Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo) 04:37 min

Hallo. Schön, dass du wieder mal da bist. Heute werden wir gemeinsam Wurzeln in Potenzen umformen. Zunächst schauen wir uns noch einmal die Regel an. Dann lösen wir erst einfache, dann etwas schwerere Aufgaben.

Wie du sicherlich weißt, wurde folgende Schreibweise festgelegt: n-te Wurzel a ist gleich a hoch 1 durch n.

Dies kann man auch für negative Exponenten formulieren. Da a hoch minus n gleich 1 durch a hoch n ist, gilt, dass a hoch minus 1 durch n gleich 1 durch a hoch 1 durch n gleich 1 durch n-te Wurzel a ist.

Auf dieser Grundlage wollen wir nun ein paar Beispiele betrachten.

Beispielaufgaben: Wurzelterme als Potenzen (einfach)

Nehmen wir also als erstes den Term, die Quadratwurzel von 12. Deine Aufgabe ist es, den Wurzelterm als Potenz umzuformen. Wie kannst du an eine solche Aufgabe herangehen? Die Regel lautet, dass die n-te Wurzel von a gleich a hoch 1 durch n ist. Da es sich um eine Quadratwurzel handelt könnten wir auch schreiben: Die zweite Wurzel von 12. Wenden wir die Regel an, so erhalten wir für die Quadratwurzel von 12 das Ergebnis 12 hoch ½.

Verstanden? Dann schauen wir noch einen Wurzelterm mit einer Quadratwurzel an. Dieses Mal soll der Term 1 durch die Quadratwurzel von 3 als Potenz umgeformt werden. Wenden wir wieder die Regel an so erhalten wir als Ergebnis: 1 durch 3 hoch ½. Das Ergebnis können wir weiter umformen. Denn 1 durch 3 hoch ½ ist 3 hoch -1/2.

Nun betrachten wir einen Wurzelterm ohne eine Quadratwurzel. Das Beispiel lautet die vier mal a-te Wurzel von 45. Wie lautet der Term als Potenz? Richtig. 45 hoch 1 durch 4a

Nun haben wir das Prinzip verstanden. Also betrachten wir etwas kompliziertere Terme.

Beispielaufgaben: Wurzelterme als Potenzen (schwer)

Du sollst nun den Wurzelterm die dritte Wurzel aus Wurzel 64 mithilfe von Potenzen vereinfachen. Die dritte Wurzel aus Wurzel 64 ist gleich die Wurzel 64 hoch ⅓. Das kann weiter umgeformt werden. Wurzel 64 hoch ⅓ ist gleich 64 hoch ½ in Klammern hoch ⅓.

Nun haben wir einen Potenzterm. Diesen können wir mithilfe der Potenzgesetze vereinfachen. Erinnerst du dich, wie das geht? Wir potenzieren Potenzen, indem wir die Exponenten multiplizieren. Also ist 64 hoch ½ in Klammern hoch ⅓ gleich 64 hoch in Klammern ½ mal ⅓. Das ist 64 hoch ⅙. Also im Prinzip die sechste Wurzel von 64. Der Taschenrechner verrät uns, dass das Ergebnis 2 lautet.

Hier kommt das nächste Beispiel: Der Wurzelterm die fünfte Wurzel aus der Quadratwurzel aus der vierten Wurzel aus a soll von dir vereinfacht werden. Die fünfte Wurzel aus der Quadratwurzel aus der vierten Wurzel aus a

• ist die Quadratwurzel aus der vierten Wurzel aus a hoch ⅕
• ist die vierte Wurzel aus a hoch 1/2 in Klammern hoch ⅕
• ist a hoch ¼ in Klammern hoch ½ in Klammern hoch ⅕.

Diesen Potenzterm können wir wieder mithilfe der Potenzgesetze vereinfachen und rechnen a hoch in Klammern ¼ mal ½ mal ⅕. Das ergibt a hoch 1/40, also die vierzigste Wurzel aus a.

Schluss

So, das war es mal wieder für heute. Du warst sehr fleißig und hast hoffentlich alles verstanden und kannst das Gelernte nun selbst anwenen! Ich wünsche dir auf jeden Fall jetzt noch einen schönen Tag!