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Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung 06:55 min

Textversion des Videos

Transkript Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung

Hallo. Vielleicht kannst du mir heute bei diesem Rätsel helfen? Lena und Rasmi denken sich eine natürliche Zahl aus und multiplizieren sie drei Mal mit sich selbst. Sie erhält 216. Welche Zahl haben sich die beiden ausgedacht?

Es wird eine unbekannte Zahl x dreimal mit sich selbst multipliziert - also: x mal x mal x. Das Ergebnis ist 216. Wir erhalten die Gleichung: x hoch drei gleich 216.

Natürlich kannst du diese Aufgabe sehr schnell durch Probieren lösen, indem du Zahlen für x einsetzt: 1 hoch 3, das geht noch ganz einfach, ergibt 1. 2 hoch 3 ergibt 8. 3 hoch 3 ergibt 27. 4 hoch 3 ergibt 64. 5 hoch 3 ergibt 125.

Und nun sind wir endlich soweit, 6 hoch 3 ergibt 216, weil 6 mal 6 mal 6 gleich 216 ist. Lena und Rasmi haben sich also die Zahl 6 ausgedacht.

Eine Aufgabe allein durch Raten und Probieren zu lösen, widerspricht natürlich dem, was du in der Schule gelernt hast. Deshalb zeige ich dir im Folgenden, wie du diese Aufgabe mit Hilfe von Potenzen und Wurzeln löst.

Die Suche nach einer Zahl x, die mit 3 potenziert 216 ergibt, nennen Mathematikerinnen und Mathematiker auch die Suche nach der dritten Wurzel von 216. Das Wurzelziehen ist die Umkehroperation vom Potenzieren. Wenn man die dritte Wurzel von 216 zieht, dann erhält man 6.

Die Wurzelschreibweise ist folgendermaßen definiert: x hoch n gleich b genau dann, wenn x gleich n-te Wurzel aus b.

Das Wurzelziehen ist die Umkehroperation vom Potenzieren. Das können wir formal durch folgenden Hilfssatz ausdrücken. Klammer auf n-te Wurzel aus b Klammer zu hoch n gleich n-te Wurzel aus b hoch n gleich b.

Die dritte Wurzel von 6 in Klammern hoch 3 ist also 6. Genauso ist die dritte Wurzel von 6 hoch drei gleich 6. Das leuchtet ein.

Wenn nun die Wurzel die Umkehrfunktion einer Potenz ist, kann man sie dann auch als Potenz ausdrücken? Diesen Zusammenhang wollen wir noch etwas genauer untersuchen.

Wir betrachten die Gleichung: die dritte Wurzel von a ist a hoch x. Wir möchten an diesem konkreten Beispiel herausfinden, ob man die dritte Wurzel auch als Potenz ausdrücken kann. Finden wir also eine Zahl für x, so dass die Gleichung aufgeht?

Um eine Antwort zu finden, potenzieren wir beide Seiten der Gleichung mit 3. Denn wegen des Hilfssatzes wissen wir, dass wir dadurch die Wurzel auflösen. Potenzieren wir die dritte Wurzel von a mit drei erhalten wir a.

Auf der rechten Seite müssen wir ein Potenzgesetz anwenden. Wenn man die Potenz a hoch x mit 3 potenziert, so muss man die Exponenten multiplizieren. Wir erhalten die Gleichung: a=a hoch 3 mal x.

Das a auf der linken Seite eigentlich als Potenz 1 hat, schreibt man normalerweise nicht auf. Wir tun es in diesem Fall trotzdem. Die Gleichung lautet dann: a hoch 1 gleich a hoch 3 mal x.

Betrachten wir diese Gleichung nun einmal genauer. a hoch 1 soll also dasselbe sein wie a hoch 3 mal x. Für welches x geht diese Gleichung auf. Ein sogenannter Exponentenvergleich ergibt: 1 gleich 3x. Diese Gleichung können wir durch bloßes Hinsehen lösen: x muss ein Drittel sein. Denn 3 mal ein Drittel gleich 1. Unsere Gleichung lautet also: Die dritte Wurzel von a ist gleich a hoch ein Drittel.

Wir haben damit herausgefunden, dass die dritte Wurzel aus a gleichbedeutend ist mit der Potenz a hoch ein Drittel. Der Wurzelexponent 3 kann also durch den gebrochenen Exponenten ⅓ als Potenz ausgedrückt werden.

Analog gilt dies für alle anderen ganzzahligen Wurzeln. Der Beweis hierfür geht genauso wie der der dritten Wurzel. Die zweite Wurzel ist gleichbedeutend mit dem Exponenten ein halb. Die vierte Wurzel ist gleichbedeutend mit dem Exponenten ein viertel. Die fünfte Wurzel ist gleichbedeutend mit dem Exponenten ein fünftel. Und dies geht immer so weiter.

Deshalb kann man dies auch allgemeiner schreiben: die n-te Wurzel ist gleichbedeutend mit dem Exponenten 1/n. n steht dabei für eine beliebige natürliche Zahl - also: 1, 2, 3, 4 und so weiter...

Damit haben wir heute ja bereits einiges neu gelernt. Vielleicht fragst du dich aber noch, wie das mit negativen Bruchzahlen im Exponenten ist. Kann man die auch als Wurzel darstellen?

Zum Beispiel a hoch minus ein Drittel. Naja eine minus dritte Wurzel gibt es nicht. Denn der Wurzelexponent darf nicht negativ sein. Um die Potenz trotzdem als Wurzel zu schreiben, wendet man einfach ein Potenzgesetz an und formt a hoch minus ⅓ in 1 durch a hoch ein Drittel um. Das kann man dann umformen in 1 durch die dritte Wurzel von a.

So, das war’s jetzt aber auch. In diesem Video hast du nun gelernt, wie du Wurzeln als Potenzen schreiben kannst. Die n-te Wurzel von a ist gleich a hoch 1 durch n. Natürlich gibt es noch mehr zu diesem Thema zu lernen. Wie kann man beispielsweise a hoch zwei Drittel als Wurzel ausdrücken? Das werden wir aber in einem anderen Video behandeln. Bis dahin, Tschüss!

2 Kommentare
  1. Ich finde nichts zum Thema wurzel ziehen und dieses Video konnte ich nicht angucken wegen eines fehlers

    Von Ijetoni, vor fast 3 Jahren
  2. Wirklich ein sehr hilfreiches Video.
    Nur dein ''a'' ähnelt sehr einer ''2'' finde ich, was ein bissen verwirrend ist. Aber hast es super erklärt :)

    Von Username:Username, vor mehr als 3 Jahren

Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe wie das dreifache Multiplizieren einer Zahl als Potenz geschrieben werden kann.

    Tipps

    Wie kann man $x\cdot x\cdot x$ in Potenzschreibweise notieren?

    Es gilt

    $a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a$.

    Dabei wird die Basis $a$ $n$-mal mit sich selbst multipliziert.

    Die Umkehrung von Quadrieren ist die Quadratwurzel:

    $5^2=25\Leftrightarrow 5=\sqrt{25}$.

    Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent nicht aufgeschrieben.

    Lösung

    Das dreimalige Multiplizieren einer unbekannten Zahl $x$ mit sich selbst kann wie folgt geschrieben werden:

    $x\cdot x\cdot x=x^3$.

    Wenn dies $216$ ergeben soll, führt dies zu der Gleichung $x^3=216$. Wie kann eine solche Gleichung gelöst werden?

    Die Lösung dieser Gleichung ist $x=\sqrt[3]{216}$. Dies ist die dritte Wurzel von $216$.

    Wenn bekannt ist, dass $6^3=216$ ist, kann gefolgert werden, dass $\sqrt[3]{216}=6$ ist.

    Die gesuchte Zahl ist demnach $x=6$.

  • Fasse die Eigenschaften der Wurzel zusammen.

    Tipps

    Wenn $6^3=216$ ist, so gilt $\sqrt[3]{216}=6$.

    $6^3$ bedeutet, dass $6$, die Basis, mit $3$, dem Exponenten, potenziert wird.

    Lösung

    Die Suche nach einer Zahl $x$, welche mit $3$ potenziert $216$ ergibt, nennt man auch Wurzelziehen.

    Das Wurzelziehen ist die Umkehrung vom Potenzieren. Das bedeutet:

    $\left(\sqrt[n] b\right)^n=\sqrt[n]{b^n}=b$.

  • Gib an, wie die dritte Wurzel von $a$ als Potenz geschrieben werden kann.

    Tipps

    Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Es gilt $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.

    Lösung

    Die Frage ist, ob sich $\sqrt[3]a$ auch als Potenz schreiben lässt. Dies würde bedeuten, dass

    $\sqrt[3]a=a^x$

    ist. Wie sieht $x$ aus?

    Um dies herauszufinden wird die Gleichung umgeformt:

    $\begin{align*} \sqrt[3]a&=a^x&|&^3 \\ \left(\sqrt[3]a\right)^3& =\left(a^x\right)^3\\ a^1&=a^{3x}. \end{align*}$

    Dabei wurde

    • zum einen $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$ sowie
    • zum anderen $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ verwendet.
    Da $a=a^1$ ist, führt der Vergleich der Exponenten zu der Gleichung

    $1=3x$, was äquivalent ist zu $x=\frac13$.

    Somit ist

    $\sqrt[3]a=a^{\frac13}$.

  • Ermittle die einzelne Kantenlänge, die gesamte Kantenlänge sowie den Oberflächeninhalt des Würfels.

    Tipps

    Verwende die Volumenformel $V=a^3$.

    Der Würfel hat $12$ Kanten.

    Die $6$ Seitenflächen des Würfels sind kongruente Quadrate.

    Lösung

    Um die gesamte Kantenlänge sowie die Oberfläche zu berechnen, muss zunächst die Kantenlänge des Würfels hergeleitet werden. Hierfür verwendet man die Formel $V=a^3$.

    Es gilt also $a^3=3375~cm^3$. Durch Ziehen der dritten Wurzel erhält man

    $a=\sqrt[3]{3375~cm^3}=\sqrt[3]{3375}~cm=15~cm$, da $15^3=3375$.

    Mit diesem $a$ kann

    • die gesamte Kantenlänge $l=12\cdot a=12\cdot15~cm=180~cm$ sowie
    • die Oberfläche $A_O=6\cdot a^2=6\cdot (15~cm)^2=6\cdot 225~cm^2=1350~cm^2$
    berechnet werden.

    Die gesamte Kantenlänge des Würfels beträgt somit $180~cm$ und die Oberfläche $1350~cm^2$.

  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Produkte werden potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird:

    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

    Bei Potenzen mit negativem rationalen Exponenten kann die Regel:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$

    verwendet werden.

    Bei der Quadratwurzel schreibt man den Wurzelexponenten nicht:

    $\sqrt[2] a=\sqrt a$.

    Lösung
    • $\sqrt[4]{2b}=\left(2b\right)^{\frac14}$. Dieser Term kann nicht weiter vereinfacht werden.
    • $\sqrt[4]{16a}=\left(16a\right)^{\frac14}=2\cdot a^{\frac14}$. Denn beim Potenzieren eines Produktes muss jeder Faktor potenziert werden.
    • Bei negativen rationalen Exponenten kann zunächst die Regel verwendet werden, dass eine Potenz mit negativem Exponenten wie folgt als Bruch geschrieben werden kann: $a^{-n}=\frac1{a^n}$. Somit ist $a^{-\frac 1n}=\frac1{\sqrt[n]a}$.
    • $\sqrt[4]1=1$, denn $1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = 1$.
    • $\sqrt{64}=8$, denn $8 \cdot 8 = 64$.
  • Berechne den Wert der Wurzel.

    Tipps

    $32$ ist eine Zweierpotenz.

    Es gilt

    $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

    Verwende die Potenzregel:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Gesucht ist die fünfte Wurzel aus $32^2$.

    Hierfür kann zunächst $32$ als Zweierpotenz geschrieben werden:

    $32=2^5$.

    Damit ist $32^2=\left(2^5\right)^2=2^{5\cdot 2}=2^{10}$.

    Hier wurde verwendet, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird: $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Unter Verwendung von $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$ kann weiter umgeformt werden zu

    $\sqrt[5]{32^2}=\sqrt[5]{2^{10}}=\left(2^{10}\right)^{\frac15}=2^{10\cdot \frac15}=2^2=4$.