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Umfang von Dreiecken

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Team Digital
Umfang von Dreiecken
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Umfang von Dreiecken

Inhalt

Umfang von Dreiecken

König Triangulus ist ein regelrechter Dreieck-Fanatiker. Selbst seine riesige Festung hat eine Dreiecksform. Um sich vor seiner Erzfeindin, der Lady Quadrata, zu schützen, will er noch einen Burggraben um die Festung errichten. Der Graben soll um die dreieckige Festung verlaufen. Er muss sich also mit dem Umfang von Dreiecken auskennen, damit er weiß, wie lang der Burggraben sein muss. Dafür schauen wir uns zunächst noch einmal den grundlegenden Aufbau eines Dreiecks an.

Wiederholung Dreieck
Ein Dreieck ist eine ebene geometrische Figur mit den drei Eckpunkten $A$, $B$ und $C$ und den drei Seiten $a$, $b$, $c$. Die Beschriftung eines Dreiecks erfolgt so, dass die Seite $a$ gegenüber dem Eckpunkt $A$ liegt, $b$ gegenüber $B$ und $c$ gegenüber $C$.

Der Umfang bei Dreiecken

Grundsätzlich kannst du den Umfang $U$ eines Dreiecks immer aus der Summe aller Seiten des Dreiecks berechnen. Für ein allgemeines Dreieck gilt also, dass wir $a$, $b$ und $c$ addieren. Es gilt:

$U = a + b + c$

Beispiel: Berechnung des Umfangs eines allgemeinen Dreiecks
Die drei Seiten der Burg von König Triangulus haben folgende Längen: Eine Seite ist $25$ Meter lang, die nächste $45$ Meter und die dritte Seite $60$ Meter. Da es sich um ein Dreieck handelt, können wir diese Werte einfach in unsere Formel für den Umfang $U$ einsetzen und erhalten:

$U = a + b + c$

$~~~~~~\downarrow$

$U = 25 + 45 + 60 = 130$

Der Umfang der Burg beträgt $130$ Meter, somit muss der Burggraben $130$ Meter lang sein.

Wir nutzen nun die Formel für den Umfang bei drei speziellen Dreiecksarten und beginnen mit dem rechtwinkligen Dreieck.

Der Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks
Wie der Name schon verrät, besitzt das rechtwinklige Dreieck einen rechten Winkel. Der Umfang $U$ berechnet sich hier ebenfalls nach:

$U = a + b + c$

Betragen die Seitenlängen beispielsweise $a = 5$ cm, $b = 3$ cm und $c = 4$ cm, dann rechnen wir:

$U = a + b + c$

$~~~~~~\downarrow$

$U = 5 + 3 + 4 = 12$

Der Umfang beträgt $12$ Zentimeter.

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks
Für das gleichschenklige Dreieck gilt, dass zwei Seiten gleich lang sind, zum Beispiel $a$ und $b$. Was bedeutet das für unsere Formel? Da $a$ und $b$ gleich lang sind, gilt $a = b$. Wir können danach $b$ durch $a$ ersetzen und dann alles in unserer Formel zusammenfassen.

$U = 2~a + c$

So sind beispielsweise bei einem gleichschenkligen Dreieck die Seiten $a$ und $b$ jeweils $9$ Zentimeter lang, während $c$ $12$ Zentimeter lang ist. Wir setzen die Werte in unsere Formel ein:

$U = 2~a + c$

$~~~~~~\downarrow$

$U = 2\cdot9 + 12 = 30$

Der Umfang beträgt $30$ Zentimeter.

Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks
Für das gleichseitige Dreieck gilt, dass alle drei Seiten gleich lang sind. Was bedeutet das für unsere Formel? Da $a$, $b$ und $c$ gleich lang sind, gilt $a = b = c$. Wir können danach $b$ und $c$ durch $a$ ersetzen und dann alles in unserer Formel zusammenfassen.

$U = 3~ a$

So sind beispielsweise bei einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten $6$ Zentimeter lang. Dann setzen wir die Werte in unsere Formel ein:

$U = 3~a$

$~~~~~~\downarrow$

$U = 3\cdot 6 = 18$

Der Umfang beträgt $18$ Zentimeter.

Umfang von Dreiecken

Hinweise zum Video

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Umfang von Dreiecken zu berechnen. Bevor du dieses Video schaust, solltest du die Form des Dreiecks und die verschiedenen Dreiecksarten kennen.

Übungen und Arbeitsblätter
Du findest hier auch Übungen und Arbeitsblätter. Beginne mit den Übungen, um gleich dein neues Wissen zu testen.

Transkript Umfang von Dreiecken

Der mächtige Herrscher König Triangulus ist ein regelrechter Dreieck-Fanatiker. Nun ist er auch endlich mit dem Bau seiner Burg fertig geworden. Um sich jedoch vor seiner Erzfeindin, der Lady Quadrata schützen zu können, muss er noch einen Burggraben um seine Festung errichten. Um zu wissen, wie lang der Burggraben insgesamt wird, muss er sich mit dem Umfang von Dreiecken auskennen. Der Graben soll um die dreieckige Festung verlaufen. Somit entspricht er dem Umfang dieses Dreiecks. Um den Umfang berechnen zu können, schauen wir uns zunächst noch einmal den grundlegenden Aufbau eines Dreiecks an. Die Eckpunkte beschriften wir mit A, B und C. Gegenüberliegende Seiten bezeichnen wir dann jeweils mit den kleinen Buchtstaben a, b und c. Der Umfang berechnet sich nun aus der Summe aller Seiten des Dreiecks. Für ein allgemeines Dreieck gilt also, dass wir a, b und c addieren. Wir kürzen den Umfang dabei mit einem U ab. Da wir wissen wie groß die Seiten der Burg sind, können wir diese einfach addieren. Eine Seite ist 25 Meter lang, die nächste 45 Meter und die dritte Seite 60 Meter. Wir können diese Werte nun in unsere Formel einsetzen und erhalten: 25 Meter plus 45 Meter plus 60 Meter gleich 130 Meter. Der Wassergraben um die Burg herum wird also 130 Meter lang werden. Betrachten wir diese Formel nun im Falle dreier spezieller Dreiecksarten. Starten wir dabei mit dem rechtwinkligen Dreieck. Wie der Name schon verrät, besitzt es einen rechten Winkel. Auch hier gilt weiterhin: Der Umfang berechnet sich aus a plus b plus c. Ist a beispielsweise 5cm, b 3cm und c 4cm lang, dann rechnen wir: 5cm plus 3cm plus 4cm. Das sind insgesamt 12cm. Als nächstes betrachten wir ein gleichschenkliges Dreieck. Für dieses gilt, dass zwei Seiten gleich lang sind. Das sind hier a und b. Was bedeutet das für unsere Formel? Da a und b gleich lang sind, gilt a gleich b. Wir können b also durch a ersetzen und dann unsere Formel zu 2 mal a plus c zusammenfassen. Diese Seiten sind beispielsweise 9cm lang, während c 12cm lang ist. Setzen wir das in unsere Formel ein, schreiben wir einfach 2 mal 9cm plus 12cm. Das sind insgesamt 30cm. Und wie sieht es beim gleichseitigen Dreieck aus? Hier sind a, b und c gleich lang. a ist also gleich b und das ist gleich c. Wie ändert sich dadurch unsere Formel? Wir können also sowohl b als auch c durch a ersetzen. a plus a plus a fassen wir dann zu 3 mal a zusammen. Sind alle Seiten beispielsweise 6cm lang, rechnen wir 3 mal 6cm. Das sind 18cm. Lass uns das noch einmal zusammenfassen. Wir haben den Umfang von 4 verschiedenen Dreiecksarten betrachtet: Das allgemeine, das rechtwinklige, das gleichschenklige und das gleichseitige Dreieck. Grundsätzlich gilt für alle Dreiecke, dass sich der Umfang mit der Formel U ist gleich a plus b plus c berechnen lässt. Für das gleichschenklige Dreieck gilt, dass zwei Seiten gleich lang sind und deshalb können wir den Umfang auch mit 2 mal a plus c berechnen. Da beim gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, können wir hier auch die Formel zu 3 mal a zusammenfassen. Der Burggraben ist endlich fertig. König Triangulus zeigt sich sichtlich zufrieden und fühlt sich in seiner Burg nun sicher vor feindlichen Angriffen. Doch, vielleicht ist der Graben nicht so unüberwindbar, wie er wohl denkt.

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. gut erklärt :-)

    Von Tom, vor 24 Tagen
  2. Ich muss schon sagen sehr guttttttttttt

    Von Dominik, vor 6 Monaten
  3. gut

    Von köpek , vor 6 Monaten
  4. @Leonie B.
    a+b+c

    Von Fortuna X, vor 8 Monaten
  5. Das Video ist nicht so schlecht , aber ich hab’s anders gelernt, bei mir war es so das man das nicht alle Längen vom Dreieck addiert sondern, Dassault die Seiten die rechtwinklig sind multipliziert und dann durch 2 zu dividieren 😊😊😊 Aber ist trotzdem gut 😌
    Eure Kommi Snopiii ❤️❤️❤️

    Von Snopiii ❤., vor 9 Monaten
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Umfang von Dreiecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Umfang von Dreiecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Umfang von Dreiecken.

    Tipps

    Der Umfang eines Dreiecks ist die Länge seiner Begrenzungslinie.

    Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Bei rechtwinkligen Dreiecken berechnet man den Umfang, indem man alle Seitenlängen multipliziert.“

    • Es ist egal, um welche Art von Dreieck es sich handelt. Du bestimmst den Umfang immer, indem du alle drei Seitenlängen des Dreiecks addierst.
    „Bei gleichschenkligen Dreiecken sind alle drei Seiten gleich lang.“

    • Bei dieser Art von Dreiecken sind zwei Seiten gleich lang.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Die Eckpunkte eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben, zum Beispiel $A$, $B$ und $C$, beschriftet. “

    • So werden die Eckpunkte eines Dreiecks üblicherweise bezeichnet.
    „Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe aller drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$.“

    „Bei einem gleichseitigen Dreieck muss nur eine Seitenlänge bekannt sein, um den Umfang zu bestimmen.“

    • Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle Seitenlängen gleich lang sind, muss nur eine der Seitenlängen bekannt sein. Die anderen Seiten sind gleich lang.
  • Beschreibe das Vorgehen beim Berechnen eines Umfangs.

    Tipps

    Der Umfang einer Fläche ist die Länge der Begrenzungslinie. Ein Dreieck wird durch drei Seitenlängen begrenzt.

    In dem hier gezeigten gleichschenkligen Dreieck gilt $a=b$.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die Seiten eines Dreiecks bezeichnen wir mit Großbuchstaben, hier mit $a$, $b$ und $c$. Den Umfang bestimmen wir wie folgt:

    $U=a+b+c$“.

    • Der Umfang einer Fläche ist die Länge der Begrenzungslinie. Da ein Dreieck durch seine drei Seitenlängen begrenzt wird, addieren wir alle drei Längen.
    „Auch bei diesem rechtwinkligen Dreieck bestimmen wir den Umfang, indem wir alle Seitenlängen wie folgt addieren:

    $U=a+b+c$“.

    • Ob das Dreieck rechtwinklig ist oder nicht, ändert nichts an der Berechnung des Umfangs.
    „Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Hier können wir den Umfang wie folgt berechnen:

    $U=2a+c$“.

    • In diesem Dreieck gilt $a=b$. Deshalb können wir den Umfang so berechnen.
    „Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Den Umfang können wir also folgendermaßen bestimmen:

    $U=3a$“.

    • Bei diesem Dreieck gilt: $a=b=c$. Damit können wir die bekannte Formel vereinfachen.
  • Ermittle den Umfang der Dreiecke.

    Tipps

    Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Dreiecks lautet:

    $U=a+b+c$.

    Lösung

    Den Umfang eines Dreiecks bestimmst du, indem du alle drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ addierst. Es gilt also:

    • $U=a+b+c$.
    Du erhältst folgende Ergebnisse:

    • $U=4~\text{cm}+5~\text{cm}+6,4~\text{cm}=15,4~\text{cm}$
    • $U=7~\text{cm}+8~\text{cm}+10,6~\text{cm}=25,6~\text{cm}$
    • $U=3~\text{cm}+7~\text{cm}+7,6~\text{cm}=17,6~\text{cm}$
    • $U=8~\text{cm}+12~\text{cm}+14,4~\text{cm}=34,4~\text{cm}$
  • Ermittle den Umfang der Dreiecke.

    Tipps

    Gleichschenklige Dreiecke haben zwei Seiten, die gleich lang sind. Auch wenn nur eine dieser Seiten beschriftet ist, kannst du deshalb den Umfang bestimmen.

    Gleichseitige Dreiecke haben drei gleiche Seitenlängen. Hier kannst du mit nur einer beschrifteten Seite den Umfang angeben.

    Lösung

    Den Umfang eines Dreiecks bestimmst du immer durch Addition aller Seitenlängen. Also:

    $U=a+b+c$.

    Für die ersten beiden Dreiecke erhältst du so:

    • $U=13~\text{cm}+12~\text{cm}+10~\text{cm}=35~\text{cm}$
    • $U=10~\text{cm}+14~\text{cm}+17,2~\text{cm}=41,2~\text{cm}$
    Gleichschenklige Dreiecke haben zwei Seitenlängen, die gleich lang sind. Auch wenn nur eine dieser Seiten beschriftet ist, kannst du deshalb den Umfang bestimmen.

    • $U=2 \cdot 10~\text{cm}+15~\text{cm}=35~\text{cm}$
    Gleichseitige Dreiecke haben drei gleiche Seitenlängen. Hier kannst du mit nur einer beschrifteten Seite den Umfang angeben.

    • $U=3 \cdot 17~\text{cm}=51~\text{cm}$
  • Gib den Umfang an.

    Tipps

    Den Umfang eines Dreiecks bestimmst du, indem du alle drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ addierst.

    Lösung

    Den Umfang eines Dreiecks bestimmst du, indem du alle drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ addierst. Es gilt also:

    • $U=a+b+c$.
    So erhältst du folgende Lösungen:

    • Das erste Dreieck hat einen Umfang von: $U=45~\text{m}+25~\text{m}+60~\text{m}=130~\text{m}$
    • Das zweite Dreieck hat einen Umfang von: $U=3~\text{cm}+4~\text{cm}+5~\text{cm}=12~\text{cm}$
    • Das dritte Dreieck hat einen Umfang von: $U=2 \cdot 9~\text{cm}+12~\text{cm}=30~\text{cm}$
  • Erschließe den Umfang dieser Figur.

    Tipps

    Der Umfang einer Figur ist die Länge seiner Begrenzungslinie. Hier musst du also überlegen, welche der Längen die Figur nach außen begrenzen. Daraus kannst du die Formel für den Umfang zusammensetzen.

    Hast du die Formel aufgestellt, kannst du die gegebenen Längen einsetzen, um die Länge des Umfangs zu bestimmen.

    Lösung

    Der Umfang einer Figur ist die Länge seiner Begrenzungslinie. Hier musst du also überlegen, welche der Längen die Figur nach außen begrenzen. Das sind die Längen $a$ und $b$ (diese kommen jeweils zweimal vor), sowie die Längen $c$ und $d$. Deshalb setzt sich die Formel wie folgt zusammen:

    $U=2 \cdot a+ 2 \cdot b + c + d$.

    Jetzt können wir die gegebenen Längen einsetzen, um den Umfang zu bestimmen:

    $U=2 \cdot 4~\text{cm}+ 2 \cdot 6~\text{cm} + 7~\text{cm} + 8~\text{cm}=35~\text{cm}$

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