Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren

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Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren Übung
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Nenne korrekte Aussagen über das Rechnen mit Wurzelausdrücken.
TippsDer Radikand ist die Zahl unter der Wurzel.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- Um das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln zu erleichtern, kann man die Wurzelausdrücke durch Variablen substituieren.
- Wurzeln mit gleichen Radikanden kann man voneinander abziehen, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben.
- Man kann Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden miteinander verrechnen, indem man sie als Dezimalzahlen schreibt.
Diese Aussage ist falsch:
- Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden kann man addieren, ohne die Wurzeln als Dezimalzahlen zu schreiben.
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Gib die Rechnung zum Vereinfachen von Wurzeltermen wieder.
TippsMan schreibt immer zuerst auf, was ausgerechnet werden soll.
Zum Vereinfachen der Rechnung verwendet man Variablen.
Variablen werden am Ende resubstituiert.
LösungDer folgende Term soll vereinfacht werden:
$8 \sqrt{6} +3\sqrt{7} -9 \sqrt{6} +2\sqrt{7}$
Man schreibt immer zuerst auf, was ausgerechnet werden soll.
Man wählt $\sqrt{6}= x$ und $\sqrt{7}= y$ und setzt ein
Zum Vereinfachen der Rechnung verwendet man Variablen.
$8 x + 3y -9 x +2y$
Die Variablen wurden eingesetzt ...
$\Leftrightarrow~ -x +5y$
... und ausgerechnet.
$\Leftrightarrow~- \sqrt{6} +5\sqrt{7}$
Variablen werden am Ende resubstituiert.
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Ermittle die vereinfachten Wurzelterme.
TippsDie Terme können mit dem bekannten Rechenweg vereinfacht werden.
Substituiere so viele Wurzeln wie nötig.
LösungDie Wurzelterme werden mit dem bekannten Verfahren zusammengefasst.
Beispiel:
$3\sqrt{3}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}$
Man wählt:
$\sqrt{3}=x$,$\sqrt{5}=y$
Damit ergibt sich:
$3x-4y+2y$
$=3x-2y$
Und mit der Resubstitution erhält man:
$=3\sqrt{3}-2\sqrt{5}$
Die anderen Terme kann man genauso zusammenfassen. Dann ergibt sich:
Zu $3\sqrt{3}-2\sqrt{5}$ gehören die Terme:
$3\sqrt{3}-5\sqrt{5}+3\sqrt{5}$
$3\sqrt{3}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}$
$4\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}$
Zu $2\sqrt{3}+5\sqrt{7}$ gehören die Terme:
$\sqrt{3}+8\sqrt{7}+\sqrt{3}-3\sqrt{7}$
$3\sqrt{3}+5\sqrt{7}-\sqrt{3}$
Zu $\sqrt{7}-2\sqrt{5}$ gehören die Terme:
$5\sqrt{7}-2\sqrt{5}-4\sqrt{7}$
$8\sqrt{7}-7\sqrt{7}-2\sqrt{5}$
-
Bestimme die Vereinfachung der Wurzelterme.
TippsDie Terme können mit dem bekannten Rechenweg vereinfacht werden.
Substituiere so viele Wurzeln wie nötig.
LösungDie Wurzelterme werden mit dem bekannten Verfahren zusammengefasst.
Beispiel:
$3\sqrt{3}+2\sqrt{7}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{7}$
Man wählt:
$\sqrt{3}=x$,$\sqrt{5}=y$,$\sqrt{7}=z$
Damit ergibt sich:
$3x+2z-4y+2y-2z$
$=3x-2y$
Und mit der Resubstitution erhält man:
$=3\sqrt{3}-2\sqrt{5}$
Die anderen Terme kann man genauso zusammenfassen. Dann ergibt sich:
Zum ersten Partner $\sqrt{8}-2\sqrt{5}$ gehört:
$4\sqrt{5}+3\sqrt{8}-6\sqrt{5}-2\sqrt{8}$
Zum zweiten Partner $3\sqrt{3}-2\sqrt{5}$ gehört:
$3\sqrt{3}+2\sqrt{7}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{7}$
Zum dritten Partner $8\sqrt{3}+4\sqrt{5} $ gehört:
$4\sqrt{3}+\sqrt{5}+4\sqrt{3}+3\sqrt{5}$
Zum vierten Partner $-5\sqrt{8}+2\sqrt{5}$ gehört:
$-2\sqrt{8}+4\sqrt{5}-3\sqrt{8}-2\sqrt{5}$
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Gib die Lösungsschritte zum Addieren und Subtrahieren von Wurzelausdrücken wieder.
TippsEs hilft, sich vor der Substitution der Wurzelausdrücke erst einmal zu notieren, welchen Ausdruck man durch welche Variable ersetzen möchte.
LösungAllgemein vereinfacht man Wurzelterme so:
- Ordne zuerst jedem unterschiedlichen Wurzelausdruck eine Variable zu.
- Ersetze dann alle gleichen Wurzelausdrücke mit der gleichen Variablen.
- Fasse im Term alle Ausdrücke mit gleichen Variablen zusammen.
- Nachdem der Term sich nicht mehr vereinfachen lässt, kannst du die Wurzelausdrücke wieder einsetzen.
-
Erschließe die Regeln zur Multiplikation von Wurzeln.
TippsRechnungen unter der Wurzel werden zuerst ausgeführt.
LösungWurzeln werden multipliziert, indem man die Radikanden multipliziert und die Wurzel aus dem Ergebnis zieht:
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} =\sqrt{a \cdot b}$
Also ergibt sich:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{4} =\sqrt{12}$
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9}= 3$
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} =\sqrt{6}$
Beim Multiplizieren von Wurzeln multipliziert man die Radikanden zuerst und zieht im Anschluss die Wurzel. Rechnungen unter der Wurzel werden immer zuerst ausgeführt.
Wurzeln werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert und die Wurzel aus dem Ergebnis zieht:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
Also ergibt sich:
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$
$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=3$
Beim Dividieren von Wurzeln dividiert man die Radikanden zuerst und zieht im Anschluss die Wurzel. Rechnungen unter der Wurzel werden immer zuerst ausgeführt.
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