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Satz des Pythagoras – Beweis 06:48 min

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Transkript Satz des Pythagoras – Beweis

Moritz sitzt gerade an seinen Hausaufgaben zum Satz des Pythagoras und beobachtet seine kleine Schwester Sina, als plötzlich Heureka! Die Anordnung von Sinas Bauklötzen inspiriert Moritz zu einem Beweis für den Satz des Pythagoras. Wenn wir beweisen, dass der Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck mit beliebig langen Seiten gilt, dann gilt er für alle rechtwinkligen Dreiecke. Du erinnerst dich: Der Satz des Pythagoras besagt, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der beiden Kathetenquadrate dem Hypotenusenquadrat entspricht. Mit Variablen schreiben wir das als 'a' Quadrat plus 'b' Quadrat gleich 'c' Quadrat. Diesen Satz wollen wir, mit ein bisschen Logik und bekannten Gesetzen, beweisen. Wenn wir den Satz des Pythagoras erst einmal bewiesen haben, können wir mit ihm unbekannte Seitenlängen berechnen. Schau mal: Sinas Klötze bilden ein großes Quadrat, das aus 4 rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt ist, und ein kleineres Quadrat. Jede Seite des großen Quadrats setzt sich zusammen aus den Längen 'a' und 'b'. Um den Satz des Pythagoras zu beweisen, werden wir den Flächeninhalt des großen Quadrates mithilfe seiner Seitenlängen berechnen. Danach können wir ihn mit dem Flächeninhalt der Figuren, aus denen das Quadrat besteht, gleichsetzen. Du weißt ja, den Flächeninhalt eines Quadrats berechnet man, indem man seine Seitenlänge quadriert. Welche Seitenlänge hat das große Quadrat? a plus b. Das Quadrat hat also eine Fläche von Klammer auf, 'a' plus 'b', Klammer zu, zum Quadrat. Wenn man etwas quadriert, dann multipliziert man es mit sich selbst. Unsere Rechnung bedeutet also lediglich: In Klammern 'a' plus 'b' mal in Klammern 'a' plus 'b'. Hast du bemerkt, dass wir hier zwei Binome multiplizieren? Wir benutzen also die 1. binomische Formel: (a+b) zum Quadrat ist gleich a Quadrat plus 2 ab plus b Quadrat. Die Fläche des großen Quadrats ist also gleich 'a' Quadrat plus '2ab' plus 'b' Quadrat. Die gleiche Fläche muss herauskommen, wenn wir die Flächen der Dreiecke und des kleinen Quadrats addieren. Bestimmen wir also zuerst die Fläche der Dreiecke. Sind diese Dreiecke kongruent? Wenn wir sie übereinanderlegen, sehen wir, dass sie tatsächlich deckungsgleich sind. Wir müssen also nur die Fläche eines Dreiecks berechnen. Wie war nochmal die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? Einhalb Grundseite mal Höhe. Für die Grundseite können wir 'a' einsetzen und für die Höhe 'b'. So erhalten wir einhalb 'ab'. Das ist die Fläche für EINS der Dreiecke; für alle vier lautet sie also: 4 mal einhalb 'ab'. Wir vereinfachen das und erhalten für die Fläche der vier Dreiecke: '2ab'. Widmen wir uns nun dem kleinen Quadrat. Woher wissen wir denn eigentlich, dass das auch wirklich ein Quadrat ist? Wenn eine Figur vier gleichlange Seiten und vier rechte Winkel besitzt, ist sie ein Quadrat. Da die vier Dreiecke kongruent sind, sind auch diese vier Seiten hier gleich lang. Wir nennen diese Seiten 'c'. Okay, das Viereck hat also vier gleichlange Seiten, aber wie sieht es mit den rechten Winkeln aus? Um diese Winkel zu bestimmen, erinnern wir uns an die Regel für die Winkelsumme in einem Dreieck, die besagt, dass die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 180 Grad ergeben. Da wir bereits wissen, dass das Dreieck einen Winkel von 90 Grad besitzt, müssen diese beiden spitzen Winkel hier zusammen 90 Grad groß sein. Da die Dreiecke kongruent sind, müssen ihre entsprechenden Winkel gleich sein. Deswegen ergeben diese beiden Winkel addiert ebenfalls 90 Grad. Und da das hier ein gestreckter Winkel von 180 Grad ist, muss dieser Winkel hier aus der inneren Figur also 90 Grad groß sein. Die innere Figur besitzt 4 rechte Winkel, also handelt es sich dabei tatsächlich um ein Quadrat. Demnach können wir den Flächeninhalt ganz flink berechnen, indem wir die Seitenlänge quadrieren. Die Seitenlänge ist 'c', der Flächeninhalt also 'c' Quadrat. Du erinnerst dich, dass die Fläche des großen Quadrats gleich der Fläche der vier Dreiecke plus der Fläche des kleinen Quadrats ist. Die Fläche des großen Quadrats ist 'a' Quadrat plus '2ab' plus 'b' Quadrat. Die Fläche der vier Dreiecke ist '2ab' und die des kleinen Quadrats ist 'c' Quadrat. Schau mal, '2ab' taucht auf beiden Seiten der Gleichung auf. Wir können also auf beiden Seiten '2ab' subtrahieren. Übrig bleibt 'a' Quadrat plus 'b' Quadrat gleich 'c' Quadrat. a und b sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und c seine Hypotenuse. Das beweist, dass der Satz des Pythagoras für ALLE rechtwinkligen Dreiecke gilt. Fassen wir den Beweis noch mal zusammen. Am Anfang hatten wir eine Figur aus einem kleineren Quadrat in einem größeren. Wir haben den Flächeninhalt des großen Quadrats berechnet und ihn gleichgesetzt mit der Summe der Flächen der Figuren, aus denen es zusammengesetzt ist. So haben wir die Gleichung 'a' Quadrat plus 'b' Quadrat gleich 'c' Quadrat erhalten. Dadurch können wir sicher sein, dass der Satz des Pythagoras für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt. Mit dem Satz des Pythagoras kann man die Länge einer Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn man die beiden anderen Seitenlängen kennt. Ob Sina Moritz als nächstes bei den Chemie-Hausaufgaben helfen wird?

1 Kommentar
  1. sehr cool
    sie können echt gut erklären
    super
    mehr davon

    Von Melanie Obach, vor 2 Monaten

Satz des Pythagoras – Beweis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Beweis kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu einem Beweis zum Satz des Pythagoras.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke und lautet:

    $a^2+b^2=c^2$

    Dabei sind $a$ und $b$ Katheten und $c$ ist die Hypotenuse.

    Figuren sind kongruent, wenn du sie durch Verschiebung und/oder Drehung ineinander überführen kannst.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Bei einem rechtwinkligen Dreieck gleicht die Differenz der beiden Kathetenquadrate dem Quadrat der Hypotenuse.“

    • Der Satz des Pythagoras gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke und lautet: $a^2+b^2=c^2$. Dabei sind $a$ und $b$ die beiden Katheten und $c$ heißt Hypotenuse. Also ist die Summe der beiden Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
    „Den Flächeninhalt eines Quadrats bestimmst du, indem du die Seitenlänge addierst. Beträgt die Seitenlänge eines Quadrats $a+b$, dann ist die Fläche $A=2a+2b$.“

    • Den Flächeninhalt eines Quadrats bestimmst du durch Quadrieren der Seitenlänge. Für die Seitenlänge $a+b$ erhältst du also eine Fläche von $A=(a+b)^2$.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Den Satz des Pythagoras kannst du mit Hilfe eines Quadrates beweisen, das aus einem kleineren Quadrat und vier rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt ist.“

    • Anhand der obigen Figur kannst du den Satz des Pythagoras beweisen.
    „Der Flächeninhalt einer beliebigen Fläche entspricht der Summe der Teilflächen, aus denen sie zusammengesetzt ist.“

    „Zwei kongruente Dreiecke haben jeweils dieselben Winkelgrößen.“

    • Figuren sind kongruent, wenn du sie durch Verschiebung und/oder Drehung ineinander überführen kannst. Das geht nur, wenn die beiden Figuren dieselben Winkelgrößen und Seitenlängen besitzen.
  • Beschreibe die Winkelgrößen der Beweisfigur.

    Tipps

    Alle rechten Winkel betragen $90^{\circ}$

    Wenn $ \alpha + \beta + 90^{\circ} =180^{\circ}$ gilt, dann folgt daraus:

    $ \alpha + \beta = 90^{\circ}$

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Hier sind die rechten Winkel des großen Quadrats eingezeichnet. Diese sind gleichzeitig die rechten Winkel der kongruenten Dreiecke. Sie betragen: $90^{\circ}$.“

    • Alle rechten Winkel betragen $90^{\circ}$.
    „Alle Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen $180^{\circ}$. Da diese Dreiecke rechtwinklig sind, müssen die beiden spitzen Winkel zusammen $90^{\circ}$ ergeben.“

    • Hier kannst du rechnen: $ \alpha + \beta + 90^{\circ} =180^{\circ} ~\Rightarrow ~ \alpha + \beta = 90^{\circ}$
    „Der hier eingezeichnete Winkel ist ein gestreckter Winkel und beträgt $180^{\circ}$. Er setzt sich zusammen aus den beiden spitzen Winkeln der Dreiecke und einem Winkel des Quadrats in der Mitte. Da die Summe der beiden Dreieckswinkel $90^{\circ}$ beträgt, muss der Winkel des Vierecks $90^{\circ}$ betragen.“

    • Hier kannst du Folgendes rechnen: $ \gamma + 90^{\circ} =180^{\circ} ~\Rightarrow ~ \gamma = 90^{\circ}$
  • Weise den Höhensatz von Euklid nach.

    Tipps

    Wende den Satz des Pythagoras zuerst auf das große Dreieck und anschließend auf die beiden kleineren Dreiecke an.

    In der Gleichung $a^2+b^2=c^2$ kannst du $h^2+p^2$ für $a^2$ und $h^2+q^2$ für $b^2$ einsetzen.

    $(p+q)^2$ kannst du mit der ersten binomischen Formel auflösen.

    Am Ende musst du zwei Ausdrücke für $c^2$ gleichsetzten und so vereinfachen, dass der Satz des Euklid herauskommt.

    Lösung

    So kannst du den Beweis durchführen:

    „Zunächst schreiben wir für die Seitenlängen des großen rechtwinkligen Dreiecks den Satz des Pythagoras auf.

    $a^2+b^2=c^2$“

    • Hier wenden wir den Satz des Pythagoras auf das große Dreieck an.
    „Dann stellen wir Formeln für die Seitenlängen der beiden rechtwinkligen Dreiecke auf, die durch die Teilung des großen Dreiecks entstehen. Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir:

    $h^2+p^2=a^2$ und

    $h^2+q^2=b^2$“

    • Hier wenden wir den Satz des Pythagoras auf die beiden kleineren Dreiecke an.
    „Diese beiden Gleichungen können wir in die erste Gleichung einsetzen. Wir ersetzen $a^2$ und $b^2$ mit dem gefundenen Ausdruck und erhalten:

    $c^2=a^2+b^2=h^2+p^2+h^2+q^2$“

    • Hier setzen wir $h^2+p^2$ für $a^2$ und $h^2+q^2$ für $b^2$ in die Gleichung $c^2=a^2+b^2$ ein.
    „Die uns bereits bekannte Beziehung $p+q=c$ können wir quadrieren. Dabei erhalten wir:

    $c^2=(p+q)^2=p^2 + 2pq +q^2$“

    • Hier wurde die erste binomische Formel angewendet.
    „Somit haben wir zwei unterschiedliche Ausdrücke für $c^2$ ermittelt, die wir nun gleichsetzen können:

    $c^2=h^2+p^2+h^2+q^2=p^2 + 2pq +q^2$“

    • Jetzt können wir alle gefundenen Ausdrücke so zusammenfassen, dass anschließend der Satz des Euklid herauskommt.
    „Diese Gleichung können wir jetzt Schritt für Schritt vereinfachen. Zuerst subtrahieren wir $q^2$ von beiden Seiten und erhalten:

    $h^2+p^2+h^2=p^2 + 2pq $

    Außerdem können wir $p^2$ von beiden Seiten abziehen. Das ergibt:

    $h^2+h^2=2pq $

    Anschließend fassen wir die $h^2$ Terme zusammen.

    $2h^2=2pq $

    Teilen wir diese Gleichung durch $2$, erhalten wir den Satz des Euklid:

    $h^2=pq $

    Was zu beweisen war.“

    • Wenn du jetzt denkst, dass du da niemals selbst draufgekommen wärst, dann mach dir keine Sorgen. So geht es jedem, der zum ersten Mal einen Beweis sieht. Beweise sind eine der schwierigsten Aufgaben in der Mathematik. Aber mit der Zeit und mit viel Übung entwickelst du ein Gefühl dafür, wie man sie durchführt.
  • Beschreibe den Beweis zum Satz des Pythagoras.

    Tipps

    Grundsätzlich kannst du eine Fläche immer durch Addition ihrer Teilflächen bestimmen. Hier besteht das große Quadrat aus einem kleineren Quadrat und vier rechtwinkligen Dreiecken.

    Bestimmst du den Flächeninhalt einer Fläche auf zwei unterschiedliche Weisen und erhältst zwei unterschiedliche Terme, kannst du diese gleichsetzen. Sie beschreiben nämlich den gleichen Flächeninhalt.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die Gesamtfläche des großen Quadrats $A_{Q1}$ können wir durch Multiplikation der Seitenlänge $a+b$ bestimmen. So erhalten wir:

    $A_{Q1}=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$“

    • Hier bestimmen wir die Fläche des großen Quadrats, indem wir die Seitenlängen multiplizieren und den Term anschließend mit der ersten binomischen Formel vereinfachen.
    „Dieselbe Fläche $A_{Q1}$ können wir außerdem durch Addition der Teilflächen bestimmen. Diese setzen sich zusammen aus vier rechtwinkligen Dreiecken mit dem jeweiligen Flächeninhalt $A_D$ und einem kleineren Quadrat mit dem Flächeninhalt $A_{Q2}$.“

    • Grundsätzlich kannst du den Flächeninhalt einer Fläche immer durch Addition ihrer Teilflächen bestimmen. Hier besteht das große Quadrat aus einem kleineren Quadrat und vier rechtwinkligen Dreiecken, deren Fläche wir jetzt berechnen.
    „Für den Flächeninhalt von einem der Dreiecke erhalten wir:

    $A_D=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

    Der Flächeninhalt des kleinen Quadrats beträgt:

    $A_{Q2}=c^2$“

    • Hier haben wir die Formeln für die Flächeninhalte der Teilflächen bestimmt. Diese können wir jetzt kombinieren, um die Gesamtfläche anzugeben.
    „Jetzt können wir die Fläche des großen Quadrats $A_{Q1}$ mit Hilfe der Teilflächen wie folgt ausdrücken:

    $A_{Q1}=4 \cdot A_D + A_{Q2}=2ab+c^2$“

    „Anschließend können wir die beiden Terme des Flächeninhalts $A_{Q1}$ gleichsetzen. So erhalten wir:

    $a^2+2ab+b^2=2a b+c^2$"

    • Wir haben hier die Fläche des großen Quadrats auf zwei unterschiedliche Weisen bestimmt und zwei unterschiedliche Terme erhalten. Die Terme beschreiben allerdings die gleiche Fläche, also können wir sie gleichsetzen.
    „Ziehen wir $2a b$ von beiden Seiten der Gleichung ab, erhalten wir:

    $a^2+b^2=c^2$

    Das beweist den Satz des Pythagoras.“

    • Die Längen $a$ und $b$ sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, während die Länge $c$ seine Hypotenuse ist.
  • Wende den Satz des Pythagoras an.

    Tipps

    Du kannst überprüfen, ob die Dreiecke mit den angegebenen Größenangaben rechtwinklig sind, indem du die Katheten $a$ und $b$ in den Satz des Pythagoras einsetzt und überprüfst, ob sich die angegebene Hypotenuse $c$ ergibt.

    Der Satz des Pythagoras lautet: Das Hypotenusenquadrat entspricht der Summe der Kathetenquadrate.

    Lösung

    Du kannst überprüfen, ob die Dreiecke mit den angegebenen Größenangaben rechtwinklig sind, indem du die Katheten $a$ und $b$ in den Satz des Pythagoras einsetzt und überprüfst, ob sich die angegebene Hypotenuse $c$ ergibt. So erhältst du, dass diese Dreiecke nicht rechtwinklig sind:

    „$a=6~\text{cm}$, $b=6~\text{cm}$ und $c=10~\text{cm}$“

    • Hier erhältst du: $a^2+b^2= (6~\text{cm})^2 + (6~\text{cm})^2 = 36~\text{cm}^2 + 36~\text{cm}^2= 72~\text{cm}^2$. Das ist ungleich $c^2=(10~\text{cm})^2= 100~\text{cm}^2$. Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig.
    „$a=6~\text{cm}$, $b=12~\text{cm}$ und $c=13~\text{cm}$“

    • Hier erhältst du: $a^2+b^2= (6~\text{cm})^2 + (12~\text{cm})^2 = 36~\text{cm}^2 + 144~\text{cm}^2= 180~\text{cm}^2$. Das ist ungleich $c^2=(13~\text{cm})^2= 169~\text{cm}^2$. Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig.
    Diese Dreiecke sind rechtwinklig:

    „$a=3~\text{cm}$, $b=4~\text{cm}$ und $c=5~\text{cm}$“

    • Hier ergibt sich: $a^2+b^2= (3~\text{cm})^2 + (4~\text{cm})^2 = 25~\text{cm}^2=c^2$
    „$a=15~\text{cm}$, $b=8~\text{cm}$ und $c=17~\text{cm}$“

    • Hier erhalten wir: $a^2+b^2= (15~\text{cm})^2 + (8~\text{cm})^2 = 17~\text{cm}^2=c^2$
  • Ermittle mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die gesuchten Beziehungen.

    Tipps

    Für das große Dreieck kannst du folgende Gleichung aufstellen:

    $a^2+b^2=c^2$

    Da in dem linken Dreieck der rechte Winkel von den Katheten $h$ und $q$ eingeschlossen wird, erhalten wir:

    $h^2+q^2=b^2$

    Formst du diese Gleichung nach $h$ um, kannst du eine der Lösungen zuordnen.

    Lösung

    Du kannst die Gleichungen zuordnen, indem du die einzelnen Dreiecke betrachtest und den Satz des Pythagoras aufstellst und umformst.

    Mit dem großen Dreieck kannst du folgende Formel aufstellen:

    $a^2+b^2=c^2$

    Stellen wir das nach $b^2$ um, erhalten wir:

    • $b^2=c^2-a^2$
    Da in dem rechten Dreieck der rechte Winkel von den Katheten $h$ und $p$ eingeschlossen wird und $a$ die Hypotenuse ist, erhalten wir:

    • $h^2+p^2=a^2$
    Das können wir nach $h$ umstellen, indem wir zuerst $p^2$ subtrahieren:

    • $h^2=a^2-p^2$
    Und anschließend die Wurzel ziehen:

    • $h=\sqrt{a^2-p^2}$
    Aus dem linken Dreieck erhalten wir:

    • $h^2+q^2=b^2$
    Durch das Ziehen der Wurzel, erhalten wir:

    • $b=\sqrt{h^2+q^2}$