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Quadratwurzeln rationaler Zahlen

Das Quadrat einer Zahl ist das Produkt dieser Zahl mit sich selbst. Wenn du umgekehrt wissen willst, welche Zahl quadriert worden ist, musst du die (Quadrat-)Wurzel ziehen.

Was bedeutet Quadrieren

Weißt du noch, was Potenzen sind? Potenzen haben die Form

$a^{n}=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n-\text{mal}}$

Du siehst, eine Potenz ist ein Produkt, in welchem der gleiche Faktor (hier $a$) mehrmals (hier $n$-mal) vorkommt.

Beim Quadrieren ist $n=2$, also $a^{2}=a\cdot a$.

Beispiele

  • $0,4^{2}=0,4\cdot 0,4=0,16$
  • $1,1^{2}=1,1\cdot 1,1=1,21$
  • $1,5^{2}=1,5\cdot 1,5=2,25$

Was bedeutet Wurzel-Ziehen

Willst du nun umgekehrt wissen, welche Zahl zum Quadrat $0,16$ oder $1,21$ oder $2,25$ ist, musst du die Wurzel ziehen. Wenn man in der Mathematik von der Wurzel spricht, meint man die Quadratwurzel.

Du kannst eine Wurzel so definieren: Die Wurzel einer nichtnegativen Zahl $x$ ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat wieder $x$ ist.

Bei den obigen Beispielen bedeutet dies:

  • $\sqrt{0,16}=0,4$
  • $\sqrt{1,21}=1,1$
  • $\sqrt{2,25}=1,5$

Das Ziehen von Wurzeln aus rationalen Zahlen.

Du wirst nun lernen, wie du eine solche Wurzel berechnen kannst.

Die Wurzel aus Quadratzahlen

Quadratzahlen sind natürliche Zahlen, die das Quadrat einer anderen natürlichen Zahl sind. Umgekehrt kannst du die Wurzel aus einer Quadratzahl bestimmen:

  • $4^{2}=16$, also ist $\sqrt{16}=4$.
  • $11^{2}=121$, somit ist $\sqrt{121}=11$.
  • $15^{2}=225$ und damit weißt du, dass $\sqrt{225}=15$ ist.

Dieses Wissen verwenden wir nun, um zu den obigen Beispielen die Wurzel zu berechnen, die du ja bereits kennst.

Die Wurzel aus Brüchen

Du kannst eine rationale Zahl als Bruch schreiben und dann die Wurzel ziehen. Dies schauen wir uns an Beispielen an:

Beispiel 1

$\sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{16}{100}}$

Wenn du die Wurzel aus einem Bruch ziehen möchtest, kannst du die Wurzel aus dem Zähler und die aus dem Nenner ziehen und die Werte dividieren. Du kannst dann bei dem obigen Beispiel wie folgt weiterrechnen:

$\sqrt{\frac{16}{100}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}}=\frac{4}{10}=0,4$

Hierfür musst du wissen, dass sowohl $16$ als auch $100$ Quadratzahlen sind.

Beispiel 2

Berechne $\sqrt{\frac{12}{27}}$. Hm, du kennst vielleicht weder $\sqrt{12}$ noch $\sqrt{27}$, aber du kannst ja kürzen und dann kannst du in dem Bruch die Wurzel im Zähler und im Nenner ziehen:

$\sqrt{\frac{12}{27}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt4}{\sqrt9}=\frac23$

Die Wurzel aus Kommazahlen

Du kannst auch direkt die Wurzel aus einer Kommazahl ziehen, ohne die Zahl als Bruch zu schreiben: Hierfür schauen wir uns das Beispiel $\sqrt{1,21}$ an. Du siehst sehr wahrscheinlich, dass darin die Zahl $121=11^{2}$ vorkommt.

Merke dir für das Quadrieren von Kommazahlen, dass das Ergebnis genau doppelt so viele Nachkommastellen hat wie die Kommazahl, welche quadriert wird. War das zu kompliziert? Dann schau dir ein Beispiel an: $0,004^2=0,000016$.

Die Zahl $16$ erhältst du als Quadrat der Zahl $4$. Da $0,004$ drei Nachkommastellen hat, muss das Quadrat $2\cdot 3=6$ Nachkommstellen haben. So kommst du zu $0,004^{2}=0,000016$.

Umgekehrt kannst du die Wurzel aus einer Kommazahl bestimmen.

Beispiel 1

Wir kommen zu dem Beispiel $\sqrt{1,21}$ zurück. Du erkennst, dass in der Zahl unter der Wurzel $121=11^{2}$ vorkommt. Zähle die Nachkommastellen: zwei. Das bedeutet, dass die Kommazahl, welche quadriert wird, eine Nachkommastelle haben muss. So kommst du zu $\sqrt{1,21}=1,1$.

Hier kommt noch ein weiteres Beispiel:

Beispiel 2

Berechne $\sqrt{0,000144}$.

  • Zähle die Nachkommastellen: sechs. Das bedeutet, dass die Kommazahl, welche quadriert wird, drei Nachkommastellen hat.
  • $144$ ist eine Quadratzahl, nämlich $12^{2}=144$.
  • Fast fertig: $\sqrt{0,000144}=0,012$.

Du merkst: Die Anzahl der Nachkommastellen muss gerade sein, damit du so die Quadratwurzel berechnen kannst.

Schließlich kannst du eine Quadratwurzel auch näherungsweise berechnen.

Die näherungsweise Berechnung der Quadratwurzel

Du siehst dies am Beispiel des Heron-Verfahrens. Mittels dieses Verfahrens kannst du Schritt für Schritt (iterativ) die Wurzel einer Zahl bestimmen. Wir berechnen nun $\sqrt{3,1}$ näherungsweise.

Die Iterationsvorschrift für das Heron-Verfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel von $a\ge 0$ lautet:

$x_{n+1}=\frac12\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)$

Dabei startest du mit einem Startwert $x_{0}$. Diesen wählst du geschickterweise so, dass er recht nahe bei der gesuchten Wurzel liegt. Probiere dies einmal mit $x_{0}=2$ zur Berechnung von $\sqrt{3,1}$.

  1. $x_{1}=\frac12\left(2+\frac{3,1}{2}\right)=1,775$: Quadriere nun $1,775^{2}=3,150625$. Das ist doch schon recht nahe bei $3,1$. Rechne doch einmal weiter:
  2. $x_{2}=\frac12\left(1,775+\frac{3,1}{1,775}\right)\approx 1,761$. Quadriere auch hier $1,761^{2}=3,1011...$. Du siehst, du hast schon einen recht guten Näherungswert für $\sqrt{3,1}$ gefunden.