Null als Exponent
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Null als Exponent Übung
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Gib an, wie du mit der Potenz von $2$ zeigen kannst, dass $2^0=1$ gilt.
TippsZuerst sollte die bekannte $2$er-Potenzreihe mit positiven Exponenten aufgeschrieben werden.
Betrachte die einzelnen Zusammenhänge zwischen den Werten der $2$er-Potenzreihe sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links. Das Ergebnis kann dann einfach abgelesen werden.
LösungDie folgende Beweisführung ist korrekt:
- Zu Beginn schreiben wir die bekannten $2$er-Potenzen, also $2^{1}$, $2^{2}$ und $2^{3}$ in eine Tabelle mit ihren jeweiligen Ergebnissen $2$, $4$ und $8$.
- Wenn wir uns jetzt die Potenzwerte von $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}$ anschauen, erkennen wir, dass das Ergebnis in jedem Schritt nach rechts mit $2$ multipliziert wird. Betrachten wir die Potenzwerte in der Tabelle nun von rechts nach links, so werden die Ergebnisse immer durch $2$ geteilt.
- Nach diesem Muster können wir die Ergebnisse für $2^{0}$, $2^{-1}$ und $2^{-2}$ bestimmen, indem wir nämlich einfach durch $2$ teilen.
- Wir erhalten also $2^{0}=1$, $2^{-1}=\frac{1}{2}$, $2^{-2}=\frac{1}{4}$ und vervollständigen unsere Tabelle.
- Schlussendlich können wir aus der Tabelle ablesen, dass $2^{0}=1$ ergibt, was wir zeigen wollten.
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Vervollständige den Beweis für $x^0=1$ mit $x\neq 0$.
TippsAusgangspunkt ist das Divisions-Potenzgesetz: $\frac{y^{l}}{y^{p}} = y^{l-p}$.
Ein Beispiel mit gleichen Exponenten: $\dfrac{6^{4}}{6^{4}} = 6^{4-4} = 6^{0} = 1$.
LösungFolgende Beweisführung ist korrekt:
Als Ausgangspunkt dient das Divisions-Potenzgesetz, das $\frac{y^{l}}{y^{p}}$ $ = y^{l-p}$ lautet. In unserer bekannten Schreibweise gilt also:
- $\frac{x^{m}}{x^{n}}= x^{m-n}$.
- Kurzes Beispiel: $\frac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7-3} = 5^{4}$
- $\frac{5^{3}}{5^{3}} = 5^{3-3} = 5^{0} = 1$
- Für $x\neq0$ gilt: $\frac{x^{m}}{x^{m}} = x^{m-m} = x^{0} = 1$.
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Bestimme die Terme, bei denen das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ gilt.
TippsWende zuerst mögliche Potenzgesetze an und überprüfe, ob der Exponent $0$ wird.
Sollte der Exponent $0$ sein, kannst du das Gesetz auch anwenden.
LösungBei folgenden Termen kannst du das Gesetz anwenden:
- $\frac{2^{3}}{2^{3}}$, denn es gilt $2^{3-3}=2^{0}=1$
- ${(3\cdot x^{4}\cdot y^{3})}^{0}$, denn der Exponent $0$ erlaubt es hierbei.
- $125^{0}$, auch hier ist der Exponent schon $0$.
- $\frac{5^{-4}}{5^{-4}}$, auch wenn die Exponenten negativ sind, gilt $-4-(-4)=0$. Da auch die Basen identisch sind, können wir unser Potenzgesetz anwenden.
- $\frac{3^{2}}{5^{2}}$, denn die Basis ist nicht gleich und das Potenzgesetz der Division darf nicht angewendet werden.
- $(-1+1)^{3}$, denn der Exponent ist hier $3$, auch wenn die Basis $0$ wird.
- $\frac{2^{3}}{2^{2}}$, da hier die Basis zwar gleich ist, aber für die Exponenten $3-2=1\neq0$ gilt.
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Leite das Ergebnis der folgenden Terme her.
TippsÜberprüfe zuerst, ob du das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden kannst. Falls ja, ist das Ergebnis $1$.
Wende bekannte Potenzgesetze an und vereinfache so weit wie möglich:
- Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
- Multiplikation von Potenzen: als Beispiel $(23 \cdot 2)^4=23^4 \cdot 2^4$
- Potenzen von Potenzen: als Beispiel $(23^2)^4 = 23^{2 \cdot 4} = 2^12= 4~096$
LösungFolgende Rechenschritte können vollzogen werden:
- $(y^{3}\cdot x^{2})^{0} = (y^3)^0 \cdot (x^2)^0 = y^{3\cdot 0} \cdot x^{2 \cdot 0} = y^{0} \cdot x^{0} =1\cdot 1 = 1$.
$(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$.
Danach wird zur Vereinfachung das Gesetz zu Potenzen von Potenzen:
$(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
genutzt, so dass dann das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ verwendet werden kann.
- $\frac{2^{3}}{2^{2}}=2^{3-2}=2^{1}=2$
$\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
angewandt werden.
- $99^{0}=1$
- $(1^{99}\cdot 2^{2})^{1}= (1 \cdot 4)^1 = 1^1 \cdot 4^1= 1 \cdot 4 = 4$
- $(m^{0})^{99}= 1$
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Benenne die richtigen Aussagen über das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$.
TippsSobald der Exponent $0$ ist, ist es egal, was in der Basis $x$ steht, solange $x\neq0$.
$(4+5)^0$ ergibt $1$, da auch hier das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ gilt.
Das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ ist unabhängig von anderen Potenzgesetzen.
LösungDiese Aufgaben sind richtig:
- „Egal welche Basis $x$ mit $x\neq0$ eine Potenz $x^n$ hat, es gilt immer: Wenn der Exponent $n$ gleich $0$ ist, so ist das Ergebnis immer $1$.“
- „Jede Zahl (außer die $0$) hoch $0$ ergibt immer $1$.“
- „Das Gesetz gilt nur bei Zweierpotenzen, also nur bei $2^{0}$.“ Die Basis $x$ kann (außer $x\neq0$) beliebig sein, das Ergebnis ist immer $1$, wenn der Exponent $0$ ist.
- „Gibt es noch andere Potenzgesetze, die im Term gelten, so gilt das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ nicht.“ Das Gesetz gilt, völlig unabhängig von anderen Gesetzen, immer.
- „$(2+3)^0$ ergibt $5$.“ Das Ergebnis ist $1$, denn jede Zahl $x$ mit $x\neq0$ hoch $0$ ergibt immer $1$.
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Ermittle die Ergebnisse der Terme mithilfe aller dir bekannten Potenzgesetze.
TippsÜberprüfe zunächst, ob du zur Vereinfachung bestimmte Potenzen wie $1^{78}=1$ direkt ausrechnen kannst.
Wende bekannte Potenzgesetze an und vereinfache so weit wie möglich:
- Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
- Multiplikation von Potenzen: $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$
- Potenzen von Potenzen: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
- Potenzen mit dem Exponenten gleich $0$: $x^0=1$ für $x \neq 0$
LösungFür die Berechnungen der Ausdrücke auf der linken Seite wenden wir die folgenden Potenzgesetze an:
Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
Multiplikation von Potenzen: $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$
Potenzen von Potenzen: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
Potenzen mit dem Exponenten gleich $0$: $x^0=1$ für $x \neq 0$
- Für den ersten Ausdruck gilt mit dem Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$:
- Im zweiten Fall nutzen wir das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ für den ersten Summanden und das Gesetz zur Multiplikation von Potenzen für den zweiten:
- Beim dritten Ausdruck hilft uns das Gesetz der Division von Potenzen:
- Beim letzten Ausdruck berechnen wir beim Minuenden zunächst die einfachen Potenzen $1^3=1$ und $3^2=9$. Beim Subtrahenden werden zunächst die Gesetze zur Multiplikation von Potenzen und zu Potenzen von Potenzen genutzt und dann das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$. (Wenn du es siehst, kannst du natürlich auch gleich das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden.)
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