30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Möndchen des Hippokrates

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Lucy lernt 5 Minuten 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Lucy übt 5 Minuten 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    89%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Lucy stellt fragen 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden

Bewertung

Ø 4.4 / 23 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Möndchen des Hippokrates
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Möndchen des Hippokrates

Inhalt

Geometrie – Möndchen des Hippokrates

In diesem Text wird darauf eingegangen, was das Möndchen des Hippokrates ist. Zudem gibt es eine mathematische Herleitung der Formel des Möndchen des Hippokrates.

Möndchen des Hippokrates – Erklärung

Betrachten wir das folgende rechtwinklige Dreieck und die darüber dargestellten Möndchen.

Möndchen-des-Hippokrates-Mathematik

Die eingezeichneten Möndchen sollen laut Hippokrates zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das rechtwinklige Dreieck haben. Die Außenlinien der Möndchen entstehen aus den Halbkreisen um den Mittelpunkt der jeweiligen Kathete. Die Innenlinien der Monde entstehen aus dem Halbkreis um den Mittelpunkt der Hypotenuse.

Um die Flächen der Möndchen zu erhalten, addieren wir die Fläche des Dreiecks mit den Flächen der Halbkreise über den Katheten. Davon ziehen wir die Fläche des großen Halbkreises ab und erhalten somit die gesuchte Fläche der beiden Möndchen.

Wichtig: Die Möndchen des Hippokrates gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.

Möndchen des Hippokrates – Beweis

Schauen wir uns nun den rechnerischen Beweis dafür an, dass die Möndchen zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das rechtwinklige Dreieck besitzen. Für die Berechnung der Möndchen des Hippokrates bezeichnen wir zunächst die Seiten des Dreiecks mit $a$, $b$ und $c$, wobei $c$ die Hypotenuse ist. Wir wollen nun eine Beziehung zwischen dem Flächeninhalt des Dreiecks, den Flächeninhalten der kleinen Halbkreise, dem Flächeninhalt des großen Halbkreises und den Flächeninhalten der Möndchen herstellen.

Die Fläche des Dreiecks beträgt die Hälfte von $a$ mal $b$:

$A_d = \dfrac{a \cdot b}{2}$

Der Flächeninhalt eines Kreises beträgt:

$A_k = \pi \cdot r^{2}$

Da ein Halbkreis halb so groß ist, beträgt sein Flächeninhalt:

$A_h = \dfrac{\pi}{2} \cdot r^{2}$

Der erste Halbkreis hat den Radius $r_1=\frac{a}{2}$, da er um den Mittelpunkt der Seite $a$ gezeichnet wurde. Sein Flächeninhalt $A_a$ beträgt demnach:

$A_a = \dfrac{\pi}{2} \cdot \left( \dfrac{a}{2} \right) ^{2}$

Wir können nun Zähler und Nenner quadrieren und alles auf einen Bruch schreiben. Somit erhalten wir:

$A_a = \dfrac{\pi \cdot a^{2}}{8} $

Der zweite kleine Halbkreis hat den Radius $r_2=\frac{b}{2}$, da er um den Mittelpunkt der Seite $b$ gezeichnet wurde. Sein Flächeninhalt $A_b$ beträgt demnach:

$A_b= \dfrac{\pi}{2} \cdot \left( \dfrac{b}{2} \right) ^{2}$

$A_b = \dfrac{\pi \cdot b^{2}}{8} $

Der Radius des großen Halbkreises beträgt $r_3=\frac{c}{2}$, da er um den Mittelpunkt der Seite $c$ gezeichnet wurde. Sein Flächeninhalt $A_c$ beträgt demnach:

$A_c = \dfrac{\pi}{2} \cdot \left( \dfrac{c}{2} \right) ^{2}$

$A_c = \dfrac{\pi \cdot c^{2}}{8} $

Für die Flächen $A_m$ der Möndchen addieren wir nun die Flächen des Dreiecks und der beiden kleinen Halbkreise und ziehen davon die Fläche des großen Halbkreises ab:

$A_m = A_d + A_a + A_b - A_c$

Setzen wir die Ausdrücke für die jeweiligen Flächeninhalte ein, so erhalten wir:

$A_m = \dfrac{a \cdot b}{2} + \dfrac{\pi \cdot a^{2}}{8} + \dfrac{\pi \cdot b^{2}}{8} - \dfrac{\pi \cdot c^{2}}{8}$

Die Terme mit der $8$ im Nenner können wir zu einem Bruch zusammenfassen und den gemeinsamen Faktor $\pi$ können wir ausklammern:

$A_m = \dfrac{a \cdot b}{2} + \dfrac{\pi \cdot a^{2} + \pi \cdot b^{2} - \pi \cdot c^{2} }{8}$

$A_m = \dfrac{a \cdot b}{2} + \dfrac{\pi \cdot \left( a^{2} + b^{2} - c^{2} \right) }{8}$

Im Nenner des rechten Bruchs ist in der Klammer der Ausdruck $a^{2} + b^{2}$ enthalten. Die Seiten $a$ und $b$ sind die Katheten des Dreiecks. Somit können wir den Satz des Pythagoras anwenden, da es sich bei dem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Wir können nun also den Ausdruck $a^{2} + b^{2}$ durch $c^{2}$ ersetzen. So ergibt sich in der Klammer der Faktor $0$, weshalb der zweite Term $0$ wird:

$A_m = \dfrac{a \cdot b}{2} + \dfrac{\pi \cdot \left( c^{2} - c^{2} \right) }{8}$

$A_m = \dfrac{a \cdot b}{2} + \dfrac{\pi \cdot \left( 0 \right) }{8}$

$A_m = \dfrac{a \cdot b}{2} + 0$

Das, was noch übrig bleibt, entspricht genau dem Flächeninhalt des Dreiecks.

$A_m = \dfrac{a \cdot b}{2} = A_d$

Somit ist bewiesen, dass der Flächeninhalt der zwei Möndchen genauso groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks.

Zusammenfassung – Möndchen des Hippokrates

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal zusammen, was die Möndchen des Hippokrates sind und wie sie sich rechnerisch beweisen lassen.

  • Die Möndchen des Hippokrates gelten nur bei rechtwinkligen Dreiecken.
  • Die Außenlinien ergeben sich aus den Halbkreisen um die Mittelpunkte der Katheten. Die Innenlinien ergeben sich aus dem Halbkreis um den Mittelpunkt der Hypotenuse.

Um zu beweisen, dass die Möndchen zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das rechtwinklige Dreieck besitzen, gehen wir folgendermaßen vor:

  • Kleine Halbkreisflächen über den Katheten mit dem Flächeninhalt des Dreiecks addieren
  • Davon den Flächeninhalt des großen Halbkreises abziehen
  • Formeln für alle verwendeten Flächen heraussuchen
  • Formeln miteinander verrechnen
  • Durch Umformen und die Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt sich, dass die beiden Möndchen zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Dreieck besitzen.

Zusätzlich zu dem Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Arbeitsblätter und Übungen mit weiteren Beispielen zum Thema Möndchen des Hippokrates.

Transkript Möndchen des Hippokrates

Das Mondfestival zu Ehren der Mond-Göttin Artemis steht bevor. Zu diesem Anlass möchte der Schmied Kallistos Schmuck in Mondform anfertigen. Am liebsten würde er diese rechteckigen Plättchen dafür verwenden. Aber wie kann er daraus Monde gießen? Er braucht einen Plan! Artemis sei Dank kommt sein weiser Nachbar Hippokrates vorbei und erzählt von einer erstaunlichen Entdeckung! Wir nennen sie die Möndchen des Hippokrates. Hippokrates hat zu einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck diese beiden Möndchen an den Katheten untersucht und Folgendes behauptet: Die zwei Möndchen sollen zusammen genau den gleichen Flächeninhalt wie das rechtwinklige Dreieck haben! Lass uns untersuchen, wie die Monde überhaupt zustande kommen. Diese Außenlinie stammt vom Halbkreis um den Mittelpunkt. Die andere Außenlinie entsteht durch den Halbkreis um diesen Mittelpunkt. Die Innenlinien der Monde erhalten wir, indem wir noch einen Halbkreis um den Mittelpunkt zeichnen. Jetzt haben wir alle nötigen Formen, um die zwei Möndchen zu konstruieren. Wenn wir die Flächen dieser beiden Halbkreise zusammen mit der Fläche des Dreiecks anschauen und davon die Fläche des großen Halbkreises abziehen, dann erhalten wir die zwei Möndchen des Hippokrates. Dass nun die Flächen der Möndchen genau so groß sind wie der Flächeninhalt des Dreiecks, das wollen wir noch rechnerisch beweisen! Wir bezeichnen zuerst die Seiten des Dreiecks mit a, b und c. Wir wollen nun die Flächeninhalte des Dreiecks der kleinen Halbkreise, und des großen Halbkreises mit dem Flächeninhalt der beiden Möndchen in eine Beziehung setzen. Die Fläche des Dreiecks beträgt "die Hälfte von a mal b". Der Flächeninhalt eines Kreises beträgt ' Pi mal den Radius r zum Quadrat' und ein Halbkreis ist halb so groß. Der erste Halbkreis hat diesen Radius. In die Flächeninhaltsformel des ersten Halbkreises setzen wir also "a Halbe" für den Radius ein. Wir quadrieren Zähler und Nenner und schreiben alles auf einen Bruch. Pi mal "a Quadrat" Achtel ist also der Ausdruck für den ersten Halbkreis. Von diesem Halbkreis beträgt der Radius "b Halbe". Diesmal setzen wir in die Flächeninhaltsformel, also "b Halbe" für den Radius ein. Analog zum ersten Halbkreis fassen wir den Ausdruck SO zusammen. Der große Halbkreis mit dem Radius "c Halbe" hat analog dazu diesen Flächeninhalt. Wir haben gesehen, dass wir für die Flächen der Möndchen folgendes berechnen müssen: Wir nehmen die Flächen des Dreiecks und der kleinen Halbkreise und ziehen die Fläche des großen Halbkreises davon ab. Nun setzen wir die gefundenen Ausdrücke ein. Die Terme mit der 8 im Nenner fassen wir in einem Bruch zusammen. Den gemeinsamen Faktor Pi im Zähler klammern wir aus. Die Klammer enthält nun den Ausdruck "a Quadrat plus b Quadrat". Dabei sind a und b die Längen der Katheten des rechtwinkligen Dreiecks! Daher können wir den Satz des Pythagoras verwenden! Wir können also statt "a Quadrat plus b Quadrat" auch den Ausdruck "c Quadrat" in die Klammer schreiben! So erhalten wir den Faktor Null, weshalb dieser ganze Term Null wird. Das was übrig bleibt, ist genau die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks. Damit haben wir bewiesen, dass der Flächeninhalt von den zwei Möndchen genau so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks! Und weil unser Schmied Kallistos rechteckige Plättchen besitzt und ein Rechteck aus zwei rechtwinkligen Dreiecken besteht, kann er also aus einem Plättchen vier Möndchen gießen! Lass uns das nochmal kurz zusammenfassen. Um zu beweisen, dass diese zwei Möndchen den gleichen Flächeninhalt besitzen wie dieses rechtwinklige Dreieck, haben wir zuerst die zwei kleinen Halbkreisflächen mit der Dreiecksfläche addiert und davon den großen Halbkreis abgezogen. Nach dieser Vorüberlegung haben wir zu allen verwendeten Flächen die Formeln für deren Flächeninhalt bestimmt. Und sie genau so miteinander verrechnet, wie wir es uns zeichnerisch überlegt haben. Beim Rechnen haben wir durch geschicktes Umformen und mithilfe vom Satz des Pythagoras gezeigt, dass Möndchen und Dreieck gleich groß sind! Yay, unser Schmied hat es rechtzeitig geschafft aus allen rechteckigen Plättchen Mondsicheln herzustellen. Der Tag des Mondfestivals ist gekommen unser Kallistos trägt den ganzen Schmuck zum Verkauf auf die Straße. Oh nein, es ist Vollmond! Da lag er mit seinen Möndchen wohl ein paar Wochen daneben!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Das wuste ich nicht

    Von Llcc322, vor etwa 2 Jahren
  2. echt geil😂🤣

    Von Alissa L., vor etwa 3 Jahren
  3. Ja ich möchte die erste sein die hier schreibt 😃😉

    Das Video ist seeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeehr schön

    Von Iman5, vor etwa 3 Jahren

Möndchen des Hippokrates Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Möndchen des Hippokrates kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Flächeninhalt.

    Tipps

    Der Satz des Hippokrates setzt rechtwinklige Dreiecke voraus, denn nur für solche ist die längste Seite ein Durchmesser des Kreises.

    Ein Kreis vom Radius $r$ hat den Flächeninhalt $\pi r^2$.

    Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formel:

    $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$.

    Lösung

    Das Dreieck in der Konstruktion der Möndchen des Hippokrates liegt mit allen drei Ecken auf einem Kreis. Die längste Seite $c$ ist der Durchmesser des Kreises. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck daher rechtwinklig. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formel:

    $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$.

    Da das Dreieck rechtwinklig ist, können wir die Kathete $a$ als Grundseite nehmen, die Kathete $b$ ist dann die Höhe. Daher beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks:

    $\frac{a \cdot b}{2}$.

    Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $\pi r^2$, der Flächeninhalt eines Halbkreises $\frac{\pi r^2}{2}$. Die Halbkreise über den Seiten $a$, $b$ und $c$ haben die Radien $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ und $\frac{c}{2}$ und daher die Flächeninhalte:

    • $\frac{\pi}{2}\cdot\left(\frac a2\right)^2=\frac{\pi \cdot a^2}{8}$,
    • $\frac{\pi}{2}\cdot\left(\frac b2\right)^2=\frac{\pi \cdot b^2}{8}$,
    • $\frac{\pi}{2}\cdot\left(\frac c2\right)^2=\frac{\pi \cdot c^2}{8}$ .
    Der Flächeninhalt der Möndchen des Hippokrates ist die Summe der Flächeninhalte der Halbkreise über den Seiten $a$ und $b$ und des Dreiecks, abzüglich des Flächeninhalts des Halbkreises über der Seite $b$. In Formeln:

    $\frac{a \cdot b}{2} + \frac{\pi \cdot a^2}{8} + \frac{\pi \cdot b^2}{8} - \frac{\pi \cdot c^2}{8}=\frac{a \cdot b}{2}+\frac{\pi\left(a^2+b^2-c^2\right)}{8}$.

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt in dem rechtwinkligen Dreieck $a^2 + b^2 - c^2 =0$. Damit ist der Term $a^2+b^2-c^2=0$, sodass sich der zweite Bruch komplett aufhebt. Der Flächeninhalt der Möndchen des Hippokrates beträgt daher:

    $\frac{a \cdot b}{2}$ .

  • Gib die Sätze zur Flächenberechnung wieder.

    Tipps

    Ein Kreis mit Durchmesser $1~\text{cm}$ hat den Flächeninhalt $\frac{\pi}{4}~\text{cm}^2$.

    Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks aus den beiden Katheten.

    Der Umfang eines Kreises mit Radius $r$ ist $2\pi r$.

    Lösung

    Richtig sind folgende Aussagen:

    • „Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $\pi r^2$.“
    • „Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ ist $a \cdot b$.“
    • „Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts der beiden Katheten.“
    Falsch sind dagegen folgende Aussagen:

    • „Der Satz des Pythagoras besagt: in jedem Dreieck mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ gilt $a^2 + b^2 = c^2$.“ Der Satz des Pythagoras setzt rechtwinklige Dreiecke voraus. Eine Verallgemeinerung ist der Cosinussatz, dieser gilt für beliebige Dreiecke.
    • „Der Flächeninhalt eines Halbkreises mit Durchmesser $d=2r$ ist $\frac{\pi \cdot d}{4}$.“ Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r= \frac{d}{2}$ ist $\pi \cdot r^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$. Der Flächeninhalt eines Halbkreises ist die Hälfte davon, also $\frac{\pi \cdot r^2}{2} = \frac{\pi \cdot d^2}{8}$.
    • „Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ ist $a^2 + b^2 = c^2$.“ Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formel $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$. Sind $a$ und $b$ die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, so ist $b$ die Höhe zu der Grunseite $a$, sodass der Flächeninhalt $\frac{a \cdot b}{2}$ beträgt.
    • „Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $2 \pi r$.“ Die korrekte Formel für den Flächeninhalt lautet $\pi r^2$. Der Term $2\pi r$ beschreibt den Umfang eines Kreises mit Radius $r$.
  • Analysiere den Beweis.

    Tipps

    Beginne den Beweis mit der geometrischen Idee: Überlege, wie die Fläche der Möndchen zustande kommt.

    Bestimme als nächstes die Flächeninhalte des Dreiecks und der Halbkreise.

    Berechne die Länge der Seite $c$ mit dem Satz des Pythagoras. Daraus ergibt sich der Flächeninhalt des Halbkreises über der Seite $c$.

    Lösung

    Der sortierte Beweis sieht so aus:

    • Der Flächeninhalt der Möndchen ist der Flächeninhalt der Halbkreise
    • über den Seiten $a=3~\text{cm}$ und $b=4~\text{cm}$, abzüglich des Flächeninhalts des Halbkreises
    • über der Seite $c$. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $6~\text{cm}^2$, der Flächeninhalt
    • des Halbkreises über den Seiten $a$ bzw. $b$ ist $\frac{9}{8} \pi~\text{cm}^2$ bzw.
    • $2\pi~\text{cm}^2$. Nach dem Satz des Pythagoras ist der Flächeninhalt des Halbkreises über der Seite $c$ dann
    • $\frac{25}{8}~\text{cm}^2$. Die Möndchen haben den Flächeninhalt:
    • $6~\text{cm}^2 + \frac{9}{8}\pi~\text{cm}^2 + 2\pi~\text{cm}^2 - \frac{25}{8}\pi~\text{cm}^2 = 6~\text{cm}^2$.
    Hierbei haben wir zwischendurch den Satz des Pythagoras benutzt: die Seite $c$ ist gegeben durch $c^2 = a^2 + b^2 = 3^2~\text{cm}^2 + 4^2~\text{cm}^2 = 25~\text{cm}^2$, also $c=5~\text{cm}$. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $\frac{a \cdot b}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2}~\text{cm}^2 = 6~\text{cm}^2$. Die Flächeninhalte der Halbkreise sind

    $\begin{array}{lll} \frac{\pi a^2}{8} &=& \frac{9}{8}\pi~\text{cm}^2 \\ \\ \frac{\pi b^2}{8} &=& \frac{16}{8}\pi~\text{cm}^2 = 2\pi~\text{cm}^2 \\ \\ \frac{\pi c^2}{8} &=& \frac{15}{8}\pi~\text{cm}^2 \end{array}$

  • Erschließe den Flächeninhalt.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ beträgt $a\cdot b$.

    Dieses Rechteck kannst du in zwei deckungsgleiche, rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $a$ und $b$ zerlegen. Deren Flächeninhalte sind jeweils halb so groß wie der des Rechtecks.

    Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a=3~\text{cm}$ und $b=4~\text{cm}$ hat die Hypotenuse $c= \sqrt{3^2+4^2}~\text{cm}=5~\text{cm}$.

    Der Flächeninhalt der Hippokrates -Möndchen ist genauso groß wie der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks.

    Lösung

    Der Satz des Hippokrates besagt: der Flächeninhalt der Möndchen ist gleich dem Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks. Dieser beträgt $\frac{a \cdot b}{2}$.

    Der Flächeninhalt eines Kreises mit Durchmesser $d$ beträgt $\frac{\pi \cdot d^2}{4}$, der eines Halbkreises mit demselben Durchmesser $\frac{\pi \cdot d^2}{8}$.

    Aus diesen Überlegungen ergeben sich folgende Zuordnungen:

    • Für die Seitenlängen $a= 2~\text{cm}$ und $b=3~\text{cm}$ ist der Flächeninhalt der beiden Hippokrates-Möndchen $3~\text{cm}^2$.
    • Für die Seitenlängen $a=3~\text{cm}$ und $b = 4~\text{cm}$ beträgt der Flächeninhalt des Vollmonds über der Seite $c$ genau $\frac{25\pi}{4}~\text{cm}^2$.
    • Für die Seitenlängen $a= 1~\text{cm}$ und $b=2~\text{cm}$ liegt der Flächeninhalt der Halbmonde über den Seiten $a$ und $b$ bei $\frac{\pi}{8}~\text{cm}^2$ und $\frac{\pi}{2}~\text{cm}^2$.
    • Für die Seitenlängen $a=3~\text{cm}$ und $b=5~\text{cm}$ liegt der Flächeninhalt der Hippokrates-Möndchen bei $\frac{15}{2}~\text{cm}^2$.
    • Für die Seitenlängen $a=\frac{5}{2}~\text{cm}$ und $b=\frac{5\pi}{2}\text{cm}$ beträgt der Flächeninhalt der Hippokrates-Möndchen $\frac{25\pi}{8}~\text{cm}^2$.
  • Bestimme den Flächeninhalt.

    Tipps

    Ein rechtwinkliges Dreieck entsteht durch Teilung eines Rechtecks längs der Diagonalen.

    In der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ kommt der Radius quadratisch vor.

    Der Flächeninhalt eines Halbkreises ist halb so groß wie der Flächeninhalt des gesamten Kreises.

    Lösung

    Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ beträgt $\pi r^2$. Der Flächeninhalt eines Halbkreises ist halb so groß.

    Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formel $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$. Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten $a$ und $b$ ist $b$ die Höhe über der Seite $a$. Der Flächeninhalt beträgt daher $\frac{a \cdot b}{2}$.

    Aus diesen Überlegungen erhalten wir folgende Flächeninhalte:

    • Der Flächeninhalt des Halbkreises über der Seite $a$ beträgt $\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \big(\frac{a}{2}\big)^2 = \frac{\pi \cdot a^2}{8}$.
    • Der Flächeninhalt des Halbkreises über der Kathete $b$ beträgt analog dazu $\frac{\pi \cdot b^2}{8}$.
    • Für das rechtwinklige Dreieck mit Katheten $a$ und $b$ finden wir den Flächeninhalt $\frac{a \cdot b}{2}$.
    • Der Halbkreis über der Hypotenuse $c$ hat den Flächeninhalt $\frac{\pi \cdot c^2}{8}$.
    • Der Kreis über der Hypotenuse $c$ hat schließlich den Flächeninhalt $\pi \cdot \big(\frac{c}{2}\big)^2 = \frac{\pi \cdot c^2}{4}$.
  • Bestimme den Flächeninhalt eines Möndchens.

    Tipps

    Der Satz des Thales besagt: ein Dreieck über dem Durchmesser eines Kreises, dessen Punkte auf dem Kreis liegen, ist rechtwinklig.

    Der Flächeninhalt eines Halbkreises vom Radius $2~\text{cm}$ ist $2\pi~\text{cm}^2$.

    Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe über einer Kathete die andere Kathete.

    Lösung

    Die Breite der Möndchen des Hippokrates hängt von dem Verhältnis der Katheten ab. Je länger eine Kathete im Vergleich zur anderen Kathete ist, desto schmaler ist das Möndchen. Bei der maximalen Länge wird aus der Kathete ein Durchmesser des Kreises und das Möndchen verschwindet.

    Den genauen Wert für den Flächeninhalt eines Möndchens kann man daher nur in dem Fall angegeben, für den die beiden Möndchen kongruent sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn das rechtwinklige Dreieck gleichschenklig ist, d.h. wenn $a=b$ gilt.

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt in diesem Fall:

    $c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2$

    und daher:

    $c = \sqrt{2} a$.

    Mit der Seitenlänge $a=2~\text{cm}$ und $\sqrt{2} \approx 1,41$ ist:

    $c \approx 1,41~\cdot 2\text{cm}=2.82~\text{cm}$.

    Nach dem Satz des Hippokrates ist bei jedem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt beider Möndchen zusammen genauso groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks.

    Die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks lautet:

    $\frac{a \cdot b}{2}$.

    Diese Formel ergibt sich entweder aus der Formel $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$ für den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks oder aus der Tatsache, dass ein rechtwinkliges Dreieck die Hälfte eines Rechtecks ist. Bei dem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck ist $a=b$, daher beträgt der Flächeninhalt:

    $\frac{a^2}{2}$.

    Die beiden Möndchen sind bei einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck kongruent und daher gleich groß.

    Der Flächeninhalt eines Möndchens ist in diesem Falle also die Hälfte des Flächeninhalts beider Möndchen bzw. die Hälfte des Flächeninhalts des Dreiecks. Dieser Flächeninhalt eines Möndchens beträgt daher:

    $\frac{a^2}{4}$.

    Setzen wir noch die Seitenlänge $a=2~\text{cm}$ ein, so haben die Halbmonde (=Halbkreise) über den Seiten $a=b$ jeweils den Flächeninhalt:

    $\frac{\pi \cdot 2^2}{8}~\text{cm}^2 = \frac{\pi}{2}~\text{cm}^2$.

    Der Halbmond über der Seite $c$ hat den Flächeninhalt:

    $\frac{\pi \cdot (\sqrt{2\cdot} 2)^2}{8}~\text{cm}^2 = \pi~\text{cm}^2$.

    Jedes der beiden Möndchen hat den Flächeninhalt:

    $\frac{2^2}{4}~\text{cm}^2 = 1~\text{cm}^2$ .

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.000

sofaheld-Level

6.574

vorgefertigte
Vokabeln

10.822

Lernvideos

43.959

Übungen

38.682

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden