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Wurzeln aus rationalen Zahlen ziehen 05:12 min

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Transkript Wurzeln aus rationalen Zahlen ziehen

Schokolade mögen alle gerne. Aber Jürgen Schokowsky liebt Schokolade. Allerdings: immer in Maßen! Jürgen bricht sich immer nur ein winzig kleines Stückchen aus seiner Schokolade. So kann er länger genießen! Wie groß ist das Stückchen denn? Wir berechnen das, indem wir Wurzeln aus rationalen Zahlen ziehen. Eine Tafel von Jürgens Lieblingsschokolade hat eine Fläche von 121 Quadratzentimetern. Er bricht sich immer ein quadratisches Stück mit genau einem 49stel dieser Fläche heraus. Die Fläche des Stückes können wir dann als 121/49 berechnen ...also hat jedes Stück als Bruch geschrieben eine Fläche von 121/49 Quadratzentimetern – die Einheiten lassen wir zum Rechnen aber weg. Doch was sagt uns das über die Seitenlängen eines Schokostückes? Die Seitenlänge eines Quadrates erhältst du aus der Wurzel des Flächeninhaltes. Also entspricht die Seite eines kleinen Schokostückes der Wurzel aus 121/49. Hmm..und wie berechnen wir diese Wurzel? Du weißt bereits, wie man die Wurzel aus einem Produkt zieht - die Wurzel aus a * b ... ist gleich der Wurzel aus a mal der Wurzel aus b. Wie hilft uns das weiter? a/b ist doch das Gleiche wie a * 1/b. Und dann ist die Wurzel aus a/b gleich der Wurzel aus a * 1/b und die ist gleich der Wurzel aus a mal der Wurzel aus 1/b. Und wie berechnen wir nun Wurzel aus 1/b? Dazu schauen wir uns nun eine Nebenrechnung an. Wir betrachten die Wurzel aus b durch b - also die Wurzel aus 1. Diese ist gleich 1. Außerdem können wir wieder das Wurzelgesetz für Produkte verwenden, um die Wurzel aus b durch b zu berechnen. Dann erhalten wir das. Nun können wir diese beiden Ergebnisse gleichsetzen, da beide gleich der Wurzel aus b/b sind. Das lösen wir nach der Wurzel aus 1/b auf und wenn wir die Gleichung umdrehen, sehen wir, dass das gleich 1/√b ist. Wenn wir das wieder in unsere Rechnung einsetzen finden wir, dass die Wurzel aus einem Bruch gleich dem Bruch aus den Wurzeln ist. Jürgens Minischokostück hat damit eine Seitenlänge von Wurzel 121 durch Wurzel 49. Die Wurzel aus 121 ist 11 und die Wurzel aus 49 ist 7. Also ist die Wurzel aus 121/49 gleich 11/7. Das schmeckt Jürgen. In diesem Beispiel waren Zähler und Nenner beide Quadratzahlen – aus denen konnten wir sehr einfach die Wurzel ziehen. Das muss jedoch nicht immer so sein - dann kann es hilfreich sein zu kürzen oder auch zu erweitern. Schauen wir uns hierzu mal die Wurzel aus dem Bruch 2/32 an. Weder die 2, noch die 32 sind Quadratzahlen. Hast du eine Idee, wie wir durch Kürzen Zähler und Nenner zu Quadratzahlen machen können? Wir kürzen Zähler und Nenner mit 2 und erhalten die Wurzel aus dem Bruch 1/16. Die ist gleich dem √1/√16...also ein Viertel. Wir können den Bruch allerdings auch mit 2 erweitern also ziehen wir die Wurzel aus 4/64. Das ist gleich der Wurzel aus 4 geteilt durch die Wurzel aus 64, also 2/8. Und das ist gekürzt wieder ein Viertel. Und auf diese Weise können wir sogar die Wurzeln aus Dezimalzahlen berechnen! Wie zum Beispiel die Wurzel aus 0,36. Die wandeln wir zunächst in einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner um. 36 geteilt durch 100 ist 0,36 - also können wir 0,36 durch 36/100 ersetzen. Nun müssen wir nur noch √36 durch √100 teilen und erhalten 6/10 - also 0,6. Es ist ganz schön praktisch, wenn man Wurzeln aus rationalen Zahlen ziehen kann! Also fassen wir das auf einen Blick zusammen. Die Wurzel aus einem Bruch a durch b entspricht dem Bruch Wurzel a durch Wurzel b. Sind a und b keine Quadratzahlen, so hilft manchmal das Kürzen oder Erweitern. Auch aus Kommazahlen können wir die Wurzel ziehen, indem wir sie - wenn möglich - als Bruch schreiben. Wir können nun die Wurzel aus Brüchen ziehen und Schokowsky...mmmh, der schwelgt im Schokoladenglück... von der vielen Schokolade braucht er offenbar dringend eine Wurzelbehandlung.

3 Kommentare
  1. Gutes Video.. aber das mit den a/b usw.. wirkt sehr verwirrend für mich

    Von Daniel S., vor 3 Monaten
  2. Hallo Steppstich,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 3 Monaten
  3. Hat eigentlich mehr verwirrung als verstehen gebracht

    Von Steppstich, vor 3 Monaten

Wurzeln aus rationalen Zahlen ziehen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln aus rationalen Zahlen ziehen kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Seitenlänge eines Schokoladenstücks, indem du die Wurzel einer rationalen Zahl ziehst.

    Tipps

    Für die Wurzel von Produkten gilt:

    $\sqrt{a \cdot b}= \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

    $7^2=49$

    $11^2=121$

    Lösung

    Um die Wurzel aus $\frac{121}{49}$ zu ziehen, können wir folgende Beziehung ausnutzen:

    $\sqrt{a \cdot b}= \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

    Dazu schreiben wir den Bruch $\frac{121}{49}$ als Produkt der Form $121 \cdot \frac{1}{49}$. Damit ergibt sich für die Wurzel:

    $\sqrt{\frac{121}{49}}=\sqrt{121 \cdot \frac{1}{49}}$.

    Die Wurzel aus dem Produkt können wir jetzt als Produkt zweier Wurzeln schreiben:

    $\sqrt{121 \cdot \frac{1}{49}}=\sqrt{121} \cdot \sqrt{\frac{1}{49}}$.

    Die zweite Wurzel kann nun als $\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}}=\frac{1}{\sqrt{49}}$ geschrieben werden. Damit ergibt sich für die gesamte Rechung:

    $\sqrt{121} \cdot \sqrt{\frac{1}{49}}=\sqrt{121} \cdot \frac{1}{\sqrt{49}}$.

    Nun können wir den Faktor $\sqrt{121}$ in den Zähler des Bruchs ziehen:

    $\sqrt{121} \cdot \frac{1}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{49}} $.

    Jetzt stehen unter den Wurzeln sowohl im Nenner als auch im Zähler Quadratzahlen. Daher ergibt sich als endgültiges Ergebnis:

    $\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{49}}=\frac{11}{7}$.

  • Beschreibe das Vorgehen beim Ziehen der Wurzel rationaler Zahlen.

    Tipps

    $0,36=\frac{100 \cdot 0,36}{100 \cdot 1}=\frac{36}{100}$

    Das gleichzeitige Multiplizieren von Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl nennt man Erweitern des Bruchs.

    Die Zahlen $10$, $100$ und $1000$ sind Beispiele für Zehnerpotenzen.

    Lösung

    Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, kannst du eine Dezimalzahl als Bruch auffassen, beispielsweise $0,36=\frac{0,36}{1}$. Nun möchtest du die Kommazahl im Zähler loswerden. Dafür multiplizierst du Zähler und Nenner mit einer geeigneten Zehnerpotenz. Du erweitert in diesem Fall mit $100$, da $0,36$ zwei Stellen hinter dem Komma hat.

    • Daher ist Aussage A: „Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, muss man einen Bruch erweitern.“ richtig.
    • Genauso ist daher Aussage B: „Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, muss man einen Bruch kürzen.“ falsch.
    Es ergibt sich: $\frac{0,36}{1}=\frac{100 \cdot 0,36}{100 \cdot 1}=\frac{36}{100}$. Nun erhältst du einen Bruch, bei dem die Zehnerpotenz im Nenner steht.
    • Daher ist Aussage E: „Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, wandelt man diese in einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner um.“ richtig.
    • Ebenso ist Aussage F: „Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, wandelt man diese in einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Zähler um.“ falsch.
    Es gilt $\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{1}{b}}$, denn du kannst den Bruch $\frac{a}{b}$ als Produkt der Form $a \cdot \frac{1}{b}$ auffassen und die Regel $\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ anwenden.
    • Daher ist Aussage C: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{b} \cdot \sqrt{\frac{1}{a}}$ falsch.
    Wenn du die Regel $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ auf einen Bruch anwendet, ist es wichtig, dass du die Wurzel auf Zähler und Nenner überträgt. Daher gilt zum Beispiel: $\sqrt{\frac{4}{64}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{64}}$.
    • Daher ist Aussage D: $\sqrt{\frac{2}{32}}=\sqrt{\frac{4}{64}}=\frac{4}{\sqrt{64}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ falsch.
    • Daher ist Aussage G: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ richtig.
    • Daher ist Aussage H: $\sqrt{\frac{2}{32}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}$ richtig.

  • Bestimme die Lösung der gegebenen Wurzeln.

    Tipps

    Um aus der Dezimalzahl $0,46$ einen Bruch zu machen, musst du den Quotienten $\frac{0,46}{1}$ so oft mit 10 erweitern, bis im Zähler keine Dezimalzahl mehr steht. Da $0,46$ zwei Nachkommastellen hat, genügt dies hier zwei mal. Also ergibt sich:

    $\frac{0,46}{1}=\frac{4,6}{10}=\frac{46}{100}$.

    Es gilt

    $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

    Eine Quadratzahl ist eine Zahl, deren Wurzel eine natürliche Zahl ist.

    Lösung

    Herr Schokowski möchte die Wurzel aus $\frac{2}{32}$ auf zwei verschiedene Arten ziehen. Einmal, indem er kürzt, und Quadratzahlen übrig bleiben, und einmal, indem er auf Quadratzahlen erweitert.

    Wenn er den Bruch $\frac{2}{32}$ mit $2$ kürzt, ergibt sich:

    $\frac{2}{32}=\frac{2}{2 \cdot 16}=\frac{1}{16}$.

    Da $16$ wegen $\sqrt{16}=4$ eine Quadratzahl ist und $1$ mit $\sqrt{1}=1$ ebenfalls, ergibt sich mithilfe der Regel $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

    $\sqrt{\frac{2}{32}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}$.

    Wenn er den Bruch $\frac{2}{32}$ mit $2$ erweitert, ergibt sich:

    $\frac{2}{32}=\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 32}=\frac{4}{64}$.

    Nun stehen sowohl im Nenner als auch im Zähler Quadratzahlen, denn:

    $\sqrt{4}=2\quad$ und $\quad\sqrt{64}=8$.

    Daher ergibt sich insgesamt nach obiger Regel:

    $\sqrt{\frac{2}{32}}=\sqrt{\frac{4}{64}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{64}}=\frac{2}{8}$.

    Nun kann Jürgen Schokowski noch einmal mit $2$ kürzen und erhält:

    $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

    Durch Erweitern lässt sich auch die Wurzel aus Dezimalzahlen ziehen. Um die Wurzel aus $0,36$ zu ziehen, erweitert er den Bruch $\frac{0,36}{1}$ mit $100$ und erhält:

    $\frac{0,36}{1}=\frac{100 \cdot 0,36}{100 \cdot 1}=\frac{36}{100}$.

    Damit ergibt sich insgesamt für die Wurzel:

    $\sqrt{0,36}=\sqrt{\frac{36}{100}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}}=\frac{6}{10}$.

    Der Bruch $\frac{6}{10}$ lässt sich wiederum als die Dezimalzahl $0,6$ schreiben.

  • Erschließe die Lösung der gegebenen Wurzel.

    Tipps

    Es gilt $\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

    Der Bruch $\frac{\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3} \cdot 2}$ lässt sich mit $\sqrt{3}$ kürzen.

    Lösung

    Um den Term $\sqrt{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{12}}\cdot \frac{1}{24}}$ zu vereinfachen, vereinfachen wir zunächst den ersten Bruch unter der Wurzel, der gegeben ist durch:

    $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{12}}$.

    Für die Multiplikation von Wurzeln gilt:

    $\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

    Damit gilt für den Zähler

    $\sqrt{27}=\sqrt{3 \cdot 9}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{9}= \sqrt{3} \cdot 3$,

    da $3 \cdot 3 =9$ ist.

    Für den Nenner gilt ebenso

    $\sqrt{12}=\sqrt{3 \cdot 4}= \sqrt{3} \cdot \sqrt{4} =\sqrt{3} \cdot 2$,

    da die Wurzel aus $4$ gerade $2$ ist.

    Setzen wir dies in den ursprünglichen Term ein, so erhalten wir:

    $\sqrt{\frac{\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3} \cdot 2 }\cdot \frac{1}{24}}$.

    Nun kann man mit $\sqrt{3}$ im ersten Bruch kürzen und erhält insgesamt $\sqrt{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{24}}$.

    In einem Produkt von Brüchen kann man Zähler und Nenner verschiedener Brüche miteinander kürzen. Kürzt man in unserem Fall mit $3$, erhält man $\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}}$.

    Multipliziert man die beiden Brüche unter der Wurzel miteinander, so erhält man $\sqrt{\frac{1}{16}}$. Sowohl Nenner als auch Zähler sind Quadratzahlen. Daher müssen wir zum Ziehen der Wurzel weder kürzen noch erweitern.

    Es gilt also: $\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}$.

  • Ermittle die Lösung der gegebenen Wurzeln.

    Tipps

    Wenn im Zähler und Nenner des Bruchs Quadratzahlen stehen, kann die Wurzel aus Zähler und Nenner direkt separiert gezogen werden.

    Stehen im Zähler und Nenner keine Quadratzahlen, dann solltest du den Bruch so kürzen oder erweitern, dass du Quadratzahlen in Zähler und Nenner erhältst.

    Lösung

    Um die Wurzel aus $\frac{8}{32}$ zu ziehen, müssen wir entweder kürzen oder erweitern, da weder $8$ noch $32$ Quadratzahlen sind.

    Wenn wir mit $2$ kürzen, ergibt sich:

    $\sqrt{\frac{8}{32}}=\sqrt{\frac{4}{16}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{16}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

    Und wenn wir mit $2$ erweitern, erhalten wir dasselbe Ergebnis (zum Glück!):

    $\sqrt{\frac{8}{32}}=\sqrt{\frac{16}{64}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{64}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.

    Um die Wurzel aus $\frac{2}{18}$ zu ziehen, müssen wir ebenfalls kürzen oder erweitern, da weder $2$ noch $18$ Quadratzahlen sind.

    Wenn wir mit $2$ kürzen, ergibt sich:

    $\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$.

    Und wenn wir mit $2$ erweitern:

    $\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{4}{36}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{36}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

    Da sowohl $1$ als auch $25$ Quadratzahlen sind, müssen wir hier weder kürzen noch erweitern, um die Wurzel zu ziehen.

    Es folgt:

    $\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}$.

    Und da sowohl $49$ als auch $16$ Quadratzahlen sind, müssen wir auch hier nicht kürzen oder erweitern, sondern können direkt die Wurzel ziehen:

    $\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}=\frac{7}{4}$.

  • Bestimme die Wurzel der gegebenen Terme.

    Tipps

    Um zwei Brüche zu addieren (oder zu subtrahieren), musst du sie zunächst gleichnamig machen. Das heißt, du erweiterst beide Brüche so, dass sie denselben Nenner haben.

    Werden zwei gleichnamige Brüche addiert, so bleibt der Nenner gleich und die Zähler addieren sich.

    Bei der Multiplikation von Brüchen kannst du Zähler und Nenner getrennt multiplizieren:

    $\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d}=\frac{a\cdot b}{c \cdot d}$.

    Lösung

    Um $\sqrt{\frac{1}{32} + \frac{2}{64}}$ auszurechnen, müssen wir die beiden Brüche unter der Wurzel zunächst gleichnamig machen. Dafür erweitern wir den Bruch $\frac{1}{32}$ mit $2$. Es ergibt sich

    $\sqrt{\frac{1}{32} + \frac{2}{64}}=\sqrt{\frac{2}{64} + \frac{2}{64}}=\sqrt{\frac{4}{64}}$.

    Nun stehen Quadratzahlen in Zähler und Nenner. Damit folgt

    $\sqrt{\frac{4}{64}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{64}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

    Alternativ können wir den Bruch $\frac{2}{64}$ auch mit $2$ kürzen. In diesem Fall ergibt sich

    $\sqrt{\frac{1}{32} + \frac{2}{64}}=\sqrt{\frac{1}{32} + \frac{1}{32}}=\sqrt{\frac{2}{32}}$.

    Nun muss der Bruch mit $2$ auf $\sqrt{\frac{4}{64}}$ erweitert werden, damit in Zähler und Nenner Quadratzahlen stehen. Der letzte Rechenschritt ist dann der gleiche wie oben.

    Um $\sqrt{\frac{1}{6} + \frac{5}{18}}$ auszurechnen, müssen wir erst einmal wieder beide Brüche gleichnamig machen. Dafür erweitern wir den Bruch $\frac{1}{6}$ mit $3$. Es ergibt sich

    $\sqrt{\frac{1}{6} + \frac{5}{18}}=\sqrt{\frac{3}{18} + \frac{5}{18}}=\sqrt{\frac{8}{18}}$.

    Nun stehen noch keine Quadratzahlen in Zähler und Nenner. Wir erweitern den Bruch also mit $2$ und erhalten

    $\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{16}{36}}$.

    Hier sind beide Zahlen Quadratzahlen. Also folgt

    $\sqrt{\frac{16}{36}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{36}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

    Um $\sqrt{\frac{1}{5} - \frac{4}{25}}$ auszurechnen, müssen wir die beiden Brüche $\frac{1}{5}$ und $\frac{4}{25}$ zunächst gleichnamig gemacht werden. Dafür erweitern wir den Bruch $\frac{1}{5}$ mit $5$. Es ergibt sich

    $\sqrt{\frac{1}{5} - \frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{5}{25} - \frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$.

    Nun stehen Quadratzahlen in Zähler und Nenner. Es folgt weiter

    $\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}$.

    Für die Multiplikation zweier Brüche müssen wir diese nicht gleichnamig machen. Daher folgt direkt

    $\sqrt{\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{18}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$.

    Es stehen Quadratzahlen in Zähler und Nenner und daher gilt

    $\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}$.