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Teilweises Wurzelziehen – Anwendung von Wurzelgesetzen

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Team Digital
Teilweises Wurzelziehen – Anwendung von Wurzelgesetzen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Teilweises Wurzelziehen – Anwendung von Wurzelgesetzen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, unter Anwendung von Wurzelgesetzen die Wurzel einer Zahl teilweise zu ziehen.

Zunächst lernst du, dass es vollständig ziehbare, nicht-ziehbare und teilweise ziehbare Wurzeln gibt. Anschließend siehst du an unterschiedlichen Beispielen, wie du unter Anwendung von Wurzelgesetzen einen Wurzelausdruck zerlegen kannst. Abschließend lernst du, wie du eine teilweise ziehbare Wurzel mit Hilfe der Wurzelgesetze in vollständig ziehbare und nicht-ziehbare Wurzeln aufteilen kannst

Lerne, wie du eine Wurzel unter Anwendung der Wurzelgesetze teilweise ziehen kannst, indem du Opa Hans bei seiner Gartenarbeit hilfst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie teilweises Wurzelziehen, vollständig ziehbare Wurzel, nicht-ziehbare Wurzel, teilweise ziehbare Wurzeln, Wurzelgesetze, Wurzelexponent, Radikand, Potenz und Quadratzahl.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Quadratwurzel und eine Quadratzahl ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Methoden zum Wurzelziehen zu lernen.

Transkript Teilweises Wurzelziehen – Anwendung von Wurzelgesetzen

Opa Hans liebt seinen Garten über alles. Heute will er das ganze Unkraut, an der Wurzel packen. Aber die geht einfach nicht raus. Zum Glück hat er seine Trudi. Na also, Trudi sollte dieser Aufgabe gewachsen sein. Ihr Wille ist stark aber diese Wurzel ist auch ganz schön hartnäckig. Vielleicht hilft ja. Teilweises Wurzelziehen unter Anwendung von Wurzelgesetzen. Beginnen wir mit einem ersten Beispiel. Die Wurzel aus 4 lässt sich ziehen. Wer das nicht weiß - dem hilft die Zerlegung in Primfaktoren: Die Zahl 4, kannst du als 2 mal 2 schreiben oder auch als '2 zum Quadrat'. Nach den Wurzelgesetzen kannst du jede Wurzel auch als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben. Wir haben ja hier eine Quadrat- (also zweite) Wurzel. Nach der Formel lässt sich unsere Wurzel also so als Bruch darstellen. Die 2 Halbe im Exponenten sind ganz einfach 1 und eine 1 im Exponenten können wir auch weglassen. Das war alles etwas kompliziert, aber es wird uns bei unseren weiteren Beispielen helfen. Die Quadratwurzel aus 8 lässt sich nur teilweise ziehen. Wir zerlegen die Zahl 8 dazu in ihre Primfaktoren und teilen sie geschickt in ein Produkt auf. - Gleich wirst du sehen, weshalb! Die Wurzel eines Produkts, dürfen wir aufspalten: Dabei lässt sich diese Wurzel ziehen die aber nicht. Deshalb sieht das Ergebnis hier so aus! "2 ist eine Primzahl. Du könntest zwar runden, den Ausdruck aber nicht als rationale Zahl ohne Wurzel darstellen!" Also lässt sich die Wurzel hier nicht weiter vereinfachen. Beim Umformen von Wurzeln passen wir auf Folgendes auf: Wir unterscheiden zwischen vollständig ziehbaren Wurzeln, wie der Wurzel aus '2 zum Quadrat' nicht -ziehbaren Wurzeln, wie der Wurzel aus 2 und teilweise (oder auch partiell) ziehbaren Wurzeln, wie der Wurzel aus '2 mal 2 quadrat'. Solche Wurzeln zerlegst du in zwei Teile: Einen Teil vereinfachst du, den anderen nicht. Und wie du mit komplexeren teilweise-ziehbaren Wurzeln umgehen kannst, untersuchen wir an diesem Beispiel: Wir haben hier die Wurzel aus 648. 8 mal 8 ist 64, dann ist 8 mal 80 gleich 640. So kann man darauf kommen, dass 8 mal einundachtzig die gewünschten 648 ergeben. Wir spalten die 648 unter der Wurzel also entsprechend auf. 8 ist 2 hoch 3 und 81 ist 9 zum Quadrat. 9 wiederum ist 3 zum Quadrat. Nach den Potenzgesetzen können wir diese Klammer auflösen, indem wir die beiden Exponenten miteinander multiplizieren. Wir erhalten dabei 3 hoch 4. Fertig ist die Primfaktorzerlegung. Nun schauen wir auf den Wurzelgrad, der ist hier 2. Beginnen wir damit, die Wurzel auf die Faktoren aufzuteilen - bei einer reinen Multiplikation ist das immer erlaubt! Die 4 im Exponenten ist durch 2, also den Wurzelgrad, teilbar. Deshalb ist dies eine ziehbare Wurzel. Die 3 im Exponenten ist durch 2 jedoch nicht teilbar. Wir können die 3 aber immerhin aufspalten in 2 plus 1. Nun verwenden wir zur Vereinfachung wieder Potenzgesetze. Wieder teilen wir nach den Wurzelgesetzen die Wurzel eines Produkts in zwei Wurzeln auf. Die 2 im Exponenten ist durch 2 teilbar. Aus diesem Grund ist diese Wurzel ziehbar. Die 1 im Exponenten jedoch ist nicht durch 2 teilbar. Wir können die 1 auch nicht weiter sinnvoll zerlegen. Deshalb liegt hier eine nicht-ziehbare Wurzel vor. Nun geht es an das Ziehen der ziehbaren Wurzeln. Wir wenden wieder diese Formel auf die ziehbaren Wurzeln an. Diese Wurzel schreiben wir demnach so als Potenz. Die Wurzel müssen wir so stehen lassen. Und diese Wurzel formen wir mithilfe der Formel in die Potenz um. Den Exponenten 2 Halbe kürzen wir noch zu Eins. Und den Exponenten 4 Halbe kürzen wir zu 2. Einsen im Exponenten können wir einfach weglassen und die 2 an einer Quadratwurzel ebenfalls. Jetzt sortieren wir noch die Zahlen um. 3 hoch 2 ergibt 9. 2 mal 9 ist 18 und wir haben die vereinfachte Darstellung unserer Wurzel! Fassen wir noch einmal alles zusammen. Zuerst zerlegst du den Radikanden unter der Wurzel in Primfaktoren. Eine teilweise ziehbare Wurzel liegt vor, wenn du den Exponenten einer Primzahl als ein Vielfaches des Wurzelgrades, und einen kleineren Rest schreiben kannst. Das kannst du dann so umformen. Daraus ergibt sich das Produkt aus einer ziehbaren Wurzel und einer nicht-ziehbaren Wurzel. Die gezogene Wurzel sieht dann so aus: Die nicht-ziehbare Wurzel bleibt hingegen einfach so stehen! Auch Opa Hans und seine Trudi haben dabei etwas gelernt. Wurzeln aufteilen klappt super! Uuuuh! Trudi hats eben ganz schön drauf! Aber manche Wurzeln kann man einfach nicht ziehen.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Danke, danke, danke! Genau was ich die ganze Zeit gebraucht habe! Super und anschaulich erklärt!

    Von Marwa M., vor 9 Monaten
  2. Hallo Bilgekaan2005, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht K., vor fast 2 Jahren
  3. Sofa Tutor ist gut aber dieses Video hat mir nicht geholfen. Trotzdessen war das Video gut gestalltet.

    Von Bilgekaan2005, vor fast 2 Jahren
  4. Hammer geil ist sofatour

    Von Leon R., vor fast 2 Jahren
  5. cooles Video vorallem mit der geschichte von opa hans und trudi einfach spitze weiter so von mir 5 Sterne auf alle fälle

    Von Michael W., vor fast 2 Jahren
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Teilweises Wurzelziehen – Anwendung von Wurzelgesetzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Teilweises Wurzelziehen – Anwendung von Wurzelgesetzen kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Wurzel aus $8$.

    Tipps

    Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich sich selbst und die $1$. Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine Zahl durch Faktoren ausgedrückt, die Primzahlen sind.

    Faktoren sind Zahlen, die miteinander multipliziert werden. Bei einer Faktorisierung zerlegt man eine Zahl in seine Faktoren, also die Zahlen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben.

    Lösung

    Die Rechnung kannst du so sortieren:

    Zuerst führt er eine Primfaktorzerlegung durch:

    $\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 2}=\sqrt{2^3}$.

    • Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich sich selbst und die $1$. Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine Zahl durch Faktoren ausgedrückt, die Primzahlen sind.
    Die Wurzel lässt sich faktorisieren:

    $=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2}$.

    • Faktoren sind Zahlen, die miteinander multipliziert werden. Bei einer Faktorisierung zerlegt man eine Zahl in seine Faktoren, also die Zahlen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben.
    Hier kann er teilweise die Wurzel ziehen und das Ergebnis angeben:

    $=2 \cdot \sqrt{2}$.

  • Berechne die Wurzel aus $648$.

    Tipps

    Ob du die Wurzel aus einer Potenz ziehen kannst oder nicht, kannst du folgendermaßen überprüfen: Zuerst schreibst du die Wurzel der Potenz um. Dazu verwendest du die Formel: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Ist der Bruch $\frac{m}{n}$ ohne Rest teilbar, kannst du die Wurzel ziehen.

    Hast du die Wurzeln der Potenzen umgeschrieben, kannst du die Brüche im Exponenten kürzen, um die Zahlen zu vereinfachen. Zum Beispiel ist:

    $\sqrt{5^6}=5^{\frac{6}{2}}=5^3$.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du wie folgt vervollständigen:

    „Unter der Wurzel führt Trudi zuerst eine Primfaktorzerlegung durch. Das ergibt:

    $\sqrt{648}=\sqrt{2^3 \cdot 3^4}$“.

    • Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler besitzt, nämlich sich selbst und die $1$. Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine Zahl durch Faktoren ausgedrückt, die Primzahlen sind.
    „Sie kann die Wurzeln der Faktoren einzeln betrachten, indem sie die Wurzel faktorisiert:

    $\sqrt{2^3 \cdot 3^4}=\sqrt{2^3}\cdot \sqrt{3^4}$“.

    „Die Wurzel aus $3^4$ kann sie ziehen. Von $2^3$ lässt sich die Wurzel teilweise ziehen. Deshalb teilt sie diesen Faktor weiter auf und erhält in ihrer Rechnung.

    $\sqrt{2^3}\cdot \sqrt{3^4}=\sqrt{2^1 \cdot 2^2 }\cdot \sqrt{3^4}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2^2}\cdot \sqrt{3^4}$“

    • Ob du die Wurzel aus einer Potenz ziehen kannst oder nicht, kannst du folgendermaßen überprüfen: Zuerst schreibst du die Wurzel der Potenz um. Dazu verwendest du die Formel: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Ist der Bruch $\frac{m}{n}$ ohne Rest teilbar, kannst du die Wurzel ziehen.
    „Sie zieht die ziehbaren Wurzeln und lässt nicht ziehbare Wurzeln stehen.

    $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^4} =\sqrt{2} \cdot 2 \cdot 3^2$“

    • Hast du die Wurzeln der Potenzen umgeschrieben, kannst du die Brüche im Exponenten kürzen, um die Zahlen zu vereinfachen. Zum Beispiel ist: $\sqrt{3^4}=3^{\frac{4}{2}}=3^2=9$.
    „Im Anschluss berechnet sie das Ergebnis zu:

    $\sqrt{648}=18 \cdot \sqrt{2}$“.

  • Bestimme die vereinfachten Quadratwurzeln.

    Tipps

    Quadratwurzeln kannst du vereinfachen, indem du zuerst die Primfaktorzerlegung ihres Radikanden durchführst und anschließend die Wurzel ziehst. Dabei musst du überprüfen, ob du die Wurzel teilweise, komplett oder gar nicht ziehen kannst. Diese Wurzel kannst du beispielsweise nur teilweise ziehen:

    $\sqrt{8}=\sqrt{2^3}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2^2} = \sqrt{2} \cdot 2$.

    Beachte:

    $\sqrt{2 \cdot 5}=\sqrt{10}$.

    Lösung

    Quadratwurzeln kannst du vereinfachen, indem du zuerst die Primfaktorzerlegung ihres Radikanden durchführst und anschließend die Wurzel ziehst. Dabei musst du überprüfen, ob du die Wurzel teilweise, komplett oder gar nicht ziehen kannst. Die unterschiedlichen Faktoren berechnest du getrennt. Für $\sqrt{48}$ gilt:

    $48$ kannst du in die Primfaktoren $2^4 \cdot 3$ zerlegen. Damit erhältst du:

    $\sqrt{48}=\sqrt{2^4 \cdot 3}=\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3}$.

    Um das zu berechnen, schreibst du die Wurzel um. Dazu verwendest du die Formel: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Da du hier Quadratwurzeln betrachtest, deren Wurzelexponent $n=2$ beträgt, erhältst du:

    $\sqrt{2^4}=2^{\frac{4}{2}}=2^2=4$.

    $\sqrt{3}$ kannst du nicht weiter vereinfachen. Also erhältst du:

    • $\sqrt{48}=\sqrt{2^4 \cdot 3}=\sqrt{3} \cdot 4$.
    Die anderen Rechnungen kannst du analog bestimmen:

    • $\sqrt{144}=\sqrt{2^4 \cdot 3^2}=12$
    • $\sqrt{800}=\sqrt{2^5 \cdot 5^2}=\sqrt{2} \cdot 20$
    • $\sqrt{360}=\sqrt{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}=\sqrt{2 \cdot 5}\cdot 6= \sqrt{10} \cdot 6$
  • Bestimme, ob die Wurzel ziehbar ist.

    Tipps

    Um zu bestimmen, wie weit du eine Wurzel ziehen kannst, musst du den Radikanden der Wurzel zuerst in seine Primfaktoren zerlegen (sofern das noch nicht gemacht wurde).

    Manchmal kannst du eine Wurzel in einen ziehbaren und einen nicht ziehbaren Teil faktorisieren:

    $\sqrt{5^5}=\sqrt{5} \cdot \sqrt{5^4}=\sqrt{5} \cdot 5^2=\sqrt{5} \cdot 25$.

    Lösung

    Um zu bestimmen, wie weit du eine Wurzel ziehen kannst, musst du den Radikanden in seine Primfaktoren zerlegen (sofern das noch nicht gemacht wurde). Dann überprüfst du, ob du die Exponenten der einzelnen Potenzen durch den Wurzelexponenten teilen kannst. Zum Beispiel:

    $\sqrt{2^2 \cdot 3^4}=\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^4}$.

    Hier handelt es sich um Quadratwurzeln. Der Wurzelexponent ist also $2$. In diesem Fall kannst du die Wurzeln beider Faktoren ziehen, da die Exponenten der Potenzen ($2$ und $4$) sich ohne Rest durch den Wurzelexponenten $2$ teilen lassen. Die Wurzel ist also ziehbar.

    Betrachtest du allerdings $\sqrt{3^3}$, lässt sich der Exponent $3$ der Potenz nicht durch den Wurzelexponenten $2$ ohne Rest teilen. Allerdings kannst du die Wurzel in einen ziehbaren und einen nicht ziehbaren Teil faktorisieren:

    $\sqrt{3^3}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3^2}=\sqrt{3} \cdot 3$.

    Die Wurzel ist also teilweise ziehbar.

    $\sqrt{3}$ kannst du nicht weiter in einen ziehbaren und nicht ziehbaren Faktor aufteilen. Diese Wurzel ist nicht ziehbar. Damit kannst du die Wurzeln folgendermaßen zuordnen:

    Ziehbare Wurzeln sind:

    • $\sqrt{144}=12$
    • $\sqrt{2^2 \cdot 3^4}=18$
    • $\sqrt{36}=6$
    • $\sqrt{5^2 \cdot 25}=25$
    Nicht ziehbare Wurzeln sind:

    • $\sqrt{5}$
    • $\sqrt{43}$
    Diese Wurzeln sind teilweise ziehbar:

    • $\sqrt{4^3 \cdot 3}= \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3}= 8 \sqrt{3}$
    • $\sqrt{3^3}= 3 \sqrt{3} $
    • $\sqrt{2^5}= 4 \sqrt{2} $
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum teilweisen Wurzelziehen.

    Tipps

    Rationale Zahlen kannst du als Quotient von zwei ganzen Zahlen ausdrücken.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    „Quadratwurzeln haben den Wurzelexponenten $2$. Diesen muss man immer an die Wurzel schreiben.“

    • Quadratwurzeln haben zwar den Wurzelexponenten $2$, dieser wird jedoch meistens weggelassen.
    „Nicht ziehbare Wurzeln kann man als rationale Zahl ohne Wurzel darstellen.“

    • Nicht ziehbare Wurzeln kannst du ohne Wurzel nur als irrationale Zahl schreiben.
    Diese Aussagen sind wahr:

    „Wurzeln kann man mit folgender Formel faktorisieren: $\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$“.

    „Ob du die Wurzel aus einer Potenz $\sqrt[n]{a^m}$ ziehen kannst, kannst du überprüfen, indem du den Exponenten $m$ der Potenz durch den Wurzelexponenten $n$ teilst.“

    • Ist der Quotient dieser beiden Zahlen ohne Rest teilbar, kannst du die Wurzel ziehen.
    „Teilweise ziehbare Wurzeln teilt man in einen ziehbaren Faktor und einen Faktor, der nicht ziehbar ist.“

  • Prüfe, ob die Terme korrekt vereinfacht wurden.

    Tipps

    Wie alle Rechenregeln, kannst du die Wurzelgesetze auch auf Variablen anwenden.

    Befindet sich der gleiche Faktor (z.B. $\sqrt{a}$) im Nenner und Zähler eines Bruchs, kannst du diesen kürzen.

    $\frac{3\sqrt{a}}{5\sqrt{a}}=\frac{3}{5}$

    Eine teilweise ziehbare Wurzel kannst du in einen ziehbaren und einen nicht ziehbaren Teil aufspalten. Z.B.

    $\sqrt[5]{a^{11}}=\sqrt[5]{a^{10}\cdot a^1}= a^2 \sqrt[5]{a}$

    Lösung

    Hier wurden Fehler gemacht:

    • $\sqrt[3]{a^6} \sqrt{5^4 \cdot b^3} b^2 \neq 5 \sqrt{b} b^3 a^2$
    So kannst du den Term korrekt vereinfachen:

    $\begin{array}{llll} \sqrt[3]{a^6} \sqrt{5^4 \cdot b^3} b^2 &= a^{\frac{6}{3}} \sqrt{5^4} \sqrt{b} \sqrt{b^2} b^2\\ &=a^2 5^2 \sqrt{b} b b^2\\ &= 25 \sqrt{b} b^3 a^2\\ \end{array}$

    • $\sqrt[5]{a^{10}} \sqrt[3]{b^3} \sqrt{2} \neq \sqrt{2} b^2$
    So kannst du den Term korrekt vereinfachen:

    $\begin{array}{llll} \sqrt[5]{a^{10}} \sqrt[3]{b^3} \sqrt{2} &= a^{\frac{10}{5}} b^{\frac{3}{3}} \sqrt{2} \\ &= a^2 b \sqrt{2} \end{array}$

    Diese Terme wurden korrekt vereinfacht:

    • $\dfrac{3 a^7 \sqrt{a^3} b^5}{\sqrt{a} \sqrt{b^3} \sqrt{9}}=a^8 b^3 \sqrt{b}$.
    So wurde der Term bestimmt. Zuerst wurden Faktoren abgespalten, die du kürzen kannst und anschließend vereinfacht.

    $\begin{array}{llll} \dfrac{3 a^7 \sqrt{a^3} b^5}{\sqrt{a} \sqrt{b^3} \sqrt{9}}&=\dfrac{3 a^7 \sqrt{a^2} \sqrt{a} b^3 \sqrt{b} \sqrt{b^3} }{\sqrt{a} \sqrt{b^3} 3} \\ &=a^8 b^3 \sqrt{b} \end{array}$

    • $\dfrac{5 \sqrt{a^2} \sqrt[3]{b^6}}{a \sqrt[3]{125}}=b^2$
    • $\sqrt[3]{a^{10}} \sqrt{b^9}= \sqrt{a} a^3 \sqrt{b} b^4$
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