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Innenwinkelsummen von Dreiecken

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Team Digital

Innenwinkelsummen von Dreiecken

lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Innenwinkelsummen von Dreiecken

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, über die Innenwinkelsumme von Dreiecken einen fehlenden Winkel eines Dreiecks zu bestimmen.

Zunächst lernst du, dass die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks genau 180 Grad beträgt. Anschließend siehst du, wie du diese Tatsache rechnerisch beweisen kannst. Abschließend lernst du, wie du mit Hilfe der Innenwinkelsumme von Dreiecken einen fehlenden Winkel eines Dreiecks berechnen kannst.

Lerne etwas über die Innenwinkelsumme von Dreiecken, indem du die Forscherin Philgonia Eckstein bei ihren Forschungen im Reich Polygonien unterstützt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Innenwinkelsumme von Dreiecken, rechter Winkel, spitzer Winkel, stumpfer Winkel, Wechselwinkel, gestrickter Winkel und 180 Grad.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Arten von Dreiecken es gibt und wie du einen Winkel misst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Beziehungen für die Berechnung an Dreiecken zu lernen.

Transkript Innenwinkelsummen von Dreiecken

Das geheimnisvolle Polygonien ist eine ganz eigene Welt. Ihre Flora und Fauna hat eine ganz besondere Eigenart herausgebildet: Jedes Lebewesen dort hat die Form eines Vielecks! Die Forscherin Philgonia Eckstein ist dort unterwegs. Sie ist nämlich promovierte Professorin der Polygonologie. Besonders Dreiecke haben es ihr angetan. Sie führt gerade eine Expedition auf der Insel durch, um Dreiecke zu finden, zu untersuchen und zu vermessen. Dreiecke kann man dort überall finden: Sie krabbeln unter Steinen und streifen durch die Wälder. Spitzwinklige Dreiecke hangeln sich in den Bäumen von Ast zu Ast. Eine Herde rechtwinkliger Dreiecke grast friedlich auf den Bergwiesen umsummt von einem Schwarm stumpfwinkliger Dreiecke. Bei ihren Forschungen untersucht Philgonia Eckstein die Innenwinkelsummen von Dreiecken. Alle Dreiecke haben natürlich 3 Ecken und 3 Seiten aber haben sie sonst noch eine Gemeinsamkeit? Philgonia breitet die eingefangenen Dreiecke vor sich aus, misst ihre Innenwinkel und errechnet anschließend die Innenwinkelsumme. Bei diesem Dreieck beträgt der erste Innenwinkel 45°, der zweite 50° und der dritte 85°. Für die Innenwinkelsumme werden alle Innenwinkel addiert: 45° plus 50° plus 85° ergibt 180°. Die Innenwinkelsumme beträgt also 180°. Auch dieses gleichschenklige Dreieck misst Philgonia aus: Für den ersten und zweiten Winkel misst sie jeweils 30°, für den dritten sind es 120°. Sie berechnet die Innenwinkelsumme: 30° plus 30° plus 120° ergibt wieder 180°. Mmh, ist das ein Zufall? Das dritte Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die beiden anderen Winkel sind 40° beziehungsweise 50°. 90° plus 40° plus 50° ergibt wieder 180°! Dieses Dreieck zappelt heftig herum, Philgonia kann gar nicht richtig messen. Aber sie hat so eine Ahnung, dass seine Innenwinkelsumme sowieso wieder 180° sein wird. Beträgt die Innenwinkelsumme wirklich bei jedem Dreieck 180°? Ja, tatsächlich! Und wir können auch zeigen, warum das so ist. Dazu betrachten wir ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C und den Winkeln Alpha, Beta und Gamma. Nun zeichnen wir eine Parallele zur Strecke A durch den Punkt C. Am Punkt C befindet sich der Winkel Gamma; links und rechts daneben sind zwei weitere Winkel entstanden. Diese beiden Winkel sind die Wechselwinkel von Alpha und Beta. Weil Wechselwinkel immer gleich groß sind, können wir diese Winkel auch Alpha beziehungsweise Beta nennen. Am Punkt C siehst du nun alle drei Innenwinkel des Dreiecks nebeneinander: Alpha, Gamma und Beta. Da sie an dieser Geraden anliegen ergeben sie zusammen einen gestreckten Winkel. Und der beträgt 180°. Weil wir am Anfang von einem beliebigen Dreieck ausgegangen sind - dem wir keine speziellen Eigenschaften vorgegeben haben - ist das bei jedem Dreieck so! Die Innenwinkelsumme von jedem Dreieck beträgt 180°. Schauen wir uns das zappelige Dreieck von Philgonia an: Als gewiefte Polygonologin kennt sie die Tricks, um Dreiecke ruhig zu stellen. Seine Winkel betragen 65°, 30° und 85°. In der Summe sind es wieder 180°. Das ist jetzt keine Überraschung mehr, nicht wahr? Philgonia muss in Zukunft also nur noch zwei von drei Winkeln ausmessen, was die Arbeit bei diesen zappeligen Dreiecken ja sehr vereinfacht. Bei diesem Dreieck hat sie 56° und 44° gemessen. Sie weiß, dass 56° und 44° mit dem dritten Winkel Gamma zusammen 180° ergeben müssen. Daher zieht sie auf beiden Seiten die Summe aus 56° und 44° ab. Das ergibt 180° minus 100°. Also beträgt der dritte Winkel 80°. Während Philgonia ihre Forschung abschließt, fassen wir zusammen: Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Innenwinkel. Alle Dreiecke haben immer eine Innenwinkelsumme von 180°. Hast du zwei Winkel eines Dreiecks gegeben, zum Beispiel Alpha und Beta, dann kannst du den unbekannten Winkel, hier ist das Gamma, immer ausrechnen. Dazu rechnest du 180° minus die Summe der beiden bekannten Winkel. Hinweis: Philgonia Ecksteins Forschung unterliegt der strengen Kontrolle des Polygonschutzbundes. Bei diesem Video sind keine Dreiecke zu Schaden gekommen.

21 Kommentare

21 Kommentare
  1. Hallo Jenna, der oberste Winkel sind etwas weniger als 90°, das kannst Du auch mit dem Geodreieck überprüfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Monat
  2. Ist bei 1:32 min der oberste Winkel nicht 90°?

    Von Jenna R., vor etwa einem Monat
  3. Gut erklärt hatte ne 2 in der Ex

    Von C Glocker, vor etwa 2 Monaten
  4. Sehr gut erklärt 👍🏻👍🏻☺️

    Von Antigona Halimi, vor etwa 2 Monaten
  5. toll erklärt

    Von Kieksi69, vor 4 Monaten
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Innenwinkelsummen von Dreiecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Innenwinkelsummen von Dreiecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Innenwinkel der gegebenen Dreiecke.

    Tipps

    Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks mit den Innenwinkeln $\alpha= 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$ und $\gamma=90^\circ$ ist $180^\circ$.

    Übertrage die Innenwinkel aus dem Bild in die Lücken. Die Winkel findest du in folgenden Eckpunkten:

    • $\alpha$ bei $A$,
    • $\beta$ bei $B$ und
    • $\gamma$ bei $C$.

    Zähle alle Innenwinkel zur Innenwinkelsumme zusammen.

    Lösung

    Die Innenwinkel eines Dreiecks sind die Winkel im Inneren des Dreiecks an den drei Ecken. Die Ecken werden mit $A$, $B$ und $C$ bezeichnet. Der Innenwinkel bei der Ecke $A$ heißt $\alpha$, der Innenwinkel bei der Ecke $B$ heißt $\beta$, der bei der Ecke $C$ schließlich heißt $\gamma$.

    Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist die Summe der Innenwinkel des Dreiecks. Zur Berechnung der Innenwinkelsumme werden die Innenwinkel addiert.

    1. Dreieck: Die Innenwinkel des Dreiecks sind $\alpha=45^\circ$, $\beta=50^\circ$ und $\gamma=85^\circ$. Die Innenwinkelsumme ist die Summe dieser Innenwinkel, also:

    $45^\circ + 50^\circ + 85^\circ =180^\circ$.

    2. Dreieck: Hier betragen die Innenwinkel $\alpha= 30^\circ$, $\beta=120^\circ$ und $\gamma=30^\circ$. Da zwei der Innenwinkel gleich sind, der dritte aber nicht, ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

    Die Innenwinkelsumme dieses Dreiecks ist:

    $30^\circ + 120^\circ+ 30^\circ = 180^\circ$.

    3. Dreieck: Dieses Dreieck ist rechtwinklig, d.h., einer der Winkel ist $90^\circ$. Die beiden anderen Winkel sind $\beta= 50^\circ$ und $\gamma=40^\circ$. Die Winkelsumme dieses Dreiecks beträgt:

    $90^\circ + 50^\circ+ 40^\circ = 180^\circ$.

  • Bestimme den fehlenden Innenwinkel.

    Tipps

    Ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha= 45^\circ$ und $\beta = 35^\circ$ hat als dritten Innenwinkel $\gamma=100^\circ$.

    Die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt $180^\circ$.

    Bestimme den Innenwinkel $\gamma$ mit der Formel:

    $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

    Lösung

    Philgonia hat herausgefunden, dass bei jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ immer $180^\circ$ beträgt. Also stellt sie die Gleichung für die Innenwinkelsumme nach dem fehlenden Winkel $\gamma$ wie folgt um:

    $\begin{array}{llll} \alpha + \beta + \gamma &=& 180^\circ & \vert -\alpha \\ \beta + \gamma &=& 180^\circ -\alpha & \vert -\beta \\ \gamma &=& 180^\circ - \alpha - \beta \end{array}$

    Mit dieser Formel kann Philgonia jeweils den dritten Winkel ausrechnen und erhält folgende Zuordnungen:

    • $\alpha=45^\circ$, $\beta = 50^\circ$, $\gamma=85^\circ$
    • $\alpha=30^\circ$, $\beta=120^\circ$, $\gamma=30^\circ$
    • $\alpha = 40^\circ$, $\beta=90^\circ$, $\gamma=50^\circ$
    • $\alpha = 30^\circ$, $\beta=30^\circ$, $\gamma = 120^\circ$
    • $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 85^\circ$, $\gamma= 65^\circ$
    • $\alpha = 56^\circ$, $\beta = 44^\circ$, $\gamma=80^\circ$
  • Analysiere die Aussagen über Innenwinkel.

    Tipps

    Addiert man bei einem Dreieck die verdoppelten Innenwinkel, so erhält man $360^\circ$.

    Ist ein Innenwinkel eines Dreiecks kleiner als $90^\circ$, so ist die Summe der beiden anderen Innenwinkel größer als $90^\circ$.

    Es gibt kein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha = 70^\circ$, $\beta = 80^\circ$ und $\gamma=90^\circ$.

    Lösung

    Die Summe der Innenwinkel beträgt in jedem Dreieck $180^\circ$. Aus dieser Tatsache lassen sich viele Aussagen über die Innenwinkel folgern. Z.B. kann man die Formel $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ nach $\gamma$ auflösen und erhält:

    $\gamma= 180^\circ - \alpha - \beta$.

    So kann man den dritten Innenwinkel $\gamma$ aus den gegebenen Innenwinkeln $\alpha$ und $\beta$ ausrechnen. Nun zu den Aussagen im Einzelnen:

    Richtig sind folgende Aussagen:

    • „In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$.“ Denn die Summe der beiden anderen Winkel ist $180^\circ-90^\circ$. Da die beiden fehlenden Winkel in der Summe $90^\circ$ ergeben, muss jeder der beiden Winkel kleiner als $90^\circ$ sein.
    • „In einem stumpfwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$.“ Ein stumpfer Winkel $\alpha$ ist größer als $90^\circ$. Die Summe $\beta + \gamma$ muss dann kleiner als $90^\circ$ sein, damit $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ gilt.
    • „Kennt man die Winkel $\alpha$ und $\beta$ eines Dreiecks, so kann man den Winkel $\gamma$ ausrechnen.“ Die Formel lautet: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.
    • „Sind die Innenwinkel eines Dreiecks $\alpha = 40^\circ$ und $\beta=50^\circ$, so ist das Dreieck rechtwinklig.“ Nach der Formel für den dritten Innenwinkel gilt $\gamma = 180^\circ - 40^\circ - 50^\circ = 90^\circ$.
    Folgende Aussagen dagegen sind falsch:

    • „Die Innenwinkelsumme eines rechtwinkligen Dreiecks ist $90^\circ$.“ Die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks beträgt $180^\circ$.
    • „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$.“ Ist $\alpha = 90^\circ$, so ist $\beta + \gamma = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Die Summe ist also nicht kleiner als $90^\circ$, sondern gleich $90^\circ$.
    • „Es gibt ein Dreieck mit Innenwinkeln $30^\circ$, $40^\circ$ und $70^\circ$.“ Die Summe dieser drei Winkel beträgt $30^\circ + 40^\circ + 70^\circ = 140^\circ \neq 180^\circ$. Daher gibt es kein Dreieck mit diesen drei Innenwinkeln.
  • Erschließe die Innenwinkel.

    Tipps

    In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel $180^\circ$.

    Ein Dreieck mit dem Winkel $\alpha = 90^\circ$ kann z.B. die weiteren Innenwinkel $\beta = 20^\circ$ und $\gamma = 70^\circ$ haben.

    Es gibt kein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha = 100^\circ$, $\beta = 10^\circ$ und $\gamma=60^\circ$.

    Lösung

    Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks beträgt $180^\circ$. Aus folgender Formel kann Philgonia die zusammengehörigen Winkel bestimmen:

    $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

    Es ergeben sich genau die folgenden Zuordnungen:

    $\alpha=90^\circ$, $\beta=40^\circ$, $\gamma=50^\circ$

    $\alpha=35^\circ$, $\beta=90^\circ$, $\gamma=55^\circ$

    $\alpha=75^\circ$, $\beta=28^\circ$, $\gamma=77^\circ$

    $\alpha=99^\circ$, $\beta=16^\circ$, $\gamma=65^\circ$

  • Bestimme die Art der Dreiecke.

    Tipps

    Ein rechtwinkliges Dreieck entsteht aus der Teilung eines Rechtecks längs der Diagonalen.

    In einem spitzwinkligen Dreieck ist jeder Winkel kleiner als $90^\circ$, also „spitz“.

    Stumpfwinklig heißt ein Dreieck mit einem Winkel größer als $90^\circ$, d.h. mit einem „stumpfen“ Winkel.

    Lösung

    Spitzwinklige Dreiecke erkennt man daran, dass alle drei Winkel spitz sind, d.h. kleiner als ein rechter Winkel.

    Rechtwinklige Dreiecke haben genau einen rechten Winkel, die beiden anderen Winkel sind spitz, d.h. kleiner als $90^\circ$.

    Stumpfwinklige Dreiecke haben genau einen stumpfen Winkel, d.h. einen Winkel, der größer ist als ein rechter Winkel; die anderen beiden Winkel sind spitz.

    Aus dieser Überlegung ergibt sich die richtige Zuordnung.

  • Analysiere die Beweisschritte.

    Tipps

    Der Innenwinkel $\beta$ des Vierecks ist die Summe der Innenwinkel $\beta_1$ und $\beta_2$ der beiden verschiedenen Dreiecke.

    Ein Fünfeck kann man in drei Dreiecke aufteilen. Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt daher $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

    Lösung

    Die Aufteilung des Vierecks mit den Ecken $A$, $B$, $C$ und $D$ längs der Diagonalen $\overline{BD}$ ergibt die zwei Dreiecke $\Delta_{ABD}$ und $\Delta_{BCD}$. Bei dieser Aufteilung werden die Innenwinkel $\beta$ und $\delta$ des Vierecks zerteilt. Es entstehen die neuen Innenwinkel $\beta_1$ und $\delta_2$ in dem Dreieck $\Delta_{ABD}$ sowie $\beta_2$ und $\delta_1$ in dem Dreieck $\Delta_{BCD}$.

    Die Winkel des Vierecks setzen sich aus den beiden durch die Teilung entstandenden Dreickswinkeln zusammen, d.h.

    $\beta= \beta_1 + \beta_2$ und $\delta = \delta_1 + \delta_2$.

    Die Innenwinkelsumme des Dreiecks $\Delta_{ABD}$ beträgt dann:

    $\alpha + \beta_1 + \delta_2 = 180^\circ$.

    In dem Dreieck $\Delta_{BCD}$ finden wir die Winkelsumme:

    $\gamma + \delta_1 + \beta_2 = 180^\circ$.

    Nun können wir die Innenwinkelsumme des Vierecks ausrechnen:

    $ \alpha + \underbrace{\beta_1 + \beta_2}_{=\beta} + \gamma + \underbrace{\delta_1 + \delta_2}_{=\delta}=360^\circ $.

    Analog kannst Du auch die Innenwinkelsumme eines Fünfecks ausrechnen: Du zerlegst du das Fünfeck mit geeigneten „Diagonalen“ in drei Dreiecke. Jedes Dreieck hat die Innenwinkelsumme $180^\circ$. Aus drei Dreiecken ergibt sich daher die Innenwinkelsumme des Fünfecks zu $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

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