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Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo)

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Mathe-Team
Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln als Potenzen schreiben (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Schreibe den Term als Potenz.

    Tipps

    Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent nicht geschrieben.

    Es ist $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

    Für Potenzen mit negativem Exponenten gilt:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Lösung

    Zunächst kann die Quadratwurzel mit dem Wurzelexponenten $2$ geschrieben werden:

    $\sqrt3=\sqrt[2]3$.

    Damit ist $\sqrt3=3^{\frac12}$.

    Da für Potenzen mit negativem Exponenten gilt

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$,

    kann weiter umgeformt werden zu

    $\frac1{\sqrt3}=3^{-\frac12}$.

    Paula hat also beide Male Recht gehabt, Peter nur mit seiner zweiten Aussage.

  • Berechne den Wert der Wurzel.

    Tipps

    Verwende $\sqrt[3]a=a^{\frac13}$.

    Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Die Wurzel aus einer Wurzel sieht erst einmal sehr kompliziert aus: Man kann jede der Wurzeln als Potenz schreiben und beginnt dabei mit der äußeren Wurzel:

    $\sqrt[3]a=a^{\frac13}$.

    Damit ist

    $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\left(\sqrt{64}\right)^{\frac13}$.

    Nun lässt sich auch die Quadratwurzel als Potenz schreiben:

    $\sqrt{64}=64^{\frac12}$.

    Insgesamt ergibt sich

    $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\left(64^{\frac12}\right)^{\frac13}$.

    Nun kann man die Regel verwenden, dass Potenzen potenziert werden, in dem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird:

    $\left(64^{\frac12}\right)^{\frac13}=64^{\frac12\cdot\frac13}=64^{\frac16}=\sqrt[6]{64}$.

    Da $64=2^6$ ist, kann nun der gesuchte Wert angegeben werden:

    $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=2$.

  • Ordne dem Potenzterm den Wurzelterm zu.

    Tipps

    Verwende die Regeln

    • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ und
    • $a^{-\frac1n}=\frac1{\sqrt[n]a}$.

    Beachte, dass es keine negativen Wurzelexponenten gibt.

    Lösung

    Es werden die beiden Regeln

    • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ und
    • $a^{-\frac1n}=\frac1{\sqrt[n]a}$
    verwendet:
    • $u^{\frac15}=\sqrt[5]u$,
    • $u^{-\frac15}=\frac1{\sqrt[5]u}$,
    • $(12a)^{\frac14}=\sqrt[4]{12a}$ und
    • $(12a)^{-\frac14}=\frac1{\sqrt[4]{12a}}$.

  • Berechne den Wert des Terms.

    Tipps

    Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Für Potenzen mit negativen Exponenten gilt:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Lösung

    Um $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}$ zu berechnen wird zunächst die innere Wurzel als Potenz geschrieben:

    $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}=\left(0,0625^{\frac12}\right)^{-\frac12}$.

    Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird. Die Exponenten sind in diesem Fall $\frac12$ und $-\frac12$. Das Produkt dieser beiden ist $-\frac14$.

    Somit ist

    $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}=0,0625^{-\frac14}$.

    Die Potenz mit dem negativen Exponenten kann wie folgt umgeformt werden:

    $0,0625^{-\frac14}=\frac1{0,0625^{\frac14}}$.

    Da $0,5^4=0,0625$ ist, gilt umgekehrt, dass

    $0,0625^{\frac14}=0,5$ ist.

    Zusammen gilt dann:

    $\left(\sqrt{0,0625}\right)^{-\frac12}=\frac1{0,5}=2$.

  • Gib die Regeln an, wie Wurzeln als Potenzen geschrieben werden können.

    Tipps

    Es gilt $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Wenn du die $n$-te Wurzel mit $n$ potenzierst, erhältst du

    $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.

    Das bedeutet, dass die $n$-te Wurzel die $n$-te Potenz umkehrt.

    Es gilt die Potenzregel:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Es gilt

    $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

    Was ist mit Potenzen mit negativen rationalen Exponenten?

    Hierfür wird die Regel:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$

    verwendet. Somit ist also

    $a^{-\frac1n}=\frac1{a^{\frac1n}}=\frac1{\sqrt[n]a}$.

  • Berechne die Kantenlängen des Quaders.

    Tipps

    Berechne die Kantenlänge des Würfels.

    Es ist $b=h=2a$ und $l=3a$.

    Verwende die Volumenformel für einen Würfel $V=a^3$.

    Lösung

    Da der Quader aus $12$ Würfeln besteht, von denen jeder das Volumen $V=a^3$ hat, gilt

    $12\cdot a^3=1500~cm^3$.

    Durch Division durch $12$ auf beiden Seiten erhält man

    $a^3=125~cm^3$.

    Es muss die dritte Wurzel gezogen werden: $a=\sqrt[3]{125~cm^3}$. Da $125=5^3$ ist, gilt $a=5~cm$.

    Dieses $a$ benötigt man für die Berechnung der Kantenlängen des Quaders. Wie in dem Bild zu erkennen ist, beträgt

    • die Länge des Quaders das Dreifache von $a$, also $l=3\cdot 5~cm=15~cm$ und
    • die Breite sowie Höhe das Doppelte von $a$ und somit $b=h=2\cdot 5~cm=10~cm$.

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