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Wurzelausdrücke vereinfachen – Zerlegung in Produkt und Division 04:49 min

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Transkript Wurzelausdrücke vereinfachen – Zerlegung in Produkt und Division

Vor langer Zeit irgendwo in den Weiten des Karibischen Meeres waren die Kapitäne zweier rivalisierender Schiffe unsterblich ineinander verliebt. Eine vertrackte Situation. Sie mussten ihre Liebelei geheim halten und vorgeben Todfeinde zu sein. Um das zu beweisen, taten sie stets so, als seien sie im Wettstreit. Kapitänin Bonny setzte ihre Segel gen Osten, während sich Dublonen Jack nach Süden aufmachte. Rückenwind sei Dank reiste Bonny doppelt so schnell wie Jack. Zwei Stunden später fragte sie sich mit schwerem Herzen, wie weit die Schaluppe ihres Geliebten wohl entfernt sei. Da sie ein Matheass war, konnte sie Wurzelausdrücke vereinfachen, um die Entfernung herauszufinden. Schauen wir uns ihre Rechnungen an: Bonnys zurückgelegte Strecke ist gleich 4x. Die von Jack ist gleich 2x. Siehst du den rechten Winkel? Da die Strecken die Form eines rechtwinkligen Dreiecks haben, kann man für die unbekannte Strecke den Satz des Pythagoras nutzen. Wie du weißt, lautet der Satz des Pythagoras a² + b² = c². c ist die Hypotenuse, die längste Seite des Dreiecks. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Bonny muss die bekannten Strecken einsetzen und die unbekannte Strecke ausrechnen, indem sie die Quadratwurzel von 20 x² findet. Bestimmt hast du dich schon immer gefragt, wie man Wurzeln richtig notiert. Die kleine Zahl ist der Wurzelexponent, er zeigt den Grad der Wurzel an. Der Wurzelexponent 2 steht für die zweite Wurze, die oft auch "Quadratwurzel" oder kurz "Wurzel" genannt wird. Bei Quadratwurzeln wird der Exponent auch oft weggelassen. Das Rechenzeichen nennt man Wurzelzeichen. Darunter steht der Radikand. Wenn man die richtigen mathematischen Begriffe kennt und versteht, kann das Berechnungen einfacher machen! Es gibt zwei Gesetze, die uns dabei helfen, Aufgaben mit Quadratwurzeln zu lösen. Schauen wir uns zuerst das Produkt von zwei Quadratwurzeln an: Die Quadratwurzel von a mal b ist gleich der Quadratwurzel von a mal der Quadratwurzel von b. Wir schauen ein Beispiel an: Wie lautet die Wurzel von 27? Dazu zerlegst du den Radikanden so, dass er eine beliebige Quadratzahl enthält. Denk dran: Quadratzahlen entstehen, wenn man ganze Zahlen quadriert. Beispiele dafür sind also 4, 9, 16, 25 und so weiter. Zurück zu Wurzel von 27. Wir können den Radikanden so zerlegen, dass er die Quadratzahl 9 enthält, was dann einfach zu berechnen ist. Das Ergebnis ist 3 mal Wurzel von 3, oder einfacher: 3 Wurzel 3. Als Zweites schauen wir uns die Division von zwei Quadratwurzeln an. Die Quadratwurzel des Bruchs a/b ist gleich der Quadratwurzel von a geteilt durch die Quadratwurzel von b. Setzen wir ein paar Zahlen ein, um das besser zu verstehen. Die Wurzel von 49 durch 81 ist gleich der Wurzel von 49 geteilt durch die Wurzel von 81, also plus oder minus 7 durch 9. Zurück zu Kapitänin Bonny. Wie hat sie den Wurzelausdruck – Wurzel von 20x² – vereinfacht? Sie hat geschaut, welche Quadratzahlen Teiler von 20 sind: 4 ist eine! x² ist offensichtlich eine Quadratzahl, also können wir diese beiden Terme gruppieren. Der Rest der Rechnung ist einfacher, als eine Kanone abzufeuern. Die Quadratwurzel von 20x² kann man vereinfachen zu 2x mal Wurzel aus 5. Wo wir gerade von Kanonen sprechen. Ist das ihr Ernst? Ah! Das hatte sie also die ganze Zeit vor.

Wurzelausdrücke vereinfachen – Zerlegung in Produkt und Division Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzelausdrücke vereinfachen – Zerlegung in Produkt und Division kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne das Ergebnis der Multiplikation zweier Wurzelausdrücke.

    Tipps

    Um die Wurzel zu vereinfachen, solltest du zuerst die Quadratzahlen identifizieren, die im Radikanden enthalten sind. (Als Radikand bezeichnet man alles, was unter der Wurzel steht.)

    Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist $9$ eine Quadratzahl, denn $3\cdot 3 =9$.

    Lösung

    „Zuerst überlegt sie sich, wie sie die Wurzel sinnvoll zerlegen kann: $\sqrt{20x^2}=\sqrt{4x^2 \cdot 5}$“

    • Um die Wurzel zu vereinfachen, identifizierst du zuerst die Quadratzahlen, die im Radikanden enthalten sind. Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. $4$ ist eine Quadratzahl, denn $2\cdot 2 =4$.
    „Die Quadratzahlen schreibt sie unter eine getrennte Wurzel: $\sqrt{4x^2} \cdot \sqrt{ 5}$“

    • Die Wurzel aus einer Quadratzahl ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Quadratzahl ergibt (z.B. $\sqrt{9}=3$, da $3\cdot 3 = 9$). Damit du hier nicht allzu lange überlegen oder verschiedene Zahlen ausprobieren musst, ist es hilfreich, wenn du dir die Quadrate aller kleineren Zahlen (z.B. aller Zahlen bis $20$) gut einprägst.
    „Und berechnet sie zu: $ 2x \cdot \sqrt{ 5}$“

    • Falls ein Wurzelwert eine irrationale Zahl ist (z.B. $\sqrt{5}\approx 2,2360679...$), ist es am besten, diese Wurzel einfach stehen zu lassen. Die Wurzel $\sqrt{4x^2}$ können wir allerdings ausrechnen und erhalten $\sqrt{4x^2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x^2}=2x$. Das Zerlegen der ursprünglichen Wurzel hat sich also gelohnt!
  • Berechne das Ergebnis der Division zweier Wurzelausdrücke.

    Tipps

    Das Rechengesetz zur Division unter Wurzeln ist dem zur Multiplikation unter Wurzeln sehr ähnlich.

    Steht unter einer Wurzel ein Produkt, kannst du die Wurzel aus jedem Faktor einzeln ziehen.

    Lösung

    „Um das Ergebnis von $\sqrt{\frac{49}{81}}$ zu berechnen, erinnert sie sich an die Rechenregel zur Division von Wurzelausdrücken. Diese lautet:“
    $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

    • Diese Regel ist der Regel für Produkte unter einer Wurzel $\left(\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\right)$ sehr ähnlich. Du solltest dir beide Regeln gut merken, da sie bei vielen Rechnungen sehr hilfreich sein können.
    „Sie kann also die Wurzeln von Zähler und Nenner einzeln bestimmen. Dann erhält sie:“
    $\sqrt{\frac{49}{81}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}$

    • Die Wurzel aus einem Bruch können wir zu einem Bruch aus Wurzeln umformen. Das erleichtert unsere Rechnung ungemein, da wir jetzt die Wurzeln aus Zähler und Nenner einzeln berechnen können.
    „Das kann sie berechnen zu:“
    $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\frac{7}{9}$

    • Die Zahlen $49$ und $81$ sind Quadratzahlen. Deshalb können wir sowohl im Zähler als auch im Nenner problemlos die Wurzel ziehen.
  • Bestimme das Ergebnis der Wurzelausdrücke.

    Tipps

    Für die Division zweier Wurzelausdrücke gilt:

    $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

    Um einen Wurzelausdruck zu vereinfachen, solltest du zuerst die Quadratzahlen identifizieren, die im Radikanden enthalten sind.

    Lösung

    Die Ergebnisse der Wurzelausdrücke kannst du mit den Rechenregeln für Wurzelausdrücke bestimmen. Diese lauten:

    Division: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
    Multiplikation: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

    Denke daran, die sich ergebenden Brüche zu kürzen, falls möglich. Damit lauten die Ergebnisse:

    • $\sqrt{\frac{81}{36}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{36}}= \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
    • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}= \sqrt{3\cdot12} = \sqrt{36}=6 $
    • $\sqrt{\frac{9}{36}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{36}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
    • $\sqrt{75}= \sqrt{25\cdot3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{3}=5\cdot \sqrt{3}$
  • Wende die Rechenregeln für Wurzelausdrücke an.

    Tipps

    Wende die Rechenregeln für die Multiplikation und Division von Wurzelausdrücken an.

    Lösung

    Die Rechenregeln für Wurzelausdrücke sind für die Division:

    $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

    und für die Multiplikation zweier Wurzelausdrücke gilt:

    $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

    Damit kannst du die Würzelausdrücke vereinfachen zu:

    • $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}= \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16}= 4$
    • $\sqrt{\frac{27}{9}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}}=\sqrt{3}$
    • $\sqrt{\frac{25}{9}}= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\frac{5}{3}$
    • $\sqrt{162}=\sqrt{81} \cdot \sqrt{2}=\sqrt{2} \cdot 9$
    • $\sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{ \sqrt{49}}{ \sqrt{36}}=\frac{7}{6}$
    • $\frac{ \sqrt{8} \cdot \sqrt{3} }{ \sqrt{12}}=\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} }{ \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}=\sqrt{2}$
    • $\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6$
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Wurzelausdrücken.

    Tipps

    Der Wurzelexponent wird bei Quadratwurzeln weggelassen.

    Ziehst du die Wurzel aus einem Bruch, kannst du die Wurzel aus Zähler und Nenner getrennt ziehen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Beträgt der Wurzelexponent $3$, lässt man ihn oft weg.“

    • Der Wurzelexponent wird bei Quadratwurzeln weggelassen. Das sind Wurzeln mit dem Wurzelexponenten $2$.
    „Will man zwei Wurzelausdrücke multiplizieren, kann man die Radikanden multiplizieren und das Wurzelzeichen weglassen.“

    • Beim Multiplizieren von Wurzeln musst du die Radikanden multiplizieren. Das Wurzelzeichen bleibt allerdings erhalten.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Die Zahl unter dem Wurzelzeichen nennt man Radikand.“

    „Für die Division zweier Wurzelausdrücke gilt: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ “

    „Für die Multiplikation zweier Wurzelausdrücke gilt: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$ “

    Das sind die korrekten Rechenregeln für Wurzelausdrücke.

  • Bestimme, welche Wurzelausdrücke korrekt umgeformt wurden.

    Tipps

    Die Rechenregeln für das Rechnen mit Wurzelausdrücken lauten für die Multiplikation

    $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

    und für die Division

    $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

    Das Distributivgesetz für Multiplikation und Addition lautet:

    $a\cdot(b\pm c)=a\cdot b\pm a \cdot c$

    Dieses Gesetz ist manchmal für die Umformung von links nach rechts („Ausmultiplizieren“), manchmal aber auch für die von rechts nach links („Ausklammern“) nützlich.

    Lösung

    Die Ausdrücke kannst du mit den bekannten Rechenregeln für die Multiplikation

    $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

    und für die Division

    $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

    zweier Wurzelausdrücke umformen. Außerdem hilft dir in einigen Fällen das Distributivgesetz:

    $a\cdot (b \pm c) = a\cdot b \pm a \cdot c$

    Folgende Wurzelausdrücke wurden falsch umgeformt:

    • $5\sqrt{2}-2\sqrt{5}= 3 \sqrt{2}$
    Diesen Ausdruck kannst du nicht weiter vereinfachen, da zwei unterschiedliche Radikanden in den Wurzelausdrücken stehen.

    • $(\sqrt{7}+3\sqrt{7})\sqrt{7}= 24$
    Hier wurde ein Rechenfehler begangen: $(\sqrt{7}+3\sqrt{7})\sqrt{7}=4\sqrt{7}\cdot \sqrt{7} = 4 \cdot 7=28$

    Diese Terme wurden korrekt umgeformt:

    • $(\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{3}= \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 3+ \sqrt{15}$
    • $\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= 1$ (alternativ: $\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{(3-2)\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3-2=1$)
    • $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=5-3 =2$