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Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo)

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Mathe-Team
Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo)

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video kannst du an verschiedenen Aufgaben üben, wie man Wurzeln als Potenzen schreibt. Dazu musst du die jeweiligen Gleichungen auch lösen. Wir wünschen dir viel Spaß und natürlich Erfolg!

Transkript Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo)

Hallo. Schön, dass du wieder mal da bist. Heute werden wir gemeinsam Wurzeln in Potenzen umformen. Zunächst schauen wir uns noch einmal die Regel an. Dann lösen wir erst einfache, dann etwas schwerere Aufgaben.

Wie du sicherlich weißt, wurde folgende Schreibweise festgelegt: n-te Wurzel a ist gleich a hoch 1 durch n.

Dies kann man auch für negative Exponenten formulieren. Da a hoch minus n gleich 1 durch a hoch n ist, gilt, dass a hoch minus 1 durch n gleich 1 durch a hoch 1 durch n gleich 1 durch n-te Wurzel a ist.

Auf dieser Grundlage wollen wir nun ein paar Beispiele betrachten.

Beispielaufgaben: Wurzelterme als Potenzen (einfach)

Nehmen wir also als erstes den Term, die Quadratwurzel von 12. Deine Aufgabe ist es, den Wurzelterm als Potenz umzuformen. Wie kannst du an eine solche Aufgabe herangehen? Die Regel lautet, dass die n-te Wurzel von a gleich a hoch 1 durch n ist. Da es sich um eine Quadratwurzel handelt könnten wir auch schreiben: Die zweite Wurzel von 12. Wenden wir die Regel an, so erhalten wir für die Quadratwurzel von 12 das Ergebnis 12 hoch ½.

Verstanden? Dann schauen wir noch einen Wurzelterm mit einer Quadratwurzel an. Dieses Mal soll der Term 1 durch die Quadratwurzel von 3 als Potenz umgeformt werden. Wenden wir wieder die Regel an so erhalten wir als Ergebnis: 1 durch 3 hoch ½. Das Ergebnis können wir weiter umformen. Denn 1 durch 3 hoch ½ ist 3 hoch -1/2.

Nun betrachten wir einen Wurzelterm ohne eine Quadratwurzel. Das Beispiel lautet die vier mal a-te Wurzel von 45. Wie lautet der Term als Potenz? Richtig. 45 hoch 1 durch 4a

Nun haben wir das Prinzip verstanden. Also betrachten wir etwas kompliziertere Terme.

Beispielaufgaben: Wurzelterme als Potenzen (schwer)

Du sollst nun den Wurzelterm die dritte Wurzel aus Wurzel 64 mithilfe von Potenzen vereinfachen. Die dritte Wurzel aus Wurzel 64 ist gleich die Wurzel 64 hoch ⅓. Das kann weiter umgeformt werden. Wurzel 64 hoch ⅓ ist gleich 64 hoch ½ in Klammern hoch ⅓.

Nun haben wir einen Potenzterm. Diesen können wir mithilfe der Potenzgesetze vereinfachen. Erinnerst du dich, wie das geht? Wir potenzieren Potenzen, indem wir die Exponenten multiplizieren. Also ist 64 hoch ½ in Klammern hoch ⅓ gleich 64 hoch in Klammern ½ mal ⅓. Das ist 64 hoch ⅙. Also im Prinzip die sechste Wurzel von 64. Der Taschenrechner verrät uns, dass das Ergebnis 2 lautet.

Hier kommt das nächste Beispiel: Der Wurzelterm die fünfte Wurzel aus der Quadratwurzel aus der vierten Wurzel aus a soll von dir vereinfacht werden. Die fünfte Wurzel aus der Quadratwurzel aus der vierten Wurzel aus a

  • ist die Quadratwurzel aus der vierten Wurzel aus a hoch ⅕
  • ist die vierte Wurzel aus a hoch 1/2 in Klammern hoch ⅕
  • ist a hoch ¼ in Klammern hoch ½ in Klammern hoch ⅕.

Diesen Potenzterm können wir wieder mithilfe der Potenzgesetze vereinfachen und rechnen a hoch in Klammern ¼ mal ½ mal ⅕. Das ergibt a hoch 1/40, also die vierzigste Wurzel aus a.

Schluss

So, das war es mal wieder für heute. Du warst sehr fleißig und hast hoffentlich alles verstanden und kannst das Gelernte nun selbst anwenen! Ich wünsche dir auf jeden Fall jetzt noch einen schönen Tag!

Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Schreibe den Term als Potenz.

    Tipps

    Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent nicht geschrieben.

    Es ist $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

    Für Potenzen mit negativem Exponenten gilt:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Lösung

    Zunächst kann die Quadratwurzel mit dem Wurzelexponenten $2$ geschrieben werden:

    $\sqrt3=\sqrt[2]3$.

    Damit ist $\sqrt3=3^{\frac12}$.

    Da für Potenzen mit negativem Exponenten gilt

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$,

    kann weiter umgeformt werden zu

    $\frac1{\sqrt3}=3^{-\frac12}$.

    Paula hat also beide Male Recht gehabt, Peter nur mit seiner zweiten Aussage.

  • Berechne den Wert der Wurzel.

    Tipps

    Verwende $\sqrt[3]a=a^{\frac13}$.

    Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Die Wurzel aus einer Wurzel sieht erst einmal sehr kompliziert aus: Man kann jede der Wurzeln als Potenz schreiben und beginnt dabei mit der äußeren Wurzel:

    $\sqrt[3]a=a^{\frac13}$.

    Damit ist

    $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\left(\sqrt{64}\right)^{\frac13}$.

    Nun lässt sich auch die Quadratwurzel als Potenz schreiben:

    $\sqrt{64}=64^{\frac12}$.

    Insgesamt ergibt sich

    $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\left(64^{\frac12}\right)^{\frac13}$.

    Nun kann man die Regel verwenden, dass Potenzen potenziert werden, in dem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird:

    $\left(64^{\frac12}\right)^{\frac13}=64^{\frac12\cdot\frac13}=64^{\frac16}=\sqrt[6]{64}$.

    Da $64=2^6$ ist, kann nun der gesuchte Wert angegeben werden:

    $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=2$.

  • Ordne dem Potenzterm den Wurzelterm zu.

    Tipps

    Verwende die Regeln

    • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ und
    • $a^{-\frac1n}=\frac1{\sqrt[n]a}$.

    Beachte, dass es keine negativen Wurzelexponenten gibt.

    Lösung

    Es werden die beiden Regeln

    • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ und
    • $a^{-\frac1n}=\frac1{\sqrt[n]a}$
    verwendet:
    • $u^{\frac15}=\sqrt[5]u$,
    • $u^{-\frac15}=\frac1{\sqrt[5]u}$,
    • $(12a)^{\frac14}=\sqrt[4]{12a}$ und
    • $(12a)^{-\frac14}=\frac1{\sqrt[4]{12a}}$.

  • Berechne den Wert des Terms.

    Tipps

    Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Für Potenzen mit negativen Exponenten gilt:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Lösung

    Um $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}$ zu berechnen wird zunächst die innere Wurzel als Potenz geschrieben:

    $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}=\left(0,0625^{\frac12}\right)^{-\frac12}$.

    Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird. Die Exponenten sind in diesem Fall $\frac12$ und $-\frac12$. Das Produkt dieser beiden ist $-\frac14$.

    Somit ist

    $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}=0,0625^{-\frac14}$.

    Die Potenz mit dem negativen Exponenten kann wie folgt umgeformt werden:

    $0,0625^{-\frac14}=\frac1{0,0625^{\frac14}}$.

    Da $0,5^4=0,0625$ ist, gilt umgekehrt, dass

    $0,0625^{\frac14}=0,5$ ist.

    Zusammen gilt dann:

    $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}=\frac1{0,5}=2$.

  • Gib die Regeln an, wie Wurzeln als Potenzen geschrieben werden können.

    Tipps

    Es gilt $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Wenn du die $n$-te Wurzel mit $n$ potenzierst, erhältst du

    $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.

    Das bedeutet, dass die $n$-te Wurzel die $n$-te Potenz umkehrt.

    Es gilt die Potenzregel:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Es gilt

    $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

    Was ist mit Potenzen mit negativen rationalen Exponenten?

    Hierfür wird die Regel:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$

    verwendet. Somit ist also

    $a^{-\frac1n}=\frac1{a^{\frac1n}}=\frac1{\sqrt[n]a}$.

  • Berechne die Kantenlängen des Quaders.

    Tipps

    Berechne die Kantenlänge des Würfels.

    Es ist $b=h=2a$ und $l=3a$.

    Verwende die Volumenformel für einen Würfel $V=a^3$.

    Lösung

    Da der Quader aus $12$ Würfeln besteht, von denen jeder das Volumen $V=a^3$ hat, gilt

    $12\cdot a^3=1500~cm^3$.

    Durch Division durch $12$ auf beiden Seiten erhält man

    $a^3=125~cm^3$.

    Es muss die dritte Wurzel gezogen werden: $a=\sqrt[3]{125~cm^3}$. Da $125=5^3$ ist, gilt $a=5~cm$.

    Dieses $a$ benötigt man für die Berechnung der Kantenlängen des Quaders. Wie in dem Bild zu erkennen ist, beträgt

    • die Länge des Quaders das Dreifache von $a$, also $l=3\cdot 5~cm=15~cm$ und
    • die Breite sowie Höhe das Doppelte von $a$ und somit $b=h=2\cdot 5~cm=10~cm$.

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