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Quadratwurzeln von Quotienten 03:39 min

Textversion des Videos

Transkript Quadratwurzeln von Quotienten

Das ist Wendelin, des Königs getreuer Kurier, flinken Schritts unterwegs, gestern dort, heute hier. Ein Paket seines Herr'n soll er rasch ans Ziel tragen, doch vielleicht wird er heute gar kläglich versagen, denn der Weg, er ist lang, einen Tag braucht es, von Bergen nach Alraunstadt über Cumuluswart. Diesen Weg zu verkürzen ist Wendelins Streben, irgendwo muss es doch eine Abkürzung geben. Was ist das dort am Fluss? Oh, ein ganz neuer Steg. Doch kann dieser auch wirklich verkürzen den Weg? Um dies zu ergründen, darf der Bote nicht bangen, er muss Wissen um Quadratwurzeln von Quotienten erlangen. Statt zwei Drittel eines Tages nach Cumuluswart zu reisen, die Brücke zu überqueren und dann noch einmal ein Drittel eines Tages für die Reise nach Alraunstadt zu benötigen, kann Wendelin auch einfach über den neuen Steg direkt von Bergen nach Alraunstadt gelangen. Aber um wie viel ist der neue Weg kürzer als der alte? Kennst du noch den Satz des Pythagoras? a Quadrat plus b Quadrat gleich c Quadrat. Die Seite c nennt man Hypotenuse. Sie ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Wendelin weiß, wie man den Satz des Pythagoras anwendet, um die fehlende Seitenlänge in Form eines positiven Wurzelausdrucks zu berechnen, aber er braucht Hilfe dabei, den Wurzelausdruck zu vereinfachen. Zeigen wir ihm, wie das geht. Um diese Aufgabe zu lösen, nutzt du ein Wurzelgesetze, und zwar die Quotientenregel für Wurzeln. Sie besagt: Die Wurzel eines Quotienten ist gleich der Wurzel des Zählers geteilt durch die Wurzel des Nenners. Für alle positiven reellen Zahlen a und b, wobei b nicht 0 sein darf. Schauen wir mal, wie wir die Quotientenregel nutzen können, um unsere Aufgabe zu lösen. Wurzel von 90 geteilt durch Wurzel von 10. Das ist gleich der Wurzel des Bruchs 90 durch 10. Wir können das vereinfachen zu Wurzel von 9 und das dann ausrechnen. Das Ergebnis ist 3, denn wenn du diese Zahl quadrierst, erhältst du 9. Noch ein Beispiel: Die Wurzel von 49 durch 9. Hm, den Bruch zu vereinfachen hilft nicht. Aber wir können den Term umschreiben und dann die Wurzeln einzeln ziehen. Die Wurzel von 49 ist 7, und die von 9 ist 3. Wir erhalten also 7 durch 3. Bei komplexeren Brüchen können wir die Koeffizienten von den Wurzeln trennen und dann die Quotientenregel anwenden, um die Wurzel zu vereinfachen. Der Bruch unter dem Wurzelzeichen lässt sich zu 4 kürzen. Der Rest ist einfach. Zurück zu unserer ursprünglichen Aufgabe. Wendelin nutzt, was er gelernt hat, um den Wurzelausdruck zu vereinfachen. Er wendet die Quotientenregel an und erhält als Lösung Wurzel von 5 geteilt durch 3. Im Vergleich zur alten Route wird er mit der neuen ein Viertel eines Tages einsparen. Wendelin macht sich beschwingt auf den Weg, auf den Lippen ein Lied, geradeaus hin zum Steg. Doch ganz plötzlich steht dort eine Bestie von Troll, lächelt frech, zückt ein Blatt und verlangt einen Zoll. Doch der Bote, neuerdings auch ein Meister der Zahlen, zeigt: Mit Mathe beschwichtigt man jeden Vandalen.

4 Kommentare
  1. Hallo Musikmann, jede Division kannst du auch als Bruch schreiben: 12:48 ist also 12/48. Diesen Bruch kannst du noch kürzen. 48 ist nämlich durch 12 teilbar: 48:12=4.
    Daher kannst du schreiben: 12/48=(12:12)/(48:12)=1/4.
    Das ist dein Ergebnis.
    Wenn du noch mehr über das Kürzen und Erweitern von Brüchen wissen willst, kannst du dir auch folgendes Video anschauen:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/brueche-erweitern-und-kuerzen-3?launchpad=video
    Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat Mo-Fr 17-19 Uhr wenden.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 13 Tagen
  2. Was ist, wenn man z.B 12:48 rechnen muss ohne Taschenrechner. Bitte hilft mir und antwortet

    Von Musikmann24, vor 15 Tagen
  3. Intresant und COOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

    Von Olgawall, vor 22 Tagen
  4. nice geschichte

    Von No Name But I Am Not You., vor 5 Monaten

Quadratwurzeln von Quotienten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratwurzeln von Quotienten kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Reisedauer des neuen Wegs.

    Tipps

    Bevor man mit den gegebenen Werten rechnet, stellt man eine Gleichung mit Variablen auf, an deren Stellen dann die dazugehörigen Werte eingesetzt werden können.

    Lösung
    1. Der Satz des Pythagoras besagt $a^2+b^2=c^2$.
    2. Das bedeutet im Umkehrschluss auch: $c^2=a^2+b^2$.
    3. Um jetzt $c$ zu berechnen, ziehen wir die Wurzel: $\sqrt{c^2}=\sqrt{a^2+b^2}$.
    4. Diese Gleichung vereinfachen wir. Nun setzen wir die oben genannten Werte ein. Damit ergibt sich: $c=\sqrt{(\frac23)^2+(\frac13)^2}$.
    5. Dies wird weiter vereinfacht: $c=\sqrt{\frac49 + \frac19}=\sqrt{\frac59}$.
    6. Nun wenden wir die Quotientenregel an: $\sqrt{\frac59}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt5}{3}$
    7. $\frac{\sqrt5}{3} \approx 0,75 = \frac34$.
    Wenn Wendelin also Weg $c$ wählen würde, bräuchte er nur circa $\frac34$ Tage.
  • Gib das Wurzelgesetz für Quotienten wieder.

    Tipps

    Ein Quotient ist das Ergebnis der Division von zwei Zahlen.

    Lösung

    Das Wurzelgesetz für Quotienten besagt:

    Die Wurzel eines Quotienten ist gleich der Wurzel des Zählers geteilt durch die Wurzel des Nenners.

    Dies gilt für alle positiven reellen Zahlen $a$ und $b$, solange gilt:

    $\mathbf{b\neq0}$.

  • Ergänze die Berechnungen der Wurzelterme.

    Tipps

    Wenn $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ gilt, dann gilt auch $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

    Vergleiche mit folgender Rechnung:

    $\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\frac53$.

    Lösung

    Ein Wurzelgesetz für Quotienten besagt: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
    Das bedeutet gleichzeitig auch: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

    Demnach sehen die Rechnungen folgendermaßen aus.

    $\begin{array}{ll} &\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{10}} &\vert\ \text{Wurzelgesetz} \\ =&\sqrt{\frac{90}{10}} &\vert\ \text{vereinfachen} \\ =&\sqrt{9} &\vert\ \text{Wurzel ziehen} \\ =&3 & \end{array}$

    Das Ergebnis ist also $3$.

    $\begin{array}{ll} &\sqrt{\frac{49}{9}} &\vert\ \text{Wurzelgesetz} \\ = &\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} &\vert\ \text{Wurzel ziehen} \\ = &\frac73 & \end{array}$

    Hier erhalten wir das Ergebnis $\frac73$.

    $\begin{array}{ll} &\frac{-6\sqrt{20}}{2\sqrt{5}} &\vert\ \text{Koeffizienten von Wurzel trennen} \\ = &\frac{-6}{2}\cdot\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} &\vert\ \text{Wurzelgesetz} \\ = &-3\cdot\sqrt{\frac{20}{5}} &\vert\ \text{vereinfachen} \\ = &-3\cdot\sqrt{4} &\vert\ \text{Wurzel ziehen} \\ = &-3\cdot2 & \\ = &-6 & \end{array}$

    Dieser kompliziert aussehende Wurzelbruch hat also den schlichten Wert $-6$.

  • Untersuche, welches Ergebnis zu welchem Wurzelterm gehört.

    Tipps

    Sieh dir dieses Beispiel an:
    $\sqrt{9}=\sqrt[2]{9}=\sqrt[2]{3^2}=3$
    $\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$.

    Vergleiche mit folgendem Beispiel:

    $4^3 = 64 \Longleftrightarrow \sqrt[3]{64} = 4$.

    Lösung

    So werden die Terme mit Hilfe des Wurzelgesetzes für Quotienten berechnet.

    Erster Term: $\sqrt[3]{\frac{343}{125}}=\frac{\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{\sqrt[3]{7^3}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac75$

    Zweiter Term: $\frac{-12\sqrt{288}}{-4\sqrt{8}}=\frac{-12}{-4}\cdot\frac{\sqrt{288}}{\sqrt{8}}=3\cdot\sqrt{\frac{288}{8}}=3\cdot\sqrt{36}=3\cdot6=18$

    Dritter Term: $\frac{\sqrt[3]{108}}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{\frac{108}{4}}=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$

    Vierter Term: $\frac{40\sqrt[3]{189}}{20\sqrt[3]{7}}=\frac{40}{20}\cdot\frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}=2\cdot\sqrt[3]{\frac{189}{7}}=2\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot\sqrt[3]{3^3}=2\cdot3=6$

  • Bestimme das Ergebnis zum gegebenen Quadratwurzelterm.

    Tipps

    Vergleiche mit folgender Rechnung:

    $\frac{10\sqrt{120}}{-5\sqrt{30}}=\frac{10}{-5}\cdot\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{30}}=\frac{10}{-5}\cdot\sqrt{\frac{120}{30}}=-2\cdot\sqrt{4}=-2\cdot2=-4$.

    So wird dieses Wurzelgesetz für Quotienten angewendet:

    $\sqrt{\frac{27}{81}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{81}}$.

    Lösung

    Wenn das Wurzelgesetz $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ gilt, dann gilt auch $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

    Diesem Gesetz nach werden die Wurzelterme wie folgt ausgerechnet.

    Erster Term: $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}=4$

    Zweiter Term: $\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\frac85$

    Dritter Term: $\frac{-8\sqrt{60}}{-2\sqrt{15}}=\frac{-8}{-2}\cdot\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{15}}=\frac{-8}{-2}\cdot\sqrt{\frac{60}{15}}=4\cdot\sqrt{4}=4\cdot2=8$

    Vierter Term: $\sqrt{\frac{121}{144}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{144}}=\frac{11}{12}$

  • Ermittle die Länge der gesuchten Strecke.

    Tipps

    $c$ ist hier die gesuchte Strecke. Sie soll als Bruchteil der gesamten Strecke angegeben werden.

    $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ und $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

    Lösung

    Zur Berechnung muss der Pilot den Satz des Pythagoras verwenden. Der lautet wie folgt:
    $c^2=a^2+b^2$.

    Aus dieser Formel zieht er nun die Wurzel, das sieht so aus:
    $\sqrt{c^2}=\sqrt{a^2+b^2}$.

    Der Pilot betrachtet im Folgenden erst einmal nur die rechte Seite der Gleichung. Er setzt die Werte für $a$ und $b$ ein. Dabei müssen unter dem Wurzelzeichen folgende Ausdrücke stehen:
    $(\frac{1}{16})^2+(\frac{3}{16})^2$.

    Die ganze Gleichung sähe hier so aus: $c=\sqrt{(\frac{1}{16})^2+(\frac{3}{16})^2}$.

    Er fasst weiter zusammen. Auf der rechten Seite der Gleichung unter dem Wurzelzeichen steht nun Folgendes:
    $\frac{9}{256}+\frac{1}{256}$
    $=\frac{10}{256}$.

    An diesem Punkt wendet er noch schnell ein Wurzelgesetz für Quotienten an, um einfacher rechnen zu können. Dabei dividiert er folgende Werte in einem Bruch:
    $c=\sqrt{10}\div\sqrt{256}$.

    So sähe dieser Schritt mit der ganzen Gleichung aus:
    $c=\sqrt{\frac{9}{256}+\frac{1}{256}}=\sqrt{\frac{10}{256}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{256}}$.

    Fast geschafft! Der Pilot zieht die Wurzel, wo es möglich ist, und rundet sein Ergebnis:
    $c=\frac{\sqrt{10}}{16}\approx0,2$.

    Für die Strecke von Straßburg direkt nach Hamburg braucht das Flugzeug also circa $\frac15$ des Treibstoffs. Knapp, aber reicht!