30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Die n-te Wurzel – Beispiele

Bewertung

Ø 5.0 / 3 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Wolfgang Tews
Die n-te Wurzel – Beispiele
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Die n-te Wurzel – Beispiele

In diesem Video werden Beispiele für unterschiedliche Schreibweisen von n-ten Wurzeln gezeigt. Zuerst werden die Schreibweisen von n-ten Wurzeln und ihrer Kehrwerte wiederholt. Im Anschluss siehst du an Beispielen, wie diese Schreibweisen zur Bestimmung von Lösungen zu n-ten Wurzeln angewendet werden. Die wichtigsten Gesetze zur Umformung von n-ten Wurzeln in Potenzen werden am Ende des Videos noch einmal für dich zusammengefasst.

Die n-te Wurzel – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die n-te Wurzel – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Wurzeln als Potenz mit positivem Exponenten an und bestimme die Lösung.

    Tipps

    Die $n$-te Wurzel kehrt das Potenzieren mit $n$ um.

    Wenn du wissen möchtest, welchen Wert die $n$-te Wurzel von $a$ hat, musst du überlegen, welche Zahl hoch $n$ $a$ ergibt.

    Lösung

    • Da $2^3=8$ ist, kann man umgekehrt folgern, dass $\sqrt[3]8=8^{\frac13}=2$ ist.
    • Da $5^4=625$ ist, kann man umgekehrt folgern, dass $\sqrt[4]{625}=625^{\frac14}=5$ ist.
    • Da $3^5=243$ ist, kann man umgekehrt folgern, dass $\sqrt[5]{243}=243^{\frac15}=3$ ist.
    Diese Art eine Wurzel zu bestimmen funktioniert nur, wenn der Wurzelwert eine ganze Zahl ist.

  • Berechne die Wurzel.

    Tipps

    Es gilt $6^3=216$.

    Mit der Rechenregel für Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ gilt

    $(6\cdot 0,1)^3=6^3\cdot 0,1^3=216\cdot 0,001=0,216$.

    Potenzen mit negativen Exponenten können wie folgt umgeschrieben werden:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Lösung

    Zunächst kann die Schreibweise für den Kehrwert von Wurzeln angewendet werden $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$:

    $\frac1{\sqrt[3]{0,216}}=0,216^{-\frac13}$.

    Unter Verwendung einer Regel für das Rechnen mit Potenzen kann weiter umgeformt werden zu

    $0,216^{-\frac13}=\frac1{0,216^{\frac13}}$.

    Mit der Rechenregel für Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ gilt

    $(6\cdot 0,1)^3=6^3\cdot 0,1^3=216\cdot 0,001=0,216$. Also ist $0,6^3=0,216$. Damit ist

    $\frac1{\sqrt[3]{0,216}}=\frac1{0,6}$.

  • Bestimme zu jeder Potenzschreibweise die Wurzel und berechne die Lösung.

    Tipps

    Es gilt:

    • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
    • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

    Um die $n$-te Wurzel von $a$ zu berechnen, deren Wert ganzzahlig ist, überlegst du dir, welche Zahl mit $n$ potenziert $a$ ergibt.

    Da $2^4=16$ ist, gilt $\sqrt[4]{16}=2$.

    Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent nicht aufgeschrieben:

    $\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}$.

    Lösung

    Wenn die Potenzen bekannt sind, kann umgekehrt die entsprechende Wurzel angegeben werden:

    • $4^4=256$, somit ist $4^{\frac14}=\sqrt[4]{256}=4$.
    • $16^2=256$, somit ist $256^{\frac12}=\sqrt{256}=16$.
    • $3^6=729$, somit ist $729^{\frac16}=\sqrt[6]{729}=3$.
    • $9^3=729$, somit ist $729^{\frac13}=\sqrt[3]{729}=9$.
    • $8^3=512$, somit ist $512^{\frac13}=\sqrt[3]{512}=8$.

  • Leite den Wert der Potenz $\left(\frac8{27}\right)^{-\frac13}$ her.

    Tipps

    Es gilt

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Wird ein Bruch mit einer negativen Zahl potenziert, so kann man auch den Kehrwert des Bruches mit der positiven Zahl potenzieren:

    $\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n$.

    Es gilt die Regel für das Rechnen mit Potenzen:

    $\left( \frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

    Lösung

    Zur Berechnung von $\left(\frac8{27}\right)^{-\frac13}$ kann zunächst der Kehrwert des Bruches mit dem positiven Exponenten potenziert werden:

    $\left(\frac8{27}\right)^{-\frac13}=\left(\frac{27}8\right)^{\frac13}$.

    Unter Verwendung von $\left( \frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ erhält man

    $\left(\frac{27}8\right)^{\frac13}=\frac{27^\frac13}{8^\frac13}$.

    Da Brüche im Exponenten als Wurzeln geschrieben werden können, lässt sich dieser Term umformen zu

    $\frac{27^\frac13}{8^\frac13}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]8}$.

    Es gilt

    • $3^3=27$ und
    • $2^3=8$
    und somit

    $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]8}=\frac32=1,5$.

  • Erkläre, wie man die $n$-te Wurzel als Potenz schreiben kann.

    Tipps

    Es gilt $\frac1{a^n}=a^{-n}$.

    Es gilt $\left(a^{\frac1n}\right)^n=a$.

    Lösung

    Wurzeln können auch als Potenzen geschrieben werden:

    • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
    • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.
    Zum Nachweis der Identität $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ beginnt man mit $a=a^1=a^{\frac nn}$.

    Nun können Regeln für das Rechnen mit Potenzen angewendet werden:

    $\begin{align*} a^{\frac nn}&=a^{\frac1n \cdot n}\\ &=\left( a^{\frac1n}\right)^n. \end{align*}$

    Da die $n$-te Wurzel die Umkehrung des Potenzierens mit $n$ ist, gilt

    $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.

    Da die Werte der beiden Potenzen übereinstimmen, müssen auch die Basen übereinstimmen. Es gilt also

    $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$.

    Da $\frac1{a^n}=a^{-\frac1n}$ ist, kann auch

    $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$

    abgeleitet werden.

  • Ermittle den Wert von $4,096^{\frac13}$.

    Tipps

    Das Erebnis ist eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.

    $4096$ ist eine Zweierpotenz: Es gilt $2^{12}=4096$.

    Es gilt die Regel für das Rechnen mit Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

    $2^4=16$.

    Lösung

    Da $2^4=16$ ist und

    $4096=2^{12}=\left(2^4\right)^3=16^3$

    ist, folgt:

    $1,6^3=(16\cdot0,1)^3=16^3\cdot 0,1^3=4096\cdot0,001=4,096$.

    Somit ist $4,096^{\frac13}=\sqrt[3]{4,096}=1,6$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.819

Lernvideos

44.238

Übungen

38.884

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden