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Die n-te Wurzel (Übungsvideo)

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Die Autor/-innen
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Wolfgang Tews
Die n-te Wurzel (Übungsvideo)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Die n-te Wurzel (Übungsvideo)

In diesem Video werden die verschiedenen Schreibweisen von n-ten Wurzeln geübt. Rechne mit und vergleiche deine Ergebnisse mit meinen! Für unterschiedliche Aufgaben mit n-ten Wurzeln werden mit Hilfe von Potenzgesetzen die Lösungen bestimmt. Zum Schluss wird an einer Textaufgabe die Lösung mit Hilfe der Wurzelrechnung ermittelt. Am Ende des Videos fasse ich wieder das Wichtigste für dich zusammen.

Die n-te Wurzel (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die n-te Wurzel (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Wurzel oder den Kehrwert der Wurzel als Exponent mit positivem oder negativem Exponenten dar.

    Tipps

    Verwende die folgenden Gleichungen:

    • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
    • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

    Die $n$-te Wurzel kehrt das Potenzieren mit $n$ um.

    Wenn $3^4=81$ gilt, so ist $\sqrt[4]{81}=3$.

    Lösung

    Es werden die folgenden Gleichungen verwendet:

    • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
    • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.
    1. $\sqrt[4]{10000}=10000^{\frac14}=10$, da $10^4=10000$ gilt.
    2. $\sqrt[3]{0,064}=0,064^{\frac13}=0,4$, da $0,4^3=0,064$ gilt.
    3. $\frac1{\sqrt[3]{1331}}=1331^{-\frac13}=\frac1{1331^{\frac13}}=\frac1{11}$, da $11^3=1331$ ist.
    4. $\frac1{\sqrt[2]{0,0001}}=0,0001^{-\frac12}=\frac1{0,0001^{\frac12}}=\frac1{0,01}=100$, da $0,01^2=0,0001$ ist.

  • Berechne die Fallzeit in Sekunden.

    Tipps

    Forme die Gleichung $h=\frac12 \cdot g \cdot t^2$ so um, dass $t$ alleine steht.

    In die umgeformte Gleichung kannst du $h=20~m$ einsetzen.

    Du kannst auch direkt $h=20~m$ einsetzen und die Gleichung $20 \,m= \frac12 \cdot 10\,\frac{m}{s^2} \cdot t^2$ nach $t$ auflösen.

    Führe eine Probe mit deinem Ergebnis durch.

    Lösung

    Es muss die Gleichung $h=5\cdot t^2$ nach $t$ umgeformt werden:

    $\begin{align*} h&=\frac12 \cdot g \cdot t^2&|&:\frac{1}{2}\cdot g\\ t^2&=\frac {2\cdot h}g&|&\sqrt{~}\\ t&=\sqrt{\frac {2\cdot h}g}\\ \end{align*}$

    Nun kann die Fallhöhe $h=20\,m$ und $=10\,\frac{m}{s^2}$ eingesetzt werden und man erhält

    $\begin{align*} t&=\sqrt{\frac {2\cdot 20\,m}{10\,\frac{m}{s^2}}}\\ t&=\sqrt{4\,s^2}\\ t&=2\,s\\ \end{align*}$.

    Die Fallzeit aus einer Fallhöhe $20~m$ beträgt somit $2$ Sekunden.

  • Ordne der Wurzelschreibweise die Potenzschreibweise sowie das Ergebnis zu.

    Tipps

    Verwende die Gleichungen

    • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
    • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$
    zur Umformung der Wurzeln in Potenzschreibweise.

    Du kannst die folgenden Regeln für das Rechnen mit Potenzen verwenden:

    • $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ sowie
    • $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Es gilt $5^4=625$.

    Lösung

    Zur Umformung in die Potenzschreibweise werden

    • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
    • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$
    verwendet.
    1. $\sqrt[5]{1024}=1024^{\frac15}=4$, da $4^5=1024$ ist.
    2. $\frac1{\sqrt[4]{0,0625}}=0,0625^{-\frac14}=\frac1{0,0625^{\frac14}}=\frac1{0,5}=2$, da $0,5^4=0,0625$ ist.

  • Ermittle den Wert von $\sqrt[3]{1,728}$.

    Tipps

    Du kannst die Gleichung

    $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$

    verwenden.

    Verwende die Regel zum Rechnen mit Potenzen:

    $\left( \frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

    Es gilt $12^3=1728$.

    Lösung

    Man kann $\sqrt[3]{1,728}$ zunächst als Potenz mit positivem Exponenten schreiben:

    $\sqrt[3]{1,728}=1,728^{\frac13}$.

    Da $12^3=1728$ ist, gilt $1,2^3=(12\cdot 0,1)^3=12^3\cdot 0,1^3=1728\cdot 0,001=1,728$.

    Also ist $1,728^{\frac13}=\left(1,2^3\right)^{\frac13}=1,2^{3\cdot\frac13}=1,2^1=1,2$.

  • Gib an, wie die $n$-te Wurzel und ihr Kehrwert als Potenz geschrieben werden kann.

    Tipps

    Es gilt $\left(a^{\frac1n}\right)^n=a$.

    Es gilt $\frac1{a^n}=a^{-n}$.

    Lösung

    Die Wurzel ist wie folgt definiert:

    Gilt $a≥0$ und $a\in \mathbb{R}$ und $n>0$, $n\in \mathbb{N}$, dann bezeichnet man mit $x=\sqrt[n] a$ diejenige nicht-negative Zahl $x$, welche mit $n$ potenziert $a$ ergibt.

    Dabei ist

    • $n$ der Wurzelexponent und
    • $a$ der Radikand, die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird.
    Wurzeln können auch als Potenzen geschrieben werden:
    • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
    • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

  • Leite den Radius des Grundkreises eines Zylinders her.

    Tipps

    Du kennst die Formel zur Berechnung des Volumens.

    Überlege dir:

    • Was ist gegeben und
    • was ist gesucht.

    • Gegeben ist das Fassungsvermögen der Dose, also das Volumen und die Höhe,
    • gesucht ist der Radius der Dose.

    In der Volumenformel wird der Radius quadriert. Du musst also an einer Stelle die Wurzel ziehen.

    Lösung

    Es muss die Gleichung $330=\pi\cdot r^2\cdot 17$ nach $r$ umgeformt werden:

    $\begin{align*} 330&=\pi\cdot r^2\cdot 17&|&:(17\cdot \pi) \\ r^2& =\frac{330}{17\cdot \pi} &|&\sqrt{}\\ r&=\sqrt{\frac{330}{17\cdot \pi}}\\ &\approx 2,5. \end{align*}$

    Die Getränkedose hat also einen Radius von ungefähr $2,5~cm$.

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