Seiten und Winkel im Dreieck

Seiten und Winkel im Dreieck Übung

• Beschreibe die Eigenschaften von Dreiecken.

  Tipps

  Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Dieses besitzt zudem zwei gleich große Winkel, nämlich die Basiswinkel.

  Gegenüber dem größten Winkel eines Dreiecks liegt dessen längste Seite.

  Lösung

  Ein allgemeines Dreieck $\Delta ABC$ besitzt folgende Eigenschaften:

  • Die kürzeste Seite liegt dem kleinsten Winkel gegenüber.
  • Die längste Seite liegt dem größten Winkel gegenüber.

  Diese beiden Eigenschaften treffen übrigens auf jedes Dreieck zu.

  Gleichschenkliges Dreieck:

  Hat ein Dreieck zwei gleich lange Seiten, so sind die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Ein solches Dreieck heißt gleichschenkliges Dreieck. Die gleich langen Seiten sind die Schenkel und die gleich großen Winkel die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

  Gleichseitiges Dreieck:

  Sind alle Seiten eines Dreiecks gleich lang, dann sind die Winkel dieses Dreiecks gleich groß, nämlich $60$ Grad. Ein solches Dreieck heißt gleichseitiges Dreieck. Der Winkel von $60^\circ$ resultiert aus der Innenwinkelsumme von $180^\circ$ von Dreiecken. Da alle Winkel gleich groß sind, rechnen wir hier $180^\circ : 3=60^\circ$.

• Nenne die Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks.

  Tipps

  Hier siehst du ein gleichseitiges Dreieck.

  Sind zwei Seiten gleich lang, so sind die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß.

  Lösung

  Gleichseitiges Dreieck:

  Sind alle Seiten eines Dreiecks gleich lang, dann sind alle Winkel dieses Dreiecks gleich groß, nämlich $60$ Grad. Ein solches Dreieck heißt gleichseitiges Dreieck. Der Winkel von $60^\circ$ resultiert aus der Innenwinkelsumme von $180^\circ$ von Dreiecken. Da alle Winkel gleich groß sind, rechnen wir hier $180^\circ : 3=60^\circ$.

  Nicht zutreffende Aussagen:

  • Besitzt genau zwei gleich lange Seiten.
  • Hat genau zwei gleich große Winkel.

  Ein Dreieck, das diese beiden Eigenschaften besitzt, ist ein gleichschenkliges Dreieck. Aber merke dir: Auch jedes gleichseitige Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck, da es folgende Bedingung für ein gleichschenkliges Dreieck erfüllt:

  • Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, das mindestens zwei gleich lange Seiten besitzt.

  Hat ein Dreieck zwei gleich lange Seiten, so sind auch zwei Winkel, nämlich die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Die gleich langen Seiten sind die Schenkel und die gleich großen Winkel die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

  Folgende Aussagen treffen ebenfalls nicht zu:

  • Besitzt drei unterschiedlich lange Seiten.
  • Alle Winkel betragen $65^\circ$.

  Ein allgemeines Dreieck kann drei unterschiedlich lange Seiten besitzen, aber kein Dreieck kann drei $65^\circ$-Winkel besitzen, da die Innenwinkelsumme von Dreiecken immer $180^\circ$ entspricht.

• Ermittle die Winkeleigenschaften der Dreiecke.

  Tipps

  Hier siehst du, wie ein Dreieck im Allgemeinen beschriftet wird.

  Der größte Winkel eines Dreiecks befindet sich gegenüber der größten Seite des Dreiecks.

  Lösung

  Für jedes Dreieck gilt folgende Eigenschaft:

  • Gegenüber der längsten Seite des Dreiecks liegt der größte Winkel des Dreiecks.
  • Gegenüber der kürzesten Seite des Dreiecks liegt der kleinste Winkel des Dreiecks.

  Demnach genügt es schon die Seiten der Größe nach zu sortieren. Die entsprechenden Winkel werden in der gleichen Reihenfolge sortiert. Wir erhalten also:

  Dreieck 1

  Mit $a=3~\text{cm}$, $b=8~\text{cm}$ und $c=6~\text{cm}$ erhalten wir folgende aufsteigende Reihenfolge:

  • $\alpha$, $\gamma$ und $\beta$

  Der Winkel gegenüber der längsten Seite $b$ ist der größte. Die kürzeste Seite ist $a$ und damit ist der kleinste Winkel $\alpha$.

  Dreieck 2

  Mit $a=5~\text{cm}$, $b=2~\text{cm}$ und $c=4~\text{cm}$ erhalten wir:

  • $\beta$, $\gamma$ und $\alpha$

  Dreieck 3

  Die Seiten $a=4~\text{cm}$, $b=\frac a2=2~\text{cm}$ und $c=a+1~\text{cm}=5~\text{cm}$ ergeben folgende Reihenfolge:

  • $\beta$, $\alpha$ und $\gamma$

• Bestimme die Eigenschaft, die auf das jeweilige Dreieck zutrifft.

  Tipps

  Gegenüber dem kleinsten Winkel liegt die kürzeste Seite. Sind zwei Winkel gleich groß, so sind die entsprechenden Seiten auch gleich lang.

  Lösung

  Merke dir: In einem Dreieck ist die dem größten Winkel gegenüberliegende Seite die längste. Genauso ist auch die dem kleinsten Winkel gegenüberliegende Seite die kürzeste.

  Damit können wir für die gegebenen Dreiecke folgende Eigenschaften feststellen:

  Dreieck 1: $~a=5~\text{cm}$, $b=2~\text{cm}$ und $c=4~\text{cm}$

  • Hier ist $b$ die kürzeste Seite und damit $\beta$ der kleinste Winkel.
  • Da $a$ die längste Seite ist, ist $\alpha$ der größte Winkel in diesem Dreieck.

  Dreieck 2: $~\alpha=20^\circ$, $\beta=80^\circ$ und $\gamma=80^\circ$

  • Dem kleinsten Winkel $\alpha$ liegt die kürzeste Seite $a$ gegenüber.
  • Außerdem sind die beiden Seiten $b$ und $c$ gleich lang.

  Dreieck 3: $~\alpha=20^\circ$, $\beta=20^\circ$ und $\gamma=140^\circ$

  • Dem größten Winkel $\gamma$ liegt die längste Seite $c$ gegenüber.
  • Außerdem sind die beiden Seiten $a$ und $b$ gleich lang.

  Dreieck 4: $~a=2~\text{cm}$, $b=3~\text{cm}$ und $c=4~\text{cm}$

  • Hier ist $a$ die kürzeste Seite und damit $\alpha$ der kleinste Winkel.
  • Da $c$ die längste Seite ist, ist $\gamma$ der größte Winkel in diesem Dreieck.
  • Also ist $\beta$ größer als $\alpha$ und kleiner als $\gamma$.

• Benenne die abgebildeten Dreiecke.

  Tipps

  Gleichseitig bedeutet, dass alle Seiten des Dreieck gleich lang sind.

  Besitzt ein Dreieck keine besonderen Eigenschaften, wie gleich lange Seiten oder einen rechten Winkel, so handelt es sich um ein allgemeines Dreieck.

  Lösung

  Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten und drei gleich großen Winkeln heißt gleichseitiges Dreieck.

  Ein Dreieck, dessen zwei Seiten und zwei Winkel gleich groß sind, heißt gleichschenkliges Dreieck.

  Ein Dreieck, das keine Besonderheiten, wie einen rechten Winkel oder gleich lange Seiten aufweist, heißt allgemeines Dreieck.

  Demnach können wir den hier abgebildeten Dreiecken die folgenden Bezeichnungen zuordnen:

  Bild 2 und Bild 4 stellen jeweils ein gleichschenkliges Dreieck dar.

  Bild 1 zeigt ein gleichseitiges Dreieck.

  Bild 3 stellt ein allgemeines Dreieck dar.

• Ermittle die gesuchten Größen.

  Tipps

  Zeichne dir eine Skizze und überlege, gegenüber welchem Winkel die längste bzw. kürzeste Seite liegt.

  Die Seite gegenüber dem Winkel im Standort $C$ ist die Strecke zwischen den Standorten $A$ und $B$.

  Lösung

  Die Standorte der Wohnungen dreier Personen bilden ein allgemeines Dreieck auf der Stadtkarte. Dabei ist der Winkel am Standort $A$ $45^\circ$ groß. Der Winkel im Standort $B$ ist $60^\circ$ und der im Standort $C$ $75^\circ$ groß.

  In einem allgemeinen Dreieck ist die Seite, die dem größten Winkel gegenüberliegt, am längsten. Der Größte Winkel liegt im Standort $C$. Gegenüber dem Standort $C$ liegt die Strecke zwischen den Standorten $A$ und $B$. Damit ist diese Entfernung am größten.

  Im Standort $A$ liegt der kleinste Winkel, also ist die Entfernung zwischen $B$ und $C$ am geringsten.