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Innenwinkelsummen von Dreiecken

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Team Digital
Innenwinkelsummen von Dreiecken
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Innenwinkelsummen von Dreiecken

Inhalt

Was ist die Winkelsumme?

In Polygonien finden sich überall Dreiecke. Die Forscherin Philgonia Eckstein untersucht die Innenwinkelsumme der Dreiecke. In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was die Innenwinkelsumme ist. Jedes Dreiecke hat – wie der Name schon sagt – drei Ecken und außerdem drei Kanten, die die Ecken miteinander verbinden. Gibt es weitere Gemeinsamkeiten? Die Forscherin misst bei verschiedenen Dreiecken alle Innenwinkel und vergleicht sie miteinander. Schauen wir uns an, was sie herausgefunden hat.

Innenwinkel und Innenwinkelsumme – Definition und Erklärung

An jedem Eckpunkt eines Dreiecks bilden die beiden anliegenden Seiten des Dreiecks einen Winkel. Genauer gesagt sind es sogar zwei Winkel: Der eine der beiden Winkel liegt im Inneren des Dreiecks und heißt deswegen Innenwinkel. Der andere Winkel liegt außen am Dreieck und heißt Außenwinkel. Du kannst die Größe eines Winkels mit dem Geodreieck messen. Man sagt: Du bestimmst die Winkelgröße. Das Ergebnis ist eine Zahl, die du zusammen mit dem Gradzeichen $(^\circ)$ aufschreibst. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist nun die Summe der Winkelgrößen aller drei Innenwinkel. Manchmal spricht man auch nur von der Winkelsumme im Dreieck und meint damit ebenfalls die Summe der Innenwinkel.

Innenwinkelsumme – Beispiele

Philgonia Eckstein hat ein Dreieck gefunden, dessen Innenwinkel die Winkelgrößen $45^\circ$ und $50^\circ$ und $85^\circ$ haben.

Innenwinkel von Dreiecken

Die Innenwinkelsumme dieses Dreiecks beträgt:

$45^\circ + 50^\circ + 85^\circ = 180^\circ$

Das nächste Beispiel ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die beiden ersten Winkel haben beide die Winkelgröße $30^\circ$. Der dritte Winkel misst $120^\circ$. Die Winkelsumme beträgt also:

$30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$

Die Innenwinkelsumme beider Dreiecke ist dieselbe! Philgonia Eckstein hegt einen Verdacht: Die Innenwinkelsumme aller Dreiecke ist gleich, sie beträgt immer genau $180^\circ$ – egal wie das Dreieck aussieht. Zur Überprüfung ihres Verdachts misst sie ein weiteres Dreieck aus. Hierbei handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Die beiden anderen Winkel haben die Winkelgrößen $40^\circ$ und $50^\circ$. Wieder berechnet Philgonia Eckstein die Innenwinkelsumme:

$90^\circ + 40^\circ + 50^\circ = 180^\circ$

Die Innenwinkelsumme eines beliebigen Dreiecks beträgt stets $180^\circ$.

Innenwinkelsumme – Beweis

Die Innenwinkelsumme eines beliebigen Dreiecks beträgt stets $180^\circ$. Wir können auch zeigen, warum das so ist. Dazu bezeichnen wir die Winkel mit den drei ersten Buchstaben des griechischen Alphabets: $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. Der Winkel $\alpha$ gehört zum Eckpunkt $A$, der Winkel $\beta$ zum Eckpunkt $B$ und der Winkel $\gamma$ zum Eckpunkt $C$. Nun ziehen wir eine Parallele zu der Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $C$. Rechts und links des Winkels $\gamma$ sind nun zwei weitere Winkel entstanden. Diese Winkel sind die Wechselwinkel von $\alpha$ und $\beta$. Da Wechselwinkel immer gleich groß sind, können wir diese Winkel ebenfalls mit $\alpha$ und $\beta$ bezeichnen.

Innenwinkelsumme Beweis

Am Punkt $C$ liegen nun die Winkel $\alpha$, $\gamma$ und $\beta$ aneinander. Außerdem liegen sie zusammen der Parallelen an, die wir durch den Punkt $C$ gezeichnet hatten. Ein Winkel, der einer Geraden anliegt, heißt gestreckter Winkel und hat die Winkelgröße $180^\circ$. Wir erhalten also aus der Zeichnung die Gleichung:

$\alpha + \gamma +\beta = 180^\circ$

Wir haben keine speziellen Eigenschaften für die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ vorgegeben, daher gilt diese Gleichung für jedes beliebige Dreieck. Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks beträgt also $180^\circ$.

Winkelsumme – Anwendung

Mithilfe der Innenwinkelsumme kannst du den dritten Winkel in einem Dreieck berechnen, wenn die beiden anderen bekannt sind. Ein Dreieck hat zum Beispiel die beiden Winkel $\alpha = 56^\circ$ und $\beta = 44^\circ$. Der Winkel $\gamma$ ist unbekannt. Schreiben wir zuerst die Gleichung der Winkelsumme auf:

$180^\circ = \alpha + \beta + \gamma = 56^\circ + 44^\circ + \gamma = 100^\circ + \gamma$

Wir können die Gleichung nach $\gamma$ auflösen und erhalten:

$\gamma =180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

Wie groß kann ein Winkel im Dreieck maximal sein?

Mithilfe der Winkelsumme kannst du diese Frage beantworten: Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180^\circ$, daher muss jeder einzelne Winkel kleiner als $180^\circ$ sein. Es gibt also keinen maximalen Winkel, aber kein Winkel eines Dreiecks kann größer als $180^\circ$ sein. Auf ähnliche Weise findest du auch heraus, dass ein Dreieck höchstens einen rechten Winkel haben kann: Beträgt der Winkel $\alpha = 90^\circ$, so ist $\beta+\gamma = 180^\circ -90^\circ = 90^\circ$. Die beiden anderen Winkel $\beta$ und $\gamma$ müssen also beide kleiner als $90^\circ$ sein. Ein Dreieck kann auch höchstens einen stumpfen Winkel haben. Ist nämlich $\alpha > 90^\circ$, so ist $\beta + \gamma = 190^\circ - \alpha < 90^\circ$. Die beiden Winkel $\beta$ und $\gamma$ müssen also spitze Winkel sein.

Dieses Video

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was die Innenwinkelsumme oder auch Winkelsumme im Dreieck ist. Du erfährst, wie du die Formel für die Winkelsumme benutzen kannst, um einen Winkel im Dreieck zu berechnen. Zu dem Video gibt es interaktive Aufgaben und ein Arbeitsblatt. Du kannst gleich mit den Übungen loslegen und dein neues Wissen ausprobieren.

Transkript Innenwinkelsummen von Dreiecken

Das geheimnisvolle Polygonien ist eine ganz eigene Welt. Ihre Flora und Fauna hat eine ganz besondere Eigenart herausgebildet: Jedes Lebewesen dort hat die Form eines Vielecks! Die Forscherin Philgonia Eckstein ist dort unterwegs. Sie ist nämlich promovierte Professorin der Polygonologie. Besonders Dreiecke haben es ihr angetan. Sie führt gerade eine Expedition auf der Insel durch, um Dreiecke zu finden, zu untersuchen und zu vermessen. Dreiecke kann man dort überall finden: Sie krabbeln unter Steinen und streifen durch die Wälder. Spitzwinklige Dreiecke hangeln sich in den Bäumen von Ast zu Ast. Eine Herde rechtwinkliger Dreiecke grast friedlich auf den Bergwiesen umsummt von einem Schwarm stumpfwinkliger Dreiecke. Bei ihren Forschungen untersucht Philgonia Eckstein die Innenwinkelsummen von Dreiecken. Alle Dreiecke haben natürlich 3 Ecken und 3 Seiten aber haben sie sonst noch eine Gemeinsamkeit? Philgonia breitet die eingefangenen Dreiecke vor sich aus, misst ihre Innenwinkel und errechnet anschließend die Innenwinkelsumme. Bei diesem Dreieck beträgt der erste Innenwinkel 45°, der zweite 50° und der dritte 85°. Für die Innenwinkelsumme werden alle Innenwinkel addiert: 45° plus 50° plus 85° ergibt 180°. Die Innenwinkelsumme beträgt also 180°. Auch dieses gleichschenklige Dreieck misst Philgonia aus: Für den ersten und zweiten Winkel misst sie jeweils 30°, für den dritten sind es 120°. Sie berechnet die Innenwinkelsumme: 30° plus 30° plus 120° ergibt wieder 180°. Mmh, ist das ein Zufall? Das dritte Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die beiden anderen Winkel sind 40° beziehungsweise 50°. 90° plus 40° plus 50° ergibt wieder 180°! Dieses Dreieck zappelt heftig herum, Philgonia kann gar nicht richtig messen. Aber sie hat so eine Ahnung, dass seine Innenwinkelsumme sowieso wieder 180° sein wird. Beträgt die Innenwinkelsumme wirklich bei jedem Dreieck 180°? Ja, tatsächlich! Und wir können auch zeigen, warum das so ist. Dazu betrachten wir ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C und den Winkeln Alpha, Beta und Gamma. Nun zeichnen wir eine Parallele zur Strecke A durch den Punkt C. Am Punkt C befindet sich der Winkel Gamma; links und rechts daneben sind zwei weitere Winkel entstanden. Diese beiden Winkel sind die Wechselwinkel von Alpha und Beta. Weil Wechselwinkel immer gleich groß sind, können wir diese Winkel auch Alpha beziehungsweise Beta nennen. Am Punkt C siehst du nun alle drei Innenwinkel des Dreiecks nebeneinander: Alpha, Gamma und Beta. Da sie an dieser Geraden anliegen ergeben sie zusammen einen gestreckten Winkel. Und der beträgt 180°. Weil wir am Anfang von einem beliebigen Dreieck ausgegangen sind - dem wir keine speziellen Eigenschaften vorgegeben haben - ist das bei jedem Dreieck so! Die Innenwinkelsumme von jedem Dreieck beträgt 180°. Schauen wir uns das zappelige Dreieck von Philgonia an: Als gewiefte Polygonologin kennt sie die Tricks, um Dreiecke ruhig zu stellen. Seine Winkel betragen 65°, 30° und 85°. In der Summe sind es wieder 180°. Das ist jetzt keine Überraschung mehr, nicht wahr? Philgonia muss in Zukunft also nur noch zwei von drei Winkeln ausmessen, was die Arbeit bei diesen zappeligen Dreiecken ja sehr vereinfacht. Bei diesem Dreieck hat sie 56° und 44° gemessen. Sie weiß, dass 56° und 44° mit dem dritten Winkel Gamma zusammen 180° ergeben müssen. Daher zieht sie auf beiden Seiten die Summe aus 56° und 44° ab. Das ergibt 180° minus 100°. Also beträgt der dritte Winkel 80°. Während Philgonia ihre Forschung abschließt, fassen wir zusammen: Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Innenwinkel. Alle Dreiecke haben immer eine Innenwinkelsumme von 180°. Hast du zwei Winkel eines Dreiecks gegeben, zum Beispiel Alpha und Beta, dann kannst du den unbekannten Winkel, hier ist das Gamma, immer ausrechnen. Dazu rechnest du 180° minus die Summe der beiden bekannten Winkel. Hinweis: Philgonia Ecksteins Forschung unterliegt der strengen Kontrolle des Polygonschutzbundes. Bei diesem Video sind keine Dreiecke zu Schaden gekommen.

32 Kommentare

32 Kommentare
  1. 👍

    Von Itslearning Nutzer 2535 407640, vor 29 Tagen
  2. 👍

    Von Herobrine(Minecraft Pro), vor etwa 2 Monaten
  3. Ich danke für so eine gute Erklärung. Den in Mathematik kenne ich mich nicht wirklich gut aus.

    Von Maxim B., vor 2 Monaten
  4. Ich versuche seit Stunden ein Video zu Winkelsumme im Dreieck zu finden. Allerdings finde ich keine Beispiele, die meiner Aufgabe im Schulbuch ähnelt. Dabei wurde ein Dreieck in zwei geteilt und nun muss ich Alpha und Betha berechnen. Ich bitte hiermit um ein Erklärvideo...

    Von Jessy, vor 5 Monaten
  5. Danke es hat mir sehr geholfen ich schreibe in einer Woche ne Arbeit 😃😃😃🤓

    Von Cathleen Noack, vor 5 Monaten
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Innenwinkelsummen von Dreiecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Innenwinkelsummen von Dreiecken kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Innenwinkel der gegebenen Dreiecke.

    Tipps

    Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks mit den Innenwinkeln $\alpha= 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$ und $\gamma=90^\circ$ ist $180^\circ$.

    Übertrage die Innenwinkel aus dem Bild in die Lücken. Die Winkel findest du in folgenden Eckpunkten:

    • $\alpha$ bei $A$,
    • $\beta$ bei $B$ und
    • $\gamma$ bei $C$.

    Zähle alle Innenwinkel zur Innenwinkelsumme zusammen.

    Lösung

    Die Innenwinkel eines Dreiecks sind die Winkel im Inneren des Dreiecks an den drei Ecken. Die Ecken werden mit $A$, $B$ und $C$ bezeichnet. Der Innenwinkel bei der Ecke $A$ heißt $\alpha$, der Innenwinkel bei der Ecke $B$ heißt $\beta$, der bei der Ecke $C$ schließlich heißt $\gamma$.

    Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist die Summe der Innenwinkel des Dreiecks. Zur Berechnung der Innenwinkelsumme werden die Innenwinkel addiert.

    1. Dreieck: Die Innenwinkel des Dreiecks sind $\alpha=45^\circ$, $\beta=50^\circ$ und $\gamma=85^\circ$. Die Innenwinkelsumme ist die Summe dieser Innenwinkel, also:

    $45^\circ + 50^\circ + 85^\circ =180^\circ$.

    2. Dreieck: Hier betragen die Innenwinkel $\alpha= 30^\circ$, $\beta=120^\circ$ und $\gamma=30^\circ$. Da zwei der Innenwinkel gleich sind, der dritte aber nicht, ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

    Die Innenwinkelsumme dieses Dreiecks ist:

    $30^\circ + 120^\circ+ 30^\circ = 180^\circ$.

    3. Dreieck: Dieses Dreieck ist rechtwinklig, d.h., einer der Winkel ist $90^\circ$. Die beiden anderen Winkel sind $\beta= 50^\circ$ und $\gamma=40^\circ$. Die Winkelsumme dieses Dreiecks beträgt:

    $90^\circ + 50^\circ+ 40^\circ = 180^\circ$.

  • Bestimme den fehlenden Innenwinkel.

    Tipps

    Ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha= 45^\circ$ und $\beta = 35^\circ$ hat als dritten Innenwinkel $\gamma=100^\circ$.

    Die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt $180^\circ$.

    Bestimme den Innenwinkel $\gamma$ mit der Formel:

    $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

    Lösung

    Philgonia hat herausgefunden, dass bei jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ immer $180^\circ$ beträgt. Also stellt sie die Gleichung für die Innenwinkelsumme nach dem fehlenden Winkel $\gamma$ wie folgt um:

    $\begin{array}{llll} \alpha + \beta + \gamma &=& 180^\circ & \vert -\alpha \\ \beta + \gamma &=& 180^\circ -\alpha & \vert -\beta \\ \gamma &=& 180^\circ - \alpha - \beta \end{array}$

    Mit dieser Formel kann Philgonia jeweils den dritten Winkel ausrechnen und erhält folgende Zuordnungen:

    • $\alpha=45^\circ$, $\beta = 50^\circ$, $\gamma=85^\circ$
    • $\alpha=30^\circ$, $\beta=120^\circ$, $\gamma=30^\circ$
    • $\alpha = 40^\circ$, $\beta=90^\circ$, $\gamma=50^\circ$
    • $\alpha = 30^\circ$, $\beta=30^\circ$, $\gamma = 120^\circ$
    • $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 85^\circ$, $\gamma= 65^\circ$
    • $\alpha = 56^\circ$, $\beta = 44^\circ$, $\gamma=80^\circ$
  • Analysiere die Aussagen über Innenwinkel.

    Tipps

    Addiert man bei einem Dreieck die verdoppelten Innenwinkel, so erhält man $360^\circ$.

    Ist ein Innenwinkel eines Dreiecks kleiner als $90^\circ$, so ist die Summe der beiden anderen Innenwinkel größer als $90^\circ$.

    Es gibt kein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha = 70^\circ$, $\beta = 80^\circ$ und $\gamma=90^\circ$.

    Lösung

    Die Summe der Innenwinkel beträgt in jedem Dreieck $180^\circ$. Aus dieser Tatsache lassen sich viele Aussagen über die Innenwinkel folgern. Z.B. kann man die Formel $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ nach $\gamma$ auflösen und erhält:

    $\gamma= 180^\circ - \alpha - \beta$.

    So kann man den dritten Innenwinkel $\gamma$ aus den gegebenen Innenwinkeln $\alpha$ und $\beta$ ausrechnen. Nun zu den Aussagen im Einzelnen:

    Richtig sind folgende Aussagen:

    • „In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$.“ Denn die Summe der beiden anderen Winkel ist $180^\circ-90^\circ$. Da die beiden fehlenden Winkel in der Summe $90^\circ$ ergeben, muss jeder der beiden Winkel kleiner als $90^\circ$ sein.
    • „In einem stumpfwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$.“ Ein stumpfer Winkel $\alpha$ ist größer als $90^\circ$. Die Summe $\beta + \gamma$ muss dann kleiner als $90^\circ$ sein, damit $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ gilt.
    • „Kennt man die Winkel $\alpha$ und $\beta$ eines Dreiecks, so kann man den Winkel $\gamma$ ausrechnen.“ Die Formel lautet: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.
    • „Sind die Innenwinkel eines Dreiecks $\alpha = 40^\circ$ und $\beta=50^\circ$, so ist das Dreieck rechtwinklig.“ Nach der Formel für den dritten Innenwinkel gilt $\gamma = 180^\circ - 40^\circ - 50^\circ = 90^\circ$.
    Folgende Aussagen dagegen sind falsch:

    • „Die Innenwinkelsumme eines rechtwinkligen Dreiecks ist $90^\circ$.“ Die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks beträgt $180^\circ$.
    • „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$.“ Ist $\alpha = 90^\circ$, so ist $\beta + \gamma = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Die Summe ist also nicht kleiner als $90^\circ$, sondern gleich $90^\circ$.
    • „Es gibt ein Dreieck mit Innenwinkeln $30^\circ$, $40^\circ$ und $70^\circ$.“ Die Summe dieser drei Winkel beträgt $30^\circ + 40^\circ + 70^\circ = 140^\circ \neq 180^\circ$. Daher gibt es kein Dreieck mit diesen drei Innenwinkeln.
  • Erschließe die Innenwinkel.

    Tipps

    In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel $180^\circ$.

    Ein Dreieck mit dem Winkel $\alpha = 90^\circ$ kann z.B. die weiteren Innenwinkel $\beta = 20^\circ$ und $\gamma = 70^\circ$ haben.

    Es gibt kein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha = 100^\circ$, $\beta = 10^\circ$ und $\gamma=60^\circ$.

    Lösung

    Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks beträgt $180^\circ$. Aus folgender Formel kann Philgonia die zusammengehörigen Winkel bestimmen:

    $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

    Es ergeben sich genau die folgenden Zuordnungen:

    $\alpha=90^\circ$, $\beta=40^\circ$, $\gamma=50^\circ$

    $\alpha=35^\circ$, $\beta=90^\circ$, $\gamma=55^\circ$

    $\alpha=75^\circ$, $\beta=28^\circ$, $\gamma=77^\circ$

    $\alpha=99^\circ$, $\beta=16^\circ$, $\gamma=65^\circ$

  • Bestimme die Art der Dreiecke.

    Tipps

    Ein rechtwinkliges Dreieck entsteht aus der Teilung eines Rechtecks längs der Diagonalen.

    In einem spitzwinkligen Dreieck ist jeder Winkel kleiner als $90^\circ$, also „spitz“.

    Stumpfwinklig heißt ein Dreieck mit einem Winkel größer als $90^\circ$, d.h. mit einem „stumpfen“ Winkel.

    Lösung

    Spitzwinklige Dreiecke erkennt man daran, dass alle drei Winkel spitz sind, d.h. kleiner als ein rechter Winkel.

    Rechtwinklige Dreiecke haben genau einen rechten Winkel, die beiden anderen Winkel sind spitz, d.h. kleiner als $90^\circ$.

    Stumpfwinklige Dreiecke haben genau einen stumpfen Winkel, d.h. einen Winkel, der größer ist als ein rechter Winkel; die anderen beiden Winkel sind spitz.

    Aus dieser Überlegung ergibt sich die richtige Zuordnung.

  • Analysiere die Beweisschritte.

    Tipps

    Der Innenwinkel $\beta$ des Vierecks ist die Summe der Innenwinkel $\beta_1$ und $\beta_2$ der beiden verschiedenen Dreiecke.

    Ein Fünfeck kann man in drei Dreiecke aufteilen. Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt daher $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

    Lösung

    Die Aufteilung des Vierecks mit den Ecken $A$, $B$, $C$ und $D$ längs der Diagonalen $\overline{BD}$ ergibt die zwei Dreiecke $\Delta_{ABD}$ und $\Delta_{BCD}$. Bei dieser Aufteilung werden die Innenwinkel $\beta$ und $\delta$ des Vierecks zerteilt. Es entstehen die neuen Innenwinkel $\beta_1$ und $\delta_2$ in dem Dreieck $\Delta_{ABD}$ sowie $\beta_2$ und $\delta_1$ in dem Dreieck $\Delta_{BCD}$.

    Die Winkel des Vierecks setzen sich aus den beiden durch die Teilung entstandenden Dreickswinkeln zusammen, d.h.

    $\beta= \beta_1 + \beta_2$ und $\delta = \delta_1 + \delta_2$.

    Die Innenwinkelsumme des Dreiecks $\Delta_{ABD}$ beträgt dann:

    $\alpha + \beta_1 + \delta_2 = 180^\circ$.

    In dem Dreieck $\Delta_{BCD}$ finden wir die Winkelsumme:

    $\gamma + \delta_1 + \beta_2 = 180^\circ$.

    Nun können wir die Innenwinkelsumme des Vierecks ausrechnen:

    $ \alpha + \underbrace{\beta_1 + \beta_2}_{=\beta} + \gamma + \underbrace{\delta_1 + \delta_2}_{=\delta}=360^\circ $.

    Analog kannst Du auch die Innenwinkelsumme eines Fünfecks ausrechnen: Du zerlegst du das Fünfeck mit geeigneten „Diagonalen“ in drei Dreiecke. Jedes Dreieck hat die Innenwinkelsumme $180^\circ$. Aus drei Dreiecken ergibt sich daher die Innenwinkelsumme des Fünfecks zu $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

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