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Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken 06:31 min

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Transkript Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken

Moira ist eine Meisterin im Mosaik setzen und hat sich gerade dem Projekt "Verschönert eure Stadt" angeschlossen. Sie ist fasziniert von den Mosaiken der alten Ägypter aus farbenprächtigen Kacheln, Steinen oder Glas. Für Moira ist es ganz klar, wie man aus gleichseitigen Dreiecken ein Mosaik legen kann oder auch aus gleichschenkligen Dreiecken. Aber wie sieht es mit unregelmäßigen Dreiecken also mit beliebigen? Um das herauszufinden, müssen wir uns mit Innenwinkeln und Außenwinkeln von Dreiecken beschäftigen. Wir beginnen mit einem unregelmäßigen Dreieck und verlängern eine Seite. Diese Winkel hier nennt man Innenwinkel, weil sie auf der inneren Seite des Dreiecks liegen. Diesen Winkel hier nennt man einen Außenwinkel, weil er außerhalb der Figur, aber dennoch an einer ihrer Seiten anliegt. Außenwinkel sind benachbart zu ihren zugehörigen Innenwinkeln. Wenn wir alle Seiten des Dreiecks verlängern, erzeugen wir sechs Außenwinkel. Was ist aber mit diesen Winkeln hier? Sie liegen zwar außerhalb des Dreiecks, sind aber keine Außenwinkel, da sie an keiner Seite des Dreiecks anliegen. Aber sie liegen den Innenwinkeln gegenüber. Darum bezeichnet man sie als Gegenwinkel. Ein anderer Name dafür ist Scheitelwinkel. Was haben Außenwinkel und ihre benachbarten Innenwinkel miteinander zu tun? Um das herauszufinden, schauen wir uns eine Ecke des Dreiecks an und beschriften die Winkelgröße. Diesen Innenwinkel nennen wir Gamma. Wie groß ist also dieser gegenüberliegende Winkel hier? Ebenfalls so groß wie Gamma, denn dieser Winkel ist ein Scheitelwinkel des Innenwinkels und damit genau so groß wie dieser. Wir nennen ihn Gamma Strich. Wie groß ist dann dieser gegenüberliegende Winkel? Ebenfalls so groß wie Gamma Strich, denn er ist ein Scheitelwinkel des Außenwinkels. Zusammen ergeben die vier Winkel einen vollen Kreis. Wenn wir also Gamma plus Gamma plus Gamma Strich plus Gamma Strich rechnen, erhalten wir 360 Grad. Vereinfacht erhalten wir: 2 Gamma plus 2 Gamma Strich gleich 360 Grad. Wir könnten sogar noch weiter gehen. Fällt dir auf, dass alle Zahlen gerade sind? Wir können also die ganze Gleichung durch 2 teilen. So erhalten wir Gamma plus Gamma Strich gleich 180 Grad. Ein Außenwinkel und sein benachbarter Innenwinkel sind Nebenwinkel. Anders gesagt ist das hier ein gestreckter Winkel; also ein Winkel, dessen Halbgeraden zusammen eine Gerade bilden, und gestreckte Winkel messen immer 180 Grad. Moira hat inzwischen ein Dreieck mit einem Innenwinkel von 110 Grad skizziert. Wie groß ist dann dieser Außenwinkel, den wir Gamma Strich nennen? Wir wissen, dass diese Winkel Nebenwinkel sind, also muss 110 Grad plus Gamma Strich gleich 180 Grad ergeben. Wir lösen nach Gamma Strich auf und erhalten für den Außenwinkel eine Größe von 70 Grad. Außenwinkel und ihre benachbarten Innenwinkel ergeben zusammen also stets 180 Grad. Schauen wir uns weitere Beziehungen von Winkeln in dieser Zeichnung an. Bezogen auf diesen Außenwinkel nennen wir diese beiden Winkel nichtanliegende Innenwinkel. Wie der Name schon sagt: Beide Winkel liegen innerhalb des Dreiecks und sie liegen nicht an der gleichen Seite wie der Außenwinkel an. Schauen wir uns ihre Beziehung an, indem wir uns zuerst ins Gedächtnis rufen, wie groß die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks ist. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt stets 180 Grad. Wenn wir uns die Kachel anschauen, die Moira auf Basis ihrer Zeichnung angefertigt hat, sehen wir, dass dieser 110-Grad-Winkel plus diese zwei nichtanliegenden Innenwinkel zusammen 180 Grad ergeben. Das sehen wir, wenn wir diese beiden nichtanliegenden Innenwinkel heraustrennen und sie nebeneinander platzieren. Hast du bemerkt, dass die beiden nichtanliegenden Innenwinkel zusammen genau so groß sind wie der Außenwinkel? Diesen Umstand können wir nutzen, um Winkel im Dreieck zu berechnen. Zum Beispiel Alpha in dieser Zeichnung. Wir haben hier einen Außenwinkel von 100 Grad und zwei nichtanliegende Innenwinkel mit den Größen 55 Grad und Alpha. Die Größe des Außenwinkels ist gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel, 100 Grad ist also gleich 55 Grad plus Alpha. Durch Subtraktion erhalten wir für Alpha 45 Grad. Die besonderen Beziehungen zwischen Außen- und Innenwinkeln helfen Moira dabei, ihr Mosaik zu kreieren. Aber bevor sie ihr Meisterwerk enthüllt, wiederholen wir sie noch rasch. Zunächst einmal die Namen der Winkel. Die Winkel auf der Innenseite eines Dreiecks heißen Innenwinkel. Ihre Summe beträgt stets 180 Grad. Ein Außenwinkel ist jeder Winkel, der zwischen einer Seite einer Figur und der Verlängerung einer weiteren Seite liegt. Die Summe eines Außenwinkels und seines benachbarten Innenwinkels beträgt ebenfalls 180 Grad. Für diesen Außenwinkel sind die beiden nichtanliegende Innenwinkel die Winkel, die nicht an der gleichen Seite wie der Außenwinkel anliegen. Ein Außenwinkel ist so groß wie die Summe seiner beiden nichtanliegende Innenwinkel. So der große Moment ist gekommen. Moira enthüllt ihren Beitrag für "Verschönert eure Stadt". Moira hat die Stadt wohl schon ganz durch sich selbst verschönert. Jetzt bekommen sie etwas mehr Moira, als ihnen lieb ist.

5 Kommentare
  1. Danke

    Von Moustafa E., vor 7 Monaten
  2. Hallo Moustafa, versuch mal dieses Video:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/inkreis-und-umkreis-von-dreiecken-ueberblick?launchpad=video
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 7 Monaten
  3. Mega Video!
    Gibt es aber auch noch Videos zu außen-/innenkreis

    Von Moustafa E., vor 7 Monaten
  4. echt suba

    Von Ic Hbin Che Fhier, vor 8 Monaten
  5. Dieses Video ist der Hammer
    am Anfang in der Schule habe ich das mit neben Winkel und und Scheitel Winkel nicht verstanden aber jetzt dank dem Video Habe ich das vestanden
    Danke

    Von Wildes B., vor 9 Monaten

Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Winkelgröße.

    Tipps

    Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist genauso groß wie die Summe eines Innenwinkels und des ihm anliegenden Außenwinkels.

    Es gibt kein Dreieck mit den Winkelgrößen $30^\circ$, $40^\circ$ und $50^\circ$, da $30^\circ + 40^\circ +50^\circ = 120^\circ \neq 180^\circ$.

    Der einem Außenwinkel $\gamma'=120^\circ$ anliegende Innenwinkel hat die Winkelgröße $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

    Lösung

    Die Summe der Innenwinkel beträgt in jedem Dreieck stets $180^\circ$. Du kannst diesen Sachverhalt ausnutzen, um fehlende Winkelgrößen auszurechnen. Auch die Summe eines Innenwinkels und des ihm anliegenden Außenwinkels beträgt stets $180^\circ$. Zusammen kannst du beide Sachverhalte verwenden, um alle fehlenden Winkelgrößen in diesem Dreieck zu berechnen:

    Das Dreieck im Bild hat einen Außenwinkel der Größe $100^\circ$. Der diesem Außenwinkel anliegende Innenwinkel hat daher die Winkelgröße $180^\circ -100^\circ =80^\circ$. Du kennst jetzt die Winkelgrößen von zwei der drei Innenwinkeln des Dreiecks, nämlich den vorgegebenen Innenwinkel $55^\circ$ und den eben ausgerechneten Innenwinkel $80^\circ$.

    Der Winkel $\alpha$ in dem Dreieck im Bild ist der dritte Innenwinkel. Seine Winkelgröße kannst du aus der Innenwinkelsumme und den beiden anderen Innenwinkeln ausrechnen:

    $\alpha = 180^\circ-55^\circ -80^\circ =45^\circ$

    Du kannst auch die Winkelgrößen der beiden übrigen Außenwinkel berechnen: Der dem Innenwinkel $\alpha$ anliegende Außenwinkel $\alpha'$ hat die Winkelgröße:

    $\alpha' = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

    Der dem Innenwinkel $55^\circ$ anliegende Außenwinkel hat die Winkelgröße:

    $180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

  • Beschreibe die Winkel an einem Dreieck.

    Tipps

    Ein Schenkel des Außenwinkels ist eine Seite des Dreiecks.

    An allen Eckpunkten des Dreiecks zusammen sind $12$ Winkel zu sehen.

    Scheitelwinkel sind stets gleich groß.

    Lösung

    Ein Dreieck besteht aus drei Punkten, die durch Strecken miteinander verbunden sind. Die Punkte heißen Eckpunkte des Dreiecks, die Strecken sind die Seiten. Zwischen den Seiten entstehen jeweils die Innenwinkel des Dreiecks. Verlängerst du die Strecken zu Geraden, so entstehen außerhalb des Dreiecks weitere Winkel. Nicht jeder Winkel außerhalb des Dreiecks heißt Außenwinkel. Denn ein Außenwinkel ist ein Winkel außerhalb des Dreiecks, der durch eine Dreiecksseite und die Verlängerung einer anderen Dreiecksseite gebildet wird und daher einer Seite des Dreiecks anliegt.

    Verlängerst du die Dreiecksseiten zu Geraden, so entstehen an jedem Eckpunkt des Dreiecks vier Winkel. Da ein Dreieck drei Ecken hat, sind es insgesamt zwölf solcher Winkel. Drei dieser Winkel heißen Innenwinkel, sie liegen im Innern des Dreiecks. Von den übrigen Winkeln heißen sechs Außenwinkel. Die restlichen drei Winkel sind die Scheitelwinkel der Innenwinkel. Man nennt sie auch Gegenwinkel der Innenwinkel.

    Der Innenwinkel $\gamma$ liegt zwei Seiten des Dreiecks an. Die beiden Außenwinkel sind im Bild mit $\gamma'$ und $\gamma'$ bezeichnet. Sie liegen jeweils nur einer Seite des Dreiecks an. Die beiden Außenwinkel sind Scheitelwinkel voneinander und sind daher gleich groß.

    Der Winkel $\gamma$, den du im Bild oben in der Mitte siehst, liegt außerhalb des Dreiecks und liegt keiner Seite des Dreiecks an. Er ist daher kein Außenwinkel des Dreiecks. Aber er ist ein Scheitelwinkel oder Gegenwinkel des Innenwinkels $\gamma$ und daher gleich groß.

  • Bestimme die Winkelgrößen.

    Tipps

    Ein Innenwinkel und der ihm anliegende Außenwinkel sind Nebenwinkel voneinander, d.h. sie ergänzen einander zu einem gestreckten Winkel.

    Der gestreckte Winkel hat die Winkelgröße $180^\circ$.

    Ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha =30^\circ$, $\beta = 60^\circ$ und $\gamma = 90^\circ$ hat die Außenwinkel $\alpha' = 150^\circ$, $\beta' = 120^\circ$ und $\gamma' = 90^\circ$.

    Lösung

    In einem Dreieck heißen die von den Seiten gebildeten Winkel, die im Innern des Dreiecks liegen, Innenwinkel des Dreiecks. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt stets $180^\circ$.

    Jedem Innenwinkel eines Dreiecks liegt ein Winkel außerhalb des Dreiecks genau gegenüber. Dieser Winkel heißt Gegenwinkel oder Scheitelwinkel des Innenwinkels. Zwei Winkel, die Gegenwinkel bzw. Scheitelwinkel voneinander sind, haben stets dieselbe Winkelgröße.

    Außerhalb des Dreiecks liegen auch die Außenwinkel: Jeder Außenwinkel wird von zwei Seiten des Dreiecks gebildet, genauer von einer Seite des Dreiecks und der Verlängerung einer zweiten Seite. Jeder Außenwinkel liegt also genau einer Seite des Dreiecks an. Die Summe der Winkelgrößen eines Innen- und des zugehörigen Außenwinkels beträgt $180^\circ$.

    In dem Dreieck im Bild ist die Größe eines Innenwinkels gegeben, nämlich $110^\circ$, sowie die Winkelgröße des Scheitelwinkels eines Innenwinkels, nämlich $30^\circ$. Du kannst daher die Größe des Innenwinkels unten links erschließen, sie beträgt ebenfalls $30^\circ$. Der Innenwinkel unten rechts im Dreieck hat wegen der Innenwinkelsumme die Winkelgröße $180^\circ - 30^\circ -110^\circ = 40^\circ$. Der zugehörige Scheitelwinkel hat ebenfalls die Winkelgröße $40^\circ$.

    Die Übrigen sind noch die Außenwinkel: Die Außenwinkel unten links am Dreieck haben die Winkelgröße $180^\circ -30^\circ = 150^\circ$, die Außenwinkel unten rechts am Dreieck dagegen $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

  • Erschließe die Winkelgrößen.

    Tipps

    Die Dreiecke $\Delta_{ACB}$ und $\Delta_{ABD}$ sind rechtwinklig.

    Die Summe eines Innenwinkels und des ihm anliegenden Außenwinkels beträgt $180^\circ$.

    Lösung

    Im Bild siehst du zwei Dreiecke, die eine Seite gemeinsam haben. Beide Dreiecke sind rechtwinklig und die gemeinsame Seite liegt jeweils dem rechten Winkel gegenüber. Du kannst die fehlenden Winkelgrößen mit der Innenwinkelsumme und der Eigenschaft, dass einander anliegende Innen- und Außenwinkel Nebenwinkel voneinander sind, berechnen.

    Im Dreieck $\Delta_{ACB}$ hat der Innenwinkel bei $C$ die Winkelgröße $\gamma =90^\circ$, denn er ist als rechter Winkel gekennzeichnet. Der Winkel bei $B$ in diesem Dreieck hat die Winkelgröße:

    $\beta =180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 50^\circ - 90^\circ =40^\circ$

    Beide dem Innenwinkel $\gamma$ anliegenden Außenwinkel haben jeweils die Winkelgröße $\gamma'=180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, denn einander anliegende Innen- und Außenwinkel sind jeweils Nebenwinkel, d.h. ihre Winkelgrößen addieren sich zu $180^\circ$. Analog hat jeder Außenwinkel zu $\alpha$ die Winkelgröße $\alpha'=130^\circ$ und jeder Außenwinkel zu $\beta$ die Winkelgröße $\beta'=140^\circ$.

    In dem zweiten Dreieck $\Delta_{ABD}$ hat der rechte Winkel bei $D$ die Winkelgröße $\theta =90^\circ$. Der Innenwinkel bei $A$ hat die resultierende Winkelgröße $\eta =180^\circ - 20^\circ - 90^\circ =70^\circ$.

    Die Außenwinkel zu $\delta$ haben die Winkelgröße $\delta'=180^\circ - \delta = 160^\circ$, die Außenwinkel zu $\eta$ die Winkelgröße $\eta'=180^\circ - \eta =110^\circ$ und die Außenwinkel zu $\theta$ die Winkelgröße $\theta'=180^\circ - \theta = 90^\circ$.

  • Beschrifte die Winkel.

    Tipps

    Der am Scheitelpunkt einem Innenwinkel gegenüberliegende Winkel heißt Scheitelwinkel.

    Jeder Außenwinkel liegt außerhalb vom Dreieck einer Dreiecksseite an.

    Wechselwinkel treten nur bei Parallelen auf.

    Lösung

    Jeder Winkel im Innern eines Dreiecks, der durch zwei Seiten des Dreiecks gebildet wird, heißt Innenwinkel des Dreiecks. Die Außenwinkel sind genau diejenigen Winkel, die durch eine Dreiecksseite und die Verlängerung einer weiteren Dreiecksseite gebildet werden. Jeder Außenwinkel liegt daher außerhalb des Dreiecks einer Dreiecksseite an. Diejenigen Winkel, die nur durch zwei verlängerte Dreiecksseiten gebildet werden, haben als Scheitelpunkt einen Eckpunkt des Dreiecks und liegen keiner Seite des Dreiecks an. Sie liegen aber je einem Innenwinkel gegenüber, der denselben Scheitelpunkt hat. Man nennt diese Winkel Scheitelwinkel.

    Stufenwinkel und Wechselwinkel haben nicht denselben Scheitelpunkt. Sie treten nur auf, wo zwei parallele Geraden von einer weiteren, nicht parallelen Gerade geschnitten werden. Dies ist bei den Geraden eines Dreiecks nicht der Fall.

  • Analysiere die Bilder und ihre Beschriftungen.

    Tipps

    Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180^\circ$, die Summe eines Innenwinkels und des zugehörigen Außenwinkels beträgt ebenfalls $180^\circ$.

    Bestimme die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks.

    Lösung

    Winkel, die einander an ihrem Scheitelpunkt gegenüberliegen und durch dieselben Geraden gebildet werden, sind Scheitelwinkel oder Gegenwinkel voneinander und daher gleich groß. Einander anliegende Innen- und Außenwinkel sind Nebenwinkel voneinander, d.h. die Summe ihrer Winkelgrößen beträgt $180^\circ$. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt stets $180^\circ$. Die Winkelgröße eines Außenwinkels stimmt mit der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel überein, denn sowohl diese Summe als auch jener Außenwinkel ergänzen jeweils den dritten Innenwinkel zu $180^\circ$.

    • Das Bild mit den vier Winkeln an einem Eckpunkt ist falsch, denn die Winkelsumme beträgt $350^\circ$ und die Scheitelwinkel sind verschieden groß bezeichnet.
    • Das Bild mit einem Außenwinkel $75^\circ$ und dem anliegenden Innenwinkel $110^\circ$ ist falsch, denn die Winkelsumme beträgt $110^\circ + 75^\circ = 185^\circ \neq 180^\circ$.
    • Ein Bild zeigt ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha=30^\circ$ und $\beta = 40^\circ$ und $\gamma =110^\circ$. Der Außenwinkel $\gamma'$ zu $\gamma$ ist mit $80^\circ$ bezeichnet. Die Winkelgröße dieses Außenwinkels stimmt daher nicht mit der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel überein: $80^\circ \neq 30^\circ + 40^\circ$. Daher ist dieses Bild falsch.
    • Ein Bild zeigt ein Dreieck, bei dem die Außenwinkel mit $125^\circ$ und $145^\circ$ und $70^\circ$ bezeichnet sind. Die zugehörigen Innenwinkel müssten dann $180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$ und $180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$ und $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ betragen. Die Innenwinkelsumme wäre dann $55^\circ + 35^\circ + 110^\circ = 200^\circ \neq 180^\circ$. Dieses Bild ist daher auch falsch.
    Alle anderen Bilder sind korrekt.