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Wurzeln als Potenzen schreiben

In vielen Anwendungen ist es sinnvoll, Wurzeln als Potenzen zu schreiben. Insbesondere kannst du damit bei Wurzeln die Potenzgesetze anwenden.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist eine Potenz?

Schaue dir die folgende Gleichung an:

6663mal=63\underbrace{6\cdot 6\cdot 6}_{3-\text{mal}}=6^3.

Der Term 636^3 wird als Potenz bezeichnet. Du sagst: „Sechs hoch drei.“ Übrigens ist 63=2166^3=216 das Ergebnis. Das Ergebnis einer Potenz wird als Potenzwert bezeichnet.

Potenz

Wenn du nun umgekehrt wissen möchtest, welches Zahl mit 33 potenziert 216216 ergibt, weißt du entweder, dass 63=2166^3=216 ist, oder du musst mit Wurzeln rechnen.

Für das Rechnen mit Potenzen gibt es verschiedene Potenzgesetze:

Das Produkt von Potenzen: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert:

anam=an+m\quad a^n\cdot a^m=a^{n+m}.

Der Quotient von Potenzen: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert, wobei der Exponent vom Nenner vom Exponenten des Zählers subtrahiert wird :

anam=anm\quad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}.

Das Potenzieren von Potenzen: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten multipliziert:

(an)m=anm\quad \left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}.

Das Potenzieren von Produkten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert:

(ab)n=anbn\quad (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n.

Das Potenzieren von Quotienten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert:

(ab)n=anbn\quad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.

Was ist eine Wurzel?

Die nicht-negative Zahl x=anx=\sqrt[n]{a}, die mit nn potenziert aa ergibt, heißt n-te Wurzel aus aa.

  • aa, der Term unter der Wurzel, ist eine nicht-negative reelle Zahl, aR+a\in\mathbb{R}^+. Dieser Term wird als Radikand bezeichnet.
  • nN+n\in\mathbb{N}_{+}: Dies ist der sogenannte Wurzelexponent.

Das Ziehen einer Wurzel, oder auch Radizieren genannt, entspricht also der Lösung der Gleichung a=xna=x^n mit der unbekannten Größe xx.

Schauen wir uns zunächst einmal spezielle Wurzeln an.

Der Wurzelexponent

  • Den Wurzelexponenten 22 schreibst du nicht auf. Es ist 36=362=6\sqrt{36}=\sqrt[2]{36}=6 die Quadratwurzel von 3636. Das Ziehen der Quadratwurzel ist die Umkehroperation zum Quadrieren.
  • Die Kubikwurzel ist die Wurzel mit dem Wurzelexponenten 33. Die Kubikwurzel kehrt das Potenzieren mit dem Exponenten 33 um: 2163=6\sqrt[3]{216}=6.

Nun weißt du, was eine Wurzel ist. Wenden wir uns also dem Thema Wurzeln als Potenzen zu.

Wurzeln als Potenzen schreiben

In vielen Zusammenhängen ist es von Vorteil, Wurzeln als Potenzen zu schreiben.

Du kannst zum Beispiel die oben genannten Potenzgesetze anwenden.

Zunächst schreiben wir die Eigenschaft, dass das Ziehen einer nn-ten Wurzel das Potenzieren mit nn umkehrt, mathematisch auf:

  1. (an)n=a\left(\sqrt[n]a\right)^n=a sowie
  2. ann=a\sqrt[n]{a^n}=a

Die n-te Wurzel als Potenz

  • Es sei b=anb=\sqrt[n]a, dann ist bn=(an)n=ab^n=\left(\sqrt[n]a\right)^n=a.
  • Da a=a1=anna=a^1=a^{\frac nn} ist, folgt bn=ann=(a1n)nb^n=a^{\frac nn}=\left(a^{\frac1n}\right)^n. Hier wird das Potenzgesetz zum Potenzieren von Potenzen verwendet.
  • Schließlich ist bn=(a1n)nb^n=\left(a^{\frac1n}\right)^n und damit durch Ziehen der nn-ten Wurzel b=a1nb=a^{\frac1n}.

Du kannst dir also für die nn-te Wurzel merken:

an=a1n\sqrt[n]a=a^{\frac1n} .

Beispiele

  • 2163=21613=6\sqrt[3]{216}=216^{\frac13}=6
  • 164=1614=2\sqrt[4]{16}=16^{\frac14}=2
  • x5=x15\sqrt[5]{x}=x^{\frac15}

Wenn durch die n-te Wurzel dividiert wird

Du kannst auch den Term 1an\frac1{\sqrt[n] a} als Potenz schreiben. Hierfür verwendest du 1b=b1\frac1{b}=b^{-1} und das Potenzgesetz zum Potenzieren von Potenzen:

  • 1an=(an)1\frac1{\sqrt[n] a}=\left(\sqrt[n] a\right)^{-1}
  • Da an=a1n\sqrt[n] a=a^{\frac1n} ist, folgt damit 1an=(a1n)1\frac1{\sqrt[n] a}=\left(a^{\frac1n}\right)^{-1}.
  • Schließlich erhältst du 1an=a1n\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}.

Merke dir also:

1an=a1n\frac1{\sqrt[n]a}=a^{-\frac1n}.

Potenzen mit rationalen Exponenten

Wir schauen uns nun also an, was ein rationaler Exponent, also ein Bruch im Exponenten bewirkt. Hierfür verwenden wir die beiden oben bereits hergeleiteten Schreibweisen für Wurzeln als Potenzen:

amn=(am)1na^{\frac mn}=\left(a^m\right)^{\frac1n}.

Wenn in der Potenz der Bruch 1n\frac1n steht, kannst du die Potenz als Wurzel schreiben:

amn=amna^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}.

Du kannst die Potenz auch wie folgt klammern:

amn=(an)ma^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m.

Merke dir: Der Nenner des Exponenten ist der Wurzelexponent und der Zähler der Exponent. Zur Veranschaulichung sei m=3m=3 und n=8n=8, es ist also eine Potenz mit einem rationalen Exponenten 38\frac{3}{8} gegeben.

a38=(a3)18=a38=(a8)3a^{\frac{3}{8}}=\left(a^3\right)^{\frac1 8}=\sqrt[8]{a^3}=\left(\sqrt[8]{a}\right)^3

Dies funktioniert auch bei negativen rationalen Exponenten:

amn=1amn=1(an)ma^{-\frac mn}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}}=\frac1{\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}.

Wurzelgesetze

Der Vollständigkeit halber siehst du hier noch die Wurzelgesetze, welche aus den Potenzgesetzen hergeleitet werden können:

  • Das Produkt von Wurzeln: Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Radikanden multipliziert und den Wurzelexponenten beibehält.

anbn=a1nb1n=(ab)1n=abn\quad \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}= (a \cdot b)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a\cdot b}

2252=9252=(925)12=92252=35=15\quad \sqrt[2]{225}=\sqrt[2]{9 \cdot 25}=(9 \cdot 25)^{ \frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9} \cdot \sqrt[2]{25}=3 \cdot 5=15

  • Der Quotient von Wurzeln: Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert und den Wurzelexponenten beibehält.

anbn=a1nb1n=(ab)1n=abn\quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=(\frac{a}{b})^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\frac ab}

81164=(8116)14=81141614=814164=32\quad \sqrt[4]{\frac{81}{16}}=(\frac{81}{16})^{\frac{1}{4}}=\frac{81^{\frac{1}{4}}}{16^{\frac{1}{4}}}= \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}

  • Wurzeln von Wurzeln: Du ziehst die Wurzel einer Wurzel, indem du die Wurzelexponenten multiplizierst und den Radikanden beibehältst.

anm=(a1n)1m=a1n1m=amn\quad \sqrt[m]{\sqrt[n]a}=(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}}=\sqrt[m\cdot n]a

664=6324=641213=(6412)13=6243=83=2 \quad \sqrt[6]64=\sqrt[3\cdot 2]64=64^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}= (64^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\sqrt[2]64}=\sqrt[3]{8}=2

An dieser Umformung kannst du nun sehen, wie unter Verwendung des Potenzgesetzes Potenzieren von Potenzen dieses Gesetz nachgewiesen werden kann.