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Satz des Pythagoras

Die Summe der beiden Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat – Der Satz des Pythagoras gilt an rechtwinkligen Dreiecken und hilft dir bei der Berechnung einer fehlenden Seitenlänge.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras gilt in rechtwinkligen Dreiecken, also Dreiecken mit einem Winkel von 9090^\circ.

Topic_Pythagoras_1.jpg

Den rechten Winkel von 9090^\circ erkennst du an dem Punkt. Gegenüber von dem rechten Winkel befindet sich die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks, die Hypotenuse. Die beiden übrigen Seiten liegen an dem rechten Winkel an. Dies sind die Katheten.

Der Satz des Pythagoras ist sehr hilfreich bei der Berechnung einer unbekannten Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck, denn er besagt: Wenn du die beiden Kathetenlängen quadrierst und die Quadrate addierst, so erhältst du das Quadrat der Hypotenusenlänge.

Topic_Pythagoras_2.jpg

Wie du hier siehst, sind die beiden Katheten die Seiten aa und bb und die Hypotenuse die Seite cc. Der Flächeninhalt von a2a^2 plus der Flächeninhalt von b2b^2 ist genau so groß wie der Flächeninhalt von c2c^2. Das gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke und wird mathematisch so ausgedrückt:

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 .

Indem du zwei bekannte Seitenlängen einsetzt und die Formel umstellst und auflöst, kannst du immer die eine unbekannte Seitenlänge ausrechnen.

Beweis des Satzes von Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist nach Pythagoras von Samos benannt, der um 550 v. Chr. gelebt hat. Er hat angeblich als Erster den Satz mathematisch bewiesen.

Einen der Beweise wollen wir dir hier auch zeigen:

Topic_Pythagoras_3.jpg

Das große Quadrat hat die Seitenlänge a+ba+b. Es kann in

  • ein kleineres, blaues Quadrat mit der Seitenlänge cc, und
  • vier deckungsgleiche, rechtwinklige Dreiecke, jeweils mit den Katheten aa und bb sowie der Hypotenuse cc,

aufgeteilt werden.

Der Flächeninhalt des großen Quadrates beträgt:

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

Hier wird die 1. binomische Formel verwendet.

Der Flächeninhalt des kleineren, blauen Quadrates beträgt c2c^2.

Jedes der vier Dreiecke hat den Flächeninhalt ab:2ab:2.

Damit gilt also:

a2+2ab+b2=c2+4(ab2) a2+2ab+b2=c2+2ab2aba2+b2=c2 \begin{array}{rrrcll} a^2&+2ab&+b^2&=&c^2+4\cdot (\frac{ab}{2}) &~\\ a^2&+2ab&+b^2&=&c^2+2ab & \vert -2ab\\ a^2&+&b^2&=&c^2&~\\ \end{array}

Da der Satz des Pythagoras für jedes rechtwinklige Dreieck in gleicher Weise bewiesen werden kann, gilt er im Umkehrschluss auch für jedes rechtwinklige Dreieck.

Anwendung des Satzes von Pythagoras

Du kannst auch den Abstand von Punkten im Koordinatensystem mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Topic_Pythagoras_4.jpg

Um den Abstand zwischen den Punkten A\text{A} und B\text{B} auszurechnen (grüne Strecke), gehst du folgendermaßen vor:

  • Die Differenz der x-Koordinaten der beiden Punkte AA und BB sowie die der y-Koordinaten dieser Punkte sind die Kathetenlängen in dem rechtwinkligen Dreieck.
  • Der Abstand dd der beiden Punkte zueinander ist die Länge der Hypotenuse.

  • So ergibt sich (73)2+(41)2=d2(7-3)^2+(4-1)^2=d^2

  • Nun kannst du die Differenzen berechnen und quadrieren: 16+9=d216+9=d^2 oder 25=d225=d^2.
  • Durch Ziehen der Wurzel erhältst du d=5d=5 den gesuchten Abstand.

Der Satz des Pythagoras findet auch häufig Anwendung in Alltagsproblemen. Schau dir dafür das folgende Beispiel an: Paul stellt eine 6 m6~m lange Leiter an einer senkrechten Hauswand im Abstand von 3 m3~m auf. Wie hoch steht die Leiter an der Wand?

Fertige eine Skizze an, in der du diesen Sachverhalt festhältst. Darin kannst du erkennen, dass die Längen der Hypotenuse sowie einer Katheten bereits bekannt sind. Unbekannt ist die Länge einer Kathete, der Höhe hh. Wenn du die bekannten Größen in den Satz des Pythagoras einsetzt, erhältst du

(3 m)2+h2=(6 m)2(3~m)^2+h^2=(6~m)^2.

Nun kannst du die Quadrate ausrechnen und 9 m29~m^2 subtrahieren und erhältst

h2=27 m2h^2=27~m^2.

Zuletzt ziehst du die Wurzel und erhältst für die Höhe h=5,2 mh=5,2~m.