Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Inhalt

• Einführung: fehlende Größen im Dreieck berechnen
• Wie berechnet man fehlende Größen im Dreieck?
• Formeln im Dreieck
• Gegebene Größen finden
• Gesuchte Größen finden
• Formeln passend umformen
• Fehlende Größen im Dreieck berechnen – Beispiele
• Beispiel 1
• Beispiel 2
• Zusammenfassung: fehlende Größen im Dreieck berechnen

Einführung: fehlende Größen im Dreieck berechnen

Aufgaben zu Dreiecken sind oft Textaufgaben. Aus den Angaben im Text musst du zuerst herauslesen, welche Größen gegeben sind und welche Größen gesucht werden. In diesem Text und Video wird dir einfach und verständlich erklärt, wie du fehlende Größen im Dreieck berechnen kannst. Dazu verwenden wir verschiedene Formeln, die passend zu der Aufgabe umgeformt werden müssen. Nach der Berechnung der fehlenden Größen formulierst du noch einen Antwortsatz, der zu dem Kontext der Textaufgabe passt.

Wie berechnet man fehlende Größen im Dreieck?

Um eine Textaufgabe zu lösen, ist es oft nützlich, in mehreren Schritten vorzugehen. Bevor wir an die Textaufgabe selbst herangehen, überlegen wir uns, welche Formeln für die Aufgabe relevant sind:

Formeln im Dreieck

Es gibt viele verschiedene Formeln für Dreiecke, mit denen du fehlende Größen berechnen kannst. Wir betrachten als Beispiel die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalt und des Umfangs. Für den Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks haben wir die drei Formeln:

$A=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Hierbei bezeichnen $a$, $b$ und $c$ die drei Seiten des Dreiecks und $h_a$, $h_b$ und $h_c$ die jeweiligen Höhen. Für den Umfang $U$ des Dreiecks haben wir die Formel:

$U = a+b+c$

Gegebene Größen finden

In einer Textaufgabe zu Dreiecken sind typischerweise verschiedene Größen bereits vorgegeben. Lies den Aufgabentext aufmerksam durch und schreibe dir auf, welche Größen in der Aufgabe gegeben sind. Wir betrachten als Beispiel ein Dreieck, bei dem die Seitenläng $a$ und der Flächeninhalt $A$ gegeben sind. Außerdem kennen wir die Höhe $h_b$ zu der Seite $b$.

Gesuchte Größen finden

Um zu wissen, wie du die Textaufgabe löst, musst du als Nächstes herausfinden, welche Größen in der Aufgabe bestimmt werden sollen. Lies den Text aufmerksam durch und schreibe dir heraus, welche Größen gesucht sind. In unserem Beispiel sind die Größen $h_a$ und $b$ gesucht, also die Höhe $h_a$ zu der Seite $a$ und die Länge der Seite $b$.

Formeln passend umformen

Um die gesuchten Größen zu berechnen, müssen wir zuerst eine oder mehrere Formeln auswählen, in denen jeweils nur eine der gesuchten Größen vorkommt. Für unser Beispiel verwenden wir zwei Formeln für den Flächeninhalt::

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$

Die erste dieser beiden Formeln können wir nach der gesuchten Größe $h_a$ umstellen:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \quad | \; \cdot 2 \newline 2 A = a \cdot h_a \quad |\; : a \newline \frac{2A}{a} = h_a$

Diese Formel gibt also die gesuchte Größe $h_a$ an und verwendet zur Darstellung nur die gegebenen Größen $A$ und $a$. Wir können in diese Formel die vorgegebenen Werte für die Seitenlänge $a$ und den Flächeninhalt $A$ einsetzen und so den fehlenden Wert der Höhe $h_a$ berechnen.

Um die gesuchte Größe $h_b$ zu bestimmen, können wir die zweite Formel für den Flächeninhalt nach $b$ umstellen:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \quad | \; \cdot 2 \newline 2 A = b \cdot h_b \quad |\; : h_b \newline \frac{2A}{h_b} = b$

Wieder können wir die gegebenen Werte für $A$ und $h_b$ einsetzen und den fehlenden Wert für die Seitenlänge $b$ berechnen.

Fehlende Größen im Dreieck berechnen – Beispiele

Beispiel 1

Wir lösen hier eine Aufgabe, bei der folgende Größen gegeben sind:

• Umfang $U$
• Seitenlängen $a$ und $b$
• Höhe $h_b$

Gesucht sind alle weiteren Größen des Dreiecks:

• Seitenlänge $c$,
• Höhen $h_a$ und $h_c$
• Flächeninhalt $A$

Mit der Seitenlänge $b$ und der Höhe $h_b$ können wir den Flächeninhalt berechnen. Dazu verwenden wir die Formel:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$

Um die Seitenlänge $c$ zu berechnen, können wir zum Beispiel die Formel für den Umfang verwenden und nach $c$ auflösen:

$U = a+b+c \quad |\; -a-b \newline U-a-b = c$

Die beiden Höhen $h_a$ und $h_c$ berechnen wir wieder durch Umstellen der Formel für den Flächeninhalt. Wir erhalten dadurch die Formeln:

$h_a = \frac{2A}{a} \qquad$ und $\qquad h_c = \frac{2A}{c}$

Beispiel 2

In unserem zweiten Beispiel sind die Größen nicht direkt gegeben, sondern sie kommen in Gleichungen vor. Vorgegeben sind folgende Gleichungen:

$a = 2b = 1,5c$

Außerdem sind der Umfang $U$ und die Höhe $h_c$ gegeben. Gesucht sind wieder alle fehlenden Größen des Dreiecks.

Wie können wir eine solche Aufgabe lösen? Zuerst müssen wir eine Formel finden, in die wir die Gleichung $a = 2b = 1,5c$ sinnvoll einsetzen können. In der Formel für den Umfang $U$ kommen die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ vor sowie der vorgegebene Umfang. Setzen wir also die Gleichungen dort ein. Wie machen wir das? Wir stellen zuerst die beiden Gleichungen $a=2b$ und $a=1,5c$ nach $b$ und $c$ um:

$b = \frac{a}{2} \qquad $ und $\qquad c = \frac{a}{1,5} = \frac{2}{3} a$

Nun können wir diese Gleichungen in die Formel für den Umfang einsetzen, indem wir $b$ durch $\frac{a}{2}$ ersetzen und $c$ durch $\frac{2}{3}a$:

$U= a+b+c = a+\frac{a}{2} + \frac{2}{3}a$

Nun fassen wir die drei Terme auf der rechten Seite der Gleichung zusammen, indem wir alle Vorfaktoren von $a$ auf den Hauptnenner $6$ bringen:

$U= a+\frac{a}{2} + \frac{2}{3}a = \frac{6}{6}a + \frac{3}{6}a + \frac{4}{6}a = \frac{13}{6}a$

Jetzt können wir die Gleichung nach der unbekannten Größe $a$ auflösen, denn der Umfang $U$ ist in der Aufgabe vorgegeben:

$a = \frac{6}{13} U$

Nun können wir mit dem gegebenen Wert für $U$ den gesuchten Wert für $a$ berechnen. Wir können auch den Wert für $b$ berechnen, dazu nutzen wir die Formel $b=\frac{a}{2}$, die wir zuvor erhalten hatten. Für die unbekannte Seitenlänge $c$ haben wir die Formel $c=\frac{2}{3}a$. Hiermit können wir jetzt auch den Wert der Seitenlänge $c$ berechnen.

Mit der vorgegebenen Höhe $h_c$ können wir nun den Wert für den Flächeninhalt $A$ berechnen:

$A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Mit den Formeln wie oben können wir schließlich auch die Höhen $h_a$ und $h_b$ berechnen:

$h_a = \frac{2A}{a} \qquad $ und $\qquad h_b= \frac{2A}{b}$

Zusammenfassung: fehlende Größen im Dreieck berechnen

In dem Text und Video wird verständlich erklärt, wie man fehlende Seiten im Dreieck berechnet. Dazu benutzen wir Formeln für den Flächeninhalt $A$ und den Umfang $U$. Um fehlende Winkel zu berechnen, brauchst du weitere Formeln, z. B. die Innenwinkelsumme des Dreiecks. Ergänzend zu diesem Video über fehlende Größen im Dreieck findest du interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt hier auf der Seite.