Die n-te Wurzel – Einführung 09:27 min

Hallo. Wir wollen uns heute mit der n-ten Wurzel und ihrer Schreibweise beschäftigen. Du solltest dazu wissen, was man unter einer Quadratwurzel versteht, wie Wurzelgleichungen gelöst werden, wie Potenzen definiert sind und welche Potenzgesetze gelten. Wir lernen heute den allgemeinen Zusammenhang zwischen Potenzieren und Wurzelziehen und einige Begriffe, die mit dem Wurzelziehen zusammenhängen. Die Zuordnung von Zahlen x zu ihren Quadraten x² kann mit Hilfe einer Tabelle veranschaulicht werden: 0²=0, 1²=1, 2²=4, 3²=9. Dies kann beliebig fortgesetzt werden. Die Zuordnung wird mit Potenzieren (hoch 2) beziehungsweise Quadrieren bezeichnet. Eine Zahl x mit sich selbst multiplizieren nennt man Potenzieren (hoch 2) oder Quadrieren. Liest man die Tabelle von rechts nach links, erhält man die Umkehrung des Quadrierens, dies wird als Wurzelziehen beziehungsweise Radizieren bezeichnet. Ist 9=3², dann heißt drei die zweite Wurzel aus neun oder Quadratwurzel aus neun oder kurz Wurzel aus neun. Ist 4=2², dann ist zwei die Wurzel aus vier und so weiter. Allgemein definiert man: x=a ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Man nennt x Quadratwurzel aus a. Damit ist a die nichtnegative Lösung der Gleichung x²=a. Nun betrachten wir die Zuordnung von Zahlen x zu ihren dritten Potenzen x³ wieder in einer Tabelle: 0³=0, 1³=1, 2³=8, 3³=27. Dies kann wieder beliebig fortgesetzt werden. Diese Zuordnung wird mit Potenzieren (hoch 3) bezeichnet. Liest man die Tabelle wieder von rechts nach links, erhält man die Umkehrung des Potenzierens, Wurzelziehen beziehungsweise Radizieren. Ist 27=3³, dann heißt drei die dritte Wurzel aus 27. Ist 8=2³, dann ist zwei die dritte Wurzel aus acht und so weiter. Allgemein sagt man: Gilt a=x³ mit x≥0, so heißt x=3a eben die dritte Wurzel aus a. 3a ist also die nichtnegative Lösung der Gleichung x³=a. Nun zur allgemeinen Definition der n-ten Wurzel. Gilt a≥0 und a, also dem Bereich der reellen Zahlen, und n>0 sowie n, also dem Bereich der natürlichen Zahlen größer als Null, dann bezeichnet man mit x=na diejenige nichtnegative Zahl x, die mit n potenziert a ergibt. Also xⁿ=a. Dabei gelten folgende Bezeichnungen: x=na mit n als Wurzelexponent und a als Radikand für die Zahl unter dem Wurzelzeichen. Hier ein Beispiel mit dem Wurzelexponenten vier und 256 als Radikand: 4256=4, denn 4444=4⁴=256. Und hier zu Schreibweisen für die n-te Wurzel. Wir haben gesehen, dass Potenzieren und Wurzelziehen Umkehroperationen sind. Es gilt (na)n=a beziehungsweise nan=a. Und hier ein Beispiel: (416)4=16 beziehungsweise 4164=16. Nun zu den n-ten Wurzeln in Potenzschreibweise. Mit Hilfe der bekannten Potenzgesetze kann man schreiben: a=ann=a1nn. Und dies kann man schreiben als (a1n)n. Ein Vergleich von in Klammern (a1n)n mit (na)n zeigt, dass die Klammerinhalte gleich sind, dass also gilt: na=a1n. Für den Kehrwert der n-ten Wurzel als Potenz folgt 1na=1a1n. Und das ist wiederum gleich (a1n)-1=a1n*(-1). Und das ergibt a-1n. Zum Schluss noch zwei Beispiele für die Anwendung der Schreibweisen: 416=1614=2 und 81-14=18114=1481=13. Wir fassen zusammen: Definition der Quadratwurzel: x=a ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Man nennt x Quadratwurzel aus a. Damit ist a die nichtnegative Lösung der Gleichung x²=a. Definition der n-ten Wurzel: Gilt a≥0 und a und n>0 sowie n, dann bezeichnet man mit x=na diejenige nichtnegative Zahl x, die mit n potenziert a ergibt. Also xⁿ=a. n heißt Wurzelexponent und a Radikand. Weiterhin gilt für die Potenzschreibweise von n-ten Wurzeln: na=a1n und 1na=a-1n. Das wars wieder für heute. Ich hoffe, dir hat es etwas Spaß gemacht und du hast alles verstanden. Dann bis zum nächsten Mal.