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Wurzelrechnung – Wie rechnet man mit Wurzeln?

In vielen Bereichen der Mathematik ist es wichtig, mit unterschiedlichen Wurzelexponenten die Wurzel eines Radikanden ziehen zu können.

Wurzelrechnung

Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Es gilt zum Beispiel:

$3\cdot 3 = 3^{2} = 9\quad\leftrightarrow\quad 3= \sqrt[2]{9}$

Allgemein kannst du diesen Zusammenhang wie folgt formulieren:

$x^{n} = a\quad\leftrightarrow\quad x = \sqrt[n]{a}$

Das Ergebnis $x$ des Wurzelziehens nennt man Wurzel (Radix), die Zahl $a$ unter dem Wurzelzeichen Radikand und den Exponenten $n$ über der Wurzel Wurzelexponent. Bei $n= 2$ spricht man von einer Quadratwurzel, den Wurzelexponenten lässt man hier weg.

$\sqrt[2]{16} = \sqrt{16} = 4$

Quadratwurzeln lassen sich nur aus positiven reellen Zahlen ziehen. Für $n\gt 2$ muss man den Wurzelexponenten dazu schreiben. Ist $n = 3$, spricht man von der Kubikwurzel:

$\sqrt[3]{8} = 2$

Bei ungeraden Wurzelexponenten kann der Radikand auch negativ sein:

$\sqrt[3]{-8} = -2$

Eine kurze Übersicht über die Wurzelgesetze hilft dir beim Rechnen mit Wurzeln:

  • Addition und Subtraktion: $a\sqrt[n]{x}\pm b\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{x}\cdot (a\pm b)$
  • Multiplikation: $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b}$
  • Division: $\sqrt[n]{a} :\sqrt[n]{b} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
  • Potenzieren: $(\sqrt[n]{a})^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Es ist möglich, Wurzeln in Potenzen umzuwandeln:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\\ \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$