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Abstand zweier Punkte berechnen 03:17 min

Textversion des Videos

Transkript Abstand zweier Punkte berechnen

Tief im Amazonas-Regenwald lebt Carlos mit seiner Familie in einem winzigen Dorf. Carlos liebt fast alles am Dorfleben, aber er muss schon bei Tagesanbruch aufstehen, um rechtzeitig zur Schule zu kommen. Eigentlich ist die Schule gar nicht so weit vom Dorf entfernt, aber dazwischen liegt eine weite Schlucht, um die Carlos herumlaufen muss. Darum hat er einen Plan entwickelt, um schneller zur Schule zu kommen. Aber um sicherzugehen, dass der Plan auch funktioniert muss er den Abstand von zwei Punkten berechnen. Schauen wir uns die Karte an. Die Einheiten sind in Metern angegeben. Dies ist Carlos Schulweg. Hier an der Schlucht entlang, über die Brücke, und dann auf der anderen Seite die Schlucht entlang. Für den Weg braucht Carlos jeden Tag fast 2 Stunden. Welchen großartigen Plan hat Carlos also? Er möchte eine Seilrutsche über die Schlucht bauen, um in einem Bruchteil der Zeit zur Schule zu kommen. Aber er hat kein Seil. Was kann er also tun? Er hat einen genialen Einfall: Er wird einfach die Wäscheleine seiner Mutter benutzen. Die Sache hat aber zwei Haken: Die Wäscheleine ist nur 350 Meter lang. Wird das reichen? Und was wird seine Mutter dazu sagen, dass er ihre Wäscheleine so zweckentfremdet? Um die erste Frage zu beantworten, muss er den Abstand zwischen diesen beiden Punkten berechnen. Und was seine Mutter angeht: Das wird die Zeit zeigen. Mit seiner Mutter können wir ihm nicht helfen, mit dem mathematischen Problem aber schon. Um den Abstand zwischen zwei bekannten Punkten zu berechnen, nehmen wir ein rechtwinkliges Dreieck zur Hilfe. Wir nutzen den Satz des Pythagoras, um die gesuchte Strecke zu berechnen. Beachte, wie wir a und b durch x2minus x1 beziehungsweise y2minus y1 ersetzt haben. Da c die Distanz, also der Abstand, zwischen den beiden Punkten ist, nennen wir die Variable nun d. Nachdem wir auf beiden Seiten die Wurzel gezogen haben, erhalten wir die Formel, um den Abstand zu berechnen. Carlos' Dorf ist im Punkt P1(100|100). Und die Schule ist beim Punkt P2 (200|400). Da wir die Punkte kennen, können wir die Variablen in der Formel ersetzen und den Abstand berechnen. "Das können wir jetzt mit ein paar Rechenoperationen ganz einfach lösen. Die Seilrutsche muss etwa 316,23 Meter lang sein. Carlos' Seil ist also lang genug." Er ist ganz aufgeregt, die Seilrutsche das erste Mal zu benutzen. Und er konnte sogar fast 2 Stunden länger als sonst schlafen. Und los geht's. Wuhu! Oh Mann. Jetzt weiß Carlos über die Dorfbewohner mehr, als ihm lieb ist.

8 Kommentare
  1. warum bauen die die schule nicht im Dorf ? die sind nicht so schlau Alla

    Von B Kolbe, vor 3 Monaten
  2. Belohnende SAche Allllllla

    Von B Kolbe, vor 3 Monaten
  3. Hallo Bonnypreikschas, du hast recht, man kann die Wurzel auch direkt aus 100.000 ziehen, besonders, wenn man mit dem Taschenrechner rechnet. Das Verfahren, was hier angewendet wurde, nennt sich teilweises Wurzelziehen. Tatsächlich lassen sich kleinere Wurzeln nämlich leichter abschätzen als große. Da die 10 zwischen 9=3² und 16=4² liegt, wissen wir, dass die Wurzel aus 10 zwischen 3 und 4 liegt und zwar deutlich näher an der 3. Eine solche Abschätzung ist für die 100.000 viel schwerer möglich.
    Ich hoffe, dass wir Dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 5 Monaten
  4. hätte man nicht sofort von 100.000 die Wurzel ziehen können? Dann wäre man sofort auf etwa 316,23 gekommen. Das was danach kommt verstehe ich nicht ganz. Selbst wenn man das fürs Kopfrechnen braucht; von 10 die Wurzel ziehen ist im Kopf auch sehr schwer oder nicht?

    Von Bonnypreikschas, vor 5 Monaten
  5. gut

    Von Susanne Ex Schaffner, vor 5 Monaten
  1. Schöne Stimme, aber in solchen Videos sollte der Zuschauer nicht alle zwei Sekunden auf Pause klicken müssen, weil die Zahlen, zusammen mit dem gesprochenen Text (!), viel zu schnell hingeschrieben werden, während das Bild der Graphik wechselt.

    Von Itslearning Nutzer 2535 1139687, vor 8 Monaten
  2. SUUUUUPER geschichte sag ich mal in kinder sprache verständlich.
    ich habe mal rein geschaut weil wir es vllt später haben werden.
    mehr Bitte von solchen Geschichten
    Spitze

    Von No Name But I Am Not You., vor 10 Monaten
  3. lustige Geschichte aber du hättest die Rechnung noch ein bisschen genauer erklären können aber sonst ganz gut

    Von Judicavida, vor etwa einem Jahr
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Abstand zweier Punkte berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstand zweier Punkte berechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Schrittfolge bei der Berechnung des Abstandes zweier Punkte wieder.

    Tipps

    Setze in die Abstandsformel die Zahlen ein und löse die Gleichung.

    Die erste Formel lautet:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

    Setze hier die Werte ein und rechne die Gleichung aus.

    Lösung

    Die Ausgangsgleichung folgt aus dem Satz des Pythagoras:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

    Zuerst setzt du die Werte aus der Skizze ein:

    $d=\sqrt{(200-100)^{2}+(400-100)^{2}}$.

    Nun rechnest du die Differenzen in den Klammern aus:

    $d=\sqrt{(100)^{2}+(300)^{2}}$.

    Nun bildest du die Quadrate:

    $d=\sqrt{10.000+90.000}$.

    Fasse die Summe zusammen:

    $d=\sqrt{100.000}$.

    Wenn du nun noch die Wurzel ziehst, erhältst du das Ergebnis:

    $d\approx316,23$.

    Da die Wäscheleine von Carlos Mutter $350m$ lang ist, reicht sie für die Strecke völlig aus.

  • Nenne wichtige Angaben für die Abstandsberechnung von zwei Punkten.

    Tipps

    Das ist die Formel zur Abstandsberechnung:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

    Sieh sie dir genau an und überlege, welche Werte alle bekannt sein müssen, um sie anzuwenden.

    Lösung

    Überlege dir anhand der konkreten Berechnung des Abstandes, welche Angaben zu den Punkten du brauchst: In der Formel tauchen die $x$-Werte und die $y$-Werte von zwei Punkten auf. Das ist die Formel für den Abstand:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

    Also gilt Folgendes für die einzelnen Aussagen:

    „Es müssen zwei Punkte gegeben sein. Mit nur einem Punkt lässt sich kein Abstand berechnen.“ Das ist richtig. Der Abstand ist ja die Länge der Strecke zwischen den zwei Punkten. Also müssen auch zwei Punkte gegeben sein.

    „Für beide Punkte brauchst du die $x$-Werte und die $y$-Werte.“ Das ist richtig. Das kannst du an der Formel für den Abstand erkennen: Da tauchen sowohl $x_{1}$ und $x_{2}$, als auch $y_{1}$ und $y_{2}$ auf.

    „Es genügt, wenn du für beide Punkte entweder die x-Werte oder die y-Werte kennst.“ Das ist falsch. Auch das erkennst du an der Formel für den Abstand. Du brauchst für beide Punkte die $x$- und $y$-Werte.

    „Es genügt, wenn du die Koordinaten eines Punktes kennst. Die Koordinaten des anderen Punktes ergeben sich dann.“ Das ist falsch. Woher sollten die Koordinaten kommen? Mit nur einem Punkt lässt sich kein Abstand berechnen.

  • Gib an, wie du vom Satz des Pythagoras zur Abstandsformel kommst.

    Tipps

    Die Hypothenuse $c$ entspricht dem Abstand $d$ der zwei Punkte. $d$ steht für „distance“. Das ist Englisch und bedeutet „Abstand“.

    Achtung: Die Summe zweier Wurzeln ist normalerweise etwas anderes als die Wurzel einer Summe:

    $\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

    $\sqrt{36}+\sqrt{64}=6+8=14$

    Lösung

    Betrachte die Skizze. Du erkennst ein rechtwinkliges Dreieck. Die beiden Katheten $a$ und $b$ entsprechen den Differenzen der $x$-Werte und $y$-Werte beider Punkte:

    $x_{2}-x_{1}$ und $y_{2}-y_{1}$.

    Der Abstand $d$ beider Punkte wird durch die Hypotenuse $c$ des Dreiecks gebildet.

    Der Satz des Pythagoras lautet:

    $a^2+b^2=c^2$.

    Er wird durch den folgenden Ausdruck ersetzt:

    $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}$.

    Wir wollen den Abstand ermitteln, also wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

  • Bestimme den Abstand zwischen der Schule und der Musikschule.

    Tipps

    Trage beide Punkte in ein Koordinatensystem ein. Sowohl die Schule als auch die Musikschule liegen östlich und nördlich des Wohnhauses von Mia und Sophia. Sie liegen also im selben Quadranten des Koordinatensystems. Da der Punkt $S$ für die Schule vorgegeben ist, sind die Koordinaten des Punktes $M$ für die Musikschule festgelegt.

    Lösung

    Die Koordinaten

    Die Koordinaten der Punkte ergeben sich genau aus den Angaben. Vorgegeben ist der Punkt $S(250\vert150)$. Alle Angaben sind positiv. Da Schule und Musikschule beide östlich und nördlich vom Koordinatenursprung (dem Wohnhaus von Mia und Sophia) liegen, befinden sie sich im gleichen Quadranten des Koordinatensystems. Der Punkt $M$ hat also die gleichen Vorzeichen wie der Punkt $S$:

    $x_{M}=450$ und $y_{S}=600$.

    Der Fußweg

    Ein Fußgänger kann sich nur entlang der Straßenzüge in Ost-West-Richtung bzw. Nord-Süd-Richtung bewegen. Die Wegstrecken entsprechen daher genau den Differenzen der $x$- bzw. $y$-Werte der Koordinaten. Da aber Streckenlängen stets positiv sind, rechnest du mit den Beträgen der Differenzen:

    $\vert x_{M}-x_{S}\vert=200$ und $\vert y_{M}-y_{S}\vert=450$.

    Diese beiden Werte müssen nun addiert werden, um den Gesamtweg auszurechnen:

    $\vert x_{M}-x_{S}\vert+\vert y_{M}-y_{S}\vert=200+450=650$.

    Der Fußweg zwischen Schule und Musikschule ist $650$ m lang.

    Die Luftlinien-Entfernung

    Um die wirkliche Entfernung zwischen Schule und Musikschule auszurechnen, verwendest du wieder den Satz des Pythagoras, der in dieser Aufgabe folgendermaßen aussieht:

    $\overline{MS}^2=(x_{M}-x_{S})^2+(y_{M}-y_{S})^2$.

    Setzen wir hier die oben ausgerechneten Beträge der Differenzen ein, ergibt sich:

    $\overline{MS}^2=200^2+450^2$.

    Rechne die Quadrate aus und bilde die Summe:

    $\overline{MS}^2=40000+202500=242500$.

    Daraus ziehst du noch die Wurzel:

    $\overline{MS}\approx492,44$.

    Die Schule und die Musikschule sind etwa $492,44~$m voneinander entfernt.

  • Vergleiche die Lösungswege zur Berechnung der Abstände verschiedener Punktepaare.

    Tipps

    Trage die gegebenen Punkte zunächst in ein Koordinatensystem ein und überlege dir, wie groß die Differenzen zwischen den $x$-Werten bzw. die Differenzen zwischen den $y$-Werten sind.

    Die Punkte, zwischen denen jeweils der Abstand gesucht ist, stehen hier untereinander. Subtrahiere bei den Angaben zu den Punkten die untereinander stehenden Zahlen, weil in der Abstandsformel $x_{2}-x_{1}$, bzw. $y_{2}-y_{1}$ stehen und nicht $x_{1}-y_{1}$, bzw. $x_{2}-y_{2}$. Schau, ob du die Ergebnisse in den Gleichungen wiederfindest.

    Der Abstand $d$ zwischen $P_{1}$ und $P_{2}$ beträgt $5$. Der Abstand zwischen $Q_{1}$ und $Q_{2}$ beträgt $10$. Der Abstand zwischen $R_{1}$ und $R_{2}$ beträgt $13$.

    Lösung

    Bei der Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten wird diese Abstandsformel angewendet. Diese lautet:

    $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

    $~$

    $P_{1}$ und $P_{2}$

    • Für $P_{1}$ und $P_{2}$ sind $x_{1}=3$ und $x_{2}=6$, die Differenz ist dann $x_{2}-x_{1}=6-3=3$.
    • Für $P_{1}$ und $P_{2}$ sind $y_{1}=5$ und $y_{2}=9$, die Differenz ist dann $y_{2}-y_{1}=9-5=4$.
    Eingesetzt in obige Formel für den Satz des Pythagoras ergibt das:

    $d=\sqrt{(6-3)^{2}+(9-5)^{2}}$

    $d=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}$

    $d=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$

    $d=5$

    $~$

    $Q_{1}$ und $Q_{2}$

    • Für $Q_{1}$ und $Q_{2}$ sind $x_{1}=1$ und $x_{2}=6$, die Differenz ist dann $x_{2}-x_{1}=6-1=5$.
    • Für $Q_{1}$ und $Q_{2}$ sind $y_{1}=2$ und $y_{2}=14$, die Differenz ist dann $y_{2}-y_{1}=14-2=12$.
    Eingesetzt in obige Formel für den Satz des Pythagoras ergibt das:

    $d=\sqrt{(6-1)^{2}+(14-2)^{2}}$

    $d=\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}}$

    $d=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}$

    $d=13$

    $~$

    $R_{1}$ und $R_{2}$

    • Für $R_{1}$ und $R_{2}$ sind $x_{1}=0$ und $x_{2}=6$, die Differenz ist dann $x_{2}-x_{1}=6-0=6$.
    • Für $R_{1}$ und $R_{2}$ sind $y_{1}=6$ und $y_{2}=14$, die Differenz ist dann $y_{2}-y_{1}=14-6=8$.
    Eingesetzt in obige Formel für den Satz des Pythagoras ergibt das:

    $d=\sqrt{(6-0)^{2}+(14-6)^{2}}$

    $d=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}}$

    $d=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}$

    $d=10$

  • Bestimme den Abstand der Punkte $S(12\vert99)$ und $T(51\vert19)$.

    Tipps

    Die Bezeichnung $\vert \overline{ST} \vert$ ist nur eine andere Bezeichnung für den Abstand zwischen den Punkten $S$ und $T$. Häufig wird dieser auch mit $d$ bezeichnet.

    Der Betrag gibt immer den positiven Wert einer Zahl heraus:

    $\vert4\vert=4$ und $\vert-4\vert=4$.

    Lösung

    Die Koordinaten des Punktes $S$ sind:

    $x_{S}=12$ und $y_{S}=99$.

    Die Koordinaten des Punktes $T$ sind:

    $x_{T}=51$ und $y_{T}=19$.

    Weil hier mit Abständen gerechnet wird, kannst du positive Zahlen verwenden. Rechne also erst die Differenz aus und nimm anschließend den Betrag:

    $\vert x_{S}-x_{T} \vert =\vert 12-51\vert=\vert -39\vert=39$ und

    $\vert y_{S}-y_{T} \vert =\vert 99-19\vert=\vert80\vert=80$.

    Für den Abstand $\overline{ST}$ zwischen den Punkten $S$ und $T$ folgt dann mit der Abstandsformel:

    $\vert \overline{ST} \vert^{2}=(x_{S}-x_{T})^{2}+(y_{S}-y_{T})^{2}=39^2+80^2=1521+6400=7921$.

    Daraus ziehst du noch die Wurzel:

    $\vert \overline{ST} \vert=89$.