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Wurzeln und Wurzelgesetze

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Themenübersicht in Wurzeln und Wurzelgesetze

Wurzelziehen – was ist das?

Das Wurzelziehen ist die Umkehroperation des Potenzierens. Sind in einer Potenzgleichung $x^{a}=b$ die Werte für $a$ und $b$ bekannt, aber $x$ unbekannt, dann kann $x$ mit Hilfe der Wurzel ermittelt werden:

$x=\sqrt[a]{b}$

In dieser Gleichung heißt $a$ Wurzelexponent und $b$ Radikand. Betrachte das Beispiel:

$\begin{array}{rcll} x^{3}&=&64 &\vert \sqrt[3]{\phantom{x}}\\ x&=&\sqrt[3]{64}&\\ x&=&4& \end{array}$

Die zweite Wurzel aus einer Zahl $\sqrt[2]{x}$ wird auch Quadratwurzel genannt. Der Wurzelexponent kann in diesem Fall weggelassen werden, denn es gilt die Schreibweise $\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$.

Wurzeln, Potenzen und Wurzelgesetze

Wurzeln lassen sich auch in Form von Potenzen angeben:

$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$

Wird eine Wurzel als Potenz geschrieben, dann hat sie immer einen Bruch im Exponenten. Diese Darstellung der Wurzel ist konsistent mit den Potenzgesetzen. Sehen wir uns dafür folgendes Beispiel an:

$\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} =x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=x^{1}=x$

Für Wurzeln lässt sich eine Reihe von Gesetzen angeben, die aus den Potenzgesetzen resultieren.

Wurzeln natürlicher Zahlen, rationaler Zahlen und negativer Zahlen

Einige Wurzeln natürlicher Zahlen sind selbst natürliche Zahlen und sie lassen sich mit der Primfaktorzerlegung ermitteln. Die Wurzeln aller anderen natürlichen Zahlen sind aber irrationale Zahlen. Um Näherungswerte für diese Zahlen zu errechnen, gibt es verschiedene Methoden wie zum Beispiel die Intervallschachtelung.

Genauso sind einige Wurzeln rationaler Zahlen wieder selbst rationale Zahlen, nämlich diejenigen, deren Zähler und Nenner natürliche Zahlen als Wurzeln haben. Für alle anderen rationalen Zahlen sind die Wurzeln irrational.

Achtung: Die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert – und zwar in den gesamten reellen Zahlen $\mathbb{R}$. Du kannst also nur aus positiven Zahlen und der Null die Quadratwurzel ziehen. Betrachte zum Beispiel:

  1. $\sqrt{9}=3$
  2. $\sqrt{-9}=\text{nicht definiert}$
  3. $\sqrt{0}=0$

Über die Quadratwurzeln hinaus gilt diese Regel übrigens auch für alle Wurzeln $\sqrt[a]{x}$, deren Wurzelexponent $a$ eine gerade Zahl ist. Zum Beispiel gilt:

  1. $\sqrt[4]{81}=\sqrt[2]{9}=3$
  2. $\sqrt[4]{-81}=\text{nicht definiert}$

Es gibt aber eine Erweiterung der reellen Zahlen, die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$, in denen auch Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden können.