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Was ist eine Wurzel?

In der Mathematik versteht man unter dem Ziehen einer Wurzel die Bestimmung der Unbekannten $x$ in der Gleichung $a=x^n$.

Die Lösung dieser Gleichung ist

$x=\sqrt[n]{a}$

Dabei sind

  • $n\in\mathbb{N}$ der Wurzelexponent und
  • $a\in\mathbb{R}^+_0$ der Radikand.

Der Wurzelexponent

  • Der Wurzelexponent $2$ wird nicht aufgeschrieben. So ist $\sqrt{25}=\sqrt[2]{25}$ die Quadratwurzel von $25$. Das Ziehen der Quadratwurzel ist die Umkehroperation zum Quadrieren.
  • Die Kubikwurzel ist die Wurzel mit dem Wurzelexponenten $3$. Die Kubikwurzel kehrt das Potenzieren mit dem Exponenten $3$ um.
  • Du kannst die Quadratwurzel auch so schreiben: $\sqrt a=a^{\frac12}$.

Rechenregeln für Wurzeln

1. Wurzelgesetz: Produkt von Wurzeln

Das 1. Wurzelgesetz entspricht dem 4. Potenzgesetz bei den Potenzgesetzen: „Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Radikanden multipliziert und den Wurzelexponenten beibehält.“

Dies siehst du hier für die Quadratwurzel, bei welcher der Wurzelexponent $2$ weggelassen werden kann:

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$

Diese Regel kann über das 4. Potenzgesetz erklärt werden:

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=a^{\frac12}\cdot b^{\frac12}=(a\cdot b)^{\frac12}=\sqrt{a\cdot b}$

Beispiele:

  • $\sqrt{12,5}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{12,5\cdot 2}=\sqrt{25}=5$
  • $\sqrt{50}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{50\cdot 8}=\sqrt{400}=20$

2. Wurzelgesetz: Quotient von Wurzeln

Das 2. Wurzelgesetz entspricht dem 5. Potenzgesetz bei den Potenzgesetzen: „Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert und den Wurzelexponenten beibehält.“

Dies siehst du hier für die Quadratwurzel.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac ab}$

Diese Regel kann über das 5. Potenzgesetz erklärt werden:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{a^{\frac12}}{b^{\frac12}}=\left(\frac ab\right)^{\frac12}=\sqrt{\frac ab}$

Beispiele:

  • $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}3}=\sqrt{9}=3$
  • $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{108}3}=\sqrt{36}=6$

Addition und Subtraktion von Wurzeln

Du kannst die Summe oder Differenz von Wurzeln nicht wie ein Produkt oder den Quotienten zusammenfassen. Trotzdem kannst du auch Wurzeln addieren oder subtrahieren. Hierfür verwendest du das Distributivgesetz: $a(b+c)=ab+ac$.

Angewendet auf die Wurzeln bedeutet dies

$p\sqrt a\pm q\sqrt a=(p\pm q)\sqrt a$

Beispiele:

  • $3\cdot\sqrt6+\sqrt6=3\cdot\sqrt6+1\cdot\sqrt6=(3+1)\cdot\sqrt6=4\cdot\sqrt 6$
  • $7\cdot\sqrt 3-4\cdot\sqrt3=(7-4)\cdot\sqrt 3=3\cdot\sqrt 3$

Wurzeln von Wurzeln

Du weißt vielleicht schon, dass du Potenzen potenzieren kannst, indem du die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenzierst. So eine ähnliche Regel gibt es auch für Wurzeln:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[m\cdot n]a$

Um dies nachzuvollziehen, können wir die zweifache Wurzel als zweifache Potenz schreiben:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]a}=(a^\frac1{n})^\frac1{m} = a^\frac1{n \cdot m}=\sqrt[m\cdot n]a$

Das bedeutet, du multiplizierst nur die Wurzelexponenten.

Beispiele:

  • $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}}=\sqrt[3\cdot2]{64}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^6}=2$
  • $\sqrt{\sqrt[4]{6561}}=\sqrt[2]{\sqrt[4]{6561}}=\sqrt[2\cdot4]{6561}=\sqrt[8]{6561}=\sqrt[8]{3^8}=3$

Potenzen von Wurzeln

Schließlich kannst du Wurzeln auch potenzieren:

$\left(\sqrt[n]a\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$

Beispiele:

  • $(\sqrt8)^2=\sqrt{8^2}=8$
  • $(\sqrt5)^4=\sqrt{5^4}=\sqrt{25^2}=25$

Vereinfachen von Wurzeltermen

Du kannst die Wurzelgesetze verwenden, um teilweise die Wurzel zu ziehen:

Das 1. Wurzelgesetz kannst du hier sehen:

  • $\sqrt{9a}=\sqrt{9}\cdot \sqrt a=3\sqrt a$
  • $\sqrt{72}=\sqrt{2\cdot 36}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{36}=6\sqrt 2$

Ebenso kannst du mit dem 2. Wurzelgesetz rechnen:

  • $\sqrt{\frac{9a}{4}}=\frac{\sqrt 9\cdot \sqrt a}{\sqrt 4}=\frac32\sqrt a=1,5\sqrt a$

Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem ein Faktor mehrmals vorkommt.

Allgemein sieht eine Potenz so aus:

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$

Dabei ist

  • $a\in \mathbb{R}$ die Basis,
  • $n\in \mathbb{N}$ der Exponent und
  • $a^n$ die Potenz oder der Potenzwert.

Der Exponent einer Potenz $a^n$ ist in dieser Erklärung eine natürliche Zahl. Was ist denn eine Potenz mit einem rationalen Exponenten? Dies ist eine Wurzel. Es gelten die folgenden Regeln:

  • $\sqrt{a}=a^{\frac12}$
  • $\sqrt[3]{a}=a^{\frac13}$
  • allgemein:$\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}$

Das bedeutet, der Radikand ist die Basis und der Kehrwert des Wurzelexponenten ist der Exponent der Potenz.

Ausdrücke der Form $\sqrt[m]{a^n}$ können auch durch $a^\frac{n}{m}$ beschrieben werden.

Weitere Eigenschaften

Eine wesentliche Eigenschaft der Wurzel mit einem Wurzelexponenten $n$ ist, dass sie die Umkehrfunktion zum Potenzieren mit $n$ sein kann. Es gilt also allgemein für positive $a$:

$\sqrt[n]{a^n}=a$

Entsprechend ist die Quadratwurzel aus einer Quadratzahl gerade der Betrag der Basis der Quadratzahl selbst. Dies ist der allgemeine Fall für $a \in \mathbb{R}$:

  • $\sqrt{a^2}=|a|$
  • $\sqrt[3]{a^3}=a$

Zum Beispiel ist $\sqrt{3^2}=3$ und ebenso $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3$. Bei der dritten Wurzel sieht das so aus: $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$ und $\sqrt[3]{-27}=-3$.

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