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Satz des Pythagoras – Kathete gesucht

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Team Digital
Satz des Pythagoras – Kathete gesucht
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Kathete gesucht

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks auszurechnen.

Zunächst lernst du, wie die Seiten im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet werden. Anschließend wird der Satz des Pythagoras aufgestellt. Abschließend wird ein Beispiel durchgerechnet.

Lerne etwas über die Berechnung unbekannter Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie rechtwinkliges Dreieck, Kathete, Hypotenuse, rechter Winkel, Satz des Pythagoras, Fläche und Diagonale.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Eigenschaften rechtwinklige Dreiecke haben, wie man die Fläche von Quadraten ausrechnet und wie man quadriert und Wurzeln zieht.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Berechnungen in geometrischen Körpern kennenzulernen. Außerdem kannst du weitere Sätze der Satzgruppe des Pythagoras wie den Höhensatz oder den Kathetensatz kennenlernen.

Transkript Satz des Pythagoras – Kathete gesucht

Der letzte Bankraub ging daneben. Ronny und Gisela wurden gefasst! Kein Problem für die beiden, sie haben sich schon einen Fluchtweg gegraben. Dabei sind sie auf einen Abwasserkanal gestoßen, der über einen Gully in die Freiheit führt. Aber wo kommen sie da raus? Wie weit von ihrer Gefängniszelle entfernt liegt der Gully? Um das herauszufinden, wenden sie den Satz des Pythagoras an. Die Strecke von ihrer Gefängniszelle zum Gullydeckel bildet mit dem Gullyschacht und dem Fluchttunnel ein rechtwinkliges Dreieck. Die längste Seite heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten. Gesucht ist in diesem Fall also eine der Katheten. Die Längen der Katheten stehen in einem besonderen Zusammenhang mit der Länge der Hypotenuse. Dieser wird im Satz des Pythagoras beschrieben und besagt, dass die beiden Kathetenquadrate zusammen dieselbe Fläche haben, wie das Quadrat der Hypotenuse. Die Flächen der beiden Kathetenquadrate sind 'a Quadrat' und 'b Quadrat'. Zusammen sind sie genauso groß wie 'c Quadrat', also die Fläche des Hypotenusenquadrats. Weil die Flächen der Quadrate durch ihre Seitenlängen vollständig bestimmt sind, beschreibt der Satz des Pythagoras auch die Beziehung der Dreieckslängen. Weil wir hier die Länge einer Kathete suchen, stellen wir den Satz des Pythagoras nach ihrem Quadrat um. Er gilt aber nur in rechtwinkligen Dreiecken! Na dann schauen wir doch mal, ob wir die Entfernung des Gullydeckels ausrechnen können. Der Fluchttunnel ist insgesamt 32,5 Meter lang. Der Gullyschacht hat eine Tiefe von 8 Metern. Wir setzen diese beiden Werte ein, quadrieren und subtrahieren. Damit wissen wir, wie groß das Quadrat der Kathete ist. Um die LÄNGE der Kathete auszurechnen, müssen wir nun noch die Wurzel ziehen. Weil das Quadrieren einer negativen Zahl zum selben Ergebnis führt, wie das Quadrieren der positiven Gegenzahl, ergeben sich zwei mögliche Lösungen. Weil wir hier aber nach einer Länge suchen, ist die negative Lösung nicht sinnvoll. Wir geben daher nur die positive Lösung an. Die Wurzel aus 992,25 ist 31,5. Der Gullydeckel liegt also 31,5 Meter entfernt, weit außerhalb der Gefängnismauern! Sehr gut! Die Zeit ist reif. Die beiden treten ihre Flucht an. Und währenddessen fassen wir zusammen. In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden anderen Seiten, die am rechten Winkel anliegen, heißen Katheten. Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Fläche der Kathetenquadrate zusammen genauso groß ist, wie die Fläche des Hypotenusenquadrats. 'a Quadrat' plus 'b Quadrat' ist also 'c Quadrat'. Die Fläche eines Quadrats wird nur von der Seitenlänge des Quadrats bestimmt. Deshalb beschreibt der Satz des Pythagoras auch eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Ist eine Kathete gesucht, können wir den Satz des Pythagoras so umstellen. Dann können wir die Länge der Kathete einfach ausrechnen. Dabei musst du aber immer beachten: Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken! Niemand entgeht den wachsamen Augen des Gesetzes!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Echt super!!! Habe es endlich verstanden :)

    Von Axel M Bauer, vor 4 Monaten
  2. Guten Tag,
    im Video wird die Länge der Kathete a berechnet. Die beiden Lösungen werden jedoch mit c1 und c2 bezeichnet. Man weiß natürlich, was gemeint ist, aber es passt leider nicht so ganz...
    Liebe Grüße

    Von Brunner P, vor 5 Monaten
  3. Hallo Engelhardt Babenhausen, vielen Dank für deinen Hinweis. Der Fehler wurde korrigiert.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor 8 Monaten
  4. In den Übungen ist ein Schreibfehler in der Erklärung der Übung 3, Beispiel zwei, der sehr stört: aquadrat = cquadrat +bquadrat, wo es eigentlich - heißen müsste.

    Von Engelhardt Babenhausen, vor 8 Monaten
  5. sehr schlaue Kriminelle

    Von Yiren Y., vor 10 Monaten

Satz des Pythagoras – Kathete gesucht Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Kathete gesucht kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die fehlende Länge der Kathete.

    Tipps

    Die Formel des Pythagoras

    $a^2 +b^2 =c^2$

    kannst du nach $a^2$ oder $b^2$ auflösen.

    Setze die Werte $8$ und $32,5$ in die Formel für $a^2$ ein.

    Den Wert für $a$ erhältst du, indem du aus dem Wert für $a^2$ die Wurzel ziehst.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten üblicherweise mit $a$ und $b$ und die Hypotenuse mit $c$. Der Satz des Pythagoras lässt sich dann durch folgende Formel ausdrücken:

    $a^2+b^2=c^2$

    Du kannst die Formel benutzen, um die Länge der Kathete $a$ aus den Längen $b=8$ und $c=32,5$ zu berechnen. Dazu löst du zuerst die Formel des Pythagoras nach $a^2$ auf:

    $a^2 = c^2-b^2$

    Nun kannst du die Werte für $b$ und $c$ einsetzen:

    $a^2 = (32,5)^2-(8)^2 = 1056,25 - 64 = 992,25$

    Ziehst du nun die Wurzel, so erhältst du die Länge der Kathete:

    $a = \sqrt{992,25} = 31,5$

    Bedenke, dass du beim Ziehen einer Wurzel immer zwei Ergebnisse bekommst. Da eine Länge jedoch immer nur positiv sein kann, scheidet $-31,5$ aus.

  • Gib den Satz des Pythagoras wieder.

    Tipps

    In der Formel $a^2 +b^2 =c^2$ ist $c$ die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

    Jedes Dreieck, in dem der Satz des Pythagoras gilt, ist rechtwinklig.

    Benutze die binomische Formel, um $(a+b)^2$ zu berechnen und vergleiche das Ergebnis mit der Formel des Pythagoras.

    Lösung

    Nach dem Satz des Pythagoras ist bei einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über die Hypotenuse flächengleich mit der Summe der Quadrate über den Katheten. Als Formel schreibt man dafür:

    $a^2+b^2=c^2$

    Hier bezeichnen $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse. An der Formel erkennst du auch gleich, dass $c$ die längste Seite des Dreiecks sein muss.

    Folgende Bilder sind falsch bezeichnet:

    Bild oben links: Hier sind die Flächeninhalte $b^2$ und $c^2$ vertauscht. Denn an der Formel $a^2+b^2 = c^2$ erkennst du, dass $c$ die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks sein muss. Bild oben rechts: Hier stimmt die Formel nicht mit dem Satz des Pythagoras überein. Der Satz des Pythagoras besagt: $c^2 = a^2+b^2$. Der rechte Term der Formel im Bild ist aber $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Da $2ab\neq 0$, ist die Formel nicht mit dem Satz des Pythagoras vereinbar und daher falsch. Bild unten rechts: Dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig. Der Satz des Pythagoras gilt aber genau in rechtwinkligen Dreiecken. Gilt in einem Dreieck der Satz des Pythagoras, so ist das Dreieck rechtwinklig.

  • Bestimme jeweils die fehlende Länge der Katheten.

    Tipps

    Löse die Formel $a^2 +b^2 =c^2$ nach der passenden Variablen auf und setze die vorgegebenen Werte ein.

    Ist $a^2=36$ und $a$ positiv, so ist $a= \sqrt{36}=6$.

    In dem Dreieck mit $a=8$ und $c=17$ ist:

    $b^2 = c^2 - a^2 = 289-64=225$

    Daher ist:

    $b =\sqrt{225}=15$

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Hypotenuse denselben Flächeninhalt hat wie die Quadrate über beiden Katheten zusammen. Meistens bezeichnet man die Katheten mit $a$ und $b$ und die Hypotenuse mit $c$. Den Satz des Pythagoras kannst du dann durch folgende Formel ausdrücken:

    $a^2+b^2=c^2$

    Du kannst die Formel nach $a$ oder $b$ auflösen und erhältst so die beiden Formeln

    $a= \sqrt{c^2-b^2}$ und $b = \sqrt{c^2-a^2}$

    In diese kannst du die vorgegebenen Werte für $a$ und $b$ bzw. für $b$ und $c$ einsetzen.

    Beispiel 1:

    In einem Dreieck mit $c=17$ und $a=15$ lautet die nach $b^2$ aufgelöste Formel des Pythagoras:

    $b^2 = c^2-a^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

    Durch Wurzelziehen erhältst du die Länge der Kathete $b$:

    $b=\sqrt{64} = 8$

    Beispiel 2:

    Ist $c=10,9$ und $b=9,1$, so lautet der Satz des Pythagoras:

    $a^2 = c^2-b^2 = 10,9^2 - 9,1^2 = 118,81 - 82,81 = 36$

    Daher gilt:

    $a=\sqrt{36} = 6$

    Beispiel 3:

    Ist in einem dritten rechtwinkligen Dreieck $c=10,1$ und $b=9,9$, so lautet die Formel für das Quadrat der dritten Seite:

    $a^2 = c^2-b^2 = 10,1^2 - 9,9^2 = 102,01 - 98,01 = 4$

    Für die Kathete $a$ gilt also:

    $a = \sqrt{4} = 2$

  • Erschließe die Längen der fehlenden Katheten.

    Tipps

    Ist $a$ eine Kommazahl und $b$ eine ganze Zahl, so kann $c=\sqrt{a^2 +b^2} $ keine ganze Zahl sein.

    Die Hypotenuse $c$ ist länger als beide Katheten $a$ und $b$ und kürzer als $a+b$.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man meistens die Hypotenuse mit $c$ und die Katheten mit $a$ und $b$. Der Satz des Pythagoras lässt sich dann durch folgende Formel ausdrücken:

    $a^2 +b^2 =c^2$

    Du kannst die Formel benutzen, um die Hypotenuse $c$ aus den Katheten $a$ und $b$ zu berechnen. Denn da $c>0$ ist, kommt nur die positive Wurzel in Betracht. Es ist also:

    $c= \sqrt{a^2 +b^2}$

    In diese Formel kannst du die Werte einsetzen, um die passende Kombination von Katheten zu finden. Um die Suche nach passenden Kombinationen zu vereinfachen, kannst du dir noch Folgendes überlegen:

    • Es gilt immer $a<c$ und $b<c$ sowie $c<(a+b)$.
    • Es ist unmöglich, dass genau einer der Werte $a$, $b$ und $c$ eine Kommazahl ist und die beiden anderen Werte ganze Zahlen sind.
    Mit diesen Überlegungen findest du folgende Zuordnungen:

    $c=37$:

    • $a=35$
    • $b=12$
    • Denn $35^2 +12^2 = 1.225+144=1.369=37^2$.
    $c=29$:
    • $a=20$
    • $b=21$
    • Hier ist nämlich $20^2 +21^2 = 400+441=841=29^2$.
    $c=17$:
    • $b=7,2$
    • $a=15,4$
    • Mit diesen Werten erhältst du $7,2^2 +15,4^2 =51,84+237,16=289=17^2$.
    $c=13$:
    • $a=3,2$
    • $b=12,6$
    • Hier ist $3,2^2 +12,6^2 = 10,24+ 158, 76 =169=13^2$.
  • Beschrifte die bildliche Darstellung des Satz des Pythagoras.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge $x$ ist $A=x^2$.

    Beschrifte die quadratischen Flächen mit dem passenden Term für den Flächeninhalt.

    Nach dem Satz des Pythagoras ist in einem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrates über der längsten Seite genauso groß wie die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden anderen Seiten.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Meistens bezeichnet man die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes mit $a$ und $b$, die Hypotenuse mit $c$. Du kannst sie aber auch beliebig benennen. Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Den Satz des Pythagoras kannst du mit der folgenden Formel ausdrücken, wenn $c$ die Hypotenuse ist:

    $a^2+b^2=c^2$

    Hierbei ist $a^2$ genau der Flächeninhalt des Quadrates über der Seite $a$ und $b^2$ der Flächeninhalt des Quadrates über der Seite $b$. Der Satz des Pythagoras besagt, dass der Flächeninhalt $c^2$ des Quadrates über der Hypotenuse genauso groß ist wie die Summe der Flächeninhalte der beiden anderen Quadrate.

    Im Bild musst du den Flächeninhalt des größten Quadrates mit $c^2$ bezeichnen. Denn die Formel

    $a^2 +b^2 =c^2$

    zeigt, dass die Seite $c$ länger ist als $a$ und als $b$. Welches der beiden kleineren Quadrate du mit $a^2$ bezeichnest und welches mit $b^2$, ist nicht festgelegt.

  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Katheten $a$ und $b$ gleich lang.

    Ist in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse doppelt so lang wie die Kathete $a$, so ist $c=2a$. Setze dies in die Formel des Pythagoras ein.

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    • „Gilt in einem Dreieck $a^2+b^2 = c^2$, so ist das Dreieck rechtwinklig und $c$ ist die Hypotenuse.“ Denn der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken und die Formel zeigt, dass $c$ länger als $a$ und $b$ ist.
    • „In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck mit Hypotenuse $c$ und Schenkel $a$ ist $c^2 = 2a^2$.“ In einem solchen Dreieck gilt für die Katheten $a=b$. Einsetzen in die Formel des Pythagoras ergibt $c^2 =a^2 +b^2 =2a^2$.
    • „Ein rechtwinkliges gleichseitiges Dreieck gibt es nicht, denn sonst müsste gelten $a = \sqrt{a^2+a^2}$.“ Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Wäre das Dreieck zugleich rechtwinklig, so wäre also $a$ die Hypotenuse und $a$ und $a$ die Katheten. Der Satz des Pythagoras ergibt dann für die Hypotenuse $a = \sqrt{a^2 +a^2} = \sqrt{2} a$. Diese Gleichung kann nur durch $a=0$ erfüllt werden.
    • „Es gibt kein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Hypotenuse doppelt so lang wie beide Katheten ist.“ Die Gleichung $a^2 +b^2 =c^2$ zeigt, dass kein solches Dreieck existiert. Wäre nämlich $c=2a=2b$, so wäre $c^2 = (2a)^2 = 4a^2$. Nach dem Satz des Pythagoras wäre aber $c^2 = a^2 + b^2 =2a^2$.
    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • „Ist $c$ die längste Seite eines Dreiecks, so ist $a =\sqrt{c^2-b^2}$.“ Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras und gilt nur, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.
    • „Gilt in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $c$ die Formel $a = \sqrt{c^2-2a^2}$, so ist das Dreieck gleichschenklig.“ In einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck ist $a=b$. Für die Hypotenuse $c$ gilt daher $c^2 =a^2 +b^2 =a^2 +a^2$. Aufgelöst nach $a$ ergibt sich die Formel $a=\sqrt{c^2 - a^2}$.
    • „Ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks doppelt so lang wie eine der beiden Katheten, so ist diese Kathete die längere Kathete.“ Gilt in einem rechtwinkligen Dreieck für die Hypotenuse $c=2a$, so ist die Kathete $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3} a$. Da $\sqrt{3} =1,732\dots$ ist also $b >a$.
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