Gina wird dieses Feld in 7 Reihen mit jeweils einer Breite von 23,39 Metern einteilen. Ein letztes Feld bleibt noch übrig. Es hat eine Breite von 42,42 Metern. Gina möchte es in 2,5 Meter breite Reihen aufteilen. Wir teilen also 42,42 durch 2,5. Teilen wir einen Dezimalbruch durch einen Dezimalbruch, so verschieben wir die Kommata beider Zahlen gleichzeitig. Wir verschieben um so viele Stellen, bis im Divisor kein Komma mehr vorhanden ist. Wir rechnen daher 424,2 geteilt durch 25 und können wie gewohnt schriftlich dividieren. Das Komma im Ergebnis setzen wir dann hier. Gina wird also 16 Reihen mit einer Breite von 2,5 Metern haben. Die letzte Reihe wird etwas kleiner als die anderen sein.
Während die ersten Früchte wachsen, fassen wir zusammen. Bei der Division eines Dezimalbruchs durch eine Zehnerpotenz größer als 1, verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen nach links. Dies kannst du hier an einem Beispiel sehen. Dividieren wir einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl, so dividieren wir schriftlich. Wir übertragen das Komma an der Stelle, an der es auch im Dividenden vorhanden ist. Dies haben wir an diesem Beispiel gesehen. Dividieren wir einen Dezimalbruch durch einen Dezimalbruch, so verschieben wir die Kommata beider Zahlen gleichzeitig bis der Divisor kein Komma mehr besitzt. Dann dividieren wir wie gewohnt schriftlich. Das war zum Beispiel hier der Fall. Und Gina? Haben ihre Bäume schon Früchte getragen? Oh, was ist das denn?

Da ist ihr wohl jemand zuvorgekommen...

1 Kommentar
  1. war echt gut das das sage ich meinen Freeunden

    Von Sabine L., vor etwa einem Monat

Dezimalbrüche dividieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dezimalbrüche dividieren kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Division von Dezimalbrüchen.

    Tipps

    Teile die Breite des Feldes durch die Anzahl der Streifen.

    Beim Teilen durch eine Zehnerpotenz $>1$ wird die Zahl vor dem Komma kleiner.

    Du kannst $123,45$ schriftlich durch $1,5$ teilen, indem du das Komma von Dividend und Divisor um eine Stelle nach rechts verschiebst:

    $123,45 : 1,5 = 1234,5 : 15 = 82,3$.

    Lösung

    Beim Dividieren von Dezimalbrüchen betrachten wir die folgenden drei Fälle: Das Teilen durch eine Zehnerpotenz, durch eine ganze Zahl und durch einen Dezimalbruch:

    Division durch eine Zehnerpotenz: Ihr erstes Feld teilt Gina in zehn Streifen gleicher Breite auf. Das Feld hat eine Breite von $22,7~\text m$. Um das Feld aufzuteilen und die Breite eines Streifens zu bestimmen, muss Gina die Breite durch die Anzahl der Streifen teilen. Sie muss also $22,7$ durch $10$ teilen. Beim Dividieren durch eine Zehnerpotenz verschiebt Gina einfach das Komma um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

    Bei diesem Feld teilt Gina durch $10$, d.h. sie verschiebt das Komma um eine Stelle nach links:

    $22,7 : 10 = 2,27$

    Division durch eine ganze Zahl: Ihr zweites Feld will Gina ebenfalls in gleich große Streifen aufteilen. Die Anzahl dieser Streifen ist dann eine ganze Zahl. Gina entscheidet sich für sieben Streifen. Da dieses Feld eine Breite von $163,73~\text m$ hat, muss sie $163,73:7$ ausrechnen. Die Rechnung führt sie schriftlich durch. Bei der schriftlichen Division setzt sie das Komma im Quotienten an dieselbe Stelle, an der es im Dividenden steht.

    Sie rechnet also:

    $163,73: 7 = 23,39$

    Division durch einen Dezimalbruch: Ihr drittes Feld will Gina in Streifen der Breite $2,5~\text m$ aufteilen. Das Feld hat eine Breite von $42,42~\text m$. Gina rechnet diesmal die Anzahl der Streifen aus, die sie bei der Aufteilung herausbekommt. Sie erwartet aber nicht, dass die Rechnung eine ganze Zahl ergibt. Beim Dividieren durch einen Dezimalbruch geht Gina so vor: Zuerst verschiebt sie das Komma im Dividenden und im Divisor um dieselbe Anzahl Stellen nach rechts. Sie verschiebt das Komma so oft, bis der Divisor kein Komma mehr enthält. Dann rechnet sie die Division schriftlich:

    $42,42:2,5 = 424,2: 25 = 16,968$

  • Beschreibe das Rechnen mit Dezimalbrüchen.

    Tipps

    In einem Dezimalbruch steht ein Komma.

    Vor dem Komma stehen in einem Dezimalbruch die Einer, Hunderter, Tausender usw., hinter dem Komma die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw.

    Teilst du einen Dezimalbruch durch $100$, so verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links und veränderst die bestehenden Ziffern nicht.

    Lösung

    Ein Dezimalbruch ist immer eine Kommazahl. Du kannst jeden Dezimalbruch mit einer endlichen Anzahl von Ziffern in einen Bruch umwandeln. Jede der Nachkommastellen gehört dabei zu einer Zehnerpotenz im Nenner. Die erste Nachkommastelle ist die Zehntelstelle, die zweite Nachkommastelle die Hundertstelstelle.

    Analog gehören die Vorkommastellen zu Zehnerpotenzen. Die erste Vorkommastelle ist die Einerstelle, die zweite Vorkommastelle die Zehnerstelle. Es wird immer ausgehend vom Komma gezählt.

    Einen Dezimalbruch multiplizierst du mit $10$, indem du das Komma um eine Stelle nach rechts verschiebst. Teilst du durch $10$, so musst du das Komma um eine Stelle nach links verschieben.

  • Gib die Quotienten an.

    Tipps

    Verschiebe beim Dividieren durch eine Zehnerpotenz $>1$ das Komma im Dividenden nach links.

    Teilst du durch eine Zahl $>1$, so ist der Quotient kleiner als der Dividend.

    Durch einen Dezimalbruch kannst du mit Hilfe einer Kommaverschiebung schriftlich dividieren:

    $43,23:0,3 = 432,3:3 =144,1$ .

    Lösung

    Drei Fälle kannst du beim Dividieren von Dezimalbrüchen unterscheiden: Teilst du durch eine Zehnerpotenz $>1$, so musst du nur das Komma des Dezimalbruchs nach links verschieben. Die Anzahl der Nullen im Divisor bestimmt die Anzahl der Kommaverschiebungen. Wenn du bei der Verschiebung den Anfang der Zahl erreicht hast, musst du eine Null einfügen. In jeder weiteren Verschiebung kommt eine weitere Null hinzu. Teilst du durch eine ganze Zahl, so kannst du schriftlich rechnen und setzt das Komma im Quotienten genau dann, wenn du im Dividenden das Komma erreichst. Um durch einen Dezimalbruch zu teilen, kannst du im Dividenden und im Divisor gleichzeitig das Komma so lange nach rechts verschieben, bis der Divisor kein Komma mehr enthält. Dann kannst du die Division wieder schriftlich ausrechnen.

    Wenn du dieses Vorgehen befolgst, findest du folgende Gleichungen:

    • $22,7:10 = 2,27$
    • $22,7 :100 = 0,227$
    • $22,7:1.000 = 0,0227$
    • $163,73 : 7 = 23,39$
    • $42,42:2,5 = 16,968$
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    $0,1$ ist auch eine Zehnerpotenz.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch eine Zehnerpotenz $>1$, so hat der Quotient nicht weniger Stellen als der Dividend.“ Bei der Division eines Dezimalbruchs durch eine Zehnerpotenz $>1$ verschiebst du nur das Komma nach links. Dabei geht keine Ziffer verloren, es kommen aber evtl. Nullen hinzu. Anders ist es, wenn du eine ganze Zahl dividierst: Bei $1.000 : 10 = 100$ hat der Quotient eine Stelle weniger als der Dividend. Bei Dezimalbrüchen kommt das aber nicht vor.
    • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch eine Zehnerpotenz $<1$, so kann der Quotient weniger Stellen haben als der Dividend.“ Eine Zehnerpotenz $<1$ ist z.B. $0,01$. Dividierst du $0,12$ durch $0,01$, so erhältst du $0,12:0,01 = 12$. Der Dividend hat drei Stellen, der Quotient nur zwei.
    • „Division durch eine Zehnerpotenz $<1$ ist dasselbe wie Multiplikation mit einer entsprechenden Zehnerpotenz $>1$.“ Die Division durch $0,1 = \frac{1}{10}$ geschieht durch die Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach rechts. Das entspricht einer Multiplikation mit $10$. Analoges gilt für weitere Zehnerpotenzen.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch einen anderen Dezimalbruch, so ist das Ergebnis stets wieder ein Dezimalbruch.“ So ist z.B. $2,4 : 0,2 = 24:2 = 12$. Dividend und Divisor sind Dezimalbrüche, aber der Quotient ist eine ganze Zahl.
    • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch eine Zehnerpotenz, so verschiebst du das Komma nach links.“ Die Aussage ist richtig, wenn du durch eine Zehnerpotenz $>1$ dividierst. Aber auch $1$ ist eine Zehnerpotenz, nämlich $10^0$. Bei Division durch $1$ bleibt der Dividend unverändert. Bei Division durch eine Zehnerpotenz $<1$ verschiebst du auch das Komma, aber nicht nach links, sondern nach rechts.
    • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch einen weiteren Dezimalbruch, so hat der Quotient mindestens so viele Nachkommastellen wie der Dividend.“ Die Anzahl der Nachkommastellen des Quotienten hängt durch keine allgemein gültige Regel von der Anzahl der Nachkommastellen von Dividend und Divisor ab. Dass die Aussage falsch ist, siehst du z.B. bei der Division $2,4:0,2 = 12$.
  • Bestimme die Dezimalbrüche.

    Tipps

    Verschiebe das Komma im Divisor und im Dividenden, sodass du die Division schriftlich rechnen kannst.

    Ist der Divisor kleiner als $1$, so ist der Quotient größer als der Dividend.

    Ist der Divisor hingegen größer als der Dividend, so ist der Wert des Quotienten kleiner als $1$.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $3,3 : 0,3 = 33:3 =11$.

    Lösung

    Um das Ergebnis einer Division grob abzuschätzen, kannst du zuerst nur die Vorkommazahlen berücksichtigen: Bei $123:4,1$ ist der Dividend etwas größer als $120$, der Divisor nicht viel größer als $4$. Der Quotient sollte also nicht weit von $120:4=30$ entfernt sein. Ob er größer, kleiner oder gleich $30$ ist, musst du durch eine schriftliche Division ausrechnen. Du findest dann:

    $123:4,1 = 1230 : 41 = 30$

    Dividierst du durch einen Dezimalbruch, der kleiner ist als $1$, so muss der Quotient größer sein als der Dividend:

    $1234:0,2 = 6.170$

    Ist dagegen der Quotient kleiner als $1$, so muss der Divisor größer sein als der Dividend:

    $12,3:41 = 0,3$

    Mit diesen Vorüberlegungen kannst du einige der möglichen Paarungen ausschließen. Rechnest du die Divisionen schriftlich, so findest du folgende Gleichungen:

    • $1234:0,2 = 6.170$
    • $123,45:1,5= 82,3$
    • $123:4,1 = 30$
    • $12,34:2=6,17$
    • $12,3:41 = 0,3$
  • Erschließe den Divisor bzw. den Quotienten.

    Tipps

    Dividierst du einen Dezimalbrch durch $0,9$, so ist der Quotient größer als der Dividend.

    Dividierst du einen Dezimalbruch durch $0,6$, so ist der Quotient fast doppelt so groß wie der Dividend.

    Besteht der Wert des Quotienten aus einem Dezimalbruch, welcher in der Lösung nicht sinnvoll erscheint, so muss das Ergebnis gerundet werden.

    Beispiel: Passen laut Rechnung $13,8$ Bäume auf ein Feld, so passen in der Realität lediglich $13$ rauf. Hier kann nicht aufgerundet werden, da man sonst ein größeres Feld benötigen würde.

    Lösung

    Um die richtige Aufteilung zu finden, musst du jeweils die Breite des Feldes durch die Breite der Streifen oder die Anzahl der Teilungen dividieren.

    • Ginas Birnenweise hat die Breite $43,2~\text m$. Sie wählt den Abstand $0,6~\text m$. Auf der Breite des Feldes haben daher $43,2:0,6 = 72$ Birnbäume nebeneinander Platz.
    • Ginas Pflaumenfeld ist $72,9~\text m$ breit. Der Abstand zwischen den Bäumen soll hier stolze $8,1~\text m$ betragen. Es passen dann aber nur $72,9:8,1 = 9$ Bäume nebeneinander auf die Breite des Feldes.
    • Die Mirabellenbäume pflanzt Gina auf ein schmales Feld von nur $13,24~\text m$ Breite. Sie setzt die Bäume zuerst auf einen Abstand von nur $0,1~\text m$. Es passen dann $13,24:0.1=132,4$ Bäumchen auf die Breite des Feldes. Das ist natürlich nur ein rechnerischer Wert, denn Gina pflanzt keine Bruchteile von Bäumen. Deshalb passen nur $132$ Bäumchen auf diese Breite. Nachdem Gina ihre Mirabellensetzlinge vereinzelt hat, passen nur noch $16$ Bäumchen nebeneinander. Die Breite in $\text m$ für jedes dieser Bäumchen beträgt dann nämlich $13,24:16 = 0,8275 \approx 0,83$.
    • In einer Reihe pflanzt Gina $81$ Apfelbäume im Abstand von je einem Meter. Die Reihe hat also eine Länge von $81~\text m$. Gina teilt die Reihe in Abschnitte von $3,24~\text m$ auf. Die Anzahl dieser Abschnitte ist dann $81:3,24 = 25$.
    • Ihre Blaubeersträucher setzt Gina auf einen Streifen von nur $8,73~\text m$ Breite. Da sie nur $9$ Sträucher auf dieser Breite setzt, hat jeder Strauch $8,73~\text{m}:9 = 0,97~\text m$ Platz zum Wachsen.