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Dreiecksungleichung – Erklärung 05:00 min

Textversion des Videos

Transkript Dreiecksungleichung – Erklärung

Die Forscherin Diana Jones stürzt sich in ein neues Abenteuer. Eine unerforschte Höhle! Du fragst dich, was es in dieser Höhle wohl Spannendes zu entdecken gibt? Na dann Stirnlampe an und erster Höhlencheck! Ohhh da glitzert ja etwas! Da muss Diana hin! Es ist zwar ganz schön weit weg, aber SO weit sollte ihr Sicherungsseil gerade noch reichen. Sie muss nur entlang der kürzesten Entfernung, also HIER ENTLANG klettern. Aber beim Klettern nicht vergessen: immer den Sicherungshaken einschlagen! Oh... so ein Mist! Aber für Diana ist nichts unmöglich..oder vielleicht doch? Kann sie mit ihrem Seil auch um das Loch herum, also hier entlang, zu ihrem Ziel gelangen? Ob die Seillänge für diesen Weg reicht, finden wir mit der Dreiecksungleichung heraus. Wir betrachten das Dreieck ABC. Das funkelnde Etwas liegt im Punkt C. Der ursprüngliche Weg, für den das Seil gerade so gereicht hätte, entspricht der Seitenlänge b. Aber aufgrund der eingebrochenen Höhlenwand muss Diana nun entlang dieses Weges klettern. Diese Entfernung entspricht der Summe aus den Längen der Seiten c und a. Reicht hierfür die Seillänge ebenfalls aus? Nein, denn in allen Dreiecken gilt immer die Dreiecksungleichung. Diese besagt, dass die Summe zweier Seitenlängen eines Dreiecks größer ist als die übrig bleibende dritte Seitenlänge - also ist auch "a plus c größer als b". Ebenso ist auch "a plus b größer als c" sowie "b plus c größer als a". Die Summer zweier Seitenlängen ist immer größer als die übrige Seite. Überprüfen wir die Dreiecksungleichung doch mal an einem Zahlenbeispiel. Ein Dreieck hat die Seitenlängen a gleich 4, b gleich 7 und c gleich 8. Ist hier die Dreiecksungleichung wirklich für alle drei Seiten erfüllt? Die Summe aus den Seitenlängen a und b ist 11 - also größer als c gleich 8. Genauso ist 7 plus 8 größer als 4 und 8 plus 4 größer als 7. Diese Ungleichung kannst du aber auch umkehren. Meinst du, man kann aus drei beliebigen Seitenlängen immer ein Dreieck konstruieren? Nein – wenn die Dreiecksungleichung NICHT erfüllt ist, kann das nicht funktionieren. Du musst also überprüfen, ob die Summe der beiden kürzeren Seiten größer ist als die längste Seite. Können die Seiten a gleich 5, b gleich 3 und c gleich 7 ein Dreieck bilden? Ja, denn die Summe der beiden kürzeren Seiten a und b entspricht 8 und diese ist größer als 7. Die beiden anderen Kombinationen sind dann immer erfüllt: 7 und 5 ist größer als 3 und 7 plus 3 ist größer als 5. Anders ist es, wenn die Seiten a gleich 10, b gleich 3 und c gleich 4 gegeben sind. Hier ist die Summe der beiden kürzeren Seiten gleich 3 und 4 kleiner als 10. Somit erfüllen diese Seiten nicht die Dreiecksungleichung und können demnach kein Dreieck bilden. Also: die Zusammenfassung zum Thema Dreiecksungleichung. Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe zweier Seiten eines Dreiecks stets größer ist als die übrige dritte Seite. Sie gilt ausnahmslos für alle beliebigen Dreiecke. Du kannst mit ihr also auch überprüfen, ob drei gegebene Seitenlängen ein Dreieck bilden können. Hierzu muss die Summe der beiden kürzeren Seiten größer sein als die längste Seite. Ist sie nicht größer, sondern genauso groß wie die längste Seite, dann wird das Dreieck aus den drei Seiten zu einer Strecke. Aber nun Schluss mit der Theorie – ob Diana ihr Ziel erreicht hat? Das Seil reicht einfach nicht! Was ist das? Jetzt wird Dianas Aufenthalt ungleich gruseliger.

2 Kommentare
  1. Supi! Hab alles verstanden. :)
    Dankeschön!

    Von Xmina Xp, vor 3 Monaten
  2. mega

    Von O Reichel77, vor 6 Monaten

Dreiecksungleichung – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreiecksungleichung – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen über Dreiecksungleichungen.

    Tipps

    Eine allgemeine Form der Dreiecksungleichung lautet:

    $a+b>c$.

    $a,b$ und $c$ sind die Seitenlängen eines Dreiecks.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Jede Kombination der Seitenlängen eines Dreiecks muss die Dreiecksungleichung erfüllen.
    • Mit der Dreiecksungleichung kann man bestimmen, ob drei Längen ein Dreieck bilden können.
    Dies sind die beiden wichtigsten Anwendungen der Dreiecksungleichung.

    • Sind drei Längen gegeben, muss die Summe der beiden kürzeren größer sein als die längste Seite. Dann kann ein Dreieck gebildet werden.
    Dies ist die Bedingung, dass die drei Seiten ein Dreieck bilden können.

    • Wenn du von Punkt $A$ zu Punkt $B$ gelangen willst, ist der direkte Weg immer kürzer, als ein Umweg über einen abseits dieses Weges gelegenen Punkt $C$.
    Diese Alltagserfahrung entspricht der Dreiecksungleichung: Der direkte Weg ist immer der kürzeste.

    Diese Aussage ist falsch:

    • Um ein Dreieck zu bilden, reicht es, dass die die Summe der beiden kürzeren Seiten genauso lang ist wie die längste Seite.
    Die Summe der beiden kürzeren Seiten muss größer sein als die längste Seite, sonst ergibt sich eine Strecke.

  • Zeige die Dreiecksungleichung auf.

    Tipps

    Bevor Werte eingesetzt werden, schreibt man die allgemeine Form einer Gleichung auf.

    Ein Antwortsatz schließt die Rechnung ab.

    Lösung

    Ein Dreieck hat die Seitenlängen $a=4$, $b=7$, $c=8$. Zeige, dass die Dreiecksungleichung für alle Seiten erfüllt ist. Sie lautet:

    $a+b > c$.

    Am Anfang einer Rechnung wird beschrieben, was gegeben ist und ausgerechnet werden muss.

    Eingesetzt ergibt sich:

    $4+7 > 8$.

    $ \Leftrightarrow 11 > 8$

    Das muss jetzt nachgerechnet werden, also werden die entsprechenden Zahlen eingesetzt.

    Die Dreiecksungleichung ist also für diese Seiten erfüllt. Aber es muss auch gelten, dass:

    $a+c > b$

    und

    $c+b > a$.

    Die Dreiecksungleichung muss für alle Seiten gelten, also müssen diese ebenfalls nachgerechnet werden.

    Eingesetzt ergibt sich:

    $4+8 > 7$

    $ \Leftrightarrow 12> 7$

    und

    $8+7 > 4$

    $ \Leftrightarrow 15> 4$.

    Das muss jetzt nachgerechnet werden, also werden die entsprechenden Zahlen eingesetzt.

    Die Dreiecksungleichung ist also für alle Seiten erfüllt.

    Ein Antwortsatz schließt die Rechnung ab.

  • Bestimme, ob man aus den Längen ein Dreieck bilden kann.

    Tipps

    Eine allgemeine Gleichung enthält immer Variablen.

    Mit der Dreiecksungleichung bestimmt man Eigenschaften von Dreiecken.

    Lösung

    Man kann die Dreiecksungleichung auch benutzen, um herauszufinden, ob drei Längen ein Dreieck bilden.

    Dazu berechnet man, ob die Dreiecksungleichung erfüllt ist. Es recht dabei zu überprüfen, ob die Summe der beiden kürzeren Längen größer ist, als die längste Länge.

    Daher hat diese Gleichung ihren Namen.

    Gegeben sind die Längen $a=5$, $b=3$ und $c=7$. Möchte man herausfinden, ob man damit ein Dreieck konstruieren kann, muss man sie in die Dreiecksungleichung einsetzen.

    Um die Gleichung zu verwenden, müssen die gegebenen Werte eingesetzt werden.

    Die allgemeine Dreiecksungleichung lautet:

    $a+b > c$.

    Eingesetzt und ausgerechnet ergibt sich:

    $5 + 3>7$.

    $\Leftrightarrow 8>7$

    Also können die drei Längen ein Dreieck bilden.

    Eine allgemeine Gleichung enthält immer Variablen. Allerdings könnte man die Gleichung auch für die anderen Längen aufstellen.

    Betrachtet man die Längen $a=4$, $b=3$ und $c=10$ und setzt sie in die Dreiecksungleichung ein, erhält man:

    $4+3 > 10$

    $\Leftrightarrow7 > 10$.

    Das ist offensichtlich nicht erfüllt. Also können die Längen kein Dreieck bilden.

    Hier werden die gegebenen Längen in die Dreiecksungleichung eingesetzt.

  • Bestimme die minimale Seillänge.

    Tipps

    Mit dem Satz des Pythagoras kann man Seitenlängen an rechtwinkligen Dreiecken ausrechnen.

    Lösung

    Um die fehlende Länge zu bestimmen, erinnert sie sich an einen wichtigen Satz, den sie in der Schule gelernt hat. Den Satz des Pythagoras.

    Dieser lautet:

    $a^2+b^2=c^2$.

    Hier sind $a$ und $b$ die beiden Längen am rechten Winkel.

    Mit dem Satz des Pythagoras kann man Seitenlängen an rechtwinkligen Dreiecken ausrechnen.

    Jetzt müssen nur noch die Längen eingesetzt werden.

    $c^2= 3^2+4^2$

    $\Leftrightarrow c^2=25$

    $\Leftrightarrow c=5$

    Um $c$ zu bestimmen, muss die Wurzel gezogen werden.

    Das Seil muss also mindestens $5$ Meter lang sein. Zum Glück hat Diana so viel dabei. Während sie das Seil spannt, überlegt sie, ob diese Längen denn auch ein Dreieck ergeben können.

    Dazu nutzt sie die Dreiecksungleichung und schreibt auf:

    $a+b > c$

    $\Leftrightarrow3+4 > 5$

    $\Leftrightarrow7 > 5$

    Die Längen können also ein Dreieck ergeben. Zufrieden klettert Diana los in ein neues Abenteuer.

    Mit der Dreiecksungleichung kann man bestimmen, ob man mit drei Längen ein Dreieck bilden kann.

  • Prüfe die Aussagen zur Dreiecksungleichung.

    Tipps

    Die Seitenlängen jedes Dreiecks erfüllen die Dreiecksungleichung. Diese Aussagen kann man auch umkehren.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Die Dreiecksungleichung ist für alle Seiten erfüllt.
    • Weil die Längen die Dreiecksungleichung erfüllen, muss man mit ihnen ein Dreieck bilden können.
    In einem Dreieck müssen alle Seitenlängen die Dreiecksungleichung erfüllen. Diese Aussage kann man auch umkehren: Erfüllen drei Längen die Dreiecksungleichung, können sie ein Dreieck bilden.

    • Wäre die Seite $c$ nur eine Längeneinheit größer, so wäre die Dreiecksungleichung nicht erfüllt.
    Wäre die Seite $c$ eine Längeneinheit größer, dann wäre sie $5$ Längeneinheiten lang. Da die anderen beiden Seiten $2$ und $3$ Längeneinheiten lang sind, ergibt sich:

    $2+3=5$.

    Damit ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt, denn beide Seiten sind genauso groß wie die dritte Seite, aber nicht größer.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Auch wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt wäre, würden die Längen ein Dreieck bilden.
    In einem Dreieck müssen alle Seitenlängen die Dreiecksungleichung erfüllen.

    • Es gibt in diesem Dreieck eine Seitenlänge, die größer ist, als die Summe der beiden anderen.
    Das kann man durch Nachrechnen überprüfen:

    $2+3=5>4$

    $2+4=6>3$ und

    $3+4=7>2$.

    Also ist jede der Seitenlängen kürzer als die Summe der beiden anderen. Die Dreiecksungleichung ist erfüllt.

  • Bestimme, ob die Längen ein Dreieck bilden können.

    Tipps

    Damit drei Längen ein Dreieck bilden können, müssen sie die Dreiecksungleichung erfüllen.

    Die Dreiecksungleichung für ein Dreieck der Seitenlängen $a=4$, $b=7$, $c=8$ berechnet man so:

    $\begin{array}{llll} a+b &>& c & \\ 4+7 &>& 8 &\\ 11 &>& 8 & \end{array}$

    Lösung

    Damit drei Längen ein Dreieck bilden können, müssen sie die Dreiecksungleichung erfüllen. Es genügt die Summe der kürzesten Längen zu bilden und zu überprüfen, ob sie größer ist als die letzte Länge.

    Für den ersten Satz an Längen $a=3$, $b=7$ und $c=8$ ergibt sich:

    $3+7>8$

    $\Leftrightarrow10>8$.

    Die Dreiecksungleichung ist also erfüllt und man kann aus den Längen ein Dreieck bilden. Bei den anderen Längen geht man genauso vor und erhält:

    Diese Längen können ein Dreieck bilden:

    $a=3$, $b=7$ und $c=8$

    $a=4$, $b=6$ und $c=8$

    $a=4$, $b=5$ und $c=7$

    Diese Längen können kein Dreieck bilden:

    $a=1$, $b=2$ und $c=3$

    $a=3$, $b=4$ und $c=8$