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Dezimalbrüche - Einführung 06:09 min

Textversion des Videos

Transkript Dezimalbrüche - Einführung

Das Rennen ist voll im Gange. Wer wird wohl der schnellste sein und gewinnen? Damit das Rennen auch zu Ende geführt werden kann, müssen noch einige Boxenstops durchgeführt werden. Der Mechaniker Leo weiß immer genau was zu tun ist. Dieses Auto braucht zum Beispiel einen Ölwechsel. Um beim Boxenstop der schnellste zu sein, hilft es Dezimalbrüche zu kennen. In ein Rennauto passen 5,2 Liter Motoröl. Was ist das denn für eine komische Zahl? Diese Zahl nennt man einen Dezimalbruch. Wir sehen, dass sie mit einem Komma geschrieben wird, man nennt sie deswegen auch Kommazahl. Die Zahlen VOR dem Komma, also hier die 5, nennen wir Vorkommastellen und die Zahlen nach dem Komma, also hier die 2, nennen wir Nachkommastellen. Mithilfe dieser Zahlen kann man einen Wert darstellen, der zwischen zwei natürlichen Zahlen liegt also in diesem Fall zwischen der 5 und der 6. Betrachten wir, wie hier, die Zahlen zwischen der 5 und der 6 mit einer Nachkommastelle, also: 5,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,5 ; 5,6 ; 5,7 ; 5,8 und 5,9. 5,2 liegt also genau hier. Wollen wir die Zahl in eine Stellenwerttafel eintragen, müssen wir diese zunächst erweitern. Wir ergänzen also das Komma und zusätzliche Stellen für die Nachkommastellen. In diesem Fall ist das eine einzige Stelle und diese nennen wir die Zehntel-Stelle. Sie wird mit einem kleinen z bezeichnet. Wir können nun den Einer, also die 5, in die Einerstelle und die erste Nachkommastelle, also die 2 in die Zehntelstelle eintragen. Zehntel? Das klingt ja fast wie ein Bruch! Und tatsächlich kann man diese Zahl ganz einfach in einen Bruch umwandeln. Wollen wir einen Dezimalbruch in einen Bruch umwandeln, verrät uns die Anzahl der Nachkommastellen den Nenner des Bruchs. Hier haben wir EINE Nachkommastelle, die zwei, in der Zehntelstelle. Das heißt, dass der Nenner im Bruch eine zehn sein muss. Der Zähler des Bruchs ist dann genau die Zahl, welche sich ergibt, wenn wir das Komma im Dezimalbruch weglassen. Hier also 52. 5,2 ist gleich 52 Zehntel. Das kann man mit 2 kürzen und wir erhalten sechsundzwanzig Fünftel. Leo weiß außerdem, dass er ein Fünftel Liter Motoröl zum Rennauto hinzufügen muss. Diesen Wert würde er gerne in einen Dezimalbruch umwandeln. Wir haben gerade schon gesehen, dass eine Zehn im Nenner uns dabei helfen kann. Erweitern wir ein Fünftel mit 2, dann erhalten wir zwei Zehntel und können SO die Zahl in einen Dezimalbruch umwandeln. Da wir im Nenner eine Zehn haben, haben wir genau eine Nachkommastelle, die Zehntelstelle. Die 2 aus dem Zähler ist also die Nachkommastelle und wir ergänzen eine 0 vor dem Komma. Heraus kommt: Ein Fünftel ist gleich 0,2. Ein Dezimalbruch kann also als ein Bruch dargestellt werden, der im Nenner eine Zehnerzahl stehen hat. Das heißt im Nenner des Bruchs steht eine 10, 100, 1000 und so weiter. Die Nachkommastellen eines Dezimalbruchs heißen zehntel, hundertstel, tausendstel und so weiter. Man kann einen Dezimalbruch in einen Bruch umändern, indem man die Nachkommastellen zählt. Die Anzahl der Nachkommastellen zeigt uns dabei die Anzahl der Nullen der Zehnerzahl im Nenner des Bruchs. Zurück zu Leo. Jetzt muss er ein Rennauto betanken. Dort passen 89,63 Liter hinein. Hier haben wir also eine weitere Stelle nach dem Komma. Auf dem Zahlenstrahl liegt die Zahl hier. Und in der Stellenwerttafel haben wir nun also zusätzlich die Hundertstelstelle und tragen die 89,63 so ein. Wandeln wir den Dezimalbruch in einen Bruch um, so schreiben wir eine 100 in den Nenner des Bruchs und die Zahl ohne Komma in den Zähler. Diesen können wir auch als gemischten Bruch schreiben und erhalten "89" "63" Hundertstel. Leo muss 20 ein Zwanzigstel Liter hinzufügen, damit das Benzin auf jeden Fall bis zum Ende des Rennens reicht. Rechnen wir diese Zahl doch einmal in einen Dezimalbruch um. Erweitert er den Bruch mit 5, so hat er als Nenner 100. Zwanzig ein Zwanzigstel sind also gleich Zwanzig 5 Hundertstel, also 20,05. Als Letztes muss Leo noch die Reifen wechseln. Er ist bekannt dafür, unglaublich schnell zu sein und benötigt nur schlappe 0,977 Sekunden, um einen Reifen zu wechseln. Auf dem Zahlenstrahl liegt die Zahl hier. Und da wir dieses Mal drei Nachkommastellen haben, ergänzen wir die Stellenwerttafel um Tausendstel und tragen 0,977 so ein. Dies zeigt uns außerdem, dass wir das in einen Bruch mit dem Nenner 1000 umwandeln können. Da die Null am Anfang wegfällt, ist 0,977 also das Gleiche wie 977 Tausendstel. Das Rennen geht in die Zielgerade, genau wie dieses Video. Fassen wir also zusammen: Ein Dezimalbruch ist eine Kommazahl, die man als einen Bruch schreiben kann, der im Nenner eine Zehnerzahl besitzt. Zur Veranschaulichung kann man die Zahl auf einem Zahlenstrahl oder in eine Stellenwerttafel eintragen. Die Anzahl der Nachkommastellen hilft uns dabei zu erkennen, welche Zahl wir in den Nenner des zugehörigen Bruchs schreiben. Aber wer war denn nun der schnellste und somit der Sieger des Rennens? 0,977 Sekunden sind auch schwer zu schlagen.

4 Kommentare
  1. Richtig gut erklärt und sehr gute Aufgaben

    Von Susemarquardt, vor 4 Tagen
  2. Echt super gemacht dieses Video ich werde bestimmt durch das Video eine gute Note in der Mathe-Klassenarbeit schreiben. DANKE

    Von Susemarquardt, vor 4 Tagen
  3. 👍🏎 prima erklärt

    Von Bcs2002, vor 4 Monaten
  4. Gut erklärt
    P.S.: I'm on the top

    Von Yiren Y., vor 6 Monaten

Dezimalbrüche - Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dezimalbrüche - Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Dezimalbrüche.

    Tipps

    Die Stellenwerte einer Zahl werden von links nach rechts immer kleiner.

    Der Dezimalbruch $5,2$ liegt zwischen den natürlichen Zahlen $5$ und $6$, d.h. sie ist größer als $5$ und kleiner als $6$.

    Der Dezimalbruch $123,456$ entspricht dem Bruch $\frac{123456}{1000}$.

    Lösung

    „Ein Dezimalbruch ist eine Kommazahl. Die Stellen vor dem Komma heißen Vorkommastellen, die Stellen hinter dem Komma sind die Nachkommastellen. Einen Dezimalbruch kann man als Bruch schreiben, dessen Nenner eine Zehnerzahl ist. Die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt die Anzahl der Nullen dieser Zehnerzahl.“

    Durch Erweiterung mit $10$ kann man die Anzahl der Nullen im Nenner natürlich auch vergrößern.

    „In der Stellenwerttafel entspricht die erste Nachkommastelle den Zehnteln, die zweite Nachommastelle den Hundertsteln und die dritte den Tausendsteln. Eine Zahl mit Nachkommastellen liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen der natürlichen Zahl mit denselben Vorkommastellen und der nächstgrößeren natürlichen Zahl.“

    So liegt z.B. der Dezimalbruch $5,2$ zwischen der natürlichen Zahl $5$ und der nächstgrößeren natürlichen Zahl $5+1 = 6$.

    „Um den Dezimalbruch $89,63$ als Bruch zu schreiben, wählen wir als Nenner die Zehnerzahl $100$, denn der Dezimalbruch hat zwei Nachkommastellen. Der Zähler des Bruchs ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma. Damit erhalten wir:

    $89,63 =\frac{8963}{100}= 89\frac{63}{100}$“

  • Berechne die Dezimalbrüche.

    Tipps

    Der Nenner des Bruches zu einem Dezimalbruch ist eine Zehnerzahl. Sie hat so viele Nullen, wie der Dezimalbruch Nachkommastellen hat.

    Der zugehörige Zähler des Bruches ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma.

    Manche Brüche kann man noch kürzen. So ist z.B. $5,5 = \frac{55}{10} = \frac{11}{2}$.

    Lösung

    Um einen Dezimalbruch in einen Bruch umzuwandeln, wählst du als Nenner die Zehnerzahl, die genau so viele Nullen hat, wie der Dezimalbruch Nachkommastellen hat. Der Zähler dieses Bruches ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma. Manchmal kannst du den erhaltenen Bruch noch kürzen oder in einen gemischten Bruch umwandeln.

    Hier sind folgende Gleichungen korrekt:

    • $5,2 = \frac{52}{10}$
    • $89,63 = 89\frac{63}{100}$
    • $5,2 = \frac{26}{5}$
    • $5,2 = 5\frac{1}{5}$
    Folgende Gleichungen sind falsch:

    • $89,63 = \frac{8963}{10}$. Hier ist der Nenner falsch. Korrekt wäre $89,63 = \frac{8963}{100}$.
    • $5,2 = 5\frac{2}{100}$. Wieder ist der Nenner fasch. Korrekt wäre hier $5,2 = 5\frac{2}{10}$.
    • $89,63 = 893\frac{3}{10}$. Die Umformung in einen gemischten Bruch ist nicht korrekt. Als Bruch lautet der Dezimalbruch $89,63 = \frac{8963}{100}$. Das entspricht dem gemischten Bruch $89\frac{63}{100}$.
  • Bestimme die Aussagen über Dezimalbrüche.

    Tipps

    Eine ganze Zahl hat kein Komma.

    Um den Dezimalbruch $43,21$ als Bruch zu schreiben, wählt man den Nenner $100$ und den Zähler $4321$.

    Ersetzt man bei einem Dezimalbruch die Vorkommastellen durch $0$, so erhält man eine Zahl zwischen $0$ und $1$.

    Lösung

    Folgende Sätze sind korrekt:

    • „Ein Dezimalbruch ... ist eine Zahl, die aus Vor- und Nachkommastellen besteht.“
    Die Nachkommastelle muss dabei ungleich null sein, sonst wäre es eine ganze Zahl und kein echter Bruch. Die Vorkommastelle kann hingegen gleich null sein.

    • „ Eine ganze Zahl ... ist eine Zahl ohne Nachkommastellen.“ Eine Zahl mit Nachkommastellen ist keine ganze Zahl, sondern liegt zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen.
    • „Der Nenner des Bruchs zu einer Kommazahl ... kann immer als Zehnerzahl gewählt werden.“
    Die erste Nachkommastelle ist die Zehntelstelle, die zweite die Hundertstelstelle usw. Daher kann man jeden Dezimalbruch als Bruch schreiben, dessen Nenner eine Zehnerzahl ist. Wie viele Nullen die Zehnerzahl im Nenner mindestens hat, ist durch die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt.

    • „Der Zähler des Bruchs zu einer Kommazahl ... ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma.“
    Einen Dezimalbruch kann man als Bruch schreiben, indem man als Nenner eine Zehnerzahl wählt. Die kleinstmögliche Zehnerzahl hat genau so viele Nullen, wie der Dezimalbruch Nachkommastellen hat. Wählt man als Nenner des Bruchs diese Zehnerzahl, so ist der Zähler des Bruches genau die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma.

  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Es gilt:

    • $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$
    In Dezimalbrüchen lautet die Rechnung:
    • $0,25 \cdot 0,25 = 0,0625$

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Jeder positive Dezimalbruch ist kleiner als die Zahl mit denselben Ziffern ohne Komma.“ Das Weglassen des Kommas eines Dezimalbruchs entspricht der Multiplikation mit einer Zehnerzahl. Die Zehnerzahl hat so viele Nullen, wie der Dezimalbruch Nachkommastellen hat. Der Dezimalbruch ist kleiner als sein Produkt mit einer Zehnerzahl.
    • „Fügt man zu einem positiven Dezimalbruch eine Nachkommastelle $\neq 0$ hinzu, so wird der Dezimalbruch größer.“ Jede Nachkommastelle entspricht einem Bruch, dessen Zähler die Ziffer der entsprechenden Stelle und dessen Nenner die Zehnerzahl ist. Die Anzahl der Nullen der Zehnerzahl ist die Position der entsprechenden Nachkommastelle. Das Hinzufügen einer weiteren Nachkommastelle ist das Addieren dieses Bruchs. Duch das Addieren wird der Dezimabruch größer. Zum Beispiel ist der Übergang von $123,4$ zu $123,45$ dasselbe wie die Addition $123,45 = 123,4 + \frac{5}{100}$. Diese Summe ist größer als $123,4$, weil $\frac{5}{100} > 0$ ist.
    • „Die Summe zweier Kommazahlen mit drei Nachkommastellen kann weniger als drei Nachkommastellen haben.“ Dies geschieht dann, wenn sich die hinteren Ziffern zu einer Zehnerzahl addieren. So ist z.B. $1,23 + 5,67 = 6,90 = 6,9$ und $1,234 + 5,566 = 6,8$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Eine Zahl mit weniger Nachkommastellen ist kleiner als eine Zahl mit mehr Nachkommastellen.“ Als Gegenbeispiel ist $5,6$ größer als $2,34$, obwohl die erste Zahl weniger Nachkommastellen hat.
    • „Ein Dezimalbruch mit $0$ als einziger Vorkommastelle ist stets kleiner als $0$.“ Jeder Dezimalbruch ist größer als die natürliche Zahl, die nur aus den Vorkommastellen gebildet wird.
    • „Jeden Bruch kann man als Dezimabruch mit endlich vielen Stellen schreiben.“ Das gilt nur, wenn der Nenner des Bruches aus den Primfaktoren $2$ und $5$ besteht. Zum Beispiel ist $\frac{1}{3} = 0,\overline{3}$ kein Dezimalbruch mit endlich vielen Stellen.
    • „Das Produkt zweier Kommazahlen mit drei Nachkommastellen hat wieder drei Nachkommastellen.“ Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen addiert sich die Anzahl der Nachkommastellen. So ist z.B. $1,111 \cdot 2,222 = 2,468642$.
  • Ordne den Dezimalbrüchen Brüche bzw. gemischte Brüche zu.

    Tipps

    Rechne die Dezimalbrüche in Brüche um, indem du als Nenner eine passende Zehnerzahl wählst und als Zähler den Dezimalbruch ohne Komma einträgst.

    Wenn du einen Dezimalbruch als gemischten Bruch schreibst, so entsprechen die Nachkommastellen dem Zähler im gemischten Bruch.

    Der Dezimalbruch $123,45$ liegt zwischen den natürlichen Zahlen $123$ und $124$. Du kannst ihn deshalb als gemischten Bruch mit der ganzen Zahl $123$ und einem Bruch schreiben, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist.

    Lösung

    Wenn du den Dezimalbruch $123,45$ als Bruch schreibst, so kannst du $100$ als Nenner wählen, denn der Dezimalbruch hat zwei Nachkommastellen. Der Zähler ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma, also $12345$. Als gemischten Bruch wählst du denselben Nenner. Der Zähler besteht jetzt nur aus den Nachkommastellen, also $45$. Die ganze Zahl besteht aus den Vorkommastellen, also $123$. Du erhältst also $123,45 = 123\frac{45}{100}$.

    Auf diese Weise erhältst du folgende Umformungen:

    • $54,321 = \frac{54321}{1000}$
    • $543,21 = 543\frac{21}{100}$
    • $5,4321 = \frac{54321}{10000}$
    • $5432,1 = 5432\frac{1}{10}$
  • Erschließe die jeweiligen Brüche zu den Dezimalbrüchen.

    Tipps

    In einem gemischten Bruch besteht die ganze Zahl aus den Vorkommastellen des Dezimalbruchs.

    In einem gemischten Bruch kannst du die Bruchzahl kürzen. Die ganze Zahl vor dem Bruch bleibt beim Kürzen unverändert.

    Lösung

    Beim Umrechnen der Dezimalbrüche in Brüche bzw. gemischte Brüche kannst du zuerst als Nenner eine Zehnerzahl passend zu den Nachkommastellen wählen und später kürzen. Beim Kürzen eines gemischten Bruches ändert sich nur der Zähler und Nenner des Bruchs, nicht die ganze Zahl vor dem Bruch.

    Hier erhältst du folgende Umformungen:

    • $87,654 = \frac{87654}{1000} = \frac{43827}{500} = 87\frac{654}{1000} = 87\frac{327}{500}$
    • $876,54 = \frac{87654}{100} = \frac{43827}{50} = 876\frac{54}{100} = 876\frac{27}{50}$
    • $8,765 = \frac{8765}{1000} = \frac{1753}{200} = 8\frac{765}{1000} = 8\frac{153}{200}$
    • $876,5 = \frac{8765}{10} = \frac{1753}{2} = 876\frac{5}{10} =876\frac{1}{2}$