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Abstand zweier Punkte berechnen

Zur Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten wird die euklidische Distanz verwendet, die sich aus der Länge der Strecke zwischen ihnen ergibt. Der Satz des Pythagoras wird genutzt, um die Koordinatenunterschiede in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Möchtest du mehr darüber erfahren und üben, wie man den Abstand wie Carlos bestimmt? Interessiert? Dann lies weiter in dem folgenden Text.

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Team Digital
Abstand zweier Punkte berechnen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Abstand zweier Punkte berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstand zweier Punkte berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Schrittfolge bei der Berechnung des Abstandes zweier Punkte wieder.

    Tipps

    Setze in die Abstandsformel die Zahlen ein und löse die Gleichung.

    Die erste Formel lautet:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

    Setze hier die Werte ein und rechne die Gleichung aus.

    Lösung

    Die Ausgangsgleichung folgt aus dem Satz des Pythagoras:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

    Zuerst setzt du die Werte aus der Skizze ein:

    $d=\sqrt{(200-100)^{2}+(400-100)^{2}}$

    Nun rechnest du die Differenzen in den Klammern aus:

    $d=\sqrt{(100)^{2}+(300)^{2}}$

    Danach bildest du die Quadrate:

    $d=\sqrt{10 000+90 000}$

    Fasse die Summe zusammen:

    $d=\sqrt{100 000}$

    Wenn du jetzt noch die Wurzel ziehst, erhältst du das Ergebnis:

    $d\approx316,23$

    Da die Wäscheleine von Carlos Mutter $350~$m lang ist, reicht sie für die Strecke völlig aus.

  • Gib an, wie du vom Satz des Pythagoras zur Abstandsformel kommst.

    Tipps

    Die Hypothenuse $c$ entspricht dem Abstand $d$ der zwei Punkte.
    $d$ steht für „distance“. Das ist Englisch und bedeutet „Abstand“.

    Achtung: Die Summe zweier Wurzeln ist normalerweise etwas anderes als die Wurzel einer Summe.

    Beispiel:

    • $\sqrt{36}+\sqrt{64}=6+8=14$
    • $\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
    Lösung

    Betrachtest du die Skizze, erkennst du ein rechtwinkliges Dreieck. Die beiden Katheten $a$ und $b$ entsprechen den Differenzen der $x$-Werte und $y$-Werte beider Punkte:

    $x_{2}-x_{1}$ und $y_{2}-y_{1}$

    Der Abstand $d$ beider Punkte wird durch die Hypotenuse $c$ des Dreiecks gebildet.

    Der Satz des Pythagoras lautet:

    $a^2+b^2=c^2$

    Er wird durch den folgenden Ausdruck ersetzt:

    $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}$

    Wir wollen den Abstand ermitteln, also wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

  • Vergleiche die Lösungswege zur Berechnung der Abstände verschiedener Punktepaare.

    Tipps

    Trage die gegebenen Punkte zunächst in ein Koordinatensystem ein und überlege dir, wie groß die Differenzen zwischen den $x$-Werten bzw. die Differenzen zwischen den $y$-Werten sind.

    Die Punkte, zwischen denen jeweils der Abstand gesucht ist, stehen hier untereinander. Subtrahiere bei den Angaben zu den Punkten die untereinander stehenden Zahlen, weil in der Abstandsformel $x_{2}-x_{1}$ bzw. $y_{2}-y_{1}$ stehen und nicht $x_{1}-y_{1}$ bzw. $x_{2}-y_{2}$. Schaue, ob du die Ergebnisse in den Gleichungen wiederfindest.

    Der Abstand $d$ zwischen $P_{1}$ und $P_{2}$ beträgt $5$.
    Der Abstand zwischen $Q_{1}$ und $Q_{2}$ beträgt $10$.
    Der Abstand zwischen $R_{1}$ und $R_{2}$ beträgt $13$.

    Lösung

    Bei der Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten wird diese Abstandsformel angewendet:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

    1. Punktepaar: $P_{1}$ und $P_{2}$

    • Für $P_{1}$ und $P_{2}$ sind $x_{1}=3$ und $x_{2}=6$, die Differenz ist dann $x_{2}-x_{1}=6-3=3$.
    • Für $P_{1}$ und $P_{2}$ sind $y_{1}=5$ und $y_{2}=9$, die Differenz ist dann $y_{2}-y_{1}=9-5=4$.

    Eingesetzt in obige Formel für den Satz des Pythagoras ergibt das:

    $d=\sqrt{(6-3)^{2}+(9-5)^{2}}$

    $d=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}$

    $d=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$

    $d=5$

    2. Punktepaar: $Q_{1}$ und $Q_{2}$

    • Für $Q_{1}$ und $Q_{2}$ sind $x_{1}=1$ und $x_{2}=6$, die Differenz ist dann $x_{2}-x_{1}=6-1=5$.
    • Für $Q_{1}$ und $Q_{2}$ sind $y_{1}=2$ und $y_{2}=14$, die Differenz ist dann $y_{2}-y_{1}=14-2=12$.

    Eingesetzt in die obige Formel für den Satz des Pythagoras ergibt das:

    $d=\sqrt{(6-1)^{2}+(14-2)^{2}}$

    $d=\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}}$

    $d=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}$

    $d=13$

    3. Punktepaar: $R_{1}$ und $R_{2}$

    • Für $R_{1}$ und $R_{2}$ sind $x_{1}=0$ und $x_{2}=6$, die Differenz ist dann $x_{2}-x_{1}=6-0=6$.
    • Für $R_{1}$ und $R_{2}$ sind $y_{1}=6$ und $y_{2}=14$, die Differenz ist dann $y_{2}-y_{1}=14-6=8$.

    Eingesetzt in die obige Formel für den Satz des Pythagoras ergibt das:

    $d=\sqrt{(6-0)^{2}+(14-6)^{2}}$

    $d=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}}$

    $d=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}$

    $d=10$

  • Bestimme den Abstand der Punkte $S(12\vert99)$ und $T(51\vert19)$.

    Tipps

    Die Bezeichnung $\vert \overline{ST} \vert$ ist nur eine andere Bezeichnung für den Abstand zwischen den Punkten $S$ und $T$. Häufig wird dieser auch mit $d$ bezeichnet.

    Der Betrag gibt immer den positiven Wert einer Zahl aus:

    $\vert4\vert=4$ und $\vert-4\vert=4$

    Lösung

    Die Koordinaten des Punktes $S$ sind:

    $x_{S}=12$ und $y_{S}=99$

    Die Koordinaten des Punktes $T$ sind:

    $x_{T}=51$ und $y_{T}=19$

    Weil hier mit Abständen gerechnet wird, kannst du positive Zahlen verwenden. Rechne also erst die Differenz aus und nimm anschließend den Betrag:

    $\vert x_{S}-x_{T} \vert =\vert 12-51\vert=\vert -39\vert=39$ und $\vert y_{S}-y_{T} \vert =\vert 99-19\vert=\vert80\vert=80$

    Für den Abstand $\overline{ST}$ zwischen den Punkten $S$ und $T$ folgt dann mit der Abstandsformel:

    $\vert \overline{ST} \vert^{2}=(x_{S}-x_{T})^{2}+(y_{S}-y_{T})^{2}=39^2+80^2=1 521+6 400=7 921$

    Daraus ziehst du noch die Wurzel:

    $\vert \overline{ST} \vert=89$.

  • Nenne wichtige Angaben für die Abstandsberechnung zweier Punkte.

    Tipps

    Das ist die Formel zur Abstandsberechnung:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

    Sieh sie dir genau an und überlege, welche Werte alle bekannt sein müssen, um sie anzuwenden.

    Lösung

    Überlege dir anhand der konkreten Berechnung des Abstandes, welche Angaben zu den Punkten du brauchst: In der Formel tauchen die $x$-Werte und die $y$-Werte von zwei Punkten auf. Das ist die Formel für den Abstand:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

    Also gilt Folgendes für die einzelnen Aussagen:

    • Es müssen zwei Punkte gegeben sein. Mit nur einem Punkt lässt sich kein Abstand berechnen.
    Das ist richtig. Der Abstand ist ja die Länge der Strecke zwischen den zwei Punkten. Also müssen auch zwei Punkte gegeben sein.
    • Es genügt, wenn du für beide Punkte entweder die x-Werte oder die y-Werte kennst.
    Das ist falsch. Auch das erkennst du an der Formel für den Abstand. Du brauchst für beide Punkte die $x$- und $y$-Werte.
    • Es genügt, wenn du die Koordinaten eines Punktes kennst. Die Koordinaten des anderen Punktes ergeben sich dann.
    Das ist falsch. Woher sollten die Koordinaten kommen? Mit nur einem Punkt lässt sich kein Abstand berechnen.
    • Für beide Punkte brauchst du die $x$-Werte und die $y$-Werte.
    Das ist richtig. Das kannst du an der Formel für den Abstand erkennen. Denn da tauchen sowohl $x_{1}$ und $x_{2}$ als auch $y_{1}$ und $y_{2}$ auf.
  • Bestimme den Abstand zwischen der Schule und der Musikschule.

    Tipps

    Trage beide Punkte in ein Koordinatensystem ein: Sowohl die Schule als auch die Musikschule liegen östlich und nördlich des Wohnhauses von Mia und Sophia. Sie liegen also im selben Quadranten des Koordinatensystems. Da der Punkt $S$ für die Schule vorgegeben ist, sind die Koordinaten des Punktes $M$ für die Musikschule festgelegt.

    Lösung

    Die Koordinaten

    Die Koordinaten der Punkte ergeben sich genau aus den Angaben. Vorgegeben ist der Punkt $S(250\vert150)$. Alle Angaben sind positiv. Da Schule und Musikschule beide östlich und nördlich vom Koordinatenursprung (dem Wohnhaus von Mia und Sophia) liegen, befinden sie sich im gleichen Quadranten des Koordinatensystems. Der Punkt $M$ hat also die gleichen Vorzeichen wie der Punkt $S$:

    $x_{M}=450$ und $y_{S}=600$

    Der Fußweg

    Ein Fußgänger bzw. eine Fußgängerin kann sich nur entlang der Straßenzüge in Ost-West-Richtung bzw. Nord-Süd-Richtung bewegen. Die Wegstrecken entsprechen daher genau den Differenzen der $x$- bzw. $y$-Werte der Koordinaten. Da aber Streckenlängen stets positiv sind, rechnest du mit den Beträgen der Differenzen:

    $\vert x_{M}-x_{S}\vert=200$ und $\vert y_{M}-y_{S}\vert=450$

    Diese beiden Werte müssen nun addiert werden, um den Gesamtweg auszurechnen:

    $\vert x_{M}-x_{S}\vert+\vert y_{M}-y_{S}\vert=200+450=650$

    Der Fußweg zwischen Schule und Musikschule ist $650$ m lang.

    Die Luftlinien-Entfernung

    Um die wirkliche Entfernung zwischen Schule und Musikschule auszurechnen, verwendest du wieder den Satz des Pythagoras, der in dieser Aufgabe folgendermaßen aussieht:

    $\overline{MS}^2=(x_{M}-x_{S})^2+(y_{M}-y_{S})^2$

    Setzen wir hier die oben ausgerechneten Beträge der Differenzen ein, ergibt sich:

    $\overline{MS}^2=200^2+450^2$

    Rechne die Quadrate aus und bilde die Summe:

    $\overline{MS}^2=40 000+202 500=242 500$

    Daraus ziehst du noch die Wurzel:

    $\overline{MS}\approx492,44$

    Die Schule und die Musikschule sind etwa $492,44~$m voneinander entfernt.