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Wurzeln ziehen im Kopf

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Ø 4.4 / 38 Bewertungen

Die Autor*innen
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Andreas Spading
Wurzeln ziehen im Kopf
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wurzeln ziehen im Kopf

Wie der Titel des Videos schon verrät, erkläre ich dir in diesem Video, wie Wurzel aus dreistelligen und vierstelligen Quadratzahlen im Kopf ziehen kann. Das klingt zunächst ziemlich schwer und die Versuchung ist stets groß zu einem Taschenrechner zu greifen. Ich werde dir allerdings eine geschickte Kombination einfacher Rechenregeln zeigen mit denen du die meisten Wurzeln fortab auch im Kopf lösen kannst. Schritt für Schritt erkläre ich den Lösungsweg, sodass du nach dem Schauen des Videos die Wurzel aus Quadratzahlen wie 7921 oder 961 in wenigen Sekunden im Kopf bestimmen kannst. Viel Spaß dabei!

Transkript Wurzeln ziehen im Kopf

Hallo! Seid herzlich willkommen zu meinem Video über „Das Ziehen von Wurzeln aus drei- und vierstelligen Zahlen im Kopf‟. Wenn ihr euch jetzt fragt, wozu man denn das bitte braucht, ist das eine sehr gute Frage. Sagen wir vorerst, es zeigt euch, wie man einfache Rechengesetze effektiv einsetzen kann, um scheinbar schwere Rechenaufgaben im Kopf zu lösen. Bevor ich euch jetzt in die Kunst des Wurzelziehens einweihen werde, gibt es noch eine Einschränkung. Die hier dargestellte Vorgehensweise funktioniert nämlich nur, wenn auch sicher ist, dass die drei- oder vierstellige Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll, auch wirklich eine Quadratzahl ist. Das heißt, es funktioniert nur, wenn wirklich der gleiche Faktor mit sich selbst multipliziert wurde. Zum Beispiel, wenn 27 mit 27 multipliziert wurde, ergibt das 729 und für 729 können wir demnach die Wurzel im Kopf bestimmen. Gerade habt ihr gesehen, dass ich eine zweistellige Zahl, die 27, quadriert habe und damit eine dreistellige Quadratzahl erhalten habe. Ist es eigentlich immer so, dass die Wurzel aus einer drei- oder vierstelligen Zahl zweistellig ist? Um das zu bestimmen, schauen wir uns zuerst die dreistelligen Zahlen an. Die kleinste dreistellige Zahl ist die 100 und gleichzeitig sogar eine Quadratzahl, denn 10•10=100. Schauen wir uns dann die kleinste fünfstellige Zahl an, die 10000. Die 10000 ist ebenfalls eine Quadratzahl, denn 100•100=10000. Nun, wenn die kleinste fünfstellige Zahl gleichzeitig eine Quadratzahl ist, nämlich das Quadrat von hundert, ist es einfach, die größte vierstellige Quadratzahl zu finden. Wir ziehen einfach eins von der hundert ab und 99•99=9801. Das heißt, wir kennen jetzt die kleinste dreistellige Quadratzahl, die 100, und die größte vierstellige Quadratzahl, die 9801. Schauen wir uns jetzt die Wurzeln oder die einzelnen Faktoren der jeweiligen Quadratzahlen an, sehen wir die Zehn und die Neunundneunzig. Und beide sind zweistellig und daher wissen wir: Die Wurzel jeder drei- oder vierstelligen Quadratzahl wird zweistellig sein. Der Rechentrick, den ich euch vorstellen möchte, basiert auf den Quadratzahlen des kleinen Einmaleins. Die Quadratzahlen des kleinen Einmaleins habt ihr sicherlich alle im Kopf. Sicherheitshalber habe ich sie hier aber auch noch mal aufgeschrieben. Spannenderweise kennt ihr, wenn ihr die Quadratzahlen des kleinen Einmaleins kennt, bereits weit größere Quadratzahlen, die für unser aktuelles Video von enormer Bedeutung sind. Zum Beispiel kennt ihr auch schon das Quadrat von zehn, das Quadrat von 20 oder das Quadrat von 30. Ihr seht, es sind genau die gleichen Quadratzahlen wie die des kleinen Einmaleins, nur mit 100 multipliziert. So findet ihr 2•2=4 in 20•20=400 wieder oder 3•3=9 in 30•30=900. Und wie das kommt, erkläre ich euch kurz hier. So können wir 20•20 umformen in 2•10•2•10. Durch Umstellen erhalten wir 2•2•10•10 und das ist genau dasselbe wie 4•100. Und hier findet ihr dann auch die Faktoren der obigen Rechnung. Genau gesagt bedienen wir uns hier des Kommutativ- und Assoziativgesetzes der Multiplikation. Analog ergeben sich so die Quadratzahlen bis 90, und die habe ich hier einfach mal aufgeschrieben. Das soll uns als Vorwissen reichen. Lasst uns jetzt die Wurzel einer vierstelligen Quadratzahl bestimmen, nämlich 5625. Ich habe natürlich vorher überprüft, dass es sich um eine Quadratzahl handelt. Wir suchen also eine zweistellige Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird und 5625 ergibt. Zuerst bestimmen wir den Zehner unserer gesuchten zweistelligen Zahl und schauen uns dafür den Tausender und Hunderter der Quadratzahl an, in unserem Fall die 56. Wir suchen zuallererst die beiden Quadratzahlen, zwischen denen die 56 liegt. Es ist die 49 und die 64. Wir schreiben also: 49<56<64. Und jetzt ersetzen wir die beiden Quadratzahlen durch ihre jeweiligen Faktoren. Und warum haben wir das gemacht? Nun, wenn wir uns jetzt an die mit 100 multiplizierten Quadrate des kleinen Einmaleins erinnern, können wir Folgendes schreiben, und sehen damit, dass 5625 zwischen den Quadratzahlen von 70 und 80 liegt. Das heißt, wir haben unsere erste Stelle, den Zehner der gesuchten zweistelligen Zahl, gefunden, und zwar die 7. So, jetzt erst mal die ganzen Nebenrechnungen, die ja eigentlich im Kopf passieren, weggewischt und Bergfest feiern. Wir haben locker die Hälfte geschafft, dafür gibt es schon mal einen Daumen hoch und jetzt müssen wir noch den Einer bestimmen. Hierfür erinnern wir uns an einen weiteren mathematischen Kniff: Die kurze Probe für das schriftliche Multiplizieren. Für die kurze Probe multipliziert man einfach die Einer der beiden Faktoren und schaut dann, ob der Einer des Ergebnisses der Probe mit dem Einer des Ergebnisses der Gesamtrechnung übereinstimmt. Nehmen wir zum Beispiel das Produkt aus 357 und 628. Eine ganz schön große Zahl, um die mal eben im Kopf zu überschlagen. Multiplizieren wir einfach die beiden Einer, 7•8, das ergibt 56, sehen wir, dass 56 auf sechs endet und wissen, dass das Gesamtergebnis ebenfalls auf sechs enden muss. Der Vollständigkeit halber schreibe ich das Gesamtergebnis auch noch hin. Um den Einer der gesuchten zweistelligen Zahl zu bestimmen, kombinieren wir zwei Sachen. Erstens wissen wir, dass die Quadratzahl auf fünf endet und zweitens, dass eine Quadratzahl das Produkt zweier gleicher Faktoren ist. Verbunden mit der Probe des Multiplizierens stellt sich uns also jetzt die Frage: Welche einstellige Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert eine Zahl, die auf fünf endet? Schauen wir jetzt in unserer Liste der Quadratzahlen, sehen wir, dass dies nur für die Fünf selbst zutrifft, denn 5•5=25. Wir sehen, dass der Einer des Ergebnisses unserer Probe mit dem Einer des Gesamtergebnisses übereinstimmt. Damit haben wir die noch fehlende Zahl gefunden, die Fünf. Wir wissen also, dass 75•75 5625 ergibt oder, dass die Wurzel aus 5625 75 ist. Wir haben somit im Kopf, oder zumindest ohne Taschenrechner, die Wurzel einer vierstelligen Zahl bestimmt. Ja, und dafür gibt es jetzt auch schon mal beide Daumen hoch. So, dann legen wir mal unsere Hilfstabelle weg und versuchen uns an einer weiteren Quadratzahl, der 1764. Die Frage lautet also: Was ist die Wurzel aus 1764 beziehungsweise welche zweistellige Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert 1764? Schauen wir uns zuerst wieder Tausender und Hunderter unserer Quadratzahl an, in diesem Fall 17. Und wisst ihr schon, welche die benachbarten Quadratzahlen sind? Nun gut, hole ich mal meinen Spickzettel nochmal vor. Wir sehen, dass die 17 zwischen den Quadratzahlen 16 und 25 liegt. Oder anders geschrieben: 16<17<25. Ersetzen wir jetzt wieder die Quadratzahlen durch ihre Faktoren, haben wir auch schon die erste Stelle unserer gesuchten Zahl gefunden. Wir wissen jetzt, dass die Wurzel aus 1764 in den Vierzigern liegt. Zur Bestimmung der zweiten Stelle schauen wir uns jetzt wieder den Einer unserer Quadratzahl an, in diesem Fall die Vier. Wir suchen also nach Quadratzahlen des kleinen Einmaleins, die auf vier enden. Oh Gott, und dabei sehen wir, dass wir zwei mögliche Kandidaten haben, die Zwei und die Acht. Das heißt, wir müssen entscheiden, ob die 42 oder die 48 die gesuchte Wurzel von 1764 ist. Aber ihr werdet gleich sehen, auch das ist nicht schwer. Schauen wir uns also noch mal an, was wir bereits wissen. Der Zehner der gesuchten Zahl lautet vier. Das heißt, unser Ergebnis, die Wurzel, muss zwischen 40 und 50 liegen und wir haben zwei Kandidaten: Die 42, die näher an der 40 liegt, und die 48, die näher an der 50 liegt. Wurzeln und ihre Quadratzahlen verhalten sich in dem Fall gleich. Das heißt, dass, wenn unsere Quadratzahl 1764 näher an der 1600, also dem Quadrat von 40 liegt, als an der 2500, dem Quadrat von 50, dann muss auch unsere gesuchte Wurzel näher an der 40 als an der 50 liegen. Korrekt formuliert heißt das: Wenn |1600-1764| < |2500-1764| ist, müssen wir uns auch zwischen unseren Kandidaten 42 und 48 für jenen entscheiden, der näher an der Wurzel von 1600, der 40, liegt. Wie ihr an den Umformungen sehen könnt, ist das hier der Fall und wir entscheiden uns für die 42. Jetzt kennt ihr alle Regeln, die zum Bestimmen von Wurzeln aus drei- und vierstelligen Zahlen notwendig sind. Und dafür gibt es schon mal drei Daumen. Abschließend lasst uns das Ganze noch einmal für eine dreistellige Quadratzahl probieren und zwar die 529. Schauen wir uns den Tausender an, sehen wir, dass dieser null ist und wir nur den Hunderter, die Fünf, berücksichtigen müssen. Gehen wir wieder durch unsere Tabelle der Quadratzahlen, sehen wir, dass 4<5<9 ist. Setzen wir wieder die Faktoren für die Quadratzahlen ein, finden wir die Zwei, den Zehner unserer gesuchten Wurzel, und den schreiben wir gewohnt oben hin. Schauen wir uns jetzt den Einer, die Neun, an, sehen wir, dass es wieder zwei Quadratzahlen im kleinen Einmaleins gibt, die auf neun enden. Die Neun selbst als Quadrat von drei und die 49, das Quadrat von sieben. Also müssen wir uns zwischen den beiden Kandidaten 23 und 27 entscheiden. Dafür müssen wir also schauen, ob die 529 näher an der 400, dem Quadrat von 20, oder näher an der 900, dem Quadrat von 30, liegt. So schreibt sich das in der Betragsschreibweise. Und wir können zeigen, was man in dem Fall wahrscheinlich auch auf den ersten Blick gesehen hat, nämlich, dass die 529 näher an der 400, also dem Quadrat von 20, liegt. Deshalb müssen wir uns für die 23 als Wurzel von 529 entscheiden. So, ab jetzt könnt ihr das im Kopf. Ich kann meinen Spickzettel wegtun. Und zum Abschied winken euch ganz viele Hände.

16 Kommentare

16 Kommentare
  1. und zum schluss die hände..einer davon war verglitched haha

    Von Moussanouh5, vor 8 Monaten
  2. Das video ist echt gut gemacht worden >:)

    Von Moussanouh5, vor 8 Monaten
  3. Hiĺlf voooool

    Von Maria Ellenrieder, vor mehr als 2 Jahren
  4. Hallo Ben,
    leider konnten wir deine Frage nicht eindeutig beantworten.
    Zum einen kann es sein, dass deine Frage leider zu umfangreich ist, um sie zu beantworten. Zum anderen kann es sein, dass wir nicht genug Informationen von dir erhalten haben, um deine Anfrage zu beantworten.
    Um eine hilfreiche Antwort zu erhalten, ist es wichtig, dass du dein Problem möglichst genau beschreibst.
    Hier ein paar Tipps und Hinweise, um eine gute Frage zu stellen:
    Hast du die Aufgabe und deine Frage so ausführlich wie möglich beschrieben?
    Wie beginnst du die Aufgabe und wie weit kommst du ohne Hilfe? (Teile uns deinen Lösungsansatz mit.)
    An welcher Stelle weißt du nicht weiter oder bist dir nicht sicher?
    Viele Grüße aus der Redaktion.

    Von Julia S., vor fast 4 Jahren
  5. Ich fand es mega cool doch ich hab nicht verstanden wie man auf die tausender kommt ,also die lösung meine ich? Könnten sie mir das irgend wie mir erklären?wäre sehr nett :-)

    Von Ben T., vor fast 4 Jahren
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Wurzeln ziehen im Kopf Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln ziehen im Kopf kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Quadratzahlen an.

    Tipps

    Hier siehst du die ersten $9$ Quadratzahlen:

    • $1^2=1$
    • $2^2=4$
    • $3^2=9$
    • $4^2=16$
    • $5^2=25$
    • $6^2=36$
    • $7^2=49$
    • $8^2=64$
    • $9^2=81$

    Diese helfen dir bei der Berechnung der obigen Quadrate. Hier siehst du dies am Beispiel von $70^2$:

    Es gilt $70=7\cdot 10$. Daraus folgt $70^2=7\cdot 10\cdot 7\cdot 10$. Mit Hilfe des Kommutativgesetzes der Multiplikation vertauschst du nun die Faktoren:

    $70^2 = 7\cdot 7 \cdot 10 \cdot 10$.

    Wegen $7\cdot 7=49$ und $10\cdot 10=100$ gilt insgesamt:

    $70^2=49\cdot 100=4900$.

    Lösung

    Die ersten $9$ Quadratzahlen helfen dir bei der Berechnung von viel größeren Quadratzahlen. Die ersten Quadratzahlen lauten $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $8^2=64$ und $9^2=81$.

    Hier siehst du nun am Beispiel von $20^2$, wie die ersten Quadratzahlen helfen. Dazu teilst du den Ausdruck $20^2$ in Faktoren auf, stellst diese um und berechnest anschließend die Lösung. Das Umstellen erfolgt mit Hilfe des Kommutativgesetzes:

    $\begin{array}{rcl} 20^2 & = & 2\cdot 10\cdot 2\cdot 10 \\ & = & 2\cdot 2\cdot 10\cdot 10 \\ & = & 4 \cdot 100 \\ & = & 400 \end{array}$

    Auf diese Weise kannst du alle folgenden Quadratzahlen berechnen:

    • $10^2=100$
    • $20^2=400$
    • $30^2=900$
    • $40^2=1600$
    • $50^2=2500$
    • $60^2=3600$
    • $70^2=4900$
    • $80^2=6400$
    • $90^2=8100$
  • Beschreibe, wie du den Wurzelausdruck $\sqrt{5625}$ bestimmst.

    Tipps

    Eine Zahl, deren Wurzel eine natürliche Zahl ergibt, nennt man Quadratzahl.

    Beispielsweise ist $25$ eine Quadratzahl, da $\sqrt{25} = 5$ bzw. $5^2 = 25$ gilt.

    Du kannst die folgenden Quadratzahlen verwenden:

    • $10^2=100$
    • $20^2=400$
    • $30^2=900$
    • $40^2=1600$
    • $50^2=2500$
    • $60^2=3600$
    • $70^2=4900$
    • $80^2=6400$
    • $90^2=8100$

    Wenn du zwei Zahlen miteinander multiplizierst, kannst du die Einerstelle wie folgt bestimmen:

    • Du multiplizierst die beiden Einerstellen der Faktoren.
    • Die Einerstelle des Ergebnisses der Ausgangsaufgabe ist die Einerstelle dieses Produktes.
    Das siehst du hier am Beispiel $4\underline{9}\cdot 1\underline{2}$. Dabei sind die Einerstellen unterstrichen:

    • Es ist $9\cdot 2=18$.
    • Damit ist die Einerstelle von $4\underline{9}\cdot 1\underline{2}$ eine $8$.
    Insgesamt gilt $4\underline{9}\cdot 1\underline{2} = 58\underline{8}$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe lernst du, wie du „große“ Quadratzahlen ohne Taschenrechner bestimmen kannst. Wenn du eine natürliche Zahl quadrierst, dann ist das Ergebnis eine Quadratzahl. Beispielsweise ist $36$ eine Quadratzahl, da $6\cdot6 = 36$ gilt.

    Als Vorüberlegungen brauchst du dazu:

    • Die kleinste zweistellige Zahl ($10$) ergibt quadriert $100$.
    • Die größte zweistellige Zahl ($99$) ergibt quadriert $9801$.
    Daraus kannst du folgern, dass jede zweistellige Zahl quadriert entweder dreistellig oder vierstellig ist. Umgekehrt bedeutet das: Wenn eine drei- oder vierstellige Zahl eine Quadratzahl ist, dann ist die Wurzel eine zweistellige Zahl.

    $5625$ ist eine Quadratzahl. Die Wurzel aus $5625$ muss also eine zweistellige Zahl sein.

    Die ersten beiden Ziffern lauten $56$. Mit diesen startest du und gehst wie folgt vor:

    • Die größte Quadratzahl, die kleiner als $56$ ist, ist $7^2 = 49$.
    • Die kleinste Quadratzahl, die größer als $56$ ist, ist $8^2 = 64$.
    Mathematisch ausgedrückt gilt also:

    $\begin{array}{cccccl} 49 & < & 56 & < & 64 & \Leftrightarrow \\ 7^2 & < & 56 & < & 8^2 \end{array}$

    Da deshalb auch $70^2 < 5600 < 80^2$ gilt, muss die gesuchte Zahl (für die ersten beiden Ziffern) zwischen $70$ und $80$ sein. Also beginnt die Zahl mit einer $7$.

    Es gilt also $7\square\cdot 7\square = 7\square^2=5625$.

    Die letzte Stelle von $5625$ ist eine $5$. Die einzige einstellige Zahl, deren Quadrat eine $5$ am Ende hat, ist die $5$. Es gilt $5^2=25$.

    Somit ist $\sqrt{5625}=75$.

  • Ermittle die jeweilige Wurzel.

    Tipps

    Es ist $30^2=900$.

    Das Quadrat einer zweistelligen Zahl ist entweder dreistellig oder vierstellig.

    Schau dir die Einerstelle sowohl bei dem Radikanden als auch bei der Wurzel an. Das Quadrat der Einerstelle der Lösung muss die gleiche Einerstelle haben wie der Radikand.

    Wenn eine Zahl kleiner ist als eine andere, so gilt diese Ordnung auch für deren Quadrate.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um Wurzelausdrücke mit Radikanden (Fachbegriff für die Zahl unter der Wurzel), die sehr nah beieinander liegen.

    Die größte dreistellige Quadratzahl ist die $961$ mit $31^2=961$. Das Quadrat jeder Zahl größer als $31$ ist vierstellig.

    Da die jeweilige Wurzel mit einer $3$ beginnt, geht es (nur) noch um die Einerstelle.

    2. Aufgabe: $\sqrt{1156}$

    Die Einerstelle $6$ erhältst du durch $4^2=16$ sowie $6^2=36$. Es kommen also die Zahlen $34$ und $36$ in Frage. Die Zehnerstelle beider Zahlen ist die $3$. Da $3^2 = 9$ näher an den ersten beiden Stellen des Radikanden ($11$) liegt, muss auch die kleinere der beiden in Frage kommenden Zahlen die richtige sein. Es gilt $\sqrt{1156}=34$.

    3. Aufgabe: $\sqrt{1444}$

    Die Einerstelle $4$ erhältst du durch $2^2=4$ sowie $8^2=64$. Wieder betrachtest du $3^2 = 9$ und $4^2 = 16$. Da $16$ näher an $14$ liegt als $9$, gilt $\sqrt{1444}=38$.

    4. Aufgabe: $\sqrt{1521}$

    Die Einerstelle $1$ erhältst du durch $1^2=4$ sowie $9^2=81$. Da die größere Quadratzahl $(16)$ näher bei $15$ liegt als die $9$, muss $9$ die Einerstelle sein. Damit ist $\sqrt{1521}=39$.

    Hinweis: Die 4. Aufgabe kannst du auch mit dem Wissen, dass $31^2 = 961$ gilt, lösen.

  • Prüfe die Wurzeln.

    Tipps

    Bei vierstelligen Zahlen unter der Wurzel gilt unter anderem:

    Das Quadrat der ersten Stelle des Ergebnisses muss kleiner sein als die ersten beiden Stellen der Zahl unter der Wurzel.

    Wenn du bspw. die Gleichung $\sqrt{1444} = 38$ überprüfen willst, kannst du prüfen, ob $3^2$ kleiner ist als $14$.

    Dieses Kriterium ist für das Beispiel erfüllt. Was muss noch gelten?

    Eine weitere Bedingung bezieht sich auf die Einerstelle des Ergebnisses und die Einerstelle des Radikanden (die Zahl unter der Wurzel wird in der Fachsprache Radikand genannt).

    Das Quadrat der Einerstelle muss dieselbe Einerstelle wie der Radikand haben.

    Betrachte wieder das Beispiel $\sqrt{1444} = 38$. Es gilt $8^2 = 6\underline{4}$. Die Einerstelle stimmt mit der Einerstelle des Radikanden $(144\underline{4})$ überein.

    Lösung

    Wenn du weißt, dass eine drei- oder vierstellige Zahl eine Quadratzahl ist, kannst du die Wurzel dieser Zahl schrittweise bestimmen:

    1. Schaue dir die erste Stelle bei dreistelligen oder die ersten beiden Stellen bei vierstelligen Zahlen an.
    2. Schätze diese Stelle(n) nach unten und nach oben mit einer Quadratzahl ab. Das bedeutet, dass du einen Bereich findest, in dem die gesuchte Zahl liegt.
    3. Anschließend untersuchst du die Einerstelle des Radikanden (das ist der Fachbegriff für die Zahl unter der Wurzel).
    4. Bei mehreren Möglichkeiten musst du hier gegebenenfalls einen zusätzlichen Schritt machen.
    Dies schauen wir uns nun bei zwei Beispielen an:

    Beispiel 1: $\sqrt{3844}$

    1. Die ersten beiden Stellen des Radikanden ergeben die Zahl $38$.
    2. Es gilt $6^2=36<38<49=7^2$. Also ist die erste Ziffer der Lösung eine $6$.
    3. Sowohl $2^2=4$ als auch $8^2=64$ haben eine $4$ an der Einerstelle. Deshalb ist eine zusätzliche Untersuchung notwendig.
    4. Die kleinere der beiden Quadratzahlen $(36)$ liegt näher bei $38$ als bei $49$ (also bei der kleineren der beiden Zahlen). Da $2<8$ ist, folgt, dass die gesuchte Wurzel $62$ ist.
    Beispiel 2: $\sqrt{5929}$

    1. Die beiden ersten Ziffern des Radikanden ergeben die Zahl $29$.
    2. Es gilt $7^2=49<59<64=8^2$. Also ist die erste Ziffer der Lösung eine $7$.
    3. Sowohl $3^2=9$ als auch $7^2=49$ haben eine $9$ an der Einerstelle. Auch hier ist eine weitere Untersuchung nötig.
    4. Die größere der beiden Quadratzahlen $(64)$ liegt näher bei $59$ als bei $49$ (also bei der größeren der beiden Zahlen). Da $7>3$ ist, folgt, dass die gesuchte Wurzel $77$ ist.
  • Bestimme den Bereich, in dem sich der Wert von $\sqrt{17}$ befindet.

    Tipps

    Du kannst die folgenden Quadratzahlen verwenden:

    • $1^2=1$
    • $2^2=4$
    • $3^2=9$
    • $4^2=16$
    • $5^2=25$
    • $6^2=36$
    • $7^2=49$
    • $8^2=64$
    • $9^2=81$

    Du verwendest das $<$-Zeichen für „kleiner als“.

    Zum Beispiel ist $7$ kleiner als $20$. Du schreibst $7<20$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um einen Aspekt der Wurzelberechnung. Du willst den Wert von $\sqrt{1764}$ berechnen. Dazu beginnst du damit, den Bereich zu suchen, in dem sich der Wert des Ausdrucks $\sqrt{17}$ befindet.

    Um diesen Bereich zu finden, startest du mit den Quadraten von natürlichen Zahlen:

    Die erste Ungleichung $2^2 < 17 < 3^2$ enthält einen Fehler. Die Zahl $3^2 = 9$ ist nicht größer als $17$. Auch die zweite Ungleichung ist nicht komplett korrekt. Der Wert von $4^2 = 16$ ist nicht größer als $17$. Wir sind aber schon näher dran als bei der ersten Ungleichung.

    Die dritte Ungleichung ist dann richtig. Hier haben wir den passenden Bereich gefunden. Es gilt $4^2 = 16 < 17 < 25 = 5^2$.

    Auch die vierte Ungleichung enthält einen Fehler. Die Zahl $25$ ist nicht kleiner als $17$.

    Dadurch weißt du nun, dass der Wert von $\sqrt{17}$ zwischen $4$ und $5$ sein muss.

    Mit diesem Wissen kannst du auch größere Wurzeln berechnen, die mit $17$ starten. Schau dir das Beispiel $\sqrt{1764}$ an.

    Du weißt aus den obigen Überlegungen bereits, dass die erste Stelle eine $4$ sein muss.

    Nun können wir uns noch einmal anschauen, wie die zweite Stelle bestimmt werden soll.

    Bei der zweiten Stelle schaust du dir an, welche Zahl zum Quadrat als Einerstelle eine $4$ hat. Dies ist einmal die $2$, da $2^2=4$ ist, und zum anderen $8$, da $8^2=64$ ist.

    Welche der beiden Zahlen ist nun die zweite Stelle?

    Wir schauen uns nun die beiden Möglichkeiten an:

    • Der Radikand $1764$ liegt näher bei $1600$ als bei $2500$.
    • Das bedeutet, dass die Wurzel von $1764$ näher bei $40$ als bei $50$ liegen muss.
    • Da $42$ näher bei $40$ liegt als $48$, kannst du folgern, dass die zweite Stelle der Wurzel eine $2$ sein muss.
    Somit ist $\sqrt{1764}=42$.

  • Leite die Längen der einzelnen Quadrate her.

    Tipps

    Du kannst in dem Bild erkennen, wie sich die Fläche aus Flächenstücken mit dem jeweiligen Inhalt $a^2$ zusammensetzt.

    Die Gesamtfläche beträgt $a^2+4\cdot a^2=5\cdot a^2$.

    Das bedeutet, dass $5\cdot a^2=6845~\text{cm}^2$ sein muss.

    Lösung

    Die Gesamtfläche, die du hier sehen kannst, setzt sich aus fünf Quadraten mit dem jeweiligen Flächeninhalt $a^2$ zusammen.

    Damit ist $5\cdot a^2=6845~\text{cm}^2$.

    Dividiere nun durch $5$. Das führt zu $a^2=1369~\text{cm}^2$. Nun musst du also die Wurzel von $1369$ bestimmen.

    Schätze zunächst einmal die ersten beiden Stellen des Radikanden, also $13$, nach oben und unten mit Quadratzahlen ab. Du erhältst $3^2 = 9<13<16 = 4^2$. Die erste Stelle der Lösung ist deshalb eine $3$.

    Die letzte Stelle des Radikanden ist eine $9$. Sowohl $3^2=9$ als auch $7^2=49$ haben eine $9$ an der Einerstelle. Somit kommen sowohl die $3$ als auch die $7$ als Einerstelle der Wurzel in Betracht. Um das zu entscheiden, schaust du dir nochmal die Ungleichung von oben an:

    $9<13<16$.

    Da die $13$ näher an der größeren der beiden Zahlen $9$ und $16$ ist, muss die Einerstelle die größere der beiden Möglichkeiten sein. Also muss die $7$ die Einerstelle der Wurzel sein. Es gilt:

    $\sqrt{1369}=37$.

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